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专题03 函数与导数
函数的性质及应用
一、单选题
1．（2024 山东聊城二模）已知函数
为
上的偶函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 山西吕梁二模）已知函数
在区间
上单调递减，则函数
的解析式
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 宁夏回族自治区银川一中二模）定义域为
的函数
满足
为偶函数，且当
时，
恒成立，若
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 广西二模）下列函数中，在
上单调递增的是（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
5．（2024 新疆喀什地区二模）已知函数
，满足
，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 浙江杭州二模）设集合
，
且
，函数
（
且
），则（ ）
A．
为增函数
B．
为减函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
7．（2024 河北省石家庄二模）设
是定义在
上的奇函数，且
，当
时，
，则
的值为（ ）
A．-1
B．-2
C．2
D．1
8．（2024 山东二模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围
是（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．（2024 山东二模）已知函数
是偶函数，且该函数的图像经过点
，则下列等式恒
成立的是（ ）．
A．
B．
2
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C．
D．
10．（2024 浙江省金丽衢十二校二模）若函数
为偶函数，则实数a 的值为
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
11 ．（2024 年东北三省二模）已知偶函数
满足
，且当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024 贵州省毕节市二模）已知奇函数
与偶函数
满足
，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024 江苏省扬州市二模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
14．（2024 河南新乡二模）已知不恒为0 的函数
的定义域为
，则
（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是
的极值点
D．
15．（2024 黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、东北师范大学附属中学、辽宁省实验中学二模）
3
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定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
.设函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
的图象在
处的切线方程为
C．
D．
的图象与
的图象所有交点的横坐标之和为10
16．（2024 新疆乌鲁木齐二模）已知函数
，则（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．函数
是奇函数
C．函数
与
的图象关于原点对称
D．
三、填空题
17．（2024 河北省邯郸二模）已知
，函数
是奇函数，则
，
．
18．（东北三省四市联考二模）已知函数
，则
．
19．（2024 云南省红河州二模）已知
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，
则
.
4
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抽象函数问题
一、单选题
1．（2024 江苏省南通二模）已知
对于任意
，都有
，且
，则
（ ）
A．4
B．8
C．64
D．256
2．（2024 安徽省皖江名校联盟二模）已知函数
满足
，当
时，
，则（ ）
A．
为奇函数
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
3．（2024 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学二模）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
=（ ）
A．4036
B．4040
C．4044
D．4048
4．（2024 广西部分市二模）已知函数
为偶函数，则
的
最小值为（ ）
A．2
B．0
C．1
D．
5．（2024 黑龙江省哈尔滨市第九中学校二模）已知定义在
上的奇函数
满足
5
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，则以下说法错误的是（ ）
A．
B．
是周期函数
C．
D．
二、多选题
6．（2024 山西晋城二模）已知函数
的定义域为
，且对任意的
，都有
，若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于y 轴对称
C．
D．
7．（2024 广西二模）已知定义在
上的函数
满足
.若
的图象
关于点
对称，且
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的周期为2
D．
8．（2024 辽宁省部分学校二模）已知定义城为R 的函数
．满足
，且
，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
6
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C．
D．
9．（2024 浙江省绍兴二模）已知定义在
上的函数
在区间
上单调递增，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024 广东省韶关二模）已知定义在R 上的函数
的导函数分别为
，且
，
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．
C．
的周期为4
D．
11．（2024 河北省邯郸二模）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，若函数
的图象关于点
对称，
，且
，则（ ）
A．
的图像关于点
对称
B．
C．
D．
12．（2024 广东省湛江二模）已知函数
的定义域为
，
不恒为零，且
，则（ ）
A．
7
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B．
为偶函数
C．
在
处取得极小值
D．若
，则
13．（2024 浙江省杭州二模）已知函数
对任意实数
均满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数
在区间
上不单调
14．（2024 浙江省台州二模）已知
是定义域为
的非常数函数，若对定义域内的任意
实数x，y 均有
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的值域为
C．
D．
是奇函数
15．（2024 河南省郑州二模）已知函数
的定义域为
，且
，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
16．（2024 黑龙江省齐齐哈尔市二模）已知函数
的定义域为
，设
为
的导函数，
，
，
，则（ ）
8
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A．
B．
C．
是奇函数
D．
17．（2024 江西省九江市二模）已知函数
的定义域为
，
，
，则下列命题正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
为
上减函数
C．若
，则
为定值
D．若
，则
18．（2024 湖南省衡阳市二模）已知函数
的定义域均为
是奇函数，且
，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
为偶函数
D．
19．（2024 吉林省白山市二模）已知函数
的定义域为
，其图象关于
中心对称，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2024 湖南省岳阳二模）已知函数
的定义域为
，对任意
都有
9
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，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
函数与方程
一、单选题
1．（2024 江西省上饶市二模）定义在
上的奇函数
满足
，且在
上单调递
减，若方程
在
上有实数根，则方程
在区间
上所有实根之和是（ ）
A．28
B．16
C．20
D．12
2．（2024 广东省梅州市二模）三个函数
，
，
的
零点分别为
，则
之间的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 浙江省宁波市二模）已知集合
且
，若
中的点均
在直线
的同一侧，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 广东省湛江市二模）已知函数
，
，则（ ）
A．当
有2 个零点时，
只有1 个零点
10
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B．当
有3 个零点时，
有2 个零点
C．当
有2 个零点时，
有2 个零点
D．当
有2 个零点时，
有4 个零点
5．（2024 山西省临汾市二模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
，方程
都有两个不等的实根
D．不等式
恒成立
6．（2024 浙江省丽水、湖州、衢州三地市二模）已知正实数
满足
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学二模）在数列
中，
为其前n 项和，首项
，且函数
的导函数有唯一零点，则
=（ ）
A．26
B．63
C．57
D．25
8．（2024 黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、东北师范大学附属中学、辽宁省实验中学二模）若
关于x 的方程
有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11
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9．（2024 新疆乌鲁木齐地区二模）设
，函数
的零
点分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．（2024 黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、东北师范大学附属中学、辽宁省实验中学二模）
定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
.设函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
的图象在
处的切线方程为
C．
D．
的图象与
的图象所有交点的横坐标之和为10
11．（2024 云南省红河州二模）已知函数
，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
既有极大值又有极小值
C．若方程
有4 个根，则
D．若
，则
三、填空题
12．（2024 安徽省黄山市二模）若函数
有两个零点，则实数
的取值范
围是 .
12
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13．（2024 山东省聊城市二模）已知正方形
的四个顶点均在函数
的图象
上，若
两点的横坐标分别为
，则
．
14．（2024 天津市滨海新区塘沽二模）已知函数
，若函数
的零点个数为2，则a 的范围 .
15．（2024 湖南省九校联盟二模）函数
在
范围内极值点的个数为
.
16．（2024 湖北省七市州二模）已知函数
有零点，当
取最小值
时，
的值为 ．
函数模型及应用
一、单选题
1．（2024 广东省韶关市二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计
算公式是
，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是
10000 平方米，每平方米收费1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000
B．10480
C．10816
D．10818
2．（2024 河南省新乡市第一中学二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染
物含量P（单位：
）与时间t（单位：h）之间的关系式为
，其中
是正的常数，
若在前
消除了
的污染物，则常数k 所在的区间为（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
3．（2024 江西省重点中学盟校二模）核酸检测分析是用荧光定量
法，通过化学物质的荧光
信号，对在
扩增进程中成指数级增加的靶标
实时监测，在
扩增的指数时期，荧光
信号强度达到阀初始数值时，
的数量
与扩增次数
满足
，其中
为
的初始数量，
为扩增效率．已知某被测标本
扩增
次后，数量变为原来的
倍，
则扩增效率
约为（ ）
参考数据：
A．
B．
C．
D．
4．（2024 河南省信阳市浉河区信阳高级中学二模）已知一台擀面机共有4 对减薄率均在20%的轧
辊（如图），所有轧辊周长均为160mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，若某
个轧辊有缺陷，每滚动一周会在面带上压出一个疵点（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗），
已知标号3 的轧辊有缺陷，那么在擀面机最终输出的面带上，相邻两个疵点的间距为（ ）
A．800mm
B．400mm
C．200mm
D．100mm
函数的图像
一、单选题
1．（2024·山东·二模）如图所示，动点
在边长为1 的正方形
的边上沿
运
动，
表示动点
由A 点出发所经过的路程，
表示
的面积，则函数
的大致图像是
（ ）．
14
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A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，
数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，
也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
导数及其应用
一、单选题
1．（2024·山东·二模）如图所示，动点
在边长为1 的正方形
的边上沿
运
动，
表示动点
由A 点出发所经过的路程，
表示
的面积，则函数
的大致图像是
（ ）．
15
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A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，
数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，
也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线
在
处的切线与直线
垂直，
则
（ ）
A．3
B．
C．7
D．
4．（2024·广东韶关·二模）定义
，对于任意实数
16
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，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·河北邯郸·二模）设函数
的图像与
轴相交于点
，则该曲线在点
处的
切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·广西·二模）记函数
的导函数为
，
的导函数为
，则曲线
的曲率
．若函数为
，则其曲率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·山西·二模）设
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·广西·二模）已知
是函数
的极小值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·山东·二模）已知
为定义在
上的奇函数，设
为
的导函数，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．2023
10．（2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在
上的函数
满足
，且
17
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，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·广东·二模）函数
的定义域为
，若
，则
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024·新疆喀什·二模）已知函数
的定义域均为
为
的导函数，且
，
，若
为偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
13．（2024·湖北·二模）已知函数
（e 为自然对数的底数）．则下列说法正确的是
（ ）
A．函数
的定义域为R
B．若函数
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
，则
C．当
时，
可能有三个零点
D．当
时，函数的极小值大于极大值
14．（2024·江苏南通·二模）已知曲线
与曲线
在第一象限交于
点
，在
处两条曲线的切线倾斜角分别为
，
，则（ ）
A．
B．
18
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C．
D．
15．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设
是函数
的两个极值点，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
16．（2024·江苏南通·二模）若函数
有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
17．（2024·河南开封·二模）已知函数
，则函数
的图象在点
处的切线方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2024·浙江温州·二模）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数
的最小值为
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
20．（2024·辽宁·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
21．（2024·湖北·二模）我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件
19
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是函数
为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点
成中心
对称图形的充要条件是函数
为奇函数．已知函数
，则下列结论正确的
有（ ）
A．函数
的值域为
B．函数
的图象关于点
成中心对称图形
C．函数
的导函数
的图象关于直线
对称
D．若函数
满足
为奇函数，且其图象与函数
的图象有2024 个交点，记
为
，则
22．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线
相切的有（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
，下列说法正确的有（ ）
A．当
时，则
在
上单调递增
B．当
时，函数
有唯一极值点
C．若函数
只有两个不等于1 的零点
，则必有
D．若函数
有三个零点，则
24．（2024·浙江温州·二模）已知半径为球与棱长为1 的正四面体的三个侧面同时相切，切点在
三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为
，则（ ）
A．有最大值，但无最小值
B．最大时，球心在正四面体外
20
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C．最大时，
同时取到最大值
D．
有最小值，但无最大值
25．（2024·贵州毕节·二模）已知函数
，方程
有两个不等实数根
，则下列
选项正确的有（ ）
A．
B．
的取值范围是
C．
D．
26．（2024·广东佛山·二模）已知函数
与
，记
，其中
，
且
．下列说法正确的是（ ）
A．
一定为周期函数
B．若
，则
在
上总有零点
C．
可能为偶函数
D．
在区间
上的图象过3 个定点
27．（2024·黑龙江·二模）已知函数
，则（ ）
A．函数
没有零点
B．直线
是函数
与
图象的公共切线
C．当
时，函数
的图象在函数
图象的下方
D．当
时，
三、填空题
28．（2024·江西上饶·二模）已知关于
的不等式
恒成立，
的最小值为
，
21
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则
的最小值为 .（其中为自然对数的底数）
29．（2024·浙江台州·二模）已知关于x 的不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是
.
30．（2024·山西吕梁·二模）若曲线
在点
处的切线过原点
，则
.
31．（2024·湖南衡阳·二模）曲线
在点
处的切线方程为 ．
32．（2024·浙江杭州·二模）函数
的最大值为 ．
33．（2024·山西临汾·二模）已知函数
，函数
有两个极值点
．若
，则
的最小值是 .
34．（2024·江苏南通·二模）已知
，当
时，
.
35．（2024·安徽·二模）已知函数
，当
时
的最大值与最小
值的和为 ．
四、解答题
36．（2024·安徽·二模）已知函数
.
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间和极值.
37．（2024·山西晋城·二模）已知函数
（
）．
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
对于任意的
恒成立，求a 的取值范围；
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(3)若数列
满足
且
（
），记数列
的前n 项和为
，求证：
．
38．（2024·辽宁·二模）已知函数
．
(1)求曲线
的平行于x 轴的切线的切点横坐标；
(2)证明曲线
与x 轴恰有两个交点．
39．（2024·山东聊城·二模）对于函数
，若存在实数
，使
，其中
，则
称
为“可移
倒数函数”，
为“
的可移
倒数点”．已知
．
(1)设
，若
为“
的可移
倒数点”，求函数
的单调区间；
(2)设
，若函数
恰有3 个“可移1 倒数点”，求
的取值范围．
40．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围.
41．（2024·广东韶关·二模）记
上的可导函数
的导函数为
，满足
的数列
称为函数
的“牛顿数列”.已知数列
为函数
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的牛顿数列，且数列
满足
.
(1)求
；
(2)证明数列
是等比数列并求
；
(3)设数列
的前
项和为
，若不等式
对任意的
恒成立，求t 的取值范
围.
42．（2024·全国·二模）设函数
，曲线
在点
处的切
线与直线
平行.
(1)求
的值；
(2)求
的单调区间和极值.
43．（2024·河北邯郸·二模）已知函数
．
(1)是否存在实数
，使得
和
在
上的单调区间相同？若存在，求出
的取值范围；
若不存在，请说明理由．
(2)已知
是
的零点，
是
的零点．
①证明：
，
②证明：
．
44．（2024·山西吕梁·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间和极值；
(2)求
在区间
上的最大值.
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45．（2024·浙江·二模）定义
，已知函数
，其中
.
(1)当
时，求过原点的切线方程；
(2)若函数
只有一个零点，求实数
的取值范围.
新定义问题
一、单选题
1．（2024·浙江温州·二模）已知定义在
上的函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的图象关于
对称
B．
的图象关于
对称
C．
在
单调递增
D．
有最小值
2．（2024·河南新乡·二模）函数
被称为取整函数，也称高斯函数，其中
表示不大于
实数
的最大整数．若
，满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·福建莆田·二模）对于函数
和
，及区间
，若存在实数
，使得
对任意
恒成立，则称
在区间
上“优于”
．有以下四
个结论：
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①
在区间
上“优于”
；
②
在区间
上“优于”
；
③
在区间
上“优于”
；
④若
在区间
上“优于”
，则
．
其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、解答题
4．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有
关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691 年提出的．它的表达如下：如果函数
满足在闭区间
连续，在开区间
内可导，且
，那么在区间
内至少存在一点
，使得
．
(1)运用罗尔定理证明：若函数
在区间
连续，在区间
上可导，则存在
，使
得
．
(2)已知函数
，若对于区间
内任意两个不相等的实数
，都有
成立，求实数
的取值范围．
(3)证明：当
时，有
．
5．（2024·河北石家庄·二模）设集合
是一个非空数集，对任意
，定义
，
称
为集合
的一个度量，称集合
为一个对于度量
而言的度量空间，该度量空间记为
.
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定义1：若
是度量空间
上的一个函数，且存在
，使得对任意
，
均有：
，则称
是度量空间
上的一个“压缩函数”.
定义2：记无穷数列
为
，若
是度量空间
上的数列，且对任意正实数
，都存在一个正整数
，使得对任意正整数
，均有
，则称
是度量
空间
上的一个“基本数列”.
(1)设
，证明：
是度量空间
上的一个“压缩函数”；
(2)已知
是度量空间
上的一个压缩函数，且
，定义
，
，证明：
为度量空间
上的一个“基本数列”.
6．（2024·广西·二模）设
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为取整函数，取整
函数是德国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：
①
的定义域为R，值域为Z；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即
，其中
为x 的整
数部分，
为x 的小数部分；
③
；
④若整数a，b 满足
，则
.
(1)解方程
；
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(2)已知实数r 满足
，求
的值；
(3)证明：对于任意的大于等于3 的正整数n，均有
．
7．（2024·浙江宁波·二模）定义：对于定义在区间
上的函数，若存在实数
，使得函
数在区间
上单调递增（递减），在区间
上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数
且称为最优点.已知定义在区间
上的函数
是以为最优点的单峰函数，在区间
上
选取关于区间的中心
对称的两个试验点
，称使得
较小的试验点
为
好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们
以差点为分界点，把区间
分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为
，再对区间
重复以上操作，可以找到新的存优区间
，同理可依次找到存优区间
，满足
，可使存优区间长度逐步减
小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次
操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数
，
则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，
称为优美存优区间
常数.对区间
进行
次“优美的”操作，最后得到优美存优区间
，令
，我们
可任取区间
内的一个实数作为最优点的近似值，称之为
在区间
上精度为
的
“合规近似值”，记作
.已知函数
，函数
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.
(1)求证：函数
是单峰函数；
(2)已知为函数
的最优点，
为函数
的最优点.
（i）求证：
；
（ii）求证：
.
注：
.
8．（2024·广西·二模）已知函数
，若存在
恒成立，则称
是
的一个
“下界函数”．
(1)如果函数
为
的一个“下界函数”，求实数的取值范围；
(2)设函数
，试问函数
是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存
在，请说明理由．
9．（2024·安徽池州·二模）已知集合
是满足下列性质的函数
的全体：存在实数
，对任意
的
，有
.
(1)试问函数
是否属于集合
？并说明理由；
(2)若函数
，求正数
的取值集合；
(3)若函数
，证明：
.
10．（2024·安徽安庆·二模）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：
设
，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作
，函数
称为取整函数．另外也称
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是x 的整数部分，称
为x 的小数部分．
(1)直接写出
和
的值；
(2)设a，
，证明：
，且
，并求在b 的倍数中不大于a 的正整
数的个数；
(3)对于任意一个大于1 的整数a，a 能唯一写为
，其中
为质数，
为整数，
且对任意的
，
，i，
，称该式为a 的标准分解式，例如100 的标准分解
式为
．证明：在
的标准分解式中，质因数
（
，
，
）的指数
．
11．（2024·广西·二模）定义：若函数
图象上恰好存在相异的两点
满足曲线
在
和
处的切线重合，则称
为曲线
的“双重切点”，直线
为曲线
的“双重
切线”.
(1)直线
是否为曲线
的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数
求曲线
的“双重切线”的方程；
(3)已知函数
，直线
为曲线
的“双重切线”，记直线
的斜率所有可能的取
值为
，若
，证明：
.
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12．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线
，存在圆
满足如下条件：
①圆
与曲线
有公共点
，且圆心在曲线
凹的一侧；
②圆
与曲线
在点
处有相同的切线；
③曲线
的导函数在点
处的导数（即曲线
的二阶导数）等于圆
在点
处的二阶导数（已知圆
在点
处的二阶导数等于
）；
则称圆
为曲线
在
点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
(1)求抛物线
在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线
的曲率半径的最小值；
(3)若曲线
在
和
处有相同的曲率半径，求证：
．
13．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有
结论：若函数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
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(1)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)证明：，.
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