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专题02 函数和导数
题型概览
题型01 函数图象
题型02 函数性质（单调性、奇偶性、周期性）
题型03 指、对数函数
题型04 零点问题
题型05 函数和导数综合
函数图象
1．（2025·湖南长沙·二模）函数f (x)=e
x−e
−x
x
2+|x|−2
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖北武汉·二模）已知a>0且a≠e，则函数f (x)=e
x−a ln x的图象可能是（ ）
A．
B．
题
型
1
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C．
D．
函数性质（单调性、奇偶性、周期性）
3．（2025·湖南邵阳·二模）已知函数f (x)=3 x
3−sin x + x
，则满足f (x)+ f (4−3 x)<0的x的取值范围是
（ ）
A．(1,+∞)
B．(−∞,1)
C．(2,+∞)
D．(−∞,2)
4．（2025·湖北武汉·二模）已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(
1
2 , 1
4)
，记函数f ( x)= P(ξ ≤x)，则
f ( x)的图象（ ）
A．关于直线x = 1
2
对称
B．关于直线x = 1
4
对称
C．关于点(
1
2 , 1
2)
成中心对称
D．关于点(
1
4 , 1
4)
成中心对称
5．（2025·湖南·二模）已知函数f (x)的定义域是R ,f (1)=2，且满足
f(5+ x
2)= f (−5−x),f (x−3)= f (5−2 x)，作f (x)的图象关于y轴的对称图象，并右移一个单位，再将横
坐标变为原来的1
2
得到函数g(x)的图象，下列说法正确的有（ ）
A．g(x)= f (1−2 x)
B．g(x)与f (x)有相同的值域
C．f (x)的最小正周期是6
D．g(1012)=2
6．（2025·湖北·二模）已知函数f (x)=sin x−ln x ,f
′ (x)是其导函数.若存在x1, x2∈(0,π)且x1< x2
，满
题
型
2
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足f
′(x1)= f
′(x2)，则（ ）
A．f (x1)>f (x2)
B．x1 x2>1
C．f (x1)f (x2)>1
D．f (x1)+ f (x2)<2
7．（2025·湖南邵阳·二模）定义在R上的函数f (x)满足f (x)−f (2−x)=0，且f (x)在[1,+∞)上单调递增，
设a= f (−9)，b= f(
7
4)
，c = f (log417)，则（ ）
A．b<c<a
B．c<b<a
C．a<b<c
D．b<a<c
8．（2025·湖南·二模）若函数f (x)= sin x +sin (m+n)
sin (x +m)
，g(x)= ln f (x)，若n=0，f (x)为偶函数，则m=
.若g(x)为奇函数，则n= .
9．（2025·湖南长沙·二模）若函数f ( x)=5sin( x +θ)+12cos( x +θ)为奇函数，则tanθ = ．
指、对数函数
10．（2025·湖南长沙·二模）设a=log√2cos 1
2
，b=cos 1
2
，c =2sin 1
2
，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
11．（2025·湖南娄底·二模）已知函数f (x)的定义域为D，若∀m，n∈D，都有f (m)+ f (n)≤f (m+n)，
则称f (x)是次可加函数，则（ ）
A．f (x)= ln x（0< x ≤2）是次可加函数
B．f (x)=sin x（−π≤x ≤0）是次可加函数
C．若D = N，f (0)=0，f (1)=1，则次可加函数f (x)可以是周期函数
D．若D =Z，f (0)=0，f (1)=1，则次可加函数f (x)的表达式不唯一
12．（2025·湖南·二模）已知实数a,b,c满足3
a=6
b=c，且1
a + 1
b =2，则c = .
题型03
3
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零点问题
13．（2025·湖南·二模）若函数f (x)=¿与直线y =a恰有三个交点，则a 的取值范围是（ ）
A．[1,2]
B．(1,2)
C．(1,2]
D．[1,2)
14．（2025·湖南岳阳·二模）若函数f (x)有唯一零点，且f (x +1)= x
2−1+a(e
x+e
−x)，则a=（ ）
A．−1
2
B．1
3
C．1
2
D．1
15．（2025·湖南·二模）已知a∈R，函数f (x)=¿，在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1)
B．(−∞,−1)∪{0}
C．[1,+ ∞)∪{0}
D．(1,+∞)∪{0}
16．（2025·湖南长沙·二模）已知函数f ( x)= x(x−a ln x−1
x)
，a∈R．
(1)若0≤a≤2，试判断函数f ( x)的单调性；
(2)若函数f ( x)有三个不同的零点x1，x2，x3（x1< x2< x3）．
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）若存在正整数M，使得a x1+ x3≥M恒成立，求M 的最大值．
17．（2025·安徽马鞍山·二模）已知函数f (x)=2ae
2 x+2(a−1)e
x−x.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)有两个零点，求实数a的取值范围.
题
型
4
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18．（2025·湖南·二模）已知函数f (x)= x
3+a x
2+bx +c有三个不同的零点x1，x2，x3
.
(1)若a=1，b=−1，求c的取值范围；
(2)若a= 3
2 ，b>0，x1=0，且对任意x∈[x2, x3](x2< x3)都有f (x)>f (−1)恒成立，求实数b的取值范围；
(3)若a=b>0，c =0，比较f (x)的极大值与−1的大小.
函数和导数综合
19．（2025·湖南长沙·二模）已知f (x)=(x +1)
3+ax +a，a∈R，则下列说法中正确的是（ ）
A．当a=−3时，函数f (x)的极大值点为1；
B．当a=−3时，过点(−1,0)可作一条直线与曲线y = f (x)相切；
C．对∀a∈R，点(−1,f (−1))是y = f (x)的对称中心；
D．若直线y =kx + k +2a+2与f (x)有三个交点x1、x2、x3，则x1+ x2+ x3=−3.
20．（2025·湖南长沙·二模）已知P 为抛物线C：x
2= 4 y上一点，F 为C 的焦点，直线l 的方程为
3 x + 4 y +6=0，则下列说法正确的有（ ）
A．若A (3,4)，则| AP|+| PF |≥5
B．点P 到直线l 与到直线y =−2的距离之和的最小值为2
C．若存在点P，使得过点P 可作两条垂直的直线与圆x
2+( y −4)
2=r
2相切，则r 的取值范围为r ≥√6
题
型
5
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D．过直线l 上一点E（点E 不在x 轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x 轴于点A，B，△EAB外
接圆面积的最小值为π
21．（2025·湖南·二模）过点P作抛物线x
2= 4 y的两条切线PA , PB，切点为A(x1, y1),B(x2, y2), F为抛
物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P的坐标为(
x1+ x2
2
, x1 x2
4 )
B．若线段AB的中点为M , PM与抛物线交于点N，则|PM|=2|PN|
C．设抛物线上A ,B之间任意一点Q处的切线分别与PA , PB交于点C , D，记△PAB,△CAQ ,△DBQ
的面积分别为S1,S2,S3，则S2
1
3 +2S3
1
3 = S1
1
3
D．| PF |
2=|AF|⋅|BF|
22．（2025·湖南娄底·二模）已知函数f (x)=cos2 x，则（ ）
A．f (x)的图象关于直线x =π
4 对称
B．f (x)在区间[−π
2 ,0]上单调递增
C．f (x)的最小正周期为2π
D．f (x)在点(0,1)处的切线方程为y =1
23．（2025·湖南·二模）已知函数f (x)= ln (sin x +1)+ x，下列说法正确的是（ ）
A．当x>0时，f (x)<2 x
B．f
′ (x)是周期函数，且最小正周期为π
C．不存在直线y =m(m∈R)与曲线f (x)相切
D．若f (α )=−f (β)，α ∈(−π
2 ,0)，β ∈(0,π
2 )，则α + β >0
24．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线y = x +ln x在点(1,1)处的切线与曲线y =a x
2+(a+ 4) x +1
只有一个
公共点，则a= .
25．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数f (x)=e
x−a(x−1)．
(1)若曲线y = f (x)在点P(1,f (1))处的切线l在x轴上的截距为2，求a的值；
(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围；
6
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(3)若f (x)有两个不同的零点x1, x2，证明：1
x1
+ 1
x2
>1．
26．（2025·湖南长沙·二模）已知函数f (x)= 1
2 x
2−aln x (a∈R).
(1)若曲线y = f (x)在x =1处的切线与x +3 y =0垂直，求实数a的值；
(2)当a= 4，f (x)在区间[k −1,k +1]上不单调，求实数k的取值范围；
(3)若a=−2，对任意x1, x2∈(0,2]且x1≠x2
，不等式|f (x1)−f (x2)|≤m|
1
x1
−1
x2|
成立，求m的最小值.
27．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线y = x +ln x在点(1,1)处的切线与曲线y =a x
2+(a+ 4) x +1只有一个
公共点，则a= .
7
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8
