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专题03 导数及其应用（七大题型）
一、切线方程与相切问题
1．（2025·湖南·一模）已知定义在
上的函数
满足
，则曲线
在点
处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.
1
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【详解】因为
，所以
，
联立可解得
，所以
，所以
.
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
故所求的切线方程为
.
故选：C.
2．（2025·湖南邵阳·一模）已知曲线
在点
处的切线与抛物线
也相切，则实数
的值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．0 或1
【答案】C
【分析】先利用导数的几何意义求出
在
处的切线方程，与抛物线方程联立，利用
求出
的值，再验证可得答案.
【详解】
，
，
所以曲线
在点
处的切线为：
，即
．
联立
与
，得
，依题意可知
，所以
或1．
当
时，
不是抛物线，舍去．
故选：C
二、极值与最值问题
3．（2025·湖南·一模）若函数
在
处有极小值，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
2
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【分析】对函数求导并根据
处有极小值可解得
，经检验符合题意.
【详解】由函数
可得
，
函数
在
处有极小值，可得
，解得
．
当
时，
，
当
时
，
时
，
因此
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处有极小值，符合题意．所以
．
故选：C．
4．（2025·湖南·一模）已知函数
若存在实数
满足
，且
，
则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到
，根据
，可将
化简为
，构造函数
，利用导数求最值即可.
【详解】结合解析式可知当
时，
；当
时，
.
因为
，所以
.
令
，得
，则
，
故
.
令
，则
，
令
得
；令
得
，
3
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所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
当
时，
，
因为
，所以
.
所以
的取值范围为
.
故答案为：
5．（2025·湖南·一模）已知函数
（
为常数），曲线
在点
处
的切线平行于直线
.
(1)求函数
的解析表达式；
(2)求函数
的极值.
【答案】(1)
(2)极大值为
，极小值为
【分析】（1）求导，由
求得
的值，得解；
（2）利用导数判断单调性，求出极值.
【详解】（1）根据题意，
，则
，
解得
，
.
（2）由（1）
，
令
，解得
或
，
4
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令
，解得
，
所以当
或
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以当
时，
取得极大值，极大值为
，
当
时，
取得极小值，极小值为
.
6．（2025·湖南·一模）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求函数
的极值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，根据化简后的解析式以及求导可得其单调性；
（2）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，利用导数与极值的关系以及分类讨论，可得答案.
【详解】（1）由
，则函数
，易知其定义域为
，
由
，则函数
为偶函数，
当
时，
，显然当
时，函数
在
上单调递增，
当
时，求导可得
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
与
上单调递增，在
与
上单调递减.
5
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（2）由
时，则函数
，可得
，解得
或
，
所以函数
的定义域为
，由（1）易知函数
为偶函数，
当
时，则函数
，
当
时，函数
在
上单调递增，此时无极值；
当
时，求导可得
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故函数
的极大值为
，
由函数
为偶函数，则函数
的极大值为
，
综上，当
时，函数
无极值；
当
时，函数
的极大值为
，无极小值.
7．（2025·湖南·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）求导，分析
和
两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，构建函数
解不等式即可.
6
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【详解】（1）当
时，则
，
可得
，
，即切点坐标为
，切线斜率为
，
所以切线方程为
.
（2）
定义域为
，且
，
若
，则
对任意
恒成立．
所以
在
上单调递减，无极值，不合题意，
若
，令
，解得
，令
，解得
，
可知
在
上单调递减，
上单调递增，
则
有极小值
，无极大值，
由题意可得：
，即
.
令
，
，
在
上单调递增,
又
，不等式
等价于
，解得
,
又
，综上
的取值范围是
．
8．（2025·湖南长沙·一模）已知函数
，其中
.
(1)若
在点
处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为
，求
的值；
(2)若
是
的极小值点，证明:
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与两坐标轴所围成三角形的面积列方程求参数
即可；
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（2）对函数求导，根据易知可得
，应用分析法转化为证明
，构造
且
，问
题化为
，导数研究函数最值可得
，应用反证法证明
时得到矛盾结论，即可证结
论.
【详解】（1）由题设
，则
，
所以
在点
处的切线为
，
令
，则
；令
，则
，
所以切线与两坐标轴所围成三角形的面积
，可得
.
（2）由（1）
，且
，
，
，
由
是
的极小值点，则
且
，可得
，
要证
，即
，需证
，即
，
令
且
，只需证
，而
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
上
单调递减，
上
单调递增，故
，
综上，只需
，即
即可，
若
，则
，故
，
此时
，且
，
对于
，则
，显然
时
，
时
，
8
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
所以
，故
单调递增，无极小值，不符合题设；
综上，
，故
得证.
三、构造函数与构造函数比大小
9．（2025·湖南长沙·一模）设
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，由
的单调性可知
，所以
，再由
可
得
，所以
，即可得出答案.
【详解】构造函数
，
的定义域为
，
，令
可得：
，令
可得：
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
故
，即
，
变形可得
，即
，所以
；
又
，所以
，又因为
，
所以
，综上，
，
故选：B．
10．（2025·湖南邵阳·一模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
9
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【答案】C
【分析】构造函数
以及函数
，分别利用导数研究其单调性，进而根
据单调性比较函数值的大小.
【详解】令
，
，
当
时，
，
，
，
单调递增，
，即
，
，即
；
令
，
，
令
，
令
，
，
当
时，
，
单调递增，
，
在
上单调递减，
，
，
在
上单调递减，
，即
，
综上所述
.
故选:C.
11．（2025·湖南衡阳·一模）设函数
是函数
的导函数，若
，且当
时，
，则不等式
的解集是 （ ）
10
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先构造函数令
，由题意判断出
的奇偶性和单调性，将不等式转化成
，即
，由函数单调性和奇偶性可得到
，解得即可．
【详解】令
，
可知
的定义域为
，且
，
因为
，则
，
可得
，故
为偶函数，
当
时，
，即
，
可知
在
上为增函数，
对于不等式
，
可得
，即
，
由函数单调性和奇偶性可知：
，解得
，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于构建
，分析其奇偶性和单调性，根据函数性质解不
等式.
四、恒成立问题
12．（2025·湖南邵阳·一模）定义在
上的偶函数
，其导函数为
.若
，
11
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恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，根据函数
的奇偶性比较
三个数的大小.
【详解】构造函数
，
则
，故函数
在
上递增，
所以
,
又
，
，
，
所以
，
又
是偶函数，则
，
所以
，
，
，
.
故选：B.
13．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
，其导函数为
，当
时，不等式
12
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恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，先转化问题为
在
上恒成立，进而结合导数分析函
数
的单调性得到
对
恒成立，进而得到
对
恒成立，即
，
，再构造函数
，
，进而结合导数求解即可.
【详解】因为
，所以
，
因为当
时，不等式
恒成立，
即当
时，不等式
恒成立，
所以当
时，不等式
恒成立，
即当
时，不等式
恒成立，
即当
时，不等式
恒成立，
即当
时，不等式
恒成立，
设
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
可以转化为
在
上恒成立，
13
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即
对
恒成立，
即
对
恒成立，即
，
.
设
，
，则
，
令
，即
；令
，即
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，又
，
，显然
，
所以
，所以
，
所以
，即实数a 的取值范围为
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，将问题转化为
在
上恒成立，再结合导数进行求解即可.
14．（2025·湖南·一模）已知函数
.
(1)求函数
的最大值；
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定函数定义域，求出导函数，利用导数正负，可得函数
的单调区间，从而求出函数
14
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的最大值；（1）分离参数，将问题转化为
在
上恒成立，令
，
利用导数研究
在
上的最大值即可得到答案.
【详解】（1）函数
的定义域为
，且
，
令
，解得：
，
令
，解得：
所以
的单调增区间为
，单调减区间为
，
则
（2）不等式
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，
则
，
令
，解得：
，
令
，解得：
所以
的单调增区间为
，单调减区间为
，
则
，
所以
，
所以不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围为
15．（2025·湖南长沙·一模）已知
，其中
，
.
(1)若
与
相切，求实数
的值；
15
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(2)当
时，证明：
；
(3)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求导函数再应用切线斜率为1，计算求参；
（2）先把证明的不等式转换，再构造函数
，根据函数单调性计算证明不等式；
（3）分
两种情况分类讨论是否符合不等式恒成立即可求参.
【详解】（1）设
，则
，
，
若
与
相切，设切点为
，
则
，又
，则
，从而
，即
，即
.
（2）设
，则
，当
时，
，
依题意，当
时，要证
，即证
，当
时，即证
.
设
，
，则
，当
时，
，
单调递增，
则当
时，
，即
，从而
，
当
时，
，即
，从而
，
16
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综上可知，当
时，
.
（3）不等式即
，令
，令
，
，
，
由
，不妨设
，
，
其中
，
，
.
（ⅰ）当
时，由（2）可知
单调递增，故
，则
，即
单调递增，符合
题意；
（ⅱ）当
时，由
，令
，则
，
①当
时，
，则
恒成立，故
单调递减，即
，
即
，故
单调递增，从而
，符合题意；
②当
时，
，故
有两个根
，
因此当
时，
，
单调递增，则
，
即
，故
在区间
上单调递减，从而
，不合题意.
综上可知，
或
，即
.
【点睛】关键点点睛:解题的关键点是构造
，结合导函数判断函数单调性，分
两种情况分别证明不等式即可
五、零点与方程的根
16．（2025·湖南·一模）已知
为函数
的零点，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
17
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【答案】B
【分析】由题意确定
为方程
的根，构造函数
，由其单调性即可求解.
【详解】由
得
，即
，即
，
因为
，所以
，所以
为方程
的根，
令
，则
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
，
即
，即
，
故选：B．
17．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
，若函数
与
的图
象有且仅有三个交点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
.
【分析】根据分段函数自变量不同取值范围上的函数解析式，分别构造函数，由函数与方程的关系，等价
转化为函数求零点与一元二次方程求解问题，可得答案.
【详解】当
时，则
，令
，
求导可得
，令
，解得
，可得下表：
单调递增
极大值
单调递减
18
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由函数
的极大值为
，则存在唯一零点，
所以函数
与函数
在
上有且仅有一个交点；
当
时，
，令
，
求导可得
，显然
上
，
则函数
在
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，
由
，则函数
在
上存在唯一零点，
所以函数
与函数
在
上有且仅有一个交点；
由题意可得函数
与函数
在
上有且仅有一个交点，
当
时，
，令
，
令
，整理可得
，
当方程有两个相等的实数解时，
，解得
，
此时
，符合题意，
当方程在
有一个实数根时，可得
，解得
，
综上可得
.
故答案为：
.
19
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18．（2025·湖南·一模）设函数
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)设函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围．（其中是自然对数的底数）
【答案】(1)增区间为
，减区间为
(2)
【分析】（1）当
时，求出
，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数
的增区间和减区
间；
（2）由
可得
，令
，其中
，由题意可知，直线
与函数
在
上的图象有两个公共点，利用导数分析函数
的单调性与极值，数形结合可得
出实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，该函数的定义域为
，
，令
，可得
，
由
，可得
；由
，可得
，
故当
时，函数
的增区间为
，减区间为
.
（2）当
时，由
可得
，
令
，其中
，
由题意可知，直线
与函数
在
上的图象有两个公共点，
，
20
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令
，则
与
同号，
则
对任意的
恒成立，
所以，函数
在
上为增函数，且
，
当
时，
，此时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时，
，此时函数
单调递增，
所以，
，
又因为
，
，显然
，如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与函数
在
上的图象有两个公共点，
因此，实数
的取值范围是
.
19．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数
，
(1)若
，求
在点
处的切线方程.
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围.
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【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）把
代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求导后，分别在
、
和
的情况下，求得
单调性和最值，结合零点存在定
理可确定符合题意的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以函数
的图象在点
处的切线方程为
.
（2）函数
的定义域为R，求导得
，
①当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增，
至多有一个零点，不合题意；
②当
时，由
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
当
时，
，则
，则
至多有一个零点，不合题意；
当
时，
，则
，而
，则
在
上有唯一零点；
由（1）知，当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，即
，
当
时，
，
在
上有唯一零点；
因此当
时，
有两个不同零点，
所以实数
的取值范围为
.
20．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数
.
22
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(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有2 个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得到切线方程即可；
（2）利用给定条件求出
，再转化为交点问题求解即可.
【详解】（1）由题意知，
，
令
，则
，
.
故
，
，即切点为
，
所求切线方程为
，即
.
（2）由题意得
，
当
时，
，故函数
没有零点；
当
时，令
，得
.
令
，则
，
，
因为
有2 个零点，所以
和
有2 个交点，
令
，
.
令
，得
.
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
23
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，当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
且
.
实数
的取值范围为
.
21．（2025·湖南·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
.
【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得
单调性.
（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a 的取值范围．
【详解】（1）函数
的定义域为R，
求导得
，
令
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上递减，在
上递增，
，即
，
①当
时，
，
恒成立，
在R 上单调递减；
②当
时，由
，得
，由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
在R 上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
24
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（2）由（1）知，当
时，
在R 上单调递减，
在R 上至多一个零点，不满足条件，
当
时，
，令
，
则
，
令
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
，
于是
，函数
在R 上单调递增，而
，
则当
时，
，当
时，
，当
时，
，
①若
，则
，故
恒成立，
无零点；
②若
，则
，
仅有一个实根
，不满足条件；
③若
，则
，
注意到
，
，
于是
在
上有一个实根，又
，
且
，
令
，则
，当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
则
，又
，即
，则有
，
即
，于是
在
上有一个实根，
又
在
上单调递减，在
上单调递增，因此
在R 上至多两个实根，
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又
在
及
上均至少有一个实根，则
在R 上恰有两个实根，
所以
时，
在R 上恰有两个实根.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
22．（2025·湖南·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，讨论曲线
与曲线
的交点个数．
【答案】(1)
；
(2)2．
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，
（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.
【详解】（1）依题意，
，故
，
而
，故所求切线方程为
，即
．
（2）令
，故
，
令
，
，令
，
．
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①当
时，
，
在
上为减函数，即
在
上为减函数，
又
，
在
上有唯一的零点，设为
，即
．
在
上为增函数，在
上为减函数．
又
，
在
上有且只有一个零点，在
上无零点；
②当
时，
单调递减，
又
，
在
内恰有一零点；
③当
时，
为增函数，
，
单调递增，又
，所以存在唯一
，
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当
时，
递减；当
时，
递增，
，
在
内无零点．综上所述，曲线
与曲线
的交点个数为2．
【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，
如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单
调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是
那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
23．（2025·湖南长沙·一模）已知函数
，
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若函数
有2 个不同的零点
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）将
代入函数解析式，求导，判断其单调性，进而得出极值；
（2）（i）化简函数
的解析式，令
，问题可转化为
在
有2 个零点
，
，
再利用导数研究函数
的性质即可得出答案；
（ii）等价于证明
，再利用极值点偏移法即可得证．
【详解】（1）
时，
，
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，
令
，
，
；
，
，
在
单调递减，
单调递增，
时，
，
，则
，
，
，
时，
，
时，
；
，
，
在
单调递减，在
单调递增，
的极小值为
，无极大值.
（2）（i）
，
，
令
，
，
，
在
单调递增，
令
，即
在
有2 个零点
，
，且
，
，
，
时，
，
在
单调递增，不存在2 个零点，
，
时，
；
时，
，
在
单调递减，在
单调递增，
时，
；
时，
，
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，
.
（ii）设
，
，
，
由（i）知，
，即证：
，即证：
，
，
，
在
单调递增，
即证：
，
，
，
令
，
，
即证：
，
，
令
，
，
，
在
单调递减，
，
，
在
单调递增，
，
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
24．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)令
，当
时，求
的极值点个数；
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(3)令
，当
有且仅有两个零点时，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)两个极值点.
(3)
或
【分析】（1）求导，利用一次型含参讨论求得单调性；
（2）求导，求
的极值点个数即为求
的变号零点个数；
（3）求导，整理得
，易知，
为一个零点，
分
和
分类讨论.
【详解】（1）
的定义域为
，
当
时，
在
上单调递增
当
时，由
，得
，
由
，得
，
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）
，
令
当
时，
时
单调递减，
时，
单调递增，
，
又
时，
，
所以
分别在
和
上存在唯一的变号零点，
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即
有两个极值点.
（3）
，
又
为一个零点，
①若
，则
在定义域内单调递增，又
，所以
只有一个零点.
②若
，令
又
，则
，即
单调递增，
i.当
时，即
，当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
的最小值为
，函数只有一个零点.
ii.当
时，即
，当
时，
，
所以存在唯一
，使得
，所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
又
时，
，所以
有两个零点.
iii.当
时，即
，当
时，
，
所以存在唯一
，使得
，所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
又
时，
，所以
有两个零点.
所以，
有且仅有两个零点时，
或
.
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【点睛】思路点睛：研究函数的零点问题，可以通过转换、求导研究函数的单调性、最值，借助零点存在
定理求解.
六、多选题综合
25．（2025·湖南益阳·一模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
存在三个不同的零点
B．函数
既存在极大值又存在极小值
C．若
时，
，则t 的最大值为2
D．当
时，方程
有且只有两个实根
【答案】BCD
【分析】求得
，得到函数
的单调性和极值，以及
时，
，当
时，
，作出函数
的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
令
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
当
，函数
取得极小值
；
当
，函数
取得极大值
，
当
时，
，当
时，
，
作出函数
的图象，如图所示，结合图象得：
对于A 中，函数
存在两个不同的零点，所以A 不正确；
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对于B 中，函数
既存在极大值又存在极小值，所以B 正确；
对于C 中，当
时，
，可得
，所以t 的最大值为
，所以C 正确；
对于D 中，若方程
有且只有两个实根，
即
与
的图象有两个不同的交点，可得
，所以D 正确.
故选：BCD.
26．（2025·湖南益阳·一模）已知函数
，对于任意实数
，
，下列结论成立的有（ ）
A．
B．函数
在定义域上单调递增
C．曲线
在点
处的切线方程是
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】对函数
求导，判断其单调性，再求出最值，以及在某点处的切线方程,判定ABC,构造
新函数，借助导数研究最值判定D 即可.
【详解】对A，对
求导，
令
，即
，解得
.
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当
时，
，函数
单调递减；当
时，
，函数
单调递增.
所以函数
在
处取得最小值，即
，所以
，A 选项正确.
对B，由上述分析可知，
上函数
单调递减，
上函数
单调递增，B 选项错误.
对C，由于
切线斜率为0，在点
，切线方程为
，C 选项正确.
对D，因为
，则
.
则
.
令
则
，
则
在
单调递增.故
.
即
，即
.D 选项正确.
故选：ACD
27．（2025·湖南·一模）已知函数
是
的导函数，则（ ）
A．“
”是“
为奇函数”的充要条件
B．“
”是“
为增函数”的充要条件
C．若不等式
的解集为
且
，则
的极小值为
D．若
是方程
的两个不同的根，且
，则
或
【答案】ACD
【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A 正确；结合导数和函数的单调性间的
关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B 错误；利用导数求得函数
的单调性，进而求得
的极小值，可判定C 正确；结合二次函数的性质，结合
，列出不等式，可判定D 正确．
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【详解】对于A 中，当
时，函数
，则满足
，
所以
为奇函数，所以充分性成立；
若
为奇函数，则
，
则
恒成立，所以
，所以必要性成立，所以A 正确；
对于B 中，当
时，
，可得
，所以
为增函数；
由
，当
为增函数时，
，所以“
”是“
为增函数”
的充分不必要条件，所以B 错误；
对于C 中，由
，若不等式
的解集为
且
，
则
在
上先增后减再增，则
，解得
，
故
，可得
，
令
，解得
或
，
当
内，
，
单调递增；
当
内，
，
单调递减；
当
内，
，
单调递增，
所以
的极小值为
，所以C 正确．
对于D 中，由
，因为
是方程
的两个不同的根，
所以
，即
，且
，
由
，可得
，所以
，即
，
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联立方程组，可得
，解得
或
，所以D 正确．
故选：ACD．
七、高阶背景与新定义
28．（2025·湖南邵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A．
B．
（精确到小数点后两位）
C．
D．当
时，
【答案】BD
【分析】利用特殊角的函数可以估算并判断AC 选项，利用泰勒展开式可以计算并估计B 选项，利用导数
可以来证明并判断D 选项.
【详解】由
，
，则有
，故A 选项错误．
由
，则
，
又
（精确到小数点后两位），故B 选项正确．
，
，则有
，故C 选项错误．
当
时，令
，则
，
，
所以
在
上为增函数，则
，
所以
在
上为增函数，则
，
故当
时，
恒成立，即
．故D 选项正确．
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故选：BD.
29．（2025·湖南·一模）已知定义域为
的函数
，其导函数为
，若点
在导函数
图像上，且满足
，则称
为函数
的一个“
类数”，函数
的
所有“
类数”构成的集合称为“
类集”.
(1)若
，分别判断
和
是否为函数
的“
类数”，并说明理由；
(2)设
的图象在
上连续不断，集合
.记函数
的“
类集”为集合，若
，求证：
；
(3)已知
，若函
的“
类集”为
时
的取值构成集合
，求当
时
的最大值.
【答案】(1)
是函数
的“
类数”，
不是函数
的“
类数”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）结合题目给的新定义，判断
是否满足点
在导函数
图像上，且满
足
即可；
（2）结合题目给的条件有存在
，使得
且
，分析出当
不成立，结
合零点存在定理知，必存在
使
，从而得到
存在零点，得到
；
（3）对
求导，然后先证明
，再证明
，从而得到
时，函数
的“
类集”为
，同时得到
也成立，从而得到
的最大值是
.
【详解】（1）
，
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是函数
的“
类数”；
，
，
不是函数
的“
类数”.
（2）
函数
的“
类集”为集合，且
，
存在
，使得
且
，
若
，则
，
函数
的图像是连续不断的，
不妨设
，由零点存在定理知，必存在
使
，
存在零点，即
；
（3）
，
，
先证明
；
函数
的“
类集”为
，
对任意
，
令
，则
，
函数
的值域为
，
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当
时，必有
，
即
对于
恒成立，
函数
的最小正周期
应有
，即
，则
.
再证明
，此时
，对于任意
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
时，函数
的“
类集”为
，即
，
我们不难发现，上述过程中令
也成立，
因此
的最大值是
.
【点睛】方法点睛：遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来
解题．
第一、准确转化．解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义，紧扣题目所给的定义、运算法则对
所求问题进行恰当的转化．
第二、方法的选取．对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的角度进行转化，理解题目定
义的本质并进行推广、运算．
第三、应该仔细审读题目．严格按新信息的要求运算．解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息
问题的干扰．
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