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专题02 函数与导数
题型概览
题型01 函数及其性质
题型02 指对幂函数
题型03 函数的应用
题型04 导数的几何意义
题型05 导数的计算
题型06 利用导数研究函数的单调性、极值和最值
函数及其性质
1．（2025·四川达州·二模）已知函数
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
在
上单调递增
C．函数
在
上有4 个极大值点D．函数
的最大值为3
【答案】AC
【分析】根据函数奇偶性的定义判断A 的真假；利用导数分析函数
在
上的单调性，判断B 的真
假；利用导数分段讨论函数
在
的单调性，求其极值和最值可判断CD 的单调性.
【详解】对A：因为
，所以函数
为偶函数，故A
正确；
对B：当
时，
，所以
，
由
，即
；
由
.
题型01
1
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所以函数
在
上递增，在
上递减，故B 错误；
对C：当
时，
，
，
由
；
由
.
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
结合B 的结论，在
上，函数有
和
两个极大值点，
又函数为偶函数，所以函数
在
上有4 个极大值点，故C 正确；
对D：当
时，根据函数的单调性，在
上，因为
，
，所以函数的最大值为
，
当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
.
所以当
时，函数的最大值为
.
又
时，
.
所以
时，函数的最大值为
.
2
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又函数
为偶函数，所以在
上，函数的最大值为
.故D 错误.
故选：AC
2．（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义，逐一判断即可确定答案.
【详解】对于A，令
，
，而
，
则
，
，所以
是非奇非偶函数，故A 错误；
对于B，令
，
，又
，
所以
是偶函数，故B 错误；
对于C，令
，
，又
，
所以
是奇函数，故C 正确；
对于D，因为
的定义域为
，所以
是非奇非偶函数，故D 错误.
故选：C.
3．（2025·四川雅安·二模）已知
，且
，对于任意
均有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
分
与
两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为
，所以
且
，
设
，则
的零点为
，
当
时，则
，
，要使
，必有
，则
，不合题意；
3
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当
时，则
或
，即
或
;
综上一定有
.
故选：B.
4．（2025·四川广安·二模）下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：
为定义域
上的增函数，但是为非奇非偶函数，故A 错误；
对于B：
在定义域上不具有单调性，故B 错误；
对于C：
定义域
上的增函数，且为奇函数，故C 正确；
对于D：
在定义域上不具有单调性，故D 错误.
故选：C
5．（2025·四川·二模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【答案】A
【分析】先判断出
为奇函数，排除BD；再根据当
趋向于
时，
趋向于0，C 错误，A 正确.
【详解】
恒成立，故
的定义域为R，
，
故
为奇函数，BD 错误；
当
趋向于
时，
的增长速度远大于
的速度，
故
趋向于0，C 错误，A 正确.
故选：A
6．（2025·四川·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】当
时，
，可得
在
上单调递增，结合函数
是定义
域为
的奇函数，
，从而得到不等式，求出答案.
5
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【详解】令
，则
，
由题意知当
时，
，故
在
上单调递增，
因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，
所以
，
所以
是定义域为
的偶函数，
所以
在
上单调递减，
又因为
，所以
，
所以
，
所以当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
.
则不等式
的解集为
.
故选：D.
7．（2025·四川成都·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式
.①
；②
至少有两个零点；③
有最小值.
【答案】
（答案不唯一）
【分析】由条件①得到函数有对称轴，列出可能得函数再分别取验证条件②和条件③即可，答案不唯一.
6
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【详解】取
，其对称轴为
，满足①
.
令
，解得
或2，满足②
至少有两个零点.
，当
时，
，满足③
有最小值.
故答案为：
（答案不唯一）.
8．（2025·四川南充·二模）已知
，函数
，
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)设
，
是
的导数，
是
的导数，
，
图像的最低点
坐标为
，对于任意正实数
，
，且
，
恒成立.求实数m 的最大值.
【答案】(1)极大值
，极小值
(2)
.
【分析】（1）求出
时的函数解析式，再求导，利用导数可得函数的单调性，进而可得函数的极值；
（2）利用基本不等式结合已知条件可得
，
的值，从而可得
的解析式，化简
，利用导
数可得其最大值，从而可得
的取值范围，进而可得
的最大值．
【详解】（1）当
时，
，
，
，
当
时，
，当
或
时，
，
所以
在
单调递增，
单调递减，
单调递增.
在
处取得极大值
，
在
处取得极小值
.
7
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（2）由题意，得
，则
，
当且仅当
时，等号成立.
，解得
，
所以
.又
恒成立，
设
所以
.
令
，则
，即
，
，
，
因为
，
所以
在
上单调递减.
所以
.
所以最大的实数
.
8
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9．（2025·四川·二模）函数
，向右平移3 个单位得到
，下列说法正确的是（ ）
A．
的极小值点为
B．当
有两解时，
C．若
，
，则
D．若
，那么
，且有且仅有一解
【答案】BCD
【分析】由
求得
，解不等式
可得单调区间得极值点，即可判断A；
有两解相当于
的图象与
有两个不同交点，由A 作出
的图象，即可判断B；根据
由
向右平移3 个单位得到，结合
的单调情况得
在
上的单调性，由此比较
大小即可
判断C；将函数解析式代入
，解方程即可判断D.
【详解】对于A，
，由
得
，由
得
；
∴
在
上单调递减；在
上单调递增.故
在
处取极小值，则
的极小值点
为
.故A 不正确；
对于B，由A 知可知
单调性，
极小值为
，又
，
故
时，
，当
时，
，
；
时，
.
时，
，据此可作
图象如图，
9
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则方程
有两解相当于
图象与
有两个不同交点，则由图可得
.故B 正确；
对于C，因为
由
向右平移3 个单位得到，所以
，
由A 知
在
上单调递减；在
上单调递增.故
，即
.故C 正确；
对于D，由
，得
，而
，故
，解得
.故D 正
确.
故选：BCD.
10．（2025·四川·二模）存在狄利克雷函数
，若
，
，则
的
所有值之和为（ ）
A．3
B．6
C．12
D．13
【答案】D
【分析】令
，则
为有理数，从而得到
必须是整数，令
，则
，
再结合
的取值范围，求出
的值，即可得解.
【详解】令
，则
为有理数，
又因为
，
，
即
，
，
要使
为有理数，则
必须是整数，
令
，则
，
10
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因为
，所以
，则
，
解得
，
所以
的可能取值有
共
个，
所以
的次数为
，
则
的所有值之和为
.
故选：D
11．（2025·四川·二模）已知
是定义在
上的奇函数，
是定义在
上的偶函数，若函数
的值域为
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性的性质，即可求解.
【详解】
是定义在
上的奇函数，有
，
是定义在
上的偶函数，有
，
的值域为
，故
，
则有
，得
，
所以
，
与
有相同的值域，
因此
的最小值为
，
故选：C
12．（2025·四川·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且满足
，当
11
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时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的图像关于直线
对称
C．定义在
上的函数
满足
，若曲线
与
恰有2025 个交点
，则
D．当实数
时，关于
的方程
恰有四个不同的实数根
【答案】BCD
【分析】A 选项：由条件中的等式求得函数的周期为4，从而求得
的值；
B 选项：由奇函数和等量关系整理得到
，然后得到函数
的图像关于直线
对称；
C 选项：通过
的等量关系，求得函数
的图像关于点
对称，同理求得函数
的图像关于点
对称，所以曲线
与
交点也关于点
对称，所以
；
D 选项：令函数
，得到函数
为偶函数.由函数
在
上的解析式，求得
由函数
在
上的解析式，再由周期性得到函数
的函数图像，从而求得
的解析式及大
致图像.将方程的解转换为函数交点个数，通过数形结合找到交点个数为4 的临界值，从而求得
的取值范
围.
【详解】因为函数
的定义域为
，所以
，所以
，所以函数
的周期为4，
12
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所以
，故A 错误.
又因为函数
是
上的奇函数，所以
，所以
，即函数
的图像关于直线
对称，故B 正确.
又因为
，所以
，所以函数
的图像关于点
对称.又因为
，
所以
，所以
，所以函数
的图像关于点
对称.因此，曲线
与
的交点也关于点
对称，
所以
，故C 正确.
令
，则
，所以
为
上的偶函数.
因为当
时，
，由
，得
，即
，
当
时，
，所以
，
作出函数
在
上的图像，如图所示.
又因为
的周期为4，所以将函数
在
上的图像以4 为单位进行左右平移即可得函数
在
13
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上的图像.
当
时，
，
又
为偶函数，由对称性作出函数
和
的大致图像，如图所示.
当直线
与
的图像有1 个交点时，
方程
只有一个交点，则
，即
；
当直线
与
的图像有1 个交点时，同理求得
.
由图可知，当
时，关于
的方程
恰有四个不同的实数根，
故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：研究方程根的个数转换为研究两个函数交点个数，也就转换为函数图像的交点个数，
通过对函数的分析作出函数大致图像是本题的关键，然后找到临界值即可求得范围.
13．（2025·四川·二模）已知函数
，
，
是
的两个零点，且
，
则（ ）
A．
B．
为
的极小值点
C．
的极大值为4
D．满足
的解集是
【答案】BCD
【分析】根据
，
是
的两个零点可得
，
，进而结合
即可求得
的
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值，进而判断A；结合导数分析函数的单调性，可判断BC；结合函数
的图象可判断D.
【详解】因为
，
是
的两个零点，
则
，即
，
，
则
，
所以
，
即
，
解得
，则
，即
.
对于A，
，故A 错误；
对于B，由
，
令
，得
或
；令
，得
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则
为
的极小值点，故B 正确；
对于C，当
时，函数
取得极大值
，故C 正确；
对于D，由于
，画出函数
的图象，如图，
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满足
的解集是
，故D 正确.
故选：BCD.
14．（2025·四川·二模）设
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
且
，则
【答案】B
【分析】由不等式的性质可判断A，B；由基本不等式可判断C；由
在
上单调递增可
判断D.
【详解】对于A，若
，则
，则
，正确；
对于B，若
，则
，则
，不正确；
对于C，若
，则
，正确；
对于D，因为函数
在
上单调递增，
，
，正确.
故选：B.
15．（2025·四川·二模）已知定义在R 上的函数
的导函数分别为
，且
，
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．
C．
的周期为4
D．
【答案】ACD
【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得
、
，通过合理赋值即可判断BCD.
【详解】由
，得
①，
16
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②，得
③，
由①②③，得
，所以函数
图象关于直线
对称，故A 正确；
由
，得
，令
，得
；
由
，得
，
令
，得
，
∴
④，
又
⑤，令
，得
，故B 错误；
④⑤两式相加，得
，得
，
所以
，即函数
的周期为4，故C 正确；
由
，令
，得
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式
、
和
是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都
是解题的思路.
16．（2025·四川·二模）已知
，若
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断
的奇偶性和单调性，通过奇偶性把
，
，转化在同一单调区间，利用单调性比较
即可.
【详解】由题意
，
故
为偶函数，
当
时，
，故
，
所以
，
，
17
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所以
，
故当
时，
单调递增，
，
因
，所以
，即
，
设函数
，
，故
在区间
上单调递增，
所以
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，即
，
故选：B
17．（2025·四川·二模）对任意
，恒有
，对任意
，现已知函数
的图像与
有4 个不同的公共点，则正实数
的值为
.
【答案】
【分析】由
，得
，由已知条件可得函数
的图像的对
称性和周期性，可作出函数
的图像，由题意
的图像函数
在
上的图像相切，
18
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联立方程组利用判别式求解.
【详解】
，
，
，
令
，则有
，
任意
，恒有
，则函数
的图像关于
对称，函数
是以2 为周
期的周期函数，
在同一直角坐标系下作出函数
与
的图像，如图所示，
函数
的图像与
有4 个不同的公共点，由图像可知，
的图像函数
在
上的图像相切，
由
，消去
得
，则
，解得
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合
函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
18．（2025·四川·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，
在
上单调递减，且
，
19
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则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】由题意和偶函数的性质可知函数
在
上为减函数，在
上为增函数，结合
，分类讨论当
、
时，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数
是定义在R 上的偶函数，且在
上单调递减
所以
在
上为增函数，
由
，得
，
，当
时，
，
有
，解得
；
当
时，
，
有
，解得
，
综上，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
19．（2025·四川·二模）定义在R 上的偶函数
满足对任意的
，都有
，当
时，
，若函数
在
上恰有3 个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
20
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【分析】利用
为偶函数、
得
为
的一条对称轴，且周期为4，若函数
在
上恰有3 个零点， 转化为
与
的图象的交点恰有3 个，画出他们
的图象，结合图象可得答案.
【详解】因为
为偶函数，所以
，
由
得
为
的一条对称轴，
由
得
，
所以
的周期为4，若函数
在
上恰有3 个零点，即
与
的图象交点
恰有3 个，
画出
与
的图象，
当
与
的上半圆相切时，
与
的图象交点恰有2 个，此时
，解得
，
当
与
的上半圆相切时，
与
的图象的交点恰有4 个，此时
，解得
，
21
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所以若函数
在
上恰有3 个零点，则
.
故选：A.
20．（2025·四川·二模）若函数
，当
时函数值
，则
的取值范围是（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
．
【答案】D
【分析】分
与
去解不等式，求出
的取值范围.
【详解】当
时，
，解得：
，与
取交集，结果为
；当
时，
，
解得：
，综上：
的取值范围是
.
故选：D
21．（2025·四川·二模）已知函数
是定义域为R 的偶函数.当
时，
，若
函数
有且仅有4 个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【分析】转化为函数
的图象与直线
有两个不同的交点，利用图象可得结果.
【详解】因为函数
有且仅有4 个不同的零点，
22
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所以函数
的图象与直线
有四个不同的交点，
因为函数
是定义域为R 的偶函数，
所以函数
的图象与直线
有两个不同的交点，
作出函数
的图象如图：
由图可知，
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
22．（2025·四川·二模）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
在区间
上是增函数
C．
的最大值为0
D．
在
内有2 个零点
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【答案】AC
【解析】根据偶函数的定义可知
正确；根据
在
上是增函数，在
上是减函数可知
不正
确，利用单调性求出最大值可知
正确；利用解析式求出零点可知
不正确.
【详解】
的定义域为
，关于原点对称，
，所以
为偶函数，故
正确；
因为
在
上是增函数，在
上是减函数，
所以
时，
取得最大值
，故
不正确，
正确；
由
得
，得
，得
，即
在
内只有一个零点，故
不正确.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：掌握函数奇偶性的定义、对数型复合函数的单调性、以及零点的概念是本题解题关
键.
指对幂函数
23．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在
上的函数
，其中
是奇函数且在
上
单调递减，
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，探讨函数
的奇偶性及单调性，再求解不等式.
【详解】依题意，
，
，
则函数
是
上的奇函数，而函数
在
上都单调递减，
因此
在
上单调递减，不等式
，则
，
题型02
24
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解得
，所以所求解集是
.
故选：B
24．（2025·四川自贡·二模）已知
，
，
，则
a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，可判断
，
，
得解.
【详解】
，
，
，则
，
又
，
，
.
故选：C.
25．（2025·四川自贡·二模）若
是偶函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据偶函数定义，列式运算得解.
【详解】由题，可得
，即
，
，
，即
因
不恒为0，故
.
故选：B.
26．（2025·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度
为
25
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标准，天体的星等
与亮度
满足
，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星
与牛郎星的亮度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用给定的函数关系，建立方程，结合对数运算求得答案.
【详解】令北极星与牛郎星的亮度分别为
，依题意，
，
两式相减得
，解得
.
故选：D
27．（2025·四川·二模）已知
设P：函数
在R 上单调递减.Q：不等式
的解集为R，
如果P 和Q 有且仅有一个正确，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据指数函数单调递减可得
根据不等式
的解集为R,得到
的最小值
大于1.再根据P 和Q 有且仅有一个正确，求出的取值范围.
【详解】解：函数
在R 上单调递减
不等式
的解集为R
在R 上恒大于1.
可知
的最小值为
所以
即
因为P 和Q 有且仅有一个正确，
26
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所以当P 正确，Q 错误，则
所以
.
当P 错误，Q 正确，则
,则
所以的取值范围为
故答案为：
28．（2025·四川·二模）已知函数
是
上的偶函数，对任意
，且
都有
成立．若
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，由偶函数的性质可得
的图象关于直线
对称，结合函数的单调性分析可得
在
上为增函数，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，函数
是
上的偶函数，则函数
的图象关于直线
对称，
又由对任意
，且
，都有
成立，则函数
在
上为增函数，
又
，
，
，
又
，所以
，由函数
的图象关于直线
对称，知
，
又
，所以
，故
，
故选：A．
27
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29．（2025·四川·二模）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，
于1898 年提出蓄电池的容量
（单位：
），放电时间（单位：
）与放电电流
（单位：
）之间关系的经验公式：
，其中
为
常数.为测算某蓄电池的
常数
，在电池容量
不变的条件下，当放电电流
时，放电时间
；当放电电流
时，放电时间
.若计算
时取
，
，则该蓄电池的
常数
大约为（ ）
A．1.25
B．1.75
C．2.25
D．2.55
【答案】C
【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数
.
【详解】根据题意由
可得
，
两式相除可得
，即可得
，
两边同时取对数可得
，即可得
；
即
.
故选：C
30．（2025·四川·二模）已知甲植物生长了一天，长度为
，乙植物生长了一天，长度为
.从第二
天起，甲每天的生长速度是前一天的
倍，乙每天的生长速度是前一天的
，则甲的长度第一次超过乙的
长度的时期是（ ）（参考数据：取
）
A．第6 天
B．第7 天
C．第8 天
D．第9 天
【答案】C
【分析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列
，甲植物每天生长的长度构成等比数列
，设其前
28
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项和分别为
、
，依题意得到
、
的通项公式，即可求出
、
，再由
得到
，
最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得.
【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列
，甲植物每天生长的长度构成等比数列
，设其前
项和分别为
、
（即
天后树的总长度），
则
，
，
所以
，
，
由
，可得
，
即
，即
，
解得
或
（舍去），
由
则
，因为
，
即
，又
，所以
的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题关键是利用等比数列求出公式求出
天后树的总长度，从而得到不等式，
再结合指数函数的性质解得.
29
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31．（2025·四川·二模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通安全法规
､
各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的
发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年Peukert 提出铅酸电池的容量C、放电
时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：
，其中
为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常
数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为
时，放电时间为
；当放电电流为
时，放电时
间为
，则该蓄电池的Peukert 常数
约为（ ）（参考数据：
，
）
A．0.82
B．1.15
C．3.87
D．5.5
【答案】B
【分析】根据题意可得
，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解.
【详解】根据题意可得
，两式相除可得
，
所以
，可得
.
故选：B.
32．（2025·四川·二模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通安全法规
､
各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的
发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年Peukert 提出铅酸电池的容量
、放电
时间和放电电流
之间关系的经验公式：
，其中
为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常
数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为
时，放电时间为
；当放电电流为
时，放电时
间为
，则该萻电池的Peukert 常数
约为（ ）（参考数据：
，
）
A．1.12
B．1.13
C．1.14
D．1.15
【答案】D
【分析】根据题意可得
，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．
【详解】由题意知
，
30
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所以
，两边取以10 为底的对数，得
，
所以
．
故选：D．
函数的应用
33．（2025·四川成都·二模）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调递减
D．
在
上有2 个零点
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项计算判断即可.
【详解】对于A，函数
的最小正周期为
，A 正确；
对于B，因
，即
的图象关于直线
不对称，B 错误；
对于C，当
时，
，因正弦函数在
上单调递减，
故
在
上单调递减，C 正确；
对于D，当
时，
，由
，得
或
，
解得
或
，即
在
上有2 个零点，D 正确.
故选：ACD
34．（2025·四川南充·二模）如图所示为函数
（
，
）的部分图象，则下列
题型03
31
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说法正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递增
C．将
的图象向右平移
个单位可以得到
的图象
D．方程
在
上有三个根
【答案】AC
【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出函数解析式，再逐项求解判断.
【详解】观察图象，得
的最小正周期
，解得
，
由
，得
，而
，解得
，
对于A，
，A 正确；
对于B，当
时，
，当
，即
时，
取得最大值，因此
在区间
上不单调，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，当
时，
，由
，得
或
，
因此方程
在
上有2 个根，D 错误.
故选：AC
32
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35．（2025·四川·二模）已知函数
在
时满足
恒成立，且在区间
内，仅存在三个数
，
，
，使得
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出
，根据
恒成立，得到
，不妨取
，画出
图象，数形结合，利用对称性得到
，求出答案.
【详解】
时，
，
令
，则当
时，
，
故要想
在
时满足
恒成立，
需满足
，不妨取
，
，
，
画出
在
上的图象，如下：
33
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由图象可知，
，
，
则
，
故
，
两式相加得
，
所以
.
故选：C
36．（2025·四川成都·二模）已知函数
若方程
在
上恰有4 个
不同实根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解出方程
的根，然后结合根的个数列不等式求解即可.
【详解】因为函数
34
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所以当
时，方程
可化为
，解得
，
则当
时，
当
时，方程
可化为
，
解得
，
则当
时，
因为方程
在
上恰有4 个不同实根，
所以这4 个不同实根为
，则
.
故选：A
37．（2025·四川南充·二模）已知函数
，
有5 个不相等的实数根，从小
到大依次为
，
，
，
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数可得函数在
,
上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得
，再由对
数函数的性质可得
，结合
，
，
是方程
的三个根，可得
，即可求
得答案．
【详解】因为当
时，
，
所以
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
35
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当
时，
，
单调递减；
所以
，所以
，
当
时，
，
所以函数在
上单调递减，在
上单调递增，
作出函数的图象，如图所示：
由此可得
，
当
时，令
，解得
或
，
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
；
由题意可得
，
，
是方程
，即
的三个根，
所以
，
即
，
所以
，
即
，
所以
．
故选：
．
【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，
36
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得到
，即可解题.
38．（2025·四川·二模）设动点
到点
的距离与到直线
的距离之积等于4，动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
与
轴的交点的坐标.
(2)过点
作不与坐标轴垂直的直线.
（i）判断直线与曲线
的交点的个数，并证明你的结论；
（ii）定义平面上
个点
的重心
为满足
的点，若直线与曲线
的所有
交点的重心
到点
的距离等于
，求点
的横坐标.
（注：关于
的一元
次方程
有
个复数根
，且
，
.）
【答案】(1)
与
(2)（i）4 个，证明见解析; （ii）
【分析】（1）设点
，列式求出曲线
的方程，进而求出该曲线与x 轴交点坐标.
（2）（i）设出直线的方程并与曲线
的方程联立，再构造函数，结合零点存在性定理推理判断即可；
（ii）由（i）的信息求出重心
的坐标表示式，再与已知结合求出其横坐标.
【详解】（1）设
，则
，即
，
令
，得
，解得
或
，
所以曲线
与
轴交于
与
三点.
（2）（i）交点个数为4，证明如下：
设直线的方程为
，
37
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由
，消去
得
，
即
，
记
，则
至多有4 个不相等的实数根，
函数
在R 上的图象连续不断，
且
，
，
，
，
，
从而
在
，
，
，
上各有一个实数根，
因此
有4 个不相等的实数根，所以直线与曲线
有4 个不同的交点.
（ii）设直线与曲线
交于点
，它们的重心为
，
依题意，
，则
，
，
显然
，而
，则
，即
，
整理得
，又
，即
，
因此
，
即
，
解得
，所以点
的横坐标为
.
【点睛】思路点睛：本题第2 问，求直线与曲线交点个数，消元构造函数，转化为零点存在性判断零点个
38
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数求解.
39．（2025·四川·二模）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】令
，得
有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
导数的几何意义
40．（2025·四川·二模）已知函数
．
(1)若直线
与曲线
相切，求
的值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
在定义域内恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)增区间为
，减区间为
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义可得出切点的横坐标，结合切线方程可得出切点的坐标，将切点代入函
题型04
39
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数
的解析式，即可得出实数
的值；
（2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数
的增区间和减区间；
（3）解不等式
，即可解得实数
的取值范围.
【详解】（1）因为
，则
，
由
，可得
，所以直线
与曲线
的切点坐标为
，
故
，解得
.
（2）因为
，所以函数
的定义域为
，
由
可得
，由
可得
，
故函数
的增区间为
，减区间为
.
（3）由（2）可得
，解得
，
又因为
，故实数
的取值范围是
.
41．（2025·四川·二模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
有极小值，且极小值不大于0，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意计算
，结合导数的几何意义求切线方程即可；
（2）先求导得
，分
和
讨论单调性，求出极小值为
，再
40
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根据题意得
，构造新函数
，利用函数单调性确定
的范围即可.
【详解】（1）求曲线
在
处的切线方程：
当
时，
．
对
求导，可得
．
把
代入
和
．
切线方程的点斜式为
（其中
为切点坐标，
为切线斜率），
所以切线方程为
，即
．
（2）对
求导得
．
当
时，
，则
在
上单调递增，无极值，不符合题意．
当
时，令
，即
，解得
．
当
时，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
所以
在
处取得极小值，
．
因为
的极小值不大于0，即
．
令
，对
求导得
．
令
，解得
．
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减．
41
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所以
在
处取得最大值
．
且当
或
时，
，
因此对于
，均有
所以实数
的取值范围是
．
42．（2025·四川雅安·二模）已知抛物线
：
.
(1)若点
为抛物线
上一点，证明：抛物线
在点
处的切线方程为
；
(2)设
，
是抛物线
：
上两点，过点
，
分别作
的切线交于点
，点
，
分别在线段
，
的延长线上，直线
与抛物线
相切于点
.
（i）证明：
；
（ii）记
，
的面积分别为
，
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）2.
【分析】（1）求出函数
的导数，利用导数的几何意义求出切线方程得证.
（2）（i）利用（1）的结论，设出切点坐标，求出直线
的方程，两两联立求出点
的横坐
标即可推理得证；（ii）令
，利用割补法，结合三角形面积比列式计算得解.
【详解】（1）二次函数
，求导得
，抛物线
在点
切线的斜率为
，
则切线方程为
，而
，整理得
，
所以抛物线
在点
处的切线方程为
.
（2）（i）令
，设点
的横坐标分别为
，
由（1）知，直线
的方程分别为
，
，
，
42
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联立
，
因此
，同理
，
所以
.
（ii）由（i），令
，
则
，
，
，
，
，
所以
的值为2.
43
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43．（2025·四川广安·二模）已知函数
（
为常数）.
(1)若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求
的值；
(2)是否存在实数
，使得
有3 个零点？若存在，求实数
的范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）结合导数的几何意义求出曲线
在
处的切线方程，再利用切线在两坐标轴上的
截距相等即可求解；
（2）由函数零点与方程根的关系可将问题转化为方程
有三个解，进一步转化为直线
与函数
的图象有3 个交点.对
求导，研究其单调性、极值与图象变化趋势，数形结合即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，
，
，
所以曲线
在
处的切线为
，即
.
令
，则
，
若
，则
，则切点为
，切线为
，不合题意；
若
，则
；令
，则
.
又切线在两坐标轴上的截距相等，即
，
故
.
44
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（2）若函数
有3 个零点，等价于方程
有三个解.
其中
时，显然不是方程的根，
当
时，转化为
与
的图象有3 个交点.
又由
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
所以函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，函数
取得极小值，极小值为
.
又由
时，
；当
时，
且
；当
时，
，
故函数
的大致图象如下图所示：
所以
，即实数
的取值范围为
.
44．（2025·四川自贡·二模）已知抛物线
：
，过点
作
的切线，切点分别为
，
，且
.
(1)求
的方程；
(2)设
，
为
上两点，
为线段
的中点（
不在
轴上），
为坐标原点，直线
交
于点
，
直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
.
（ⅰ）设
，求
的最小值；
（ⅱ）求证：
.
45
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【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据题意，可设
，得
，利用导数求出切线的斜率结合斜率公式求出
得
解；
（2）（ⅰ）设
方程为
，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出
，得到
，利用
建立关系式求解；（ⅱ）法一，设出直线直线
，
，
的方程求出点
的坐标，利用斜率公式求解得证；法二，利用极点极线法，求出点
关于曲
线
的极线
的方程，得证.
【详解】（1）由题知，
轴，设切点
，则
，
由
，则
，所以
，
，可得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）（ⅰ）设
方程为
，
，
，
由
，整理得
，
于是，
，
，
.
46
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因为
，
，
即
，
又
，所以
.
于是，
，
所以当
时，
的最小值为
.
（ⅱ）法一，由（ⅰ）知直线
的方程为
，
，
，
设
，
，又
，
所以直线
方程为
，代入抛物线方程可得
.
又直线
的斜率
，
设直线
的方程为
，直线
的方程为
.
将直线
的方程代入直线
的方程，可得
，
，
于是可得
.同理
.
所以直线
的斜率
47
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.
所以
.
法二（极点极线）
因为
，
所以点
关于曲线
的极线
的方程为
，
即
，又因为直线
的斜率
，
所以
，于是
.
45．（2025·四川·二模）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为
．
【答案】
【分析】先求导函数，再代入求出斜率，最后点斜式写出直线方程.
【详解】已知函数
，则
，
所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即得
.
48
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故答案为：
46．（2025·四川成都·二模）设函数
，若
的图象过点
，且曲线
在
处的切线也过点
，则
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组求出
.
【详解】函数
，求导得
，则
，而
，
因此曲线
在
处的切线方程为
，
依题意，
，所以
.
故答案为：
47．（2025·四川·二模）设函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
为增函数，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）法一：参变分离得到
在
上恒成立，构造函数
求最值即可；法二：
构造函数
，通过分类讨论求最值即可求解；
【详解】（1）当
时，
，
所以
，
，
，
49
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∴曲线
在
处的切线方程为
，
整理得，
，
∴曲线
在
处的切线方程为
.
（2）
，
，
是增函数，即
在
上恒成立，
方法一：即
在
上恒成立，所以
，
设
，
，则
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
∴当
时，
取得极大值，也是最大值，
∵
，∴
的取值范围是
.
方法二：即
在
上恒成立，所以
，
设
，
，则
，
，
①若
，则
，
在
上单调递增，
当
趋近于0 时，
趋近于
，即
不恒成立，
所以
在
上不单调递增，与题意不符，舍去.
②若
，则当
时，
，
单调递减，
50
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当
时，
，
单调递增，
则当
时，
取得极小值，也是最小值，
∴
，解得
，
∴
的取值范围是
.
48．（2025·四川南充·二模）已知抛物线
的焦点为F，过x 轴下方一点
作抛物线C 的两
条切线，切点为A，B，直线PA，PB 分别交x 轴于M，N 两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．当点P 的坐标为
时，则直线AB 方程为
B．若直线AB 过点F，则四边形PMFN 为矩形
C．当
时，
D．
时，
面积的最大值为4
【答案】ABD
【分析】设
，
，由导数的几何意义可得切线
，
的方程，进而可得直线
的方程，
把
代入即可判断A；再由直线
与抛物线方程联立得韦达定理，利用韦达定理即可判断B；取
满足的轨迹上的特殊点即可判断C；由弦长公式得
和
满足的方程，再求出
到直线
的距离，代入
三角形面积公式，结合不等式即可判断D.
【详解】方程变形为
，则
. 设
，
，
直线
的方程：
，即
，
同理可得直线
的方程
：
，
点
在直线
和
上，∴
，
，
51
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∴
的方程为
，
联立
，得
①，
由韦达定理得，
，
②.
对于选项A，当
为
时，
，故A 正确；
对于选项B，若直线
过点
时，
，即
，
，
，利用韦达定理，则
，
∴
，同理
.
由②得
，
，∴四边形PMFN 为矩形，故B 正确；
对于选项C，当
时，取
，方程①变为
，
即得
，
，
，故C 错误；
对于选项D，当
时，由弦长公式得
，
即
，
点
到直线
的距离为
，
，∴
，
∴
，当
取等号，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
52
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数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
49．（2025·四川·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
在
上的极值.
【答案】(1)
(2)极小值
，无极大值
【分析】（1）对
求导，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再求出切点坐标，利用点斜式，即
可求解；
（2）对
求导，得到
，构造函数
，利用导数与函
数单调间的关系，得
在区间
上单调递增，从而可得
时，
，
时，
，再利用极值的定义，即可求解.
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以
，
，故所求切线方程为
，
即
.
（2）当
时，
，所以
，
令
，则
，
当
时，
，又
，所以当
时，
，
当
时，由
，知
，又
，
53
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所以当
时，
，即
，
故知
在区间
上单调递增，即
在区间
上单调递增，
又
，所以
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
又因为
，故
在
处取得极小值0，无极大值.
50．（2025·四川·二模）由坐标原点O 向双曲线
的各条切线作垂线，垂足对应的轨迹曲线C 如
下图所示，若
，点
在曲线C 上，则（ ）
A．C 的方程为
B．曲线C 关于直线
对称
C．点P 到两坐标轴距离之积的最大值为2D．若
的斜率为2，则
【答案】BCD
【分析】先以参数法求出垂足的坐标，再由此找到其轨迹方程并检验各选项.
【详解】设双曲线上一点为
，则其切线方程
即
，
从原点到这条直线的垂足
，则
，
解得：
54
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可得
，从而
，
可见垂足轨迹的方程是
，故 A 错误．
由
可知方程
互换方程不变，故曲线关于直线
对称，B 正确.
点
到两坐标轴的距离分别为
和
，其积即
.
将上面参数形式
视为函数，求其在
下的最大值，
设 形式
，当
时取等号，
可得
最大值为 2，故C 正确.
若
的斜率为 2，则有
，代入轨迹方程或直接检验可解得
或
，
所以
，D 正确.
故选：BCD.
51．（2025·四川·二模）已知函数
，
，对
，
，使得
成立.下列结论正确的是（ ）
A．
，使得
B．函数
的最大值为0
C．a 的取值范围为
D．过
作
的切线，有且只有一条
55
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【答案】D
【分析】利用单调性说明
的解判断A，由导数求最值判断B，由
，使得
求解判断C，设切点坐标为
，代入所过点坐标求
，引入新函数，由导数确定方程
只有一个解
，从而判断D．
【详解】对于A，
，
因为
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
，故A 错误;
对于B，由A 的分析可知，当
时，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得最小值：
，无最大值，故B 错误;
对于C，由前面分析知
，
由题可知：
，使得
对于函数
，
，
当
时，
，
故无论a 取什么值，均
，使得
，
则a 的取值范围为R，故C 错误;
56
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对于D，不妨设切点为
，
，
切线方程为
，
把
代入可得：
，
即：
令
，
，
，
因为
对
恒成立，
所以当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
所以
只有一个零点0，
即只有
时，
成立，
故过
作
的切线，有且只有一条，故D 正确.
故选：D.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
，
（1）若
，
，总有
成立，故
；
57
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（2）若
，
，有
成立，故
；
（3）若
，
，有
成立，故
；
（4）若若
，
，有
，则
的值域是
值域的子集 ．
52．（2025·四川·二模）已知函数
.
(1)若
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
时，
在区间
上的最小值为
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）求导，根据导数确定函数的单调性，即可求解
，构造函数
求导即可求解.
【详解】（1）当
时，
且
，
所以
，
故切线方程为
，即
，
（2）
，
由
，存在
，使得
，即
，
当
时，
，此时
单调递减，
当
时，
，此时
单调递增，
故
，
58
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，
故
在
单调递减，又
，
故
53．（2025·四川·二模）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
在
处切线斜率不小于2
B．
时，
有3 个零点且三个零点的积为1
C．
时，
有两个极值点且两极值点的和不小于4
D．曲线
上总存在两点
，
，对任意
使得曲线在
、
两点处的
切线互相平行，则
的取值范围为
【答案】BCD
【分析】求
的导数
，取
，可判断A；令
，可得函数
极值以及单调性，判断
C；从而判断出函数
有3 个零点，且若
，则
，从而判定B；由题意可得
，
，
，且
，化为
，因此
对
都成
立，利用导数研究其最值即可判断D.
【详解】对于A：函数
，导数
，
所以
在
处切线斜率为
，
当
时，
，A 错误；
59
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对于C：由已知
，
，
由
，即
，
则
成立，设方程两根为
，
，且
，
所以
，
因为
，所以
，当且仅当
时等号成立，
又
，所以
，
所以
和
时，
，函数
单调递减，
时，
，函数
单调递增，
所以
为函数
极小值点，
为函数
极大值点，
所以
时，
有两个极值点且两极值点的和不小于4，C 正确；
对于B：先证
，
令
，则
，
，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，所以
在
单调递增，
60
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所以
，即
.
当
时，
，
令
，因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
则
，因为
，
，
又因为
，
，
和
时，函数
单调递减；
时，函数
单调递增，
所以极小值
，极大值
.
所以存在唯一的
时，使得
，
即
，
则
，
因为
，所以
，又因为
，
即
时，
，
和为
的三个零点，且积
，B 正确；
对于D：由题意可得
，
，
，且
，
即有
，
61
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化为
，而
，
所以
，化为
对
都成立，
令
，在
单调递增，
所以
，当且仅当
取得等号，所以
，
所以
，即
的取值范围是
，D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：利用导数可得函数
的极值以及单调性，从而判断出函数
有3 个零点，且
若
，发现
，从而判定B.
导数的计算
54．（2025·四川达州·二模）关于
的不等式
的整数解个数为
时，
，设
为数列
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，
，
，
，
，求出两函数在
处的切线斜率，
得到
，进而得到
的整数解个数为
时，所满足的不等式，求出
题型05
62
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，再裂项相消求和，得到答案.
【详解】
，
，
设
，
，
，
，
显然
，
，
，
其中
在
处的切线斜率为
，
在
处的切线斜率为
，
若
，
时，
的图象在
的上方，不等式无解，
则
的整数解个数为0，不合要求，
所以
，
当
时，需满足
，解得
，
当
时，需满足
，解得
，
当
的整数解个数为
时，
需满足
，解得
，
所以
，
所以
，
所以
，
63
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故
故选：C
55．（2025·四川德阳·二模）已知数列
前
项和为
，满足
，且
(1)求数列
的通项公式
；
(2)令
，讨论
与
的大小关系；
(3)对任意正整数
恒成立，求正整数
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)2.
【分析】（1）根据
可得
时
，两式相减结合构造法可得数列
为等比数列，由此可计算数列
的通项公式.
（2）求导，得到
，利用错位相减法计算，讨论n 的取值范围即可得到
与
的大小关系.
（3）构造函数
，结合导数可得
，则
，
累加后，结合对数运算即可得解.
【详解】（1）
时，
，所以
，
因为
，所以
时，
，
64
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，
又
成立，
所以
对
成立，
所以数列
为以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
.
（2）因为
，
，
，
，
，
令
，
，
则
，
所以
，故
，
所以
所以当
时，
，当
时，
，
，
单调递增，
.
65
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（3）令
，则
，
令
，则
，令
，则
，
故
在
单调递减，
单调递增，则
，
所以
（当且仅当
时取等号），
则
，
所以
，
所以
，
，
，
设
，则
，
则
单调递增，又因为
，
所以正整数
的最小值为2．
【点睛】方法点睛：解决本题的重点是构造函数，结合导数进行放缩，在导数中重要的放缩不等式有:
等.
56．（2025·四川·二模）已知
，则下列结论成立的
是（ ）
66
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A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】应用赋值法及换元法分别判断A，B，C 选项；等式两侧同时求导函数及赋值可判断D 选项.
【详解】A.令
，得
，即
，A 正确.
B.令
，则原等式变形为
，
由二项式定理得，
，
令
，得
，
等式两侧同乘
，得
，
∴
，B 错误.
C.令
，得
，故
，C 错误.
D.对等式
两侧同时求导函数得，
，
令
，得
，D 正确.
故选：AD.
57．（2025·四川·二模）函数
，若
在
是减函数，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求导，导函数小于等于0 恒成立，分离参数求新函数最值即可求解．
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【详解】函数
，
若函数在区间
上是减函数，则
在
恒成立，
即
在
恒成立，
由对勾函数性质可知
在
单调递减，故
，所以
.
故选：C.
58．（2025·四川·二模）若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线垂直，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出曲线
在点
处的切线的斜率为
，利用斜率成积等于-1，求出曲线
y=ln x 在点P 处的切线的斜率，利用导数即可求出切点的横坐标，代入可解.
【详解】
的导数为
，所以曲线
在点
处的切线的斜率为
.
因为曲线
在点
处的切线与曲线y=ln x 在点P 处的切线垂直，
所以曲线y=ln x 在点P 处的切线的斜率
.
而y=ln x 的导数
，所以切点的横坐标为
，所以切点
.
故选：D
利用导数研究函数的单调性、极值和最值
59．（2025·四川巴中·二模）已知函数
，函数
是定义在
题型06
68
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的可导函数，其导数为
，满足
.
(1)令函数
，求证：
在
上是减函数；
(2)若
在
上单调递减，求实数
取值范围；
(3)对任意正数
，试比较
与
的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意对函数
求导，即可判断出单调性；
（2）由已知函数的单调性可得不等式，参变分离转化为最值问题，求导，根据单调性即可求得；
（3）根据第一问的单调性并结合作商法以及不等式的性质来证明.
【详解】（1）依题意，得
.
，又
在
上恒成立，
在
上是减函数.
（2）
在
上单调递减，
恒成立，
又由
，
令
，
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，所以
69
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，根据均值不等式
，
当且仅当
时等号成立，此时
，
，
又因为
，所以
.
（3）
，由（1）知
在
上是减函数：
所以
，即
，
要想比较
与
的大小.
考虑
，根据
可得
令
，则
，
因为
，
则
，
.
70
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60．（2025·四川巴中·二模）已知
，
若存在
，使得
，求实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由f(x)＝0 可得集合A，再由题意可知
在
上有解，等价于
在
上有解，构造函数
，利用导数研究函数求值域即为所求.
【详解】令
，可得
，
解得
或
（舍），所以
.
即
.
若存在
，使得|x1-x2|＜1，即
，得
.
即
在
上有解，等价于
在
上有解.
令
，
，则
.
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.；
，又
，
所以
，所以a 的取值范围为
.
故选：A
71
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61．（2025·四川达州·二模）函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的符号，可得函数的单调区间.
（2）分情况讨论，分离参数，可把问题转化为
，
恒成立的问题，设
，
，利用导数求函数
的最小值即可.
（3）问题转化为
，设
，
，只需证
的最小值大于0 即可.
【详解】（1）因为
，所以
.
若
，则
在
上恒成立，所以函数
在
上单调递增；
若
，由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上：当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
.
当
时，上式恒成立，即
；
72
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当
时，
.
设
，
，
则
.
设
，
，则
在
上恒成立，即
在
上单调递增，
又
，所以
在
上恒成立.
所以由
，由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
.
所以
.
综上可知：
的取值范围为：
.
（3）
时，要证
，即
.
设
，则
，
.
设
，
，则
在
上恒成立.
所以
在
上单调递增.
又
，
，则方程
只有一解，设为
，且
，
.
当
时
，当
时，
.
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
.
因为
，所以
，
，
，所以
.
即
.
所以
在
上恒成立.
从而原命题成立.
62．（2025·四川雅安·二模）已知函数
.
(1)若
，
，求
的单调区间和极值；
(2)若
，证明：当
时，
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即可；
（2）利用导数求出函数
的最小值即可得证.
【详解】（1）若
，
，则
，
则
，
令
，得
，令
，得
，
所以函数
的增区间为
，减区间为
，
所以函数
的极小值为
，无极大值；
（2）若
，则
，
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则
，
当
时，函数
在
上都是增函数，
所以函数
在
上是增函数，
又当
时，
，当
时，
，
所以存在唯一实数
，使得
，即
，
令
，则
，令
，则
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
.
63．（2025·四川广安·二模）已知常数
为非零整数，若函数
，
满足：对任意
，
，
，则称函数
为
函数.
(1)若函数
，
为
函数，求
的取值范围；
(2)若
为
函数，图像在
是一条连续的曲线，
，
，且
在区间
上存在唯一的极大值点，求函数
最值差的绝对值的取值范围；
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(3)若
，
，且
为
函数，
为
的一阶导函数，对任意
，
，恒有
，记
的最小值为
，求
的取值范围及
关于
的表达式.
【答案】(1)
(2)
(3)
，
.
【分析】（1）由新定义函数得到不等式
，由
的最小值得到
的取值范围；
（2）设极值点
，由定义得到不等式组，得到
范围，又因为
是极大值，所以
，得到
函数的最大值和最小值，从而得到函数最值差的绝对值的取值范围；
（3）当
时，函数
在
上单调递增，设
，则
.由新定义得
恒成立，构造函数
，且
为
上的减函数，所以
，得
对
恒成立，由函数单调性求得
的取值范围.求出导数
，再求得
其导数
，由
得到函数
的单调性，由函数
的最大值与最小值的差求得
.
【详解】（1）因为
是
函数，对任意
，
，
，
则
，
所以
，
76
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故
，即
，又
，
，
所以
，
（2）设
为
在区间
上存在的唯一的极大值点，
则
在
严格递增，在
严格递减，
由
，即
，得
，
又
，
，则
，（构造
时，等号成立），
所以
；
（3）因为
，
，显然
为
上的严格增函数，
又由题干可知，
，任意
，
，不妨设
，此时
，
由
为
函数，得
恒成立，
即
恒成立，
设
，则
为
上的减函数，
，得
对
恒成立，
易知上述不等号右边的函数为
上的减函数，
所以
，所以
的取值范围为
，
此时
，
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，
因为
，当
，
，所以
为
上的增函数，
由题意得，
，
.
【点睛】方法点睛，本题考查函数新定义，以及由导数研究函数性质，不等式的综合应用问题，本题的关
键是理解函数的新定义，并结合构造函数，不等式关系，进行推论论证.
64．（2025·四川自贡·二模）已知函数
，
.
(1)若
存在极小值，且极小值为
，求
；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，判断函数的单调性，结合极小值为
求解；
（2）将不等式
分离参数，得
，设
，
，利用导数求出
最值得解.
【详解】（1）
，
，
当
时，
，所以函数
无极值，
当
时，由
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的极小值为
，解得
.
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（2）由
，得
，即
，
，
设
，
，
则
，
当
时，
，即
单调递减，
当
时，
，即
单调递增，
所以
，则
，
所以
的取值范围为
.
65．（2025·四川·二模）已知
，函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
和
，求导，结合零点存在性定理可得
为方程
的两个实数根，所以
，
，
．进而建立
间的等量关系，
化简
，构造函数
，求导即可求解.或者将不等式变形为
，作出函数
，
，
的大致图象，根据图象可得
为方
程
的两个根，即可根据解法一求解.
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【详解】由题意得
的定义域为
．设
，
则
，令
，得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，
又当
时，
，当
时，
，
所以
在
内有两个零点，设为
，
则当
时，
，当
时，
．
设
，
由
，得当
时，
，
当
时，
，则
为方程
的两个实数根，
所以
，
，
．
又
，
，所以
，
，
所以
，
即
，则
，所以
．
易知
，
，故
，
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设
，则
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，故
的最小值为
．
解法二 由
，
，
，
得
．
在同一平面直角坐标系中作出函数
，
，
的大致图象，
数形结合可知，若
，
则
与
，
的图象的两个交点重合，
如图，设这两个交点分别为
，则
为方程
的两个实数根，
所以
，
，
．
易知
为方程
的两个实数根，所以
，
，
以下同解法一．
故选：C.
66．（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c 满足
，
，则
的取值范围
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是 .
【答案】
【分析】根据
，
，得到
，利用
得到的取值范围，将
表示成关于的三次函数，利用导数求最值即可求得取值范围.
【详解】因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，整理得
，
因为
，
解得
，
，
设
，则
，
令
得
或
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
因为
，
，
，
，
所以
，
，
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所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
67．（2025·四川·二模）若
满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，则
满足
等价于
，求导分析
的单调性，求
出
的最小值，继而即可求解.
【详解】设
，则
恒成立，即
，
因为
，所以
在
上单调递增，
且当
时，
，
故当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得极小值，即最小值，
，
令
，得
．
故选：D．
68．（2025·四川·二模）已知函数
，
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【分析】结合题意构造函数
，得到
，表示出
，再借助导数求出
的最小值即可.
【详解】∵
，
，
∴
，
令
，
∴
在
上单调递增，
∴
，即
，
∴
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
∴
，
∴
的最小值为
，
故选：B.
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