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专题03 导数及其应用
题型概览
题型01 导数的几何意义
题型02 利用导数研究函数的单调性
题型03 利用导数研究函数的极值、最值
题型04 利用导数研究函数的零点、方程的根
题型05 利用导数研究不等式证明及恒成立
题型06 三次函数的图象与性质
导数的几何意义
1．（2025·福建莆田·二模）曲线
在点
处切线的斜率为
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广东清远·二模）设曲线
在
处的切线与
轴交点的横坐标为
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．（2025·四川成都·二模）设函数
，若
的图象过点
，且曲线
在
处的切线也过点
，则
.
4．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在
该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数
与函数
的“公法线”方程为 ．
5．（2025·浙江金华·二模）函数
在点
，
处的切
题型01
1
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线分别记为，
，且
，过点
作
轴的平行线与
交于点
，则
.
6．（2025·山东菏泽·二模）已知函数
在
处的切线与直线
平行．
(1)求
的值：
(2)求
的极值．
7．（2025·安徽合肥·二模）已知函数
，曲线
在点
处的切
线方程为
．
(1)求
，
的值；
(2)讨论
的零点个数，并证明所有零点之和为0．
利用导数研究函数的单调性
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数
在
上单调递增的必要不充分条件为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东菏泽·二模）已知函数
在
上单调递增，则
的最
小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
3．（2025·山西晋城·二模）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河南焦作·二模）已知
且
，若函数
与
题型02
2
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在区间
上都单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数
，则不等式
的解
集为 ．
7．（2025·山西吕梁·二模）若函数
，
，且
，满足
，则
的最大值为 .
8．（2025·山西晋城·二模）已知函数
，
．
(1)若曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个交点，求实数
的值；
(2)若
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围．
9．（2025·辽宁丹东·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性：
(2)若
恰有两个零点
，且
（i）求
的取值范围；
3
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（ii）设
在定义域内单调递增，求出
与
的函数关系式，并证明
．
利用导数研究函数的极值、最值
1．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数
在
上单调递减
C．函数
有极大值
D．函数
在
上的最小值为
2．（2025·四川成都·二模）若函数
有极值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（2025·广东肇庆·二模）已知函数
有两个极值点
，则
（ ）
A．
或
B．
C．存在实数
，使得
D．
4．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
存在极大值，且极大值大于0，求
的取值范围.
题型03
4
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5．（2025·河南新乡·二模）已知函数
.
(1)若
在其定义域内单调递增，求
的取值范围；
(2)若
，证明：
，
；
(3)若
在
上有两个极值点，求
的取值范围.
6．（2025·河南焦作·二模）已知函数
．
(1)当
时，证明；
；
(2)当
时，若函数
在区间
内有且仅有一个极值点，求实数
的取值
范围．
7．（2025·江苏南通·二模）已知函数
的最大值为
，设函数
的图象在点
处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当
时，切线与函数
的图象有另一交点
，且
.
8．（2025·山西吕梁·二模）已知函数
.
(1)求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)（i）函数
是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：
（
，且
）.
9．（2025·江西新余·二模）已知函数
.
5
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(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设函数
，讨论
在区间
上的单调性；
(3)若
存在两个极值点
，
，且
，证明：
.
10．（2025·重庆·二模）已知函数
.
(1)设过点
且与曲线
过此点的切线垂直的直线叫做曲线
在点
处
的法线. 若曲线
在点
处的法线与直线
平行，求实数
的值;
(2)当
时，若对任意
，不等式
恒成立， 求
的最小值;
(3)若
存在两个不同的极值点
且
，求实数
取值范围.
导数研究函数的零点、方程的根
1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数
，若该函数有且只有一个零
点，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
2．（2025·广东广州·二模）已知函数
若函数
恰有2 个零点，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数
，若方程
有三个不同根，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04
6
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4．（2025·辽宁·二模）设函数
与函数
，当
，
曲线
与
交于一点
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．（2025·山东·二模）若函数
与
的图象在第一象限内有公共点，则实数
的取
值范围为 .
6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数
，若函数
所有零点的
乘积为1，则实数
的取值范围是 .
7．（2025·江西九江·二模）已知函数
恰好有3 个零点，则实数
的取值范
围是 .
8．（2025·浙江金华·二模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若方程
有且只有一个实数根，求实数
的取值范围.
9．（2025·陕西渭南·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围.
(3)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
10．（2025·江西南昌·二模）已知
.
(1)当
时，求函数
的单调区间：
(2)当
时，求证：
；
7
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(3)当
，试讨论函数
的零点个数.
导数研究不等式证明及恒成立
1．（2025·江苏南通·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，
是
的导函数，
，若
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·重庆·二模）已知函数
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·陕西渭南·二模）若关于
的不等式
有且只有一个整数解，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数
在
上单调，且
在
上恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·江西萍乡·二模）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，都有
恒成立，则
的最大值为（ ）
题型05
8
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A．
B．
C．
D．
6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）已知函数
，
，
，则（ ）
A．
和
的图象有且只有一条公切线
B．若
恒成立，则整数
的最大值为
C．若、均大于，则
D．关于
的方程
在区间
内有解
7．（2025·广东深圳·二模）已知函数
，函数
图象上的一点
，
按照如下的方式构造切线
：在点
处作
的切线
，记切线
与x 轴交点
的横坐标为
．
(1)写出
与
的递推关系式；
(2)记
的零点为r，且
．
（i）证明：当
时，
；
（ii）证明：对于任意的
，都有
．
8．（2025·山东滨州·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
时，
恒成立，求实数
的值．
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9．（2025·天津南开·二模）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)解关于
的不等式
（其中
为
的导数）.
三次函数的图象及性质
1．（2025·安徽淮北·二模）函数
的图像如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河南·二模）若函数
在区间
内仅有一个零点，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知函数
，则（ ）
A．
有三个零点
B．
，使得点
为曲线
的对称中心
C．
既有极大值又有极小值
D．
，
，
4．（多选）（2025·辽宁丹东·二模）已知函数
在
处有极值，则（ ）
题型06
10
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A．
在
上单调递增
B．
的极大值为
C．直线
是曲线
的切线
D．
5．（多选）（2025·山东临沂·二模）设函数
，则（ ）
A．
有3 个零点
B．过原点作曲线
的切线，有且仅有一条
C．
与
交点的横坐标之和为0
D．
在区间
上的取值范围是
6．（多选）（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．对于任意
，
有三个零点
C．对于任意
，
有两个极值点
D．存在
，使得点
为曲线
对称中心
7．（多选 ）（2025·山西吕梁·二模）已知函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若函数
有两个极值点
、
，则
B．函数
至少有一个极值，且极小值为
C．
使得方程
有三个不相等的实数根
D．若函数
的极大值点为
，且
，则
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8．（多选）（2025·江西南昌·二模）已知
.不等式
的解集为
且
，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数
的极大值点为1
B．函数
的对称中心为
C．过点
可作一条直线与曲线
相切
D．当
时，
12
