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专题03 导数及其应用
题型概览
题型01 切线、单调性及最值问题
题型02 恒成立存在问题
题型03 证明不等式
题型04 双变量问题
题型05 函数零点问题
题型06 利用导数比较大小及构造解不等式
切线、单调性及最值问题
1．（2025·天津武清·一模）已知
曲线
在点
处的切线为
.
(1)当
时，求直线 的方程；
(2)证明:
与曲线
有一个异于点P 的交点
且
；
(3)在（2）的条件下， 令
求k 的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）设
，
，利用零点存在定理证明存在
使
得
即可；
题型01
1
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（3）易知
，则计算可得
. 令
，则命题即要研究
有正根的充要条件. 再对
分类讨
论，利用多次求导研究
的单调性，即可求解.
【详解】（1）当
时，
，而
，所以
.
所以的方程是
，即
（2）由于
，故的方程
可化为
.
设
，则直线的方程为
.
令
，
设
，则对
有
，所以
在
上单
调递增.
记
，
则
.
由于
，
且
，
2
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故一定存在
，使得
，即
.
而
，故
是
与曲线
的交点，且
（3）对
，设
.
则
，
令
，则
，
令
，
.
由于当
时，
的导数
，
故
在
上单调递增.
若
，则
.
所以对
有
，从而
在
上单调递增；
所以对
有
，从而
在
上单调递增；
所以对
有
，从而
在
上单调递增；
所以对
有
，从而
在
上无零点.
若
，则
.
由于对
有
，
故
.
从而存在
使
.
3
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结合
在
上单调递增，知对
有
，
从而
在
上单调递减；
所以对
有
，从而
在
上单调递减；
所以对
有
，从而
在
上单调递减；
所以
，
又由于对
有
，
故对
有
，从而当
时，
有
.
结合
，就知道
在
上存在零点，从而
在
上存在零点.
综上，对
，函数
在
上存在零点的充要条件是
.
最后，一方面因为
，就有
，
所以
在
上存在零点
，故
；
4
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另一方面，对任意，取
，则
在
上存在零点.
记该零点为
，取
，则
.
所以这样的
满足原条件，且
.
综上，的取值范围是
.
2．（2025·福建泉州·一模）设函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
上单调递增，求
的取值范围；
(3)当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解；
（2）由条件转化为
恒成立．再转化为导函数的最小值大于等于0，即可求解；
（3）方法一：首先将不等式整理为
，再参变分离为
，转化为求函数
的最小值；方法二：根据（2）的结果，由
的值，讨论
的取值，
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判断不等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再证明命题成立的充分条
件，即可求解
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，则
，
则曲线
在点
处的切线斜率为
，
又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）
，
由题意得，
恒成立．
令
，则
，且
在
单调递增，
令
，解得
，
所以当
时，
，故
单调递减；
当
时，
，故
单调递增；
所以
，
又
，当且仅当
，故
．
（3）解法一：因为
，所以题意等价于当
时，
．
即
，
整理，得
，
因为
，所以
，故题意等价于
．
设
，
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的导函数
，
化简得
，
考察函数
，其导函数为
，
当
单调递减；当
单调递增；
故在
时，
取到最小值，即
，
即
，
所以
，
所以当
单调递减；
当
单调递增；
所以
的最小值为
，
故
．
解法二：先考察
，由（2）分析可得
，
情况1：当
，即
，
此时
在区间
单调递增，
故
，即
，符合题意；
情况2：若
，则
，
注意到
，且
，故对
进一步讨论．
①当
时，即
且由（2）分析知：当
单调递减，
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故当
，即
单调递减，
故恒有
，不符合题意，舍去；
②当
时，
注意到在区间
单调递减，且
，又
，
故在区间
存在唯一的
满足
；
同理在区间
单调递增，且
，
故在区间
存在唯一的
满足
；故可得
+
0
-
0
+
极大值
极小值
所以当
，符合题意；
故题意等价于
，即
．
又因为
，即
，化简，得
所以
，整理得
．
注意到
，所以
，
故解得
，
由之前分析得
即
考察函数
，其导函数为
，
当
单调递减；
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当
单调递增；
故在
时，
取到最小值，即
，
即
，所以
恒成立，
故
，又注意到情况（2）讨论范围为
，
所以
也符合题意．
综上①②本题所求
的取值范围为
．
方法三：先探究必要性，由题意知当
时，
是
的最小值，
则必要地
，即得到必要条件为
；
下证
的充分性，即证：当
时，
．
证明：由（2）可知当
时，
在
单调递增，
故
的最小值为
，符合题意；
故只需要证明
时，
．
由（2）分析知
时，
+
0
-
0
+
极大值
极小值
其中
．
注意到
，据此可得
更精确的范围是
；
所以等价于证明
，
又因为
，即
，可得
，
9
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只需证明
，
等价于证明
，
注意到
，即
，
故若①当
，此时
显然成立；
若②当
，只要证明
，
此时
，且
所以
，故得证．
综上必要性，充分性的分析，本题所求
的取值范围为
．
3．（2025·山东泰安·一模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若方程
有两个不同的实数根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
或
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可；
（2）对函数求导，需要对参数
进行分类讨论，确定导函数正负，进一步确定原函数的增减；
（3）由题意得
有两个不同实根,令
，对
进行分类讨论，
确定函数
的零点个数，从而求得
的取值范围.
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【详解】（1）由题意
的定义域为
当
时，
，
，
，又
，
在
处的切线方程为
，即
（2）
，
，
当
，即
时，
，
在
上单调递减，
当
，即
时，在
上，
，在
上
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上，
时，
在
上单调递减；
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）方程
有两个不同实根，
等价于方程
有两个不同实根,
设
，
则
且
，
当
时，
时，
时，
，
此时函数
只有一个零点
，方程只有一个根，不符合题意；
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当
时，
在
上单调递增，
当
时，
，
存在
使
，
在
上
，在
上
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
又
，
设
，则
，
当
时，
单调递减，
又
，
，又
，
在
上和
上各有一个零点，符合题意；
当
时，
，
在
上
，在
上
，
在
上单调递增，在
上单调递增，
，
只有
一个零点，不符合题意；
当
时，
，
，
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存在
使得
，
在
上
单调递减，在
上
单调递增，
，
，
又
当
时，
单调递增，
又
，
，
在
上存在一个零点
又
，
时
有两个零点，符合题意；
综上，方程
有两个不同实根时，
或
.
【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数零点问题，1 是对参数分类讨论，利用函数的单调性与零
点存在性定理判断函数零点个数；2 是参变分离，利用两个函数交点个数问题，数形结合求解.
4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数
（e 为自然对数的底）的一条切线与x 轴平行，则切
点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出切点
，利用在切点处的斜率等于0 即可求得结果.
【详解】设切点坐标为
，函数
，所以
，
因为切线与x 轴平行，所以
，解得
，
，故切点坐标
为
故选：B
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5．（2025·黑龙江·一模）设函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
为增函数，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）法一：参变分离得到
在
上恒成立，构造函数
求最值即
可；法二：构造函数
，通过分类讨论求最值即可求解；
【详解】（1）当
时，
，
所以
，
，
，
∴曲线
在
处的切线方程为
，
整理得，
，
∴曲线
在
处的切线方程为
.
（2）
，
，
是增函数，即
在
上恒成立，
方法一：即
在
上恒成立，所以
，
设
，
，则
，
，
当
时，
，
单调递增，
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当
时，
，
单调递减，
∴当
时，
取得极大值，也是最大值，
∵
，∴
的取值范围是
.
方法二：即
在
上恒成立，所以
，
设
，
，则
，
，
①若
，则
，
在
上单调递增，
当
趋近于0 时，
趋近于
，即
不恒成立，
所以
在
上不单调递增，与题意不符，舍去.
②若
，则当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则当
时，
取得极小值，也是最小值，
∴
，解得
，
∴
的取值范围是
.
6．（2025·山东聊城·一模）曲线
在
处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的
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面积公式即可得解.
【详解】对函数
求导得
，故所求切线斜率为
，切点坐标为
，
所以，曲线
在
处的切线方程为
，
该切线交
轴于点
，交
轴于点
，
因此，曲线
在
处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
.
故选：D.
7．（2025·山东济宁·一模）曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
在
处的切线斜率为
在
处的切线斜率为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意结合对称性可设
，
，结合导数的几何意义求得
，即可得结果.
【详解】因为
和
互为反函数，其图象关于直线
对称，
且反比例函数
的图象也关于直线
对称，
可知点
关于直线
对称，设
，则
，
设
，则
，
由题意可得：
，解得
或
（舍去），
可得
，则
，所以
.
故选：A.
8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数
，其中
.
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(1)若
的图象在
处的切线经过点
，求a 的值；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程求出切线方程，再代入经过
点的坐标可得答案；
（2）求导，分
、
、
、
讨论，可得答案.
【详解】（1）
，
因为
，
，
所以
的图象在
处的切线方程为
，
将
代入得
，解得
；
（2）
，
当
时，
，令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，
，所以
在
上单调递增.
当
时，令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
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当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
9．（2025·黑龙江·一模）若不等式
对一切
恒成立，其中
，e 为自然对
数的底数，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】先把不等式化简转化，再构造函数令
，再求导函数得出切线计算化简转
化求解.
【详解】不等式
可化为
，
令
，
当
时，
，此时，直线
恒过点
，
故只需直线
为
在点
处的切线即可，
，此时
．
当
时，
亦恒过点
，为使
，对一切
恒成立，
需
开口向下，且在点
处与
有公切线即可，
故
，此时
．
综上，
的取值范围是
，所以
的可能取值为
.
故选：A.
10．（2025·湖北·一模）已知为自然对数的底数，函数
满足：
，
，
函数
，
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(1)求函数
的极值点和极值；
(2)求
解析式；
(3)若
在
上单调递增，求实数
的最大值；
(4)求证：
，
.
【答案】(1)极小值点0，极小值1，无极大值点和极大值；
(2)
(3)
；
(4)证明见解析
【分析】（1）利用导数来求得函数
的极值点和极值.
（2）根据
求得
的解析式.
（3）由
的单调性列不等式，由此求得
的最大值.
（4）先证得
，利用赋值法来求得正确答案.
【详解】（1）因为
，所以
，
故当
时，
，当
时，
，
故函数
在
递减，在
递增，
所以函数
有一个极小值点0，极小值
，无极大值点和极大值；
（2）由
得
，又
，故
所以
（3）由
得
，
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因为
在
上单调递增，所以
，
即
对
恒成立
故
，所以实数
的最大值为
；
（4）由（3）知：当
，
时，
故
在
上单调递增，所以
，即
所以
，即
，①
在①式中分别令
，
相加得
恒成立存在问题
1．（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，
那么项链所形成的曲线是悬链线．在17 世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程
是
，其中c 为参数．当
时，该方程就是双曲余弦函数
．相应地
题型02
20
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就有双曲正弦函数
．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：
；
②二倍角关系：
；③导数关系：
(1)类比关系式①②③，写出
和
之间的三种关系式（不需要证明）；
(2)当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)设无穷数列
满足
，是否存在实数
，使得
？若存在，求
的值；
若不存在，说明理由．
【答案】(1)① 平方关系：
；② 二倍角关系：
；③ 导数关
系：
，
.
(2)
(3)
【分析】（1）求出
和
即可求解，求出
和
即可求解，求出
和
即可求解；
（2）证明存在足够小的
使得
，令
，讨论
的情况，并结
合导数检验
即可求解；
（3）根据
与递推式
形式一致求出
，求出
即可求解.
【详解】（1）（1）双曲函数关系式
① 平方关系：
；
② 二倍角关系：
；
③ 导数关系：
，
.
证明如下（不需要写出）：
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因为
，
，
所以
；
因为
，
，
所以
；
，
（2）因为
，所以
，
所以
，
，
当
时，设
，
若
，则存在足够小的
使得
矛盾，
所以
，因为
，
观察
，
令
，
，
当且仅当
时等号成立，
22
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所以
在
时单调递增，
因为
，所以
对
成立，
即
，所以
满足题意，
所以
；
（3）因为
与递推式
形式一致，
所以假设
，其中
为待定参数，
因为
符合递推关系，
所以
，因为
，
所以
，因为
，
得
，令
，
方程变为
，解得
或
，
所以
或
，所以
或
，
因为
是偶函数，所以不妨设
，
所以
，
，
所以
2．（2025·江西·一模）已知函数
（
），将
的图象绕原点
逆时针旋
转
后，所得曲线仍是某个函数的图象，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】法一：设
为
的图象上任意一点，通过点的旋转得到旋转后的坐标
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，构造函数
，由其单调性求解即可；
法二：求导，由
讨论
的单调性，结合旋转讨论；
【详解】法1：设
为
的图象上任意一点，
绕原点
逆时针旋转
后点
的对应点为
，
设
，
与
正半轴夹角为
，
可得：
，
化简可得：
令
，则
，
所以
，令
，
要使函数图像绕原点
逆时针旋转
后仍为某函数的图象，
则
为单调函数，即
恒成立，或
恒成立.
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因为
，又
，故
不恒成立，所以
恒成立，
当
时，
；当
时，由
，得
，
令
，则
，
易得当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
；
当
时，由
，得
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以当
时，
的取值范围为
，
所以
.综上所述，
的取值范围为
.
法2：
，当
时，由
，得
，
由
，得
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
其图象大致如图1 所示，绕原点逆时针旋转
后，得到的曲线不是任何函数的图象；
当
时，
，其图象为
轴，绕原点逆时针旋转
后，为函数
的图象，符合题意；
当
时，由
，得
，由
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
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其图象大致如图2 所示，要使绕原点逆时针旋转
后，
得到的曲线为某函数的图象，必有
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，令
，则
，
因为
，所以当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以
，所以
，
所以
.综上所述，
的取值范围为
.
故答案为：
.
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)设
是
的两个极值点，
①求证：
；
②求证：
.
【答案】(1)减区间为
，增区间为
；
(2)①②证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）①分析得
的两根为
，且
，再构造函数
，利用导数得其单调性即可证明原不等式；
26
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②将左边不等式等价转化证明
，再构造函数
，利用导数即可证明，
右边不等式利用切线放缩即可证明.
【详解】（1）
时，
，
，
因为
，
均在
上单调递增，
则
在
上单调递增，又
，
所以
，
，
，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增．
（2）①依题意
的两根为
，
即
的两根为
．
令
，
得
，且
，
，
则
在
单调递减，在
单调递增，则
．
令
，
则
，所以
在
单调递增，所以
，
所以
，又
，
在
单调递增．
所以
，即
．
②由
，要证明
，只需证
，
即证明
，
即证明
27
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即证明
即证明
，设
，
，
则
，则当
时，
，则
在
单调递减，
则
，则
在
上恒成立，从而左边得证．
因为
，
，且
，
，
则
在
和
处的切线分别为
和
，
令
，得
，
再证明
恒成立，
设
，则
，令
，解得
，
且
时，
，此时函数
单调递减；
时，
，此时函数
单调递增；
则
，则
恒成立，
再证明
恒成立，
设
，
，则
在
上单调递增，
又因为
且大于0 时，
，则
恒成立，
所以
，从而右边得证．
4．（2025·山东济宁·一模）
，若
恒成立，则实数
的取值范围
是 ．
【答案】
28
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【分析】对不等式进行变形可得
，构造函数
，利用导数研究
的单调性，进而可求
的取值范围.
【详解】
在
上恒成立
当
时，即
解得
，此时
.
令
则
，
①当
时，
．
在
上单调递增，
恒成立，
恒成立，
；
②
时．
在
上单调递减，在
上单调递增
，
解得
与
矛盾，舍去；
综上所述，
的取值范围为
故答案为：
.
5．（2025·山东淄博·一模）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
29
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(2)证明：
时，
；
(3)若不等式
对任意的
都成立（其中是自然对数的底数），求整数
的最大值．
【答案】(1)
的增区间为
，减区间为
.
(2)见解析
(3)整数
的最大值为
．
【分析】（1）直接利用导数判断
的单调区间；
（2）要证
，即证
，令
，对
求导，
得到
即可证明.
（3）分离常数，得
，为此求出函数
在
上的最小值．这可利
用导数知识求解．
【详解】（1）函数
的定义域是
，
，
当
时，
；当
时，
．
所以，
的增区间为
，减区间为
.
（2）要证
时，
，即证
在
恒成立，
令
，
，
，
30
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令
，
，
当
时，
，
，
所以
在
上单调递减，所以
，
则
，所以
在
上单调递减，
所
，所以
，
综上，
时，
；
（3）不等式
等价于不等式
，
由
可得：
，
设
，
，
则
，
设
，函数
的定义域是
，
，
设
，则
，
令
，则
，
时，
，
在
上为增函数，
时，
，
在
上为减函数，
∴
在
处取得极大值，而
，
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∴
，函数
在
上为减函数．
于是当
时，
，当
时，
，
∴当
时，
，
为增函数，
当
时，
，
为减函数，
故函数
的增区间为
，减区间为
，
所以
，所以
，即
∴
，
，于是
在
上为减函数，
故函数
在
上的最小值为
，
所以
，所以整数
的最大值为
．
6．（2025·江西萍乡·一模）设函数
，
，若
，
，使得
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】将问题转化为
，求出
，然后参变分离，构造函数
，
利用导数求最值即可.
【详解】由题意，
，当
时，
，
，所以
；
当
时，
，
，所以
，
等号仅当
时成立，所以
.
所以对
，即
，即
.
令
，则
，
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当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，因此
.
故答案为：
7．（2025·江西萍乡·一模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
有2 个零点，则
B．当
时，
是增函数
C．当
时，
恒成立
D．当
时，若
是
的零点，则
【答案】ABD
【分析】方程
的根的问题，通过变形转化为直线
与函数
图象交点
问题；对于函数
的单调性问题，通过求一阶导数
，再对
求导研究单调性，进而确
定
的单调性.
【详解】显然
，由
，得
，
所以直线
与函数
的图象有2 个交点，又
，
所以当
或
时，
；当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
从而
在
处取得极小值
.
33
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又
时，
；当
时，
；当
时，
，
在同一直角坐标系中作出
的图象以及直线
，
由图可见，当且仅当
时，直线
与
的图象有两个公共点，故A 正确；
当
时，
，对
求导得
.
再对
求导得
.
令
，即
，解得
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
在
处取得最小值，
，
即
恒成立，所以
是增函数，选项B 正确.
当
时，
，
，
所以
不恒成立，选项C 错误.
当
时，
，
，
.
34
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因为
是增函数，且
，
所以由零点存在定理可知，
的零点
满足
，选项D 正确.
故选：ABD.
8．（2025·山东烟台·一模）已知正数
满足
，则
的最小值为 ：
当
取得最小值时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】 5
【分析】由已知有
，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有
恒成立，问题化为
在
上恒成立，应用导数求右侧
的最大值，即可得参数范围.
【详解】由题设
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为5，此时不等式化为
恒成立，
所以
，即
令
且
，则
，
时
，
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
， 则
因此可得在
上，
恒成立，
令
且
，
所以
，
35
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令
，
，
在
单调递增，且
，
则
时，
，函数
在
单调递减，
时，
，函数
在
单调递增，
因此可得
，即
，
则当
，
，则
在
单调递增，
当
，
，则
在
单调递减，
所以
，故只需
.
故答案为：5，
9．（2025·江西上饶·一模）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线的斜率为
，求
的值；
(2)若
是
的极小值点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先对函数进行求导，根据导数值可求得结果；
（2）求导函数，根据极小值点得到原函数为先增后减，导函数值为零，则导函数再次求导函数大
于零，据此可求得取值.
【详解】（1）已知
，
根据求导公式
，
，
，
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可得
，
因为曲线
在
处的切线的斜率为
，
所以
，解得
；
（2）由（1）可得
，令
则
，
若
是
的极小值点，则
，
则
在
左侧附近小于0，在
右侧附近大于0，
这意味着
在
处的导数
，
把
代入
得
，解得
；
当
时，
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
恒成立，则
在
上单调递增，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，所以
是
的极小值点；
当
时，此时
，令
，
则
，此时
，
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
恒成立，
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则
在
上单调递增，
当
时，
，
单调递减；当
时，
；
所以
是
的极小值点；
当
时，
令
，即
，设
，
则
，整理得
，
由一元二次方程求根公式
，
因为
，所以
，
，
存在
，使得在
附近，当
在
到0 之间或0 到
之间时，
，
单调
递减，
此时
在
两侧不满足左负右正，则
不是
的极小值点；
综上
的取值范围是
.
10．（2025·浙江·一模）已知函数
，其中
.
(1)若函数
是偶函数，求
；
(2)当
时，讨论函数
在
上的零点个数；
(3)若
，
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)两个零点
38
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(3)
【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出
；
（2）代入
，得到
，写出
，令
后在求导.由
解析式可知当
时，
恒成立.当
时，
，得到
单调递增，由二分法知道
在
存在唯一零点
.由此知道函数
的单调区间，再由二分法得到函数零点.
（3）当
时，
恒成立，所以当
时，由
，求出
的范围.再将
的
范围分为
，
，
三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单
调性建立不等式，最后求出
的范围.
【详解】（1）因为函数
是偶函数，所以
.
即
，
解得：
.
（2）当
时，
.
，
，
令
，则
.
当
时，
，
当
时，
，
单调递增，
又
，
，
39
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所以存在
，使得
.
，
，
单调递减，
，
，
单调递增，
而
，
，
，所以在
上存在一个零点.
综上，函数
在
有两个零点.
（3）当
时，
；当
时，
，
则
.
（ⅰ）当
时，
，
，
成立；
（ⅱ）当
时，
若
，则
，
单调递增，
所以
；
若
，则
，
，
成立；
（ⅲ）当
时，若
，则
成立；
只要考虑
，此时令
，
则
，
递增，
，
，
所以存在
，使得
，
若
，则
，
递减；若
，则
，
递增.
40
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所以
，解得
.
此时
，所以
，从而
.
综上，
.
证明不等式
1．（2025·山东淄博·一模）过点
向曲线
引斜率为
的
切线
，切点为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
的前
项和为
D．
【答案】ABD
【分析】设直线
，方程联立由
判断A；可得
，
，从而
结合累加法求和可判断B；由
，结合等差数列的求和公式可判断C；令
，结
合导数可得
在
上单调递增，进而可判断D.
【详解】设直线
，联立
，
得
，
题型03
41
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则由
，即
，
解得
（负值舍去），故A 正确；
可得
，
，
所以
，故B 正确；
因为
，则
，故C 错误；
因为
，
，
所以
，
设
，则
，
可得
在
上单调递增，
则
时，
，
又
，则
，故D 正确.
故选：ABD
2．（2025·四川巴中·一模）已知函数
(1)求函数
的极值；
(2)求证：当
时，
；
(3)若
，其中
，讨论函数
的零点个数．
42
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【答案】(1)
，无极大值
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】
对
求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的极值；
不等式等价于
，
，令
，
，利用导数证明
即可；
讨论
的零点个数问题，先对x 分类讨论去绝对值，易得
在
上总有唯一的零点；当
时，对
求导，再对t 分类讨论，结合导数知识及零点存
在性定理判断即可．
【详解】（1）
，令
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，无极大值．
（2）证明：原不等式等价于：
，
，
即
，
，
令
，
，下证：
，
则
，设
，则
，等号当且仅当
时成立，
所以
在
上单调递增，
，等号当且仅当
时成立，
所以
在
上单调递减，
，即原不等式成立．
43
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（3）等价于
的零点个数问题：
①当
时，
，显然
在
上单调递增，
又
，
，所以
在
上总有唯一的零点；
②当
时，
，
则
，
Ⅰ若
，则
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
在
上无零点；
Ⅱ若
，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
，令
，得
若
，则
在
上无零点；
若
，则
在
上有唯一零点；
若
，则
，又
，
又由
知
，
得，得
，
由零点存在性定理可知，
在
，
上各有一个零点．
综上所述：当
时，
有一个零点：当
时，
有两个零点；当
时，
有三个零点．
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3．（2025·安徽滁州·一模）已知函数
的极值点从小到大依次为
，
，
，
，
是
的导函数，则（ ）
A．
B．
C．
是
的极小值点
D．
【答案】ACD
【分析】对函数
求导，为研究导函数
的正负，构造函数
，通过对其求导，分段讨论研究函数
的单调性，进而研究函数
的极值点，判断各个选项即可.
【详解】
，定义域为
，
则
，
.
因为
，所以
，而
，
所以
，故选项A 正确；
令
，则
.
①考虑
的情况：
当
时，
；当
时，
；
45
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则函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
又
，
，当
且
时，
，
则存在
，使得
，
当
时，
，
此时
，则
，故
；
当
时，
，
此时
，则
，故
.
②考虑
的情况：
当
时，
，
，且等号不能同时取得，
则
，此时
.
结合①可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数
在
处取得极大值，可知
，故选项B 错误；
③考虑
的情况：
当
时，
；当
时，
；
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，当
且
时，
，
46
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则存在
，使得
，
当
时，
，
此时
，则
，此时
；
当
时，
，
此时
，则
，此时
；
④考虑
的情况：
当
时，
，
，且等号不能同时取得，
则
，此时
；
结合③可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
可知
，即
是
的极小值点，故选项C 正确；
⑤考虑
的情况：
可知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
同①可知，存在
，使得
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
综合可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，在
上
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单调递减，
可知
.
由题可知
，
，
.
令
，
，
则
，可得
，
，可得
，
由
可得
，则
，
则
，即
，
.
又
，则
，
，
，
48
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可得
，即
，
则
，
即
，即
，
可得
.
又
，
，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，
可得
，故选项D 正确.
故选：ACD.
4．（2025·江西南昌·一模）已知
．
(1)若
在定义域上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
有极大值m，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求
，令
，通过求导判断函数的单调性求解最小值，
结合题意列不等式即可求解；
（2）由（1）可知，当
有两个不同的零点时，
，由
，则
，
，判断
的单调性，可得
，通过求导即可证明.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
可得
，
49
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令
，
所以
，
因为
时，
，所以
单调递减，
时，
，所以
单调递增，
所以
，
因为
在定义域上单调递增，所以
恒成立，
所以
，即
；
（2）由（1）可知，当
有两个不同的零点时，
，
此时
，
且
时
，
时
，
所以
，则
，
，其中
，
因为
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
为
的极大值点，则
，
且
，
设
，则
，
所以
在
单调递增，
50
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所以
，即
.
5．（2025·北京延庆·一模）已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的单调区间；
(3)若
，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
，单调递减区间为
，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）求出导数，再根据
得出方程的根，列表即可求出函数单调区间；
（3）求出
，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得
证.
【详解】（1）由
，所以
所以
，
又
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，
即
（2）由
，定义域为
，
51
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得
或
因为
，所以
.
所以
，
列表：
0
0
递减
递增
递减
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
（3）因为
，
又
，
，
所以
是方程
的两个根.
依题意，有
，
所以
，即
，
所以
，
令
，则
，
52
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令
，则
因为
，所以
，
所以
在
上是增函数，
所以
，所以
在
为减函数，
所以
，即
.
6．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知
.
(1)求证：当
时，
；
(2)设
.
（ⅰ）求证：数列
为递减数列；
（ⅱ）求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）对函数
求导，并构造
，利用导数判断出函数的单调性和最值，即
可证明出不等式；
（2）（ⅰ）
，令
，
，构造函数
并求导，
即可求解函数的单调性，从而得到数列
的单调性，即可得证.
（ⅱ）由题意结合
，得
，利用（1）可得
，从而有
，结合放缩法可得
，又由（ⅰ）知，
，即可证得结果.
53
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【详解】（1）由
得
，
令
，则
当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
又∵
，∴
，
∴
在
上单调递增，
∵
，∴
.
（2）（i）由题意可得：
，
令
，
，即
.
令
，
，
∵
，
∴
在
上单调递减，
∵
，∴
，
∴
，
，
∴
为递减数列；
（ⅱ）由（i）可知，
，
∵
，
∴
，
54
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由（1）可知，当
时，
，即
，
当
时，
，
∴
,
∴
.
又
，
∴
.
7．（2025·福建厦门·一模）设函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
是增函数，求a 的取值范围；
(3)当
时，设
为
的极小值点，证明：
．
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
．
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）在
时，根据导函数的符号即可求得原函数的单调区间；
（2）求出
，设
，求导推得
，根据参数
分
，
和
三种情形，讨论函数的
单调性和零点情况，即得其取值范围；
（3）设
为
的零点，推得
，
，分段讨论函数
的单调性，推出
，
55
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即得
，即
，则
，设
，求导
得出
在
上的单调性，即可求出其范围，即得证.
【详解】（1）当
时，
，
，
因当
时，
，当
时，
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）因
，
设
，
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
时，
取得极小值
，
（ⅰ）所以当
时，
，
，所以
，
单调递增，符合题意；
（ⅱ）当
时，
，
因为
趋近于
时，
趋近于
，
趋近于
时，
趋近于
，
所以
存在两个零点，
即存在区间使得
，所以
不恒成立，不合题意；
56
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（ⅲ）当
时，若
，因为
的零点为
，且
，
则
与
有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同，
所以
，解得
，
此时，当
时
；
当
时
，则
所以综上a 的取值范围为
.
（3）当
时，
，
，设
为
的零点，则
，
因为
，所以
，
当
时，
，
，故
，
在
单调递增，
当
时，
，
，所以
，
在
单调递减，
当
时，
，
，所以
，
在
单调递增，
所以
，且
，即
，
所以
，
设
，则
，
在
上单调递增，
57
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所以
，且
，故得
．
8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
，其中
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点
，
，证明：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性.
（2）由函数有两个极值点
，
确定a 的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性
求解.
【详解】（1）由题意得，函数
的定义域为
，且
，
，
令
，
当
，即
时，
恒成立，则
，所以
在
上是单调递减；
当
，即
时，函数
有两个零点：
，
，
当x 变化时，
，
的变化情况如下表所示：
x
58
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-
0
+
0
-
单调递
减
单调递
增
单调递
减
综上，当
时，
在
内单调递增，
在
和
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减.
（2）由（1）知，当
时，
有两个极值点
，
，
则
，
是方程
的两个根，由韦达定理，得
，
，
所以
，
，
令
，
，则
，
当
时，
，则
在区间
上单调递减，
从而
，
故
9．（2025·广东·一模）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列
59
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的性质，对通项公式取对数得，
，则可通过研究函数
的性质，得到数列
的性质，进而得到
的性质.请根据以上材料，解决如下问
题：
(1)若不等式
对任意
恒成立，求实数的取值范围，并证明：
；
(2)是否存在常数
，使得：
有，
？若存在，求
的值；若不存在，请说
明理由.
（注：e 为自然对数的底数）
【答案】(1)
；证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）当
时，
恒成立，
；当
时，
可化为
，令
，
，利用导数方法判断其单调性，结合洛必达法则即可求出
的范围；得出以
，将
代入整理，即可证明不等式成立；
（2）先由题意得到
；由
推出
，结合（1）的结果，可求出
；
对于
，当
或
时，于
显然恒成立；当
时，推出以
，同（1）构造函数，求出
；从而可求出结果.
【详解】（1）当
时，
显然恒成立，
；
60
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当
时，
可化为
，
令
，
，则
，
令
，
，则
在
上恒成立，
因此
在
上单调递减，所以
，
即
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
又由洛必达法则可得：
，
所以
恒成立，因此，为使
对任意
恒成立，只需
；
综上，
；
所以
，因为
，所以
，
则
，所以
得证；
（2）存在
，使得：
有，
,证明如下：
由题意，为使
恒成立，必有
；
(i)由
得
，所以
，则
，因为
，
由（1）知
对任意
恒成立，
为使
都成立，只需
，解得
；
61
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(ii)对于
，当
或
时，于
显然恒成立；
当
时，
，由
得
，所以
，
令
，则
，
，
所以
，同（1）令
，
，
则
，
令
，
，
则
在
上恒成立，
因此
在
上单调递增，所以
，
因此
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
又
，
所以当
，
；
因此，为使
恒成立，只需
，解得
；
由(i)(ii)可得，
；即存在
，使得：
有，
.
10．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列
满足
，且
成等比数列．
62
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(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
；
(3)若数列
满足
，证明：
（e 为自然对数的底）．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式；
（2）设
，求导，可得
的单调性，进而可得结论；
（3）由题意需证
，由（2）可得
，利用放缩法与裂
项相消法可证结论.
【详解】（1）设等差数列
公差为
成等比数列，则
，
所以
，解得
或
（舍去），所以
；
（2）设
，当
时，
单调递减，
，所以
，由（1）可知
，
则有
，所以不等式
恒立．
（3）因为
，所以要证
，
只需证：
，
根据（2）可知
，那么
，
63
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，
所以
.
双变量问题
1．（2025·山东聊城·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个不同的极值点
，
，且
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求出函数的导数，构造二次函数，分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调
性.
（2）利用极值点与导数的关系，结合二次函数和韦达定理，构造函数，求导研究单调性，解不等
式求解.
【详解】（1）
的定义域为
.
求导可得：
.
令
，其判别式
.
当
，即
时，因为
，所以
，则
，所以
在
题型04
64
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上单调递增.
当
，即
或
时，方程
的两根为
，
.
(根同
号)，
.
因为
，当
时，
，则
，
，此时
，
，
在
上单调递增.
当
时，
，则
，
，且
，
此时在
和
上，
，
，
单调递增；
在
上，
，
，
单调递减.
综上所得， 当
时，
在
上单调递增.
当
时，
在
和
上单调递增；在
上，单调
递减.
（2）因为
有两个不同的极值点
，所以
且
，解得
.
由韦达定理可知
，
，代入上式可得：
.
已知
，即
，
65
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可得
，即
.
令
，对
求导得
.
因为
，所以
，
在
上单调递增.
又
，所以
的解集为
，
即实数
的取值范围是
.
2．（2025·陕西西安·一模）已知函数
，
.
(1)记
的导数为
，求
的值，其中
；
(2)若
，
恒有
，求a 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）求出函数
的导数，再代入并结合对数运算求值.
（2）由（1）求出函数
的最小值，再求出
最大值，利用恒成立列式求解.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
所以
.
（2）由（1）知，
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
由
，得
，函数
的图象是开口向下的抛物线，
66
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当
时，
，由
，
恒有
，得
，
因此
，解得
，
所以a 的取值范围是
.
3．（2025·河南郑州·一模）已知函数
且
，
关于
对称的函数
记为
(1)若
，方程
有且只有一个实数解，求a 的值;
(2)讨论方程
在
上实数解的个数;
(3)若
，设函数
，若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出
，设
与
有公共点
，解由
及
组成的方程组求出
可得答案；
（2）由
，两边同取对数得
令
，利用导数判断出其单调性，分
、
、
讨论方程
在
上实数解的个数可得的答案；
（3）由
得
，设
，则
，
利用导数判断出
在
上的单调性可得答案.
【详解】（1）
关于
对称的函数为
，
，
67
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设
与
有公共点
，
由对称性可知，
在
上，
，
，
，解得
，得
；
（2）由（1）知，
，由
，
两边同取对数，
，即
令
，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
当
，方程
在
上实数解的个数为1 个.
当
，
，方程
在
上实数解的个数为2 个.
当
，方程
在
上实数解的个数为1 个；
（3）
，定义域为
，求导得
，
又
，
，
整理得
，由基本不等式得，
，
，
设
，则
，
68
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易知
，
在
单调递增，
，
的取值范围为
函数零点问题
1．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
，若函数
与
的图象有且仅有三个交点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
.
【分析】根据分段函数自变量不同取值范围上的函数解析式，分别构造函数，由函数与方程的关系，
等价转化为函数求零点与一元二次方程求解问题，可得答案.
【详解】当
时，则
，令
，
求导可得
，令
，解得
，可得下表：
单调递增
极大值
单调递减
由函数
的极大值为
，则存在唯一零点，
所以函数
与函数
在
上有且仅有一个交点；
题型05
69
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当
时，
，令
，
求导可得
，显然
上
，
则函数
在
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，
由
，则函数
在
上存在唯一零点，
所以函数
与函数
在
上有且仅有一个交点；
由题意可得函数
与函数
在
上有且仅有一个交点，
当
时，
，令
，
令
，整理可得
，
当方程有两个相等的实数解时，
，解得
，
此时
，符合题意，
当方程在
有一个实数根时，可得
，解得
，
综上可得
.
故答案为：
.
2．（2025·山东烟台·一模）已知函数
在
处有极大值.
(1)求实数的值；
70
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(2)若函数
有三个不同的零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的
根，可得答案；
（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等
价转化为函数交点问题，可得答案.
【详解】（1）由函数
，求导可得
，
由函数
在
处取极大值，则
，解得
或
，
当
时，可得
，
易知当
时，
；当
时，
，
则此时函数
在
处取得极小值，不符合题意，舍去；
当
时，可得
，
易知当
时，
；当
时，
，
则此时函数
在
处取得极大值，符合题意.
综上所述，
.
（2）由（1）可得函数
，求导可得
，
令
，解得
或，可得下表：
单调递
增
极大
值
单调递
减
极小
值
单调递
增
71
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所以函数
的极大值为
，极小值为
，
函数
存在三个零点，等价于函数
图象与直线
存在三个交点，
如下图：
由图可得
，则
.
3．（2025·四川内江·一模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
在
上是增函数
B．当
时，
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．若
在
上为减函数，则
D．当
时，若函数
有且只有一个零点，则
【答案】BD
【分析】利用导数研究函数的单调性判断A；导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可
求三角形面积判断B；问题化为在
上
恒成立，应用导数研究右侧的最小值，
即可得参数范围判断C；问题化为
有唯一解，应用导数研究右侧的单调性和值域判断
D.
【详解】对于A，
为增函数，
时
趋向负无穷，
时
趋
向正无穷，
72
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所以存在
使
，故
上
在
上为减函数，错；
对于B，由题设
，则
，且
，
所以
在
处的切线方程为
，
切线与
轴的交点坐标为
，与
轴交点坐标为
，
所以
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
，对；
对于C，因为函数
在
上为减函数，
则在
上
恒成立，即
，
令
，则
，易知
时
，
时
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数，
所以
，错；
对于D，函数
有且只有一个零点，
即
有唯一解，则
，
令
且
，则
，
令
，显然在
上为增函数，
，
则
，使得
，易知
时
，
时
，
则
在
为减函数，在
为增函数，则
，
当
时，
，
73
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所以
有且只有一个解时，
，即
，对.
故选：BD
4．（2025·北京延庆·一模）已知函数
，给出下列四个结论：
①
，使得
关于直线
对称；
②
，使得
存在最小值；
③
，
在
上单调递减；
④
，使得
有三个零点；
其中所有正确的结论的序号是 .
【答案】①③④
【分析】赋值法判断①；数形结合判断②④；利用导函数判断③，
【详解】取
，得
，
因为
，
所以
，使得
关于直线
对称；故①对；
由
，
所以
，
若
，
当
时，令
，则
，
令
，则
，
所以
在
单调递减，所以
，
所以
在
单调递减，
当
时，令
，则
，
74
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所以
在
单调递减，
所以
，
在
上单调递减，故
，
不存在最小值，故②错，③对，
如图
若
，则当函数
与直线
的图象相切时，
设切点横坐标为
，此时
，则
，
得到方程组
，化简得
，易得
，
则此时有两个零点，图象见下图，
AI
当
时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示，
则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示，
AI
故④对，
故答案为：①③④
75
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5．（2025·陕西西安·一模）设函数
，其中
，若
有两
个零点且
取最小整数P 时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，令
，求出函数
，利用导数探讨零点求出的最小整数值，再
利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】令
，函数
定义域为
，
求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
最多一个零点，不符合题意，
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
当
从大于0 的方向趋近于0 时，
值趋近于正无穷大；当
趋近于正无穷大时，
值趋近于
正无穷大，
由
有两个零点，得
，即
，
函数
在
上都递增，则函数
在
上递增，
，因此存在
，使得
，
则不等式
成立时
，的最小整数值为3，即
，
由
，得
，
，
76
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当且仅当
，即
时取等号，B 正确.
故选：B
6．（2025·云南曲靖·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
．
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程；
（2）函数求导分解因式后，对参数
分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性；
（3）根据（2）的结论，对参数
分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，
即可得解.
【详解】（1）当
时，
，
，
．
又
，故
在
处的切线方程为：
．
（2）
．
当
时，
，故
在
上单调递增；
当
时，令
，得
，令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
77
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综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（3）当
时，
在
上单调递增，不符合题意，故
．
由（2）知，当
时，
．
有两个零点，
．
又
，
．
令
，则
，
在
上单调递减，且
，
当
时，
，即
．
又
，
在
上有一个零点；
，
．
当
时，
，
在
上有一个零点．
综上所述，
有两个零点时，
的取值范围是
．
7．（2025·安徽滁州·一模）已知函数
(1)若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围;
(2)若
，求证：
有且只有1 个零点.
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【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得
，令
，利用导数可得
，进而
可得
，令
，利用导数求得
即可；
（2）求导得
，分
，
，
三种情况讨论中可证得
结论.
【详解】（1）由
可得
，
设
，
，
，
当
时，
当
时，
，
所以
在
上单调调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
等价于
，
设
，
，
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
，
故实数a 的取值范围为
；
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（2）
，
当
时，
，
，
所以
在
上单调递增，又
，
，
由零点存在性定理可知，
在区间
上存在1 个零点，
故此时
有1 个零点.
当
时，当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
因
，当
时，
，
取
，则
，且
，
由零点存在性定理可知，
在区间
上存在1 个零点，
故此时
有1 个零点.
当
时，当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
，
由于
，所以
，所以
，
所以
，所以
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又
，
，
由零点存在性定理可知，
在区间
上存在1 个零点，
故此时
有1 个零点.
综上可知，当
时，
有且只有1 个零点，得证.
利用导数比较大小及构造解不等式
1．（2025·黑龙江·一模）已知实数
，
，
满足
，
，
，其中为自然对数的底数.则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构建函数
，利用导数分析
的单调性，根据题意可得
，
，
，且
，
，
，结合单调性分析判断.
【详解】设
，可知函数
的定义域为
，且
，
因为
在定义域上单调递增，且
，
若
，则
；若
，则
；
可得
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
，
，
，
可得
，
，
，
即
，
，
，且
，
，
，
题型06
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可知
，且
，
，
，所以
.
故选：D.
2．（2025·黑龙江·一模）已知函数
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质求解参数，结合导数判断单调性，再利用对数的运算性质将所有数转化
到同一单调区间内，比较大小即可.
【详解】因为函数
是偶函数，
且
，
，
所以
，即
，
解得
，得到
，其定义域关于原点对称，
此时
，
，
故
是偶函数，符合题意，
而
，
令
，
，令
，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，且
，得到
，
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而由偶函数性质得
，
而
，则
，
得到
成立，故A 正确.
故选：A
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
，若
时，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数
的单调性和奇偶性，将
恒成立转化为
恒
成立，解
的范围即可.
【详解】由题意可得
，令
解得
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
又因为
，
所以
为偶函数，大致图象如下，
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若
时，关于
的不等式
恒成立，
则
对
恒成立，
所以
，则
或
，
所以
或
对
恒成立，
所以
或
，
所以实数
的取值范围为
，
故选：C
4．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
，其导函数为
，当
时，
不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，先转化问题为
在
上恒成立，进而结合导数
分析函数
的单调性得到
对
恒成立，进而得到
对
恒成立，
即
，
，再构造函数
，
，进而结合导数求解即可.
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【详解】因为
，所以
，
因为当
时，不等式
恒成立，
即当
时，不等式
恒成立，
所以当
时，不等式
恒成立，
即当
时，不等式
恒成立，
即当
时，不等式
恒成立，
即当
时，不等式
恒成立，
设
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
可以转化为
在
上恒成立，
即
对
恒成立，
即
对
恒成立，即
，
.
设
，
，则
，
令
，即
；令
，即
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，又
，
，显然
，
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所以
，所以
，
所以
，即实数a 的取值范围为
.
故选：B.
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