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专题01 集合与常用逻辑用语
题型概览
题型01 集合的运算
题型02 集合中元素的性质
题型03 集合间的关系求参
题型04 集合新定义
题型05 命题的否定与真假
题型06 充分必要条件
集合的运算
1．（2025·河南·二模）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据并集定义求解即可.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：D.
2．（2025·河南·二模）集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对数函数定义域和指数函数的值域求法即可得出结果.
【详解】根据对数函数定义域可得
由指数函数的值域可得
所以
，
题型01
1
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故选：B.
3．（2025·河南·二模）设全集
，集合
，B={1，2，3}，则（
）
∩B=（ ）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2，3}
D．{1，2，3}
【答案】C
【分析】先计算出
，再计算
即可.
【详解】
.
故选：C.
4．（2025·河南·二模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求
.
【详解】由题设有
，
故选：B .
5．（2025·河南·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解不等式可得集合
，进而可得
.
【详解】由已知得
，
所以
，
故选：C.
6．（2025·河南·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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【答案】A
【分析】根据交集定义直接计算即可.
【详解】集合
，则
.
故选：A
7．（2025·河南·二模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用交集的定义可求得集合
.
【详解】因为
，
，则
.
故选：B.
8．（2025·河南·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】依题意
.
故选：C
9．（2025·河南·二模）集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为
，
，
3
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所以
.
故选：A
10．（2025·河南·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
，由交集的概念即可得解.
【详解】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
11．（2025·河南·二模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：A.
12．（2025·河南·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据集合的交集运算求解.
【详解】
，
，
.
4
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故选：B.
13．（2025·河南·二模）已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪
＝（ ）
A．{x|1≤x≤4}
B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|2＜x≤3}
【答案】A
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的补集和并集运算求解.
【详解】解：因为
，
或
，
所以
，
，
故选：A．
14．（2025·河南·二模）已知全集
，集合
，
为素数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用交集的运算，即求出
中不是素数的数组成的集合.
【详解】由
，即为
中不是素数的数组成的集合，
则
.
故选：D
15．（2025·河南·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出集合
和集合
，根据并集的定义求解即可.
5
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【详解】
，
，
，
，
.
故选：C.
16．（2025·河南·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解即得.
【详解】集合
，
或
，
所以
.
故选：B
17．（2025·河南·二模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简集合A，根据集合B 中元素的性质求出集合B.
【详解】
，
，
,
故选：C
集合中元素的性质
题型02
6
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18．（2025·河南·二模）已知集合
，则A 中元素个数为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【分析】由列举法即可判断
【详解】
，共有9 个元素.
故选：B
19．（2025·河南·二模）下列五个写法：①
；②
；③
；④
；
⑤
，其中错误写法的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据“
”用于元素与集合，“
”用于集合与集合间判断出①⑤错，根据
是不含任何
元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；根据集合元素的三要素判断出③对.
【详解】对于①，“
”是用于元素与集合的关系，故①错；
对于②，
是任意集合的子集，故②对；
对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的子集，故
③对；
对于④，因为
是不含任何元素的集合，故④错；
对于⑤，因为“
”用于集合与集合，故⑤错.
故错误的有①④⑤，共3 个，
故选：C.
集合间的关系求参
20．（2025·河南·二模）已知集合
，
，若
，则实数
组成的集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03
7
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【答案】C
【分析】若
，所以
或
，解出
的值，将
的值代入集合，检验集合的元素满足
互异性.
【详解】因为
，所以
，解得
，
或
，解得
，
当
时，
，
，
，满足题意.
当
时，
，不满足集合的互异性.
当
时，
，
，若
，满足题意.
当
时，
，
，若
，满足题意.
故选：C.
21．（2025·河南·二模）已知集合
，
，且
有4 个子集，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出集合
，由题意可得
，且
，从而可求出实数
的取值范围.
【详解】
，
因为
有4 个子集，所以集合
中有2 个元素，
因为
，
所以
，且
，
所以
且
，
即实数
的取值范围是
，
故选：B.
22．（2025·河南·二模）已知集合
，
，且
，则实数
的
取值范围为（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化简集合
，再由
，则
，应用集合间的包含关系即可.
【详解】
，且
，则
，
则
.
故选：C
23．（2025·河南·二模）已知集合
，则
的真子集
个数为（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】C
【分析】作出几何图形，确定
的元素个数即可得解.
【详解】集合
是坐标平面内，以原点为圆心，2 为半径的圆上的点的集合，
集合
是坐标平面内，函数
图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆
及函数
的部分图象，如图，
观察图象知，圆
及函数
的图象有3 个公共点，
所以
有3 个元素，共有
个真子集.
故选：C
9
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24．（2025·河南·二模）设集合
，
.
(1)若
为空集，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
或
.
【分析】（1）利用一元二次不等式解集为空集，列出不等式求解即得.
（2）解对数不等式化简集合A，再分类讨论解不等式化简集合B，并结合包含关系求解即得.
【详解】（1）依题意，不等式
解集为空集，
于是
，即
，解得
，
所以
.
（2）不等式
，解得
，即
，
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
，而
，显然
不是
的子集；
当
时，
，则
，
由
，得
，解得
，
所以
的取值范围是
或
.
集合新定义
25．（2025·河南·二模）对于两个非空实数集合
和
，我们把集合
记作
题型04
10
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.若集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】计算
，得到元素个数.
【详解】
，则
，则
中元素的个数为
故选：C
26．（2025·河南·二模）称
是
的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：（1）任意
，
；（2）任意
和
，有
.任取
，称包含
的
最小向往集合称为
的生成向往集合，记为
.
(1)求满足
的正整数
的值；
(2)对两个向往集合
，定义集合
（i）证明：
仍然是向往集合，并求正整数
，满足
；
（ii）证明：如果
，则
.
【答案】(1)2
(2)（i）证明见解析；6；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据向往集合定义，推出
，得到
，再推理得到
，即得
；
（2）（i）与（1）同法得到
，
，分析得到
，接着再证明
是向往集合即得；
11
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（ii）由
推得存在
，有
；任取
，有
.又由向往
集合的性质（1），有
,再证明
即得
.
【详解】（1）设
.注意到
，所以
，又
，所以
注意到集合
，并且
是向往集合，
根据生成向往集合的最小性，有
；因为
，所以
，
另一方面，容易证明
，因为
中全都是2 的倍数，所以
，综上所述
,
即
.
（2）（i）用和（1）类似的方法可以得到
，且
.
所以
,
所以
，又因为生成向往集合的最小性，有
，故得：
.
下面证明
是向往集合.任取
，写出
表示成有限和的形式，
则
也可以写成有限和的形式，容易证明
其次，任意取
，只需要把
中的
替换为
即可，综上所述
是向往
集合.
（ii）因为
，因为
，所以存在
，有
任取
，有
和
，所以
进而根据向往集合的性质（1），有
任意取
，有
，
因为
，有
，所以
.
12
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【点睛】关键点点睛：本题考查了集合的新定义问题，属于难题解决此类问题的关键时读懂题意，
理解集合新定义的本质，需要使用类比的方法，把新情境下的概念、规则，运算推理化归到常规的
数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质和相关结论进行解答即可.
命题的否定与真假
27．（2025·河南·二模）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题的知识，可得出正确结论.
【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题，所以原命题的否定为：
.
故选：C.
28．（2025·河南·二模）命题：“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“
”的否定为：“
”.
故选：C.
29．（2025·河南·二模）命题“
，
”的否定是（ ）
题型05
13
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“
，
”为特称量词命题，
其否定为：
，
.
故选：D
30．（2025·河南·二模）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定方法判断作答.
【详解】命题“
，
”为存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“
，
”的否定为：
，
．
故选：D
31．（2025·河南·二模）命题
的否定是（ ）
A．x∈R，
B．∀x∈R，
C．∃x∈R，
D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定为存在性命题可求解.
【详解】根据全称命题的否定为存在性命题，
可得命题“
”的否定为“
”.
故选：C.
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32．（2025·河南·二模）若命题
:
，则命题
的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据存在量词的否定是全称量词可得结果.
【详解】根据存在量词的否定是全称量词可得命题
的否定为
.
故选：D
33．（2025·河南·二模）命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】全称命题的否定是特称命题，任意改为存在，再把结论否定.
【详解】由题意
，
，否定是
，
故选：B．
34．（2025·河南·二模）若命题：“
，使
”是真命题，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据“
，
”是真命题得到方程
有解，然后根据根的判别
式列方程求解即可.
【详解】因为“
，
”是真命题，所以
，解得
.
故选：C.
15
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35．（2025·河南·二模）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案.
【详解】特称量词的否定是全称量词：
命题“
，
”的否定是
，
故选：
【点睛】本题考查了特称量词的否定，意在考查学生的推断能力.
充分必要条件
36．（2025·河南·二模）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果.
【详解】a＝3 时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立；
当A⊆B 时，a＝2 或3，即必要性不成立；
故选：A.
37．（2025·河南·二模）“
且
”是“
”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“
且
”能否推出“
”，以及“
”能否推出“
且
”，判断得到正确答案，
【详解】当
且
时，
成立，
题型06
16
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反过来，当
时，例：
，不能推出
且
.
所以“
且
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.
38．（2025·河南·二模）“
”是“
”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】若
等价于
或
，所以由
不能推出
，
若
，则
，即由
可以推出
，
所以
是
的必要且不充分条件.
故选：B.
39．（2025·河南·二模）下列条件中，使得“
”成立的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】逐个判断是否为
的充分不必要条件即可.
【详解】对于A：当
时满足
，此时不满足
，所以A 错误；
对于B：当
时满足
，此时不满足
，所以B 错误；
对于C：当
时满足
，此时不满足
，所以C 错误；
对于D：
，所以
是
的充分不必要条件，
故选：D
40．（2025·河南·二模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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【答案】A
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
41．（2025·河南·二模）“
为第一或第四象限角”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据轴正半轴上的角的余弦值也大于0 以及充分条件、必要条件的定义可得答案.
【详解】当
为第一或第四象限角时，
，
所以“
为第一或第四象限角”是“
”的充分条件，
当
时，
为第一或第四象限角或轴正半轴上的角，
所以“
为第一或第四象限角”不是“
”的必要条件，
所以“
为第一或第四象限角”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
42．（2025·河南·二模）已知复数
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由
求出
即可得出.
【详解】由
，可得
，解得
或0，
所以
是
的充分不必要条件.
故选：A.
43．（2025·河南·二模）已知
R，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
18
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【答案】A
【分析】解出两个不等式，根据范围判断即可.
【详解】由
，得
，
由
，得
，即
或
；
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
44．（2025·河南·二模）已知
，
是两个不同的平面，直线m 满足
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分必要条件定义判断．
【详解】充分性：根据面面平行的定义知充分性成立；必要性：设
，当
，且
，
，此时
，但是
与
相交，故必要性不成立．
故选：A．
45．（2025·河南·二模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】化简
得
,再根据充分、必要条件的知识判断即可.
【详解】因为
,
所以
，
19
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解得
.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
46．（2025·河南·二模）已知
是两个单位向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】利用向量数量积的运算法则，结合充分必要条件的定义即可得解.
【详解】因为
，等价于
，
即
，即
，
又
是两个单位向量，则
，即
，所以
，
所以
等价于
，
即“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
47．（2025·河南·二模）设p：m≤1：q：关于x 的方程
有两个实数解，则p 是q 的
（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由关于x 的方程
有两个实数解写出命题q 的等价命题，后判断命题p 与q
的关系即可.
【详解】关于x 的方程
有两个实数解
，则命题
20
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q：
.又p：
，故p 是q 的必要不充分条件.
故选：B
48．（2025·河南·二模）已知等差数列
的公差为d，前n 项和为
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等差数列的前
项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.
【详解】因为数列
是公差为
的等差数列，所以
，
，
所以
，
若等差数列
的公差
，则
，所以
，故充分性成立；
若
，则
，所以
，故必要性成立，
所以“
”是“
”的充分必要条件，
故选：C.
49．（2025·河南·二模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
，
故
是
的必要不充分条件，
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故选：B
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