文档文本内容
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专题02 函数与导数
题型概览
题型01 函数的图像
题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
题型03 指对幂比较大小
题型04 函数与方程的综合应用
题型05 新定义问题
题型06 恒成立与能成立问题
题型07 证明不等式问题
题型08 切线问题
题型09 极最值问题
题型10 零点问题
函数的图像
1．（2025·福建泉州·二模）已知函数
与
的图象关于直线
对称，则
．
【答案】
【解析】设
在
图象上，则点
关于直线
对称点
在
图象上，则
，即
，
.
故答案为：
．
2．（2025·福建南平·二模）设
表示不超过实数
的最大整数，如
，则方程
解的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】方程
解的个数等价于函数
和
的图象交点个数，
题
型
1
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作函数
和
的图象如图所示：
由图可知函数
和
的图象的交点个数为5.
方程
解的个数为5.
故选：B
3．（2025·福建龙岩·二模）已知函数
（
且
），
是自然对数的底数，
函数
的导函数为
．实数
，
满足
，
，当
时，实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
知
分别为
的极大值点和极小值点，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
，
，
则当
时，
，
若
且
时，
，与
矛盾，不符合题意，
故
.
令
，该方程有两个不同的解，
则函数
图象在R 上有两个不同的交点，
2
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作出函数
的图象，如图，
设过原点且与曲线
相切的直线为，切点为
，
则
，所以
，解得
，
此时切线的斜率为
，
要使函数
图象在R 上有两个不同的交点，
需
，由
，解得
．
故选：B．
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
4．（2025·福建泉州·二模）已知函数
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
，即
，又可得
，
当
时，
在
上单调递增，
题
型
3
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由
，可得
，解得
，
当
，即
时，
由
，可得
，所以
，
解得
，
当
，即
，
由
，得
，所以
，
因为
，所以不等式
无解，
综上所述：不等式
的解集为
.
故选：C.
5．（2025·福建泉州·二模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，
则（ ）
A．
B．方程
有解
C．
D．
【答案】C
【解析】因
和
，
对于A，令
，则
，即
，故A 错误；
对于B，令
，则
，可得
，
令
，当
时，则
，
即
，
，
，
，
则
4
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，
其中
也符合，因
，故方程
无实数解，即B 错误；
对于C，令
，则
，得到
，
由
，则C 正确；
对于D，
与
不能恒相等，故D 错误.
故选：C.
6．（多选题）（2025·福建莆田·二模）已知定义域为
的函数
是偶函数，且
，
，若
，其中
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
【答案】ACD
【解析】在
中，令
，得
，即
，又
是偶函数，所以
，故A 正确；
因为
是偶函数，所以
，又
，
所以
，将
替换为
可得
①，
将
替换为
可得
②，
可得
，即
，
5
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所以
是
的一个周期，
又
，
，
，
，
，
所以
，故B 错误；
因为
，所以
关于
中心对称，
又
是偶函数，所以
关于
中心对称，
所以
，
即
，
，
，
，
，
令
，得
，
，即
，
所以
，解得
，故C 正确；
由
，得
，且
，
当
时，则
，
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立；
当
时，
，
，
6
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，
当且仅当
，即
，
时等号成立，又
，
所以
的最小值为
，故D 正确．
故选：ACD．
7．（2025·福建厦门·二模）已知函数
若
，则
．
【答案】8
【解析】
，
所以
，
因为
时，
，
所以
，
，解得
，
故答案为：
8．（2025·福建宁德·二模）设函数
，则满足
的
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
可得
，
则
，解得
，所以定义域为
，
当
时，
，
由
可得
，即
，无解；
当
时，
，
7
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由
可得
，即
，
即
，解得
，
又
，所以
，
即不等式的解集为
.
故答案为：
9．（2025·福建漳州·二模）若函数
的导函数
为偶函数，且
，都有
，则
可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因
为偶函数，则
，即
，
则
，其中
为常数，
不妨设
，即
为奇函数，
结合
可得，
，则
，
则
有一个周期为
，
故
可以为
.
故答案为：
（答案不唯一）
8
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指对幂比较大小
10．（2025·福建漳州·二模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】易知
，
，
，
所以
，
故选：C
11．（2025·福建三明·二模）若实数
满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为实数
满足
，即
，可得
，
令
，其中
，
因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上为增函数，
因为
，由
，可得
，故
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：B.
函数与方程的综合应用
题型03
题
型
9
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30．（2025·福建泉州·二模）已知
，函数
，若关于
的方程
在区
间
上有解，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】函数
的图象的对称中心为
，且
单调递增，
所以由
可得，
，且
，
不妨设
为锐角，所以
，
所以函数
在
单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
当
时，
取得最小值，
所以
，即
，
故答案为：
．
12．（多选题）（2025·福建南平·二模）已知函数
则下列说法中正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．任意
，存在
，使得
恒成立
C．若方程
恰有两个不等实根
，则
D．若方程
恰有三个不等实根
，则
【答案】BCD
【解析】对于A，
，即
，所以
不为奇函数，故
10
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A 错误；
对于B，当
时，由
对
恒成立，
得
，可得
对
恒成立，故
，
当
，由
对
恒成立，得
，
所以
对
恒成立，故
，
所以对任意
，存在
，使得
恒成立，故B 正确；
对于C，若方程
恰有两个不等正实根
，
则
有两个不等的正根，所以
有两个不等的正根，
则
，解得
时有两不等的实根，且
，故C 正确；
对于D，当
时，
在
内单调递增，且
，所以
只有一个根，故
时，
恰有两个不等的正根时，
有三个不等的实根，
由C 可知当
时，
有两个不等的正根，不妔设此两正根为
，且
，
所以
，
若第三个根为
，由题意可得
，所以
，
解得
，所以
，故D 正确；
故选：BCD.
新定义问题
题
型
11
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13．（2025·福建福州·二模）已知函数
，记
，若
满足
，则称
是
上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数
是
上的“可控
函数”，则函数
也是
上的“可控函数”，其中
，例如
．
(1)判断函数
是否为
上的“可控函数”，并说明理由；
(2)已知函数
是
上的“可控函数”，且的最大值为
．
（i）求函数
的解析式；
（ii）若数列
满足
，
是数列
的前
项和．求证：
．
【解析】（1）
是
上的“可控函数”．
因为
，由
得
，
所以
，
因为
，故函数
是
上的“可控函数”．
（2）（i）由函数
的定义域为
，可得
，
由于
，又因为
，
当
时，
，则
在区间
上单调递减，
12
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当
时，
，则
在区间
上单调递增，
而
，所以当
时，
的取值范围为
，
因为
，
所以由“可控函数”的定义可得函数
是
上的“可控函数”．
所以的最大值不小于
．
若
，由“可控函数”定义可知
满足的条件为
可得
，所以
．
又因为
，由
的单调性可得，
当
时，
的取值范围为
，
显然
，
所以函数
是
上的“可控函数”，
所以的最大值为
，得
，则
，
所以函数
的解析式为
．
（ii）先证明
．
由（i）可知函数
是
上的“可控函数”，
13
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由“可控函数”性质可知函数
也是
上的“可控函数”，
所以
．
因为
，
且
，所以
，
所以
．
再证
．
由（i）可得
在区间
上单调递减，且
，
所以若
，则
，
若
，则
．
又因为
，所以
时，
均大于
均小于
．
因为
，
所以当为奇数时，
．
若
，可得
．
若
，可得
，
所以对任意的
．
14
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综上所述
．
14．（2025·福建三明·二模）若对于函数
，存在直线
，使得方程
有
个解
、
、
、
，且
，则称直线
为函数
的
阶临界直
线，若
可趋近于无穷大，则称直线
为函数
的无限阶临界直线.
(1)判断函数
，
的奇偶性并直接写出它的一条
阶临界直线方程；
(2)若
，
，判断函数
是否存在
阶临界直线，并说明理由；
(3)已知函数
.证明：函数
存在无限阶临界直线.
【解析】（1）令
，其中
，则
，
所以，函数
为偶函数，
，故当
时，函数
取最小值，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
，
所以函数
在点
处的切线方程为
，在点
处的切线方程为
，
如下图所示：
15
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函数
的一条
阶临界直线方程为
.
（2）若
，
，
令
，
，
令
，
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上单调递增，所以不存在
、
，使得
，
综上可知函数
不存在
阶临界直线.
（3）当
时，
，
令
，
，
所以
在
上单调递减，
因为
，
，所以当
时，
，
16
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因为
，
，
，
所以
，
则存在
，使
，
当
时，
，
，所以
，
所以
，
因为函数
在
处的切线方程为
，
函数
在
处的切线方程
，
又因为
，
所以
，
所以
，
所以直线
与直线
重合，
则
、
、
、
、
为方程
的解，
且
，
又因为
可趋近于无穷大，所以存在直线
为函数
的无限阶临界直线.
15．（2025·福建龙岩·二模）已知函数
，
，
，…，
．
(1)若
，
，
，…，
，求
的值；
17
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(2)若
，集合
，集合
，
为
的子集，它们各有
个元素，且
．设
，
，
，
，…，
，且
，
，证明：
．
【解析】（1）
，
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增．
的最小值为
.又
，
设
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
，又
，
，当且仅当
时取等号，
所以
，且
，
，故
．
（2）
，
，
有一个零点
，记
，而
，
，则
．
又
，且
，
故
在
上还有一个零点，记为
，
18
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由
的单调性知，
恰有两个零点
，
，且
，
而
，
为
的子集，它们各有
个元素，且
，则
至少有
个元素．
而
的元素只可能在
，
，
，
，…，
，
之中，这表明它们两两不等，
且
，所以
包含
个正数，
个负数．
而
，
为
的子集，它们各有
个元素，且
，则
，
．
设
包含
个负数，
个正数，则
包含
个负数，
个正数，
，
，
，
.
，
，从而
．
，
．
设
，则
，
设
，则
，
单调递增，
，又
，
，所以
．
由（1）知，
在
上单调递减，在
上单调递增．
，即
，
，
.
19
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恒成立与能成立问题
16．（2025·福建莆田·二模）已知函数
，
，若对区间
内任意两个实数
，都有
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】假设
，因为
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
令
，则
在区间
内单调递增，所以
，
因为
在区间
上单调递增，所以
的最小值为
，故
，即
；
令
，则
在区间
内单调递增，所以
，所以
，
令
，则
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
的
最小值为
，即
．
综上所述，
．
故选：A．
17．（2025·福建泉州·二模）已知函数
．
题
型
20
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(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围．
【解析】（1）若
，
，
，
，
令
，则
，
所以
在
单调递增，
因为
，
所以当
时，
，即
；当
时，
，即
，
所以
的减区间为
，增区间为
.
（2）解法一：
，即
，
①若
，则不等式显然成立；
②若
，则当
时，
不合题意；
③若
，则
等价于
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以当
时，
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
21
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所以当
时，
，
所以
成立，也即
，则
；
综上可得，
.
解法二：①若
，不等式显然成立；
②若
，当
时，
不合题意；
③若
，则
，当
时，
在
上单调递增，
且当
时，
；当
时，
，
使
，即
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以当
时，
令
（
），则
，
所以
在
上单调递减，
因为
，所以当
时，
，
所以
，则
；
综上可得，
.
18．（2025·福建莆田·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，函数
有两个极值点
．
（i）求实数
的取值范围；
22
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（i i）当
满足
时，求实数
的最大值．
【解析】（1）当
时，
，
，则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）（i）
，则
，
因为函数
有两个不同的极值点
，所以
是
的零点，
由
，得
．
设
，则
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
．
当
时，
，当
时，
，
结合
的图象的变化趋势可知，
，所以
，
故实数
的取值范围为
．
（i i）由条件可知，
，
，
则
，且
．
不妨令
，将
代入
中，
23
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得
，则
．
设
，
，则
，
令
，则
，所以
在
上单调递减，
则
，即
，所以
在
上单调递减．
由
得，
，所以
，
因此
在区间
上单调递减，即
，
于是
，所以
，则
，
又
，令
，由（ⅰ）可知，
在区间
上单调递增，
所以
，则
，解得
，
故实数
的最大值为
．
证明不等式问题
19．（2025·福建宁德·二模）设函数
.
(1)求函数
的值域；
(2)当
时，
恒成立，求
的最小值；
(3)若
，证明：
.
题
型
24
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附：
.
【解析】（1）由
，
，得
因为
，则
，
即
所以
在区间
递减，即
值域为
（2）在区间
上，由
恒成立，得
，
设
，当
时，
，故只需研究
时的情形
，设
，
在区间
上，
，
所以，
在区间
上递减，所以
，
即
在区间
上递减，所以
，
所以
，解得
，故
的最小值为1.
（3）由
，
，得
即
，
所以
由（1）可知，当
时，
，即
，
所以当
，
，
当
时，有
，
25
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又由（2）知
时，
，所以
所以
，故
，
所以
所以
20．（2025·福建厦门·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的极小值；
(2)若
存在唯一极值点
，证明：
.
【解析】（1）
的定义域为
.
当
时，
，
.
令
得，
或
.
当
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增.
所以当
时，
取极小值
.
（2）方法一：
，
.
当
时，
与
同号.
因为
的图象关于
对称，又
存在唯一极值点
，
如图可得
，所以
，
26
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所以
，故
.
将
代入得
，
构造
，
，
则
，
所以
，即
，
所以
方法二：以前步骤同方法一.
易知
在
单调递减，在
单调递增.
（i）当
时，
，
在
单调递增，
函数
无极值点.
（ii）当
时，令
可得
，
.
由于
，故
在区间
单调递增，
单调递减，
单调递增，从而有两个
极值点，不合题意.
（iii）当
时，
，故
在区间
单调递减，
单调递增，恰有唯一极值点
27
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，符合题意.
所以
.
设
，
，
，
所以
在
单调递减，
，
故
.
21．（2025·福建厦门·二模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
【解析】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，令
得
，
所以
时
，
单调递增，
时
，
单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）由（1）
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
28
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要证明
，只需证明
，
即证明
，
令
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
因为
，
所以当
时
，
单调递减，
当
时
，
单调递增，
可得
，
即
．
22．（2025·福建南平·二模）已知函数
，其导函数为
.
(1)求
的单调区间；
(2)证明：
.
【解析】（1）由题函数定义域为R，
，令
，
所以当
时，
，
当
时，
，
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
29
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（2）证明：由（1）
，
所以
在
上恒成立，
所以函数
即
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
单调递增，
所以
，即
.
23．（2025·福建泉州·二模）已知函数
，
，
，
，直线
的斜率为
，曲线
在点
的切线为.证明：
(1)除点
外，曲线
上的点恒在直线的上方；
(2)若
，则
；
(3)
.
【解析】（1）因为函数
，所以求导得
.
所以
，
.
所以切线的斜率为
，
.
所以直线的方程为：
，即：
.
令
，求导得：
，
.
30
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令
，则
，所以
在
上单调递增，
因为
，所以
在
上小于0，在
上大于0，即：
在
上小于0，在
上大于0，所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
又
，所以
，所以
，
因为点
为切线的切点，所以除点
外，曲线
上的点恒在直线的上方.
（2）由（1）知，
，
所以
.
所以
.
因为
，所以
，
所以
.
（3）
，所以
，
.
因为
所以
.
①
令
，则
，所以
，
31
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所以
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，从而
，又
，
所以
，所以
.
②
令
，所以求导
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
.
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
不等式两边同时除以
得：
，所以
.
综上所述，
.
32
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切线问题
24．（2025·福建福州·二模）曲线
在
处的切线方程为 .
【答案】
【解析】
，
，
，
所以切线方程为
，
即
.
故答案为：
25．（2025·福建泉州·二模）已知函数
，则与曲线
，
都相切的直线
的方程是 ．
【答案】
【解析】由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为
，直线与
，
的切点分别为
，
，
，
，
，
，
对于
，切线方程为
，
对于
，切线方程为
，
所以
，解得
，
所以直线的方程为
，
题
型
33
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故答案为：
．
26．（2025·福建福州·二模）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知
，
则
，
即切线斜率
，
又
，
所以切线方程为
，
即
，
故选：D.
27．（2025·福建宁德·二模）曲线
在点
处切线斜率的取值范围为
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
所以
，即
，
令
，
当
时，
单调增，
34
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当
时，
单调减，
又
，当
时，
，
故
的解集为
，
故选：D.
28．（2025·福建·二模）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率为
，讨论
在
的单调性；
(2)曲线
上是否存在四个点，使得以这四点为顶点的四边形是平行四边形？证明你的结论．
【解析】（1）由
得，
，
所以
．依题意，得
，所以
，此时
，
所以当
时，
；当
时，
，且
．
所以当
时，
，当且仅当
时，
；
当
时，
．故
在
单调递增，在
单调递减．
（2）曲线
上存在四个点，使得以这四点为顶点的四边形是平行四边形．
证明如下：
取
，
因为
，
所以
四点都在曲线
上．
35
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因为
，所以
，
因为
，
所以
与
不共线，
所以四边形
为平行四边形．
所以曲线
上存在四个点
，使得四边形
为平行四边形.
极最值问题
29．（2025·福建泉州·二模）已知
，
，（为自然常数）且
，则
的最大值为
．
【答案】
【解析】
，令
，则
，
因为
，即
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
，
时，等号成立，
所以
，
所以
，即
的最大值是
．
故答案为：
．
30．（2025·福建三明·二模）已知函数
存在最小值，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
的定义域为R，
，
题
型
36
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令
，
若
，则
，令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
存在最大值，不存在最小值，舍去；
若
，
，
若
，则
，此时
，
其中
，
，
当
且
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
存在最大值，不存在最小值，舍去；
若
，即
时，
恒成立，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
存在最大值，不存在最小值，舍去；
若
，则
或
，
当
时，设
的两根为
，
开口向上，
，
37
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当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
即为
的最小值，故
满足要求；
当
时，设
的两根为
开口向下，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
趋向于
时，
趋向于
，不存在最小值，
综上，
故答案为：
31．（多选题）（2025·福建宁德·二模）设函数
，则（ ）
A．当
时，
没有零点
38
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B．当
时，
在区间
上不存在极值
C．存在实数
，使得曲线
为轴对称图形
D．存在实数
，使得曲线
为中心对称图形
【答案】ABC
【解析】解法一：对A，函数
的定义域为
且
，由
得
且
.
作出
与
的图像，二者有唯一交点
，不合题意，故
没有零点，故A 正确.
对B，由题
，
令
，
，
因为
，所以
，
又
，所以
，所以
，
则
在
上无极值，故B 正确.
对CD，令
，
39
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因为
，所以
或
，由对称性可知，故若存在对称轴或对称中心，必在直线
上.
考虑
，
当
时，
，所以
关于
对称，故C 正确.
考虑
，
所以不存在符合题意的常数
，故D 错误.
故选：ABC.
32．（多选题）（2025·福建·二模）已知函数
，
，
，则
（ ）
A．
和
的图象有且只有一条公切线
B．若
恒成立，则整数
的最大值为
C．若、均大于，则
D．关于
的方程
在区间
内无解
【答案】BCD
【解析】对于A 选项，设直线
为函数
和
的图象的公切线，
设直线
切函数
于点
，切函数
于点
，
因为
，则
，所以，
，
切线方程为
，即
，
因为
，则
，所以，
，
40
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切线方程为
，即
，
所以，
，消去
可得
，解得
或
，
所以，
和
的图象有且只有两条公切线，A 错误；
对于B 选项，若
，则
，
因为函数
，其中
，则
，
因为函数
、
在
上均为增函数，则函数
在
上为增函数，
因为
，
，
所以，存在
，使得
，即
，可得
，
且当
时，
，当
时，
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
，
所以，
，
由对勾函数的单调性可知，函数
在
上单调递减，
所以，
，
由题意可得
，故整数
的最大值为
，B 正确；
对于C 选项，
41
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，
因为、
，则
，
，所以，
，
所以，
，
所以，
，C 正确；
对于D 选项，当
时，
，则
，
所以，函数
在
上单调递增，则
，
，则
对任意的
恒成立，
所以，
在
单调递减，则
，
当
时，对任意的
，
，
所以，关于
的方程
在区间
内无解，D 正确.
故选：BCD.
33．（2025·福建漳州·二模）已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，易知
，
当
时，设
在
的值域为
，由题意可得
，
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当
时，
，即
，不符合题意；
当
时，由不等式
化简可得
，解得
由不等式组
，解得
.
综上可得
.
故选：C.
零点问题
34．（2025·福建福州·二模）若
为函数
的零点，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，求导得
，
令
，可得
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
上单调递增，所以
，
又
，所以
在
上无零点，
当
时，
。
令
，得
，得
，即
，
因为
为函数
的零点，则
，两边取对数得
，
题
型
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所以
.
故选：C.
35．（多选题）（2025·福建泉州·二模）已知函数
有3 个零点和2 个极值点，则
（ ）
A．
的3 个零点之和等于
B．
的3 个零点之积等于
C．
在3 个零点处的切线的斜率之和大于零
D．
的3 个零点和2 个极值点的算术平均数相等
【答案】BCD
【解析】由题设，令三个零点为
，则
，
又
，则
，
，A 错，B 对；
对函数求导得
，显然
，即
，
若两个极值点为
，则
，故
，D 对；
三个零点的斜率之和为
，
又
，且
，
所以
，
所以
，C 对.
故选：BCD
36．（2025·福建漳州·二模）已知函数
.
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(1)若
，求
在
上的最大值；
(2)若
在
上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.
【解析】（1）若
，则
，
因为当
时，
，仅当
时，“＝”成立，
所以
在
上单调递减，
所以
在
上的最大值为
.
（2）
，令
，则
，
当
时，由
，即
，得
或
.
当
时，
，
递增；
当
时，
，
递减；
当
时，
，
递增；
，
，
，
，
因为
在
上恰有两个零点，
所以直线
与曲线
（
）恰有两个交点，
所以实数a 的取值范围为
.
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