文档文本内容
导数的几何意义
考点1
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专题03 导数及其应用
6 大考点概览
题型01 导数的几何意义
题型02 利用导数研究函数的单调性
题型03 利用导数研究函数的极值、最值
题型04 利用导数研究函数的零点、方程的根
题型05 利用导数研究不等式证明及恒成立
题型06 三次函数的图象与性质
1．（多选）（2026·河北沧州·一模）已知函数
与
，则（ ）
A．当
时，曲线
的图象在
处的切线方程为
B．若过点
可作曲线
的两条切线，则
的取值范围为
C．若
时，
，则
的取值范围为
D．若曲线
与曲线
有三条公切线，则
的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据导数的几何意义求解
，
，从而可得曲线
的图象在
处
的切线方程即可判断A；设切点为
，将问题转化为方程
在
有两个解，构造
函数
，求导判断单调性得最值即可判断B；将不等式
转化为
，构造函数
，求导判断单调性得最值即可判断C；设公切线为，
是与曲线
的切点，
是与曲线
的切点，根据导数的几何意义可得切线方
1
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程，于是有
，消元得
，构造函数
，将问题转化
为直线
与曲线
有三个不同的交点，求导得函数图像即可求
的取值范围，从而判断D.
【详解】对于A，当
时，
，则
，所以
，又
，则曲线
的图象在
处的切线方程为
，即
，故A 正确；
对于B，设切点为
，因为
，则
，所以切线方程为
，
切线过点
，代入得
，即方程
在
有两个解，
设
，则
，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
当
时，
，则
，故B 错误；
对于C，由题可知，
，所以
，
设
，则
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，所以
，故C 正
确；
对于D，设公切线为，
是与曲线
的切点，
是与曲线
的切点，
2
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所以的方程为
，整理得
，同理
，整理得
，依题意两条直线重合，可得
，消去
，得
，
由题意此方程有三个不等实根，设
，即直线
与曲线
有三个不同的交
点，
因为
，令
，则
，当
或
时，
，
单调递
减；
当
时，
，
单调递增，所以
有极小值为
，有极大值为
，
因为
，
所以
，当
趋近于
时，
趋近于
；当
趋近于
时，
趋近于
，故
的图象简单表示为下图：
所以当
，即
时，直线
与曲线
有三个交点，故D 正确.
故选：ACD.
2．（多选）（2026·河北石家庄·一模）已知函数
，则（ ）
A．
3
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B．函数
的零点为
C．曲线
上任意一点处切线的倾斜角不小于
D．若
，且
，则
【答案】AC
【分析】先根据
求出
的值，再分别令
求函数零点，对
求导分析曲线
上切线倾斜角的范围，根据导数判断函数单调性，进而判断各选项的正误.
【详解】已知
，
，所以，
，解得
，A 选项正确；
因为
，所以，
，令
（
），则
，化简得
，即
，
解得：
，B 选项错误；对
求导得：
，
其中
，由基本不等式可得：
， 设切线倾斜角为
，则斜率
，
又因为
，所以
，即倾斜角不小于
，C 选项正确；由
可知：
在
和
上单调递增，但不能直接得出
，
且
时，
，比如
，
时，
，
，
此时
，D 选项错误.
3．（2026·江西九江·一模）若直线
是曲线
的切线，则
__________.
4
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【答案】
【分析】设切点为
，进而根据题意有
，即可求得切点
，再代入直线方程即
可得答案.
【详解】设直线
与曲线
相切于点
，因为
，
直线
的斜率为
所以
，解得
，所以
，
即切点为
，所以
。
4．（2026·河南南阳·一模）已知函数
的图象恒过定点
，且函数
的图象在
处的切线也经过点
，则
______．
【答案】
/
【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数
的图象在
处的切线方程，
代入点
的坐标，可得
.
【详解】对函数
，令
，则
，得
.所以
.
函数
的定义域为
，
.
，所以
.
所以函数
的图象在
处的切线方程为
.
因为该切线过点
，所以
，解得
.
5．（2026·陕西延安·一模）若直线
是曲线
的一条切线，则
________．
【答案】
【分析】设切点为
，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论.
【详解】由曲线
，得
，设直线
与曲线
相切于点
，
所以
，解得
，
.
5
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6．（2026·山东临沂·一模）已知曲线
在点
处的切线为，若直线与抛物线
也相切，则
_________．
【答案】
/
【分析】先求曲线在点
处的切线方程，再与抛物线方程联立，利用相切条件（判别式为零）
解出
.
【详解】设
，则
，则
，则
在
处的
切线的方程为
，即
，联立
，得
，因为直线
与抛物线
也相切，则有
，解得
.
7．（2026·辽宁大连·一模）已知曲线
在点
处的切线与
轴平行，则点
的坐标为
__________.
【答案】
【分析】设
，利用导数的几何意义建立方程计算即可.
【详解】易知
，设
，所以曲线
在点
处
的切线斜率为
，由题意可知
，解之得
或
，
当
时，
，此时切点在x 轴上，不合题意；当
时，
；所以
.
8．（2026·四川宜宾·一模）若直线
是曲线
的一条切线，则
__________.
【答案】
6
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【分析】设出直线与曲线的切点
，根据曲线在
点处导数的几何意义是曲线在
点处切线
的斜率列出方程即可求解.
【详解】设直线
与曲线
相切于
，则
；
所以
，解得
，所以
；又
，
所以
，解得
.
9．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数
，若曲线
在点
处的切线与函数
的图象无公共点，则实数
的取值范围为______．
【答案】
【分析】先求曲线
在点
处的切线，把问题转化成
无解,再设
，求函数
的最小值即可.
【详解】因为
，所以
，且
，
，所以
在点
处的切线方程为：
，即
.问题转化为方程
，即
无解.设
，
，则
，由
；
由
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
且
，所以
，
所以
.
7
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10．（2026·福建泉州·一模）若存在4 条不同的直线既是圆
的切线，也是曲线
的切线，则
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求出曲线
在点
的切线方程为即
，再根据直线与圆的位置关系得圆心
到切线的距离
，
化简为
，设
，换元得一元二次方程
，由根与系数的
关系求解.
【详解】由于
，则
,则曲线
在点
的切线方程为
,即
，又因为此切线也为圆
的切线，
则圆心
到切线的距离
,两边平方，化简为
,
设
，则
，即
,
因为存在4 条切线，所以上述一元二次方程有两个不同的正实根时
有4 个解，
8
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则
，解得
，所以
的取值范围是
.
11．（2026·安徽合肥·一模）过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在
该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数
与函数
的“公法线”方程为______．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出曲线
在点
处的法线方程，以
及曲线
在点
处的法线方程，根据这两法线重合可得出关于
、
的方程，解出
这两个未知数的值，即可得出“公法线”方程.
【详解】对于函数
，有
，可得
，解得
，
故函数
的定义域为
，由
求得
，则法线斜率为
，
则
在点
处的法线方程为
，
即
，由
求导得
，则法线斜率为
，
则
在
处的法线方程为
，
9
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即
，由“公法线”得，
，
这两个等式相加得
，即
，
令
，则
，故函数
在
上为增函数，
又因为
，所以函数
有且只有唯一的零点
，
解方程组
，可得
或
，
，
又因为
，故
，故
要舍去，即
，
，
所以“公法线”方程为
，
12．（2026·四川广安·一模）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)设直线
，存在两个不同的实数
，使得直线与曲线
和曲线
都相
切．
①求
的取值范围；
②请在以下两个不等式中任选一个，完成证明；
（i）
；（ii）
．
【答案】(1)函数
的递增区间为
，递减区间为
；
(2)①
；②选择（i）（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据给定的函数，利用导数求出其单调区间.
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（2）①求出函数
的导数，设出切点坐标，把问题转化为方程
有两个不同实数解，
再利用导数求解；②选择（i）由①中信息，构造函数
及
，利用导数结合不等式的性质推理得证.选择（ii）由①中信息，将不
等式转化为证明
，再构造函数
，利用导数结合不等式性质推理得证.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，函数
在
上单调递增，在
上单调递
减，
所以函数
的递增区间为
，递减区间为
.
（2）①函数
的定义域为R，求导得
，
设直线与曲线
和曲线
分别切于点
，
由
，
，消去
得
，
同理
，因此方程
有两个不同的实数解，
令函数
，求导得
，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
而当
时，恒有
，且
时，
，
，
因此当且仅当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
即方程
有两个不同的实数解，所以
的取值范围是
.
②选（i），由①得
，即
，
令函数
，则
，
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由
，得
，即
，
令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
，
由
，得
，即
，
因此
，即有
，所以
.
选（ii），由①得
，
则
，
设
，
，
则
，令函数
，
，
求导得
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，则
，即
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，由
，得
，
，
因此
，即
，而
，则
，所以
.
13．（2026·河北唐山·一模）函数
，
.
(1)若
在
上单调递减，求a 的取值范围；
(2)若曲线
与
在
处有相同的切线，
（i）求a 的值；（ⅱ）若
，证明：
.
【答案】(1)
；(2)（i）
；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）求出
的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解.
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（2）（i）利用
与
在
处的导数值相等求出
；（ⅱ）按
分段讨论，
结合极值点的偏移方法推理得证.
【详解】（1）函数
在
上单调递减，则
，
，
即
，
，而
，当且仅当
时取等号，因此
，所以a 的取值范围是
.
（2）（i）由
，求导得
，
由曲线
与
在
处有相同的切线，得
，即
，
解得
，此时曲线
与
在
处的切线都为
，符合题意，所以
.
（ⅱ）由（1）及（i）知，函数
在
上单调递减，且
，
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
当
时，
，而
，不符合题意；
当
时，
，则
，
，因此
，符合题意；
当
，
的取值集合为
，而
在
的取值集合为
，
在
的取值集合为
，因此
能成立，
当
时，
；
当
时，
，
，
令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
，即
，
13
利用导数研究函数的单调性
考点2
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因此
，而
，则
，又函数
在
上单调递增，
于是
，即
，所以
.
1．（2026·重庆·一模）已知函数
，若关于
的不等式
成立，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可.
【详解】
，即
，
，
令
，解得：
，
当
时，
，
，则
在区间
单调递增；
当
时，
，
在区间
单调递减；
，
，
即
，
关于
对称，
，
，即
，两边平方得
，
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解得
，则实数
的取值范围是
.
2．（多选）（2026·四川宜宾·一模）已知函数.
，则下列说法正确的有
（ ）
A．
有唯一零点
B．不等式
的解集为
C．
在区间
上单调递增
D．
有两个极值点
【答案】BCD
【分析】求出函数的零点判断A，先利用导数判断
，进而把目标不等式转化为求解一元
一次不等式，求出解集判断B，利用导数与构造函数法求解单调性判断C，分类讨论求解出
的
单调性，进而求解极值点个数判断D 即可.
【详解】对于A，依题意得
，
即
和
是函数
的零点，故A 错误；
对于B，令
，求导得
，令
，
，令
，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，得到
，
则
，令
，则
即可，
所以
或
，解得
，故B 正确，
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对于C，由题意得
，
令
，求导得
，
当
时，令
，则
，
可得
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
而
，则
在
上递增，可得
，
因此
在
上递增，故C 正确；
对于D，当
时，令
，求导得
，由指数函数性质得
在
上单调递增，由二次函数性质得
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，故
在
上单调递增，
而
，则
，
由零点存在性定理得存在
，使得
，则
，
当
时，
，得到
在
上单调递增，则
，
，
即当
时，
，则
，
则
在
上单调递减，且由选项C 得
在
上单调递增，
因为
，
当
时，
，得到
在
上单调递减，而
，则
，
16
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由零点存在性定理得存在
作为
零点，也是
零点，
令
，
，令
，
，
此时
，
，令
，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
由已知得
，
，
当
时，
，此时
，
则
在
上单调递减，即
在
上单调递减，
当
时，
，
，则
，而
，
得到
，即
，此时
在
上单调递减，
综上可得，
在
上单调递减，而
，
则
，即
，可得
在
上单调递增，
综上可得，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
得到
有两个极值点，故D 正确.
故选：BCD
3．（2026·福建泉州·一模）已知定义在
上的函数
的图象是一条连续不断的曲线，且
，若当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
存在极值点
D．
有且只有一个零点
【答案】D
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【分析】构造函数
，通过分析
的单调性进而得到函数
的正负，
然后逐项分析即得.
【详解】
，即
，故函数
为奇函数，
设
，则
，
由题意，当
时，
，
在
上单调递增，又
为偶函数，故
为奇函数，
在
上单调递增，
图象连续不断且
，
在
上单调递增，
当
时，
，
；同理当
时，
，对于A，
，
，
，故A 错误.对于B，当
时，
，则
，故B 错误.
对于C，由于函数
的单调性未知，故该选项不确定，故C 错误.对于D，当
时，
，
当
时，
，且
，
有且只有一个零点，故D 正确.
4．（2026·广东佛山·一模）定义：双曲正弦函数
，双曲余弦函数
，双曲正切函数
，则（ ）
A．函数
是偶函数
B．函数
在
上单调递减
C．
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D．
【答案】C
【分析】根据双曲函数的奇偶性，并使用导数求其单调性，比较各选项中自变量的大小关系，即可
求解.
【详解】设
，
对于A，由题意得
，则
，所以
是奇函数，
即
是奇函数，故A 错误；
对于B，由题意得
，所以
在
上单调递增，即函数
在
上单调递
增，故B 错误；
对于C，
，所以
是奇函数，
，所以
是偶函数，所以
，所以原不等式为
，即
，由题意得
恒成立，所以
在R
上单调递增，所以
，且有
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，故
，原不等式得证，故C 正确.
对于D，
，所以原不等式为
，由上得
单调递增，且有当
时，
单调递增，所以
，所以
，与原
不等式矛盾，故D 错误.
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5．（多选）（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数
，则（ ）
A．函数
存在唯一零点
B．若方程
在
上有唯一解，则实数
的取值范围是
C．存在唯一
，使得
D．关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是
【答案】ACD
【分析】对于选项A：对
求导后根据
的正负判断
单调递增后易得存在唯一零点；
对于选项B：对
求导后根据
的正负判断
的增减性，求出极小值即最小值不在选项范
围内；对于选项C：设
，再根据形式化简
后求导并判断
的增减性，求出
极小值即最小值为0，即存在唯一零点
；对于选项D：讨论
的范围后参变分离，构造新函数求
导分析即可求得
的取值范围.
【详解】对于选项A：由题易得
，则
在
上单调递增，
且当
时，
，且当
时，
，
由零点存在定理，
在
上有且仅有1 个零点，故A 选项正确；
对于选项B：由题得
，令
，则
，
故在
上，
，
单调递减，在
上，
，
单调递增，
故
在
处取极小值，即最小值
，且易得当
时，
，
则有若
在
上有唯一解，则
或
，故B 选项错误；
对于选项C：设
，
，
20
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则
，故
，则
，令
，
，
故在
上，
，
单调递减，
则在
上，
，
单调递增，故
在
处取极小值即最小值
，
则有
在
上有且仅有1 个零点，由选项A 易得
在
上单调递增，
故有且仅有1 个解
使
，即
有且仅有1 个零点，故C 选项正确；
对于选项D：若有
在R 上恒成立，讨论
的范围后参变分离：
①若
，则有
，显然成立
②若
，则有
，令
，则
，
令
，
或
（舍），易得当
时，
在
处取极小值即最小值
，
因此
；
③若
，则有
，令
，则
，
令
，
（舍）或
，
易得当
时，
在
处取极大值即最大值
，因此
；
综上，
的取值范围是
，故选项D 正确.
故选：ACD
6．（2026·河南鹤壁·一模）已知
且
，若函数
在
上单调递增，则
的最大值为___________．
【答案】
21
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【分析】由题意可得
对任意的
恒成立，设
，
利用导数结合题意推得
，将其化成
，设
，利用导数求出其最大值即得.
【详解】根据题意，可得
对任意的
恒成立．
设
，则
．
若
，则
在
上单调递增，
当
且
时，
，不符合题意．
若
，令
，得
，
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
所以
，所以
．
设
，（
），则
，
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，
所以
，即
的最大值为
，此时
．
7．（2026·宁夏银川·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在
上单调递减，求
的取值范围；
22
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(3)证明：
（
）.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，函数
在点
处的导数
就是该点切线的斜率，
求出斜率后，再利用点斜式即可写出切线方程；
（2）函数在某个区间上单调递减，意味着其导函数在该区间内恒小于等于0，我们先求导，然后
分离参数，转化为求新函数的最值问题；
（3）对于这类连乘小于的题目，常用的技巧是取自然对数，将乘积转化为求和，然后利用放缩
法（如裂项相消）来证明和式小于1.
【详解】（1）当
时，
，
将
代入：
，所以切点坐标为
；求导得：
，
将
代入导函数：
，所以切线斜率
，
所以曲线
在点
处的切线方程
，因此，所求的切线方程为
.
（2）对
求导得：
，
因为
在
上单调递减，所以对于任意
，都有：
，
即：
，因为
，即：
，对于任意
恒成立，
令
，
，对于所有
，不等式
恒成立，只需
，
对
求导：
，
23
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当
时，
，则
，所以
，函数单调递增，
当
时，
，则
，所以
，函数单调递减，
所以
，所以
，所以
的取值范围是
.
（3）设
，对
取自然对数，得：
，
又
，
于是
，构造函数
，其中
，
求导得：
，当
时，
，所以
在
上单调递增，
则对于任意
，有
，即
，
而
，所以
，
因此
，
由于
，所以
，从而
.原不等式得证.
8．（2026·江西赣州·一模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性.
(2)设函数
，若存在唯一实数
使函数
的最小值为0，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
或
．
【分析】（1）求导后对
的取值范围分类讨论即可；
24
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（2）法一：
，根据（1）中结果可求得
的最小值，构造函数，问题可转化为函数的零点
个数问题；法二：同法一求出
的最小值，转化为存在唯一实数
使
，再设新
函数，求导后对
分类讨论即可.
【详解】（1）由
得
.
①当
时，
，
单调递减；
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，即
，所以
单调递减，
当
时，
，即
，所以
单调递增；
③当
时，
，所以
，
单调递减.
综上，当
时，
单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
单调递减.
（2）解法一：由
得
，由（1）可知
，
即关于
的方程
只有1 个根，
当
时，方程（）恒成立，即当
且
时，方程（）无解
所以
，
25
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由
，所以
，即
，即
且
，
对（
）式同时取对数
，
即
，令
，则
，
即关于的方程
在
无解
.
又令
，则
，
令
，则
，
由
，则当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，所以
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，
要使
式成立，只需
或
，即
或
综述，实数
的取值范围
或
．
解法二：令
，
由（1）可知，
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
依题，存在唯一实数
使函数
的最小值为0，
所以存在唯一实数
使
，即存在唯一实数
使
，
令
，则
，
（i）当
时，
恒成立，故函数
在
单调递增，
又因为
，所以存在唯一实数
使得
，符合题意；
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（ii）当
时，令
，得
，令
，得
，
故函数
在
单调递增，在
单调递减，所以
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
或
．
9．（2026·安徽黄山·一模）已知函数
．
(1)若
，讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有三个零点
，且
．
（Ⅰ）求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若三个零点成等差数列，求这三个零点．
【答案】(1)答案见解析
(2)（Ⅰ）
（Ⅱ）
，
【分析】（1）求导得到导数表达式，再结合参数
的不同取值范围，分别讨论导数在相应区间上
的正负，从而确定函数的单调性.
（2）（Ⅰ）根据单调性和函数值的符号排除不符合条件的情形，再通过极值点的函数值符号建立
不等式，得到参数
的取值范围；
（Ⅱ）零点成等差数列时利用零点所满足的方程变形得到比例关系，结合等差数列的定义建立关于
公差的方程并求解.
【详解】（1）由
，
①当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增；
②当
时，若
，则
，即
在
上单调递增；
若
，则
，
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令
，
若
，即
时，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；
若
，即
时，当
时，
；
当
时，
，由
的连续性知
在
上单调递增．
综上所述，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递
增；
当
时，
在
上单调递增．
（2）（Ⅰ）①当
时，由（1）知
在
上单调递增，则至多只有一个零点，与题不符；
②当
时，由
得
，则
在
上只有一个零点，与题不符；
③当
时，在
上
单调递减，而在
上
恒成立，
且
,则函数无零点，与题不符；
④当
，
在
上单调递增且
，
所以
在
上恰有一个零点，
又
时，
，若使
有个零点，则
，
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即
，即
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
（Ⅱ）令
，即
，
因为
为函数
的三个零点，且由（2）知
，
所以有：
，由于
同号，两式相除得
，
令等差数列的公差为
，所以
，得
，
同理，由
异号，所以
，所以
，得
，
所以
，得
，解得
．
代入
，得
，所以
．
10．（2026·新疆·一模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，判断函数
的单调性；
(3)讨论函数
的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
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【分析】（1）求出导数，求出
得斜率，点斜式可求切线方程；
（2）先求导数，从1 分段讨论导数的符号，得出单调性；
（3）令
，求解根的情况，需讨论
的单调性，判断其零点个数.
【详解】（1）当
时，
，
，
，所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）定义域为
，
，
整理得
，
当
时，
，因为
，所以
，
所以
，
为增函数.
当
时，
，因为
，所以
，
所以
，
为减函数.
综上可得，当
时，
为减函数，当
时，
为增函数.
（3）设
，由
得
或
；
当
时，
，
为增函数，又
，此时
仅有一个零点；
当
时，
，
时，
，
为增函数，
时，
，
为减函数，
的最大值为
；
若
，
的最大值为
，此时
仅有一个零点；
若
，则
，
且
趋近于
时，
趋近于
，
30
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故在区间
内，
有且仅有一个零点，此时
有两个零点；
若
，则
，
且
趋近于0 时，
趋近于
，
故在区间
内，
有且仅有一个零点，此时
有两个零点；
综上可得，当
或
时，
有一个零点，当
或
时，
有两个零点.
11．（2026·山东青岛·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若存在
，
，
，使得
，求
的最大值.
【答案】(1)当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)
【分析】（1）求导，分
和
，根据导函数的符号判断函数的单调性.
（2）先根据函数的单调性得
，
，设
，
，求
导，分析函数的单调性，求函数的最大值即可.
【详解】（1）由题得
，
.
若
，则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减；
若
，当
时，
；当
时，
，
31
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）得，若存在
，
，使得
，
则必有
，由
.
所以
等价于
，
即
，化简得：
.
设
，
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，
此时
，
.
所以当
，
时等号成立，所以
的最大值为
.
12．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数
.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若
在
上存在极大值，求
的取值范围.
【答案】(1)
32
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(2)
【分析】（1）先根据
确定
的值，此时不等式可化为
，设
，分析函数的单调性，求函数的极小值，即可得不等式的解集.
（2）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性确定函数的极值情况，可得参数的取值范围.
【详解】（1）由
.所以
.
由
.
设
，
.则
，
.
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.又
，所以
在
上恒成立.
即不等式
的解集为
.
（2）因为
，
.
所以
.
当
即
时，
在
上恒成立，
由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
故函数
在
上只有极小值，无极大值；
当
即
时，
由
或
；由
.
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所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值；
当
即
时，
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递增，无极值；
当
即
时，
由
或
；由
.
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值.
综上，当
时，函数
在
上存在极大值.
13．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，求曲线
的对称轴；
(3)求
的最大值和最小值.
【答案】(1)增区间是
，减区间是
(2)
(3)当
时，
；当
，且
为奇数时，
.
【分析】（1）利用辅助角公式将其化简，再根据正弦函数的单调性求解单调区间；
（2）设出
的对称轴，根据对称的性质，求出对称轴，再证明；
（3）分
，和
，结合导数求解.
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【详解】（1）当
时，
，
令
，解得
.
令
，解得
.
所以
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.
（2）当
时，
.
不妨设
时，
的对称轴方程为
，由对称轴定义得
，
令
，得
，
化简得
，即
，所以
，
下面证明当
时，
恒成立，
因为
，
所以
的对称轴方程为
.
（3）当
时，
时，
；
时，
.
当
时，
，
，
因为
，且
为奇数，
单调递增，考虑一个周期
，令
，
当
变化时，
的变化如下表，
0
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0
0
+
0
1
减
增
1
减
（接上表）
0
+
0
0
+
0
增
减
增
1
综上，当
时，
；
当
，且
为奇数时，
.
14．（2026·河北张家口·一模）已知函数
，
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
；
(3)若
，关于
的不等式
有解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出导函数，可得
，进而利用导数的几何意义及点斜式直线方程求解切线
方程；
（2）先利用导数法证明
当且仅当
时等号成立，再利用导数法证明
当且仅当
时等号成立，即可证明；
（3）将
整理得
，设函数
，利用单
36
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调性得
，即
，利用导数法求得函数
的最大
值，即可得解.
【详解】（1）由
得
，所以
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）设
，
，
，
当
时，
，
为减函数，当
时，
，
为增函数，
所以
，即
，所以
当且仅当
时等号成立，
设
，定义域为
，则
，
，
当
时，
，
为增函数，当
时，
，
为减函数，
所以
，即
，所以
当且仅当
时等号成立，
所以
；
（3）因为
，整理可得
，
故
，设函数
，则
，
因为
，所以函数
单调递增，所以
，
整理可得
，设函数
，则
，
当
时，
，
为增函数，当
时，
，
为减函数，
所以
，所以
，解得
，所以实数
的取值范围
.
15．（2026·河北邯郸·一模）已知函数
．
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(1)若
，证明：
．
(2)设
有两个零点
．
①求
的取值范围；
②证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）由
得出
，构造函数
，由导数得出
，即可证明；
（2）①由
得出
，构造函数
，根据导数得出
的值域即可求解
的取值范围；
②由①得
，
，要证
即证
，构造函数
，得出
，进而得出
，再构造函数
，即可证明．
【详解】（1）因为
，
，所以
．
令
，则
．
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，则
，则
．
（2）①由
，可得
．令
，
38
利用导数研究函数的极值、最值
考点3
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则
．
令
，显然
在
上单调递增，且
，
则当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，则
．
当
时，
，且当
时，
．
因为
，所以由
有两个零点，可知
的取值范围为
．
②由①可知
，
，
要证
，需证
，即
，即
．
令
，则
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，则
，即
，
则
．
令
，则
，
则
在
上单调递减，则
，从而
．
1．（2026·河北衡水·一模）函数
的极值点的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析导数的符号变化，可得出函数
的极值点个数.
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【详解】因为
，该函数的定义域为
，
由
，得
或
或
.
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递增.
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，故
的极值点的个数为
.
2．（2026·山东德州·一模）已知函数
，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据题目条件，求出
之间的等量关系，进而通过换元法构造函数，根据函数导数与
函数单调性和极值之间的关系，求出函数单调区间和极值，判断函数最大值，进而求出结果.
【详解】由题意可得
，则
，
由
，则
，令
，则
，
令
，可知函数
在
上单调递增，
40
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所以当
有唯一解，即
，即
，可得
，
所以
，令
，则
，所以
，
令
，则
，令
，即
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值，也是最大值，为
，所以
的最大值为.
故选：B.
3．（2026·湖北十堰·一模）若函数
有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，得
，将函数
有极值问题转化为函数
有极值问题，再求
出导数，并按
分类探讨导函数有无变号零点问题求解.
【详解】令
，则
，原函数化为
，依题意，函数
有极值，
求导得
，
令
，
，求导得
，
而
，令
，得
，
当
时，
，则
，得函数
在
上单调递减，
41
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又
时，
；
时，
，
因此存在
，使得
，即函数
，亦即函数
存在极值；
当
时，
，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上递减，在
上递增，则
，
设
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又
，且
时，
，
则
时，
，此时函数
，即
无极值；
当
时，
，且
时，
；
时，
，
此时函数
，即
存在极值，所以
的取值范围为
.
故选：A
4．（2026·山东青岛·一模）已知函数
在
处取得极小值，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】B
【分析】先对函数求导，利用极值点的导数等于0 求出
的可能值，再利用导数分析函数的单调性
讨论求出
．
【详解】函数求导得
，由题意知
，
则
，解得
或
，当
时，
，
由
或
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以函数
在
处取得极小值.
当
时，
，
42
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由
或
；由
.
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值.
满足条件的是
．
5．（多选）（2026·湖北荆州·一模）已知函数
，其中
，则（ ）
A．若函数
有且仅有1 个零点，则
B．若函数
有且仅有2 个极值点，则a 的取值范围是
C．不存在
，使函数
存在唯一的极值点
D．若对
恒成立，则
【答案】ABD
【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解
【详解】对于A，显然0 不是函数的零点，当
时，令
，变形为
，
令
，
，则
，令
得
或
，
令
得
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，作出
的图象，如下：
直线
与其仅有一个公共点，则
；
43
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对于B，
，令
，函数
有且仅有2 个极值点，故
有2 个变
号零点，令
得
，显然0 不是函数的零点，当
时，
变形为
，
令
，则
，令
得
，令
得
或
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
，作出
的图象，如下：
直线
与其交于两点，则
，故
，B 正确；
对于C，结合B 的分析，显然当
时，
有且仅有一个变号零点，函数
存在唯一的极值
点，C 错误；
对于D，
，即
，当
时，
满足要求，当
时，
，变形为
，
令
，结合A 的分析，当x＞0 时，
，故
，D 正确.
6．（2026·山东潍坊·一模）若函数
有两个极值，则实数
的取值范围为
__________.
【答案】
【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可.
【详解】
函数
的定义域为
，
，
44
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函数
在
有两个极值，
在
有两个不相等的实数根，
即
在
有两个不相等的实数根，令
，对称轴为
，
要使
在
有两个不相等的实数根，则需满足
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
.
7．（2026·安徽黄山·一模）若函数
在
处取得极大值，则实数
的取值
范围为__________．
【答案】
【分析】求导，通过讨论
和0 的大小，确定函数的单调性，进而可求解.
【详解】由
，求导可得
令
，可得：
或
，
当
时，即
，
恒成立，
在定义域上单调递减，不符
合题意；
当
时，因为
，所以
，
由
，得
，由
，得
或
，
45
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即
在
和
单调递减，在
单调递增，
即函数
在
处取得极小值，不符合题意；
当
时，因为
，所以
，
由
，得
，由
，得
或
，
即
在
和
单调递减，在
单调递增，
即函数
在
处取得极大值，符合题意；
综上实数
的取值范围为
，
8．（2026·四川遂宁·一模）已知定义在
上的函数
，其导函数
满足
，且
，若函数
存在极大值，且极大值为
，则
的最小值是______.
【答案】
【分析】根据
可得
（为常数），从而可求出函数
的解析式，
进而可求出
的解析式，再利用导数分
和
两种情况讨论求出函数
的极大值，再
结合已知构造关于
的函数，再利用导数即可得解.
【详解】由
，得
，
因为
，所以
，所以
（为常数），
又
，则
，即
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
46
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则
，由
，得
，
当
时，
恒成立，
所以函数
在
上单调递增，所以
无极大值；
当
时，令
，
因为函数
在
上都是减函数，
所以函数
在
上是减函数，
又当
时，
，当
时，
，
所以存在
，使得
，即
，
所以
，
，所以
，
则当
时，
，当
时，
，
即当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值为
，
所以
，则
，令
，
则
，当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
47
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所以
，即
的最小值是
.
9．（2026·广东佛山·一模）函数
在区间
上存在零点，则
的最小值为
____．
【答案】
/0.5
【分析】利用函数零点的意义，将点
视为直线上的点，再利用目标函数的几何意义，借助点
到直线距离公式列式，进而构造函数并利用导数求出最小值.
【详解】设为
在
上的零点，则
，即点
在直线
上，
又
为点
到原点的距离的平方，原点到直线
的距离为
，
因此
，即
的最小值即为
在
上能成立，
令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，
，
所以
的最小值为
.
10．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数
，则
的最小值为___________.
【答案】
【分析】对函数
进行求导，根据三角函数周期性并求出其单调性，得出函数极值，即可求得
其最小值.
【详解】由
，得
，
因为
，所以当
时，
0；当
时，
，
48
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又
满足
，所以
为
的一个周期，所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调
递增.
因为
，所以当
时，
的最小值为
.
即当
时，
的最小值为
.
11．（2026·河南开封·一模）已知函数
，且曲线
在点
处的切
线斜率为
．
(1)求实数
的值；
(2)求函数
在区间
上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为
，最小值为1．
【分析】（1）由题可得
，据此可得答案；
（2）由（1）利用导数可判断
在
上的单调性，据此可得答案.
【详解】（1）
，依题意，
，解之得：
；
（2）令
，解之得：
，
49
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令
，则
，所以
在
上单调递减，
记
，则
单调递增，
单调递减，
所以
在
处取极大值，又因为
，
所以
，
又
，
比较可得：函数
在区间
上的最大值为
，最小值为1．
12．（2026·山东济宁·一模）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)求证：当
且
时，
.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）对函数
求导并令导数为
，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符号确定
函数单调性，进而求出极小值与极大值；
（2）构造函数
并求导，将问题转化为分析导函数
的最小值，结合已知
的范围
判断
恒正，从而推出
单调性，最终证明不等式.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
,令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增。
所以
的单调递减区间是
，单调递增区间是
；
50
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极小值为
，无极大值.
（2）令
，则
，
由（1）可知，
即
的最小值为
，
已知
，代入得：
，
因此
对任意
恒成立，故
在
上单调递增，
当
时，
，即
得证.
【点睛】本题的核心是通过导数分析函数单调性，以极值为桥梁，将不等式证明转化为函数最小值
的符号判断.
13．（2026·广西南宁·一模）已知函数
．
(1)求
在
上的最值．
(2)设函数
．
（i）讨论
的单调性；
（ii）若
为
的一个极值点，且
，
，证明
为定值．
【答案】(1)最大值为，最小值为
.
(2)（i）见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用导数得出函数的单调区间，进而求出极值，再比较端点处的函数值即可求解；
（2）（i）求出函数
的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间；
（ii）根据
为
的一个极值点得出
，并解得
，再由
列出方
程并化简即可得出结论.
【详解】（1）
，令
，解得
或
.
当
时，
，
单调递增，
51
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当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
时取得极大值
，在
时取得极小值
，
又
，
，
所以
在
上的最大值为，最小值为
.
（2）（i）
，则
，
判别式
，
当
时，
，
，
在
上单调递增；
当
时，
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
综上所述，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
，
上单调递增，
在
上单调递减.
（ii）因为
为
的一个极值点，所以
，即
，
所以
，由
得
，
整理得
，
，
化简得
，
因为
，所以
，
52
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将
代入，得
，
整理得
，
，
化简得
，因为
，所以
，即
，所以
为定值.
14．（2026·山东菏泽·一模）已知函数
，
.
(1)当
时，证明：1 是
的极值点；
(2)当
时，证明：
；
(3)若
，对任意的
，
恒成立，求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的导数证明1 是
的极值点；
（2）分
，
两种情况讨论，当
时，利用导数判断函数的单调性即可得证；
（3）利用导数求函数
的最小值，可得
，转化为
，构造函数
，利用导数求最大值即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
时，
，故
；
时，
，故
，又
，
所以1 是
的极值点.
（2）当
时，只需证明
，
①当
时，
，
，不等式显然成立；
②当
时，令
，则
，
，
53
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令
，则
，因为
，
，
，
所以
，所以
单调递减，所以
，所以
单调递减，
所以
，所以
，综上，原不等式得证.
（3）任意的
，
恒成立，只需要
，
又
是增函数，
，
，
，
故由零点存在性定理可知，
，使得
，
此时
，由题设
及
可知，
，解得
，
当
，
，故
单调递减，当
，
，
单调递增，
所以
，
取得极小值也是最小值，所以
，
所以
，得
，
，
令
，
，得
（舍去）或
，
当
，
0
单调递增，当
，
，
单调递减，
所以
时，
取得极大值也是最大值，所以
，所以
的最大值是
.
15．（2026·广东汕头·一模）已知函数
．
(1)求证：
不是函数
的极值点；
(2)设
，
，是否存在a，使得函数
的最小值为2？若存在，求出a 的值；
若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明过程见解析
54
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(2)存在，当
时，函数
的最小值为2
【分析】（1）方法一：利用反证法证明即可.
方法二：对函数求导，分类讨论
的单调性，结合函数的极值点定义证明即可.
（2）分类讨论
的单调性，计算最小值，看是否存在
使得函数的最小值为2.
【详解】（1）方法一：函数
的定义域为
，
，
若
为函数
的极值点，则必有
，由
得
，
当
时，
，令
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
故
在
处取得最小值
，即
在
上恒成立，且仅在
时取等号，
所以
在
上单调递增，
不是
的极值点，
当
时，
，故
不是
的极值点，
综上，
不是函数
的极值点，
方法二：函数
的定义域为
，
. 当
时，
.
令
，则
.当
时，
在
上恒成立，
则
在
上单调递减，即
在
上单调递减.
当
时，
；当
时，
；
因
连续，故在
的邻域内
，
单调递减，所以
不是极值点.
当
时，令
，即
，解得
.若
，即
，则
.
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
所以
，即
，所以
单调递增，所以
不是极值点.
若
，即
，
55
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当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
所以
在
处取得最小值
.
当
时，
，所以
，即
，所以
单调递增，所以
不是极值点.
当
时，
，
在
和
上各有一个零点，设为
，
，
在
上，
，
，
单调递减；
在
和在
上，
，
，
单调递增；所以
不是极值点.
综上，
不是函数
的极值点.
（2）由（1）知，
，
.
.
当
时，在
上，
，
单调递减，
所以
，不符合题意.
当
时，令
，即
，解得
.
若
，即
时，在
上，
，
单调递减，
所以
，不符合题意.
若
，即
时，在
上，
，
单调递减，
在
上，
，
单调递增，所以
.
令
，解得
，符合题意.
56
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综上，存在
，使得函数
的最小值为2.
16．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求
在区间
上的最大值；
(2)若
在
上有且仅有一个极值点，求实数
的取值范围；
(3)设
为
在
内的极小值点，求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求函数最大值即可；
（2）先分析
的单调性，再分类讨论分析
的零点，据此分析
的单调性得出是否存
在唯一极值即可；
（3）原不等式可转化为证明
，构造函数，利用导数求函数的最值
即可得证.
【详解】（1）当
时，
，
，
时，
，故
，
单调递增，
故
.
（2）由题，
，令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
57
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当
时，
，则
在
上单调递减.
①当
时，
，则
在
上恒成立，此时
单调递减，不存在极值点；
②当
时，
，
由零点存在性定理知，存在
，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，此时
有唯一极小值点
，
极大值点
；
③当
时，
，
存在唯一
，使得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，此时
在
上有唯一极大值点
；
④当
时，
恒成立，
在
上单调递增，此时
无极值点.
综上，实数
的取值范围为
.
（3）由题知，
，即
，
要证
，即证
，
令
，则
，
令
，得
，
再令
，
，当
时，
，则
单调递减，
58
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所以
，
单调递减，所以
，从而
，可得
单调递减，
所以有
，则有
，因此
.
17．（2026·福建泉州·一模）已知函数
.
(1)证明：
有且只有一个极值点；
(2)若
恰有两个零点.
（i）证明：
；
（ii）记
的极值点为
，若
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）
.
【分析】（1）法一：
，再设新函数再次求导，得到其单调性，再结合极限知识和零点存在
性定理和极值的定义即可得到其唯一极值点；法二：同法一利用二次求导法，通过取值再结合零点
存在性定理即可证明；
（2）（i）法一：首先讨论
的情况，再研究
，代入隐零点得到方程组，消去
，
再设新函数，求导后得到其单调性，再结合零点存在性定理即可得到证明；法二：同法一消去
，
再设新函数，求导得其单调性，计算
和
即可证明；
（ii）法一：利用
，再设新函数
，通过多次求导研究即可；法二：
将
代入即可得
，再设新函数并求导，最后再对
分三类讨论即可；
法三：同法二得到
，再设新函数并求导，最后对
分两类讨论即可.
【详解】（1）解法一：函数
的定义域
，
59
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令
，因为
，
所以
在
单调递增，即
在
单调递增.
又
.
所以存在唯一的实数
，使得
，即
.
当
时，
，所以
单调递减；
当
时，
，所以
单调递增；
故
为
的极小值点，即
有唯一的极值点；
解法二：同法1 得到
在
单调递增.
由于
，
，
所以存在唯一的实数
，使得
，即
，
当
时，
，所以
单调递减；
当
时，
，所以
单调递增；
故
为
的唯一极值点.
（2）（i）解法一：由（1），得
.
60
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①当
时，
至多一个零点，不合题意，舍去；
②当
，即
时，
由
消去
得，
，
令
，
因为
，所以
为减函数，
又因为
，所以
的解集为
.
又
在
单调递增，所以
.
又
.
此时
有两个不同的零点，即
.
解法二：同法1 得到
.
此时
又
，则
，
由零点存在性定理，存在
，使得
.
综上，可得
.
（ii）解法一：由于
，所以
可化为
.
61
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令
，
则
，
设
，则
，则
，
则
，即
，从而
.
令
，所以
在
单调递增，
所以
，所以
，
即
，
所以
，所以
在
单调递增.
所以
，故
.
解法二：将
代入整理得
令
，
当
时，因为
，所以
，
所以
，显然成立；
当
时，
，
62
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令
，则
.
显然
在
单调递增，所以
.
①当
，则
，
此时
在
单调递增，
所以
，即
.
所以
在
单调递增，所以
，
欲使
，只需
，即
.即
时，符合题意.
②当
时，则
，又
，
若
，则
，又
在
连续，
则存在
，使得
，这与
矛盾；
若
，则
显然不恒成立
综上，实数
的取值范围为
.
解法三：将
代入整理得
，令
①当
时，
.又
，
若
，则
，又
在
的图象是连续不断的，
故存在
，使得
，这与
矛盾；
若
，则
显然不恒成立
所以
时，
不恒成立.
②当
，因为
，
63
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令
又
，
因为
，所以
.所以
所以
在
单调递增，所以
.
综上，实数
的取值范围为
.
18．（2026·江西萍乡·一模）已知函数
，
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若函数
有1 个极值点
，且
，证明：
有两个零点；
(3)在（2）的条件下，设
的两个零点分别为
，
（
），证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导判断函数
在
上单调性，结合
求解不等式；
（2）分
和
讨论，利用导数判断单调性进而判断零点个数；
（3）由（2）知
，
，
，
在
上单调递增，利用分析法
要证
，只要证
，即证
，结合
，即证
，构造函数，利用导数证明.
【详解】（1）由题知
的定义域为
，且
，
若
，则
,又
,故
恒成立，
在
上单调递增，
又
，故不等式
的解集为
.
64
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（2）由（1）知，当
时，
在
上单调递增，没有极值点；
当
时，
，由函数
，
（
）的图象知，
当
时，存在唯一的
，使
，
且当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
故
只有1 个极值点
，
因为
，且
，故1 是
在区间
上唯一的零点，且
，
又
时，
，故存在唯一的
，使得
，
所以
有两个零点.
（3）由（2）知，
，
，
，
当
时，
，
时，
，
又
在
上单调递增，
要证
，只要证
，即证
，
由
，得
，即要证
，
因为
，则
，所以只需证
，（*）
设
（
），则
，令
，
则
，显然
在
上单调递增，且
，
所以
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
又
，故
在
上恒成立，
65
利用导数研究函数的零点、方程的根
考点4
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所以
在
上单调递增，又
，故
，
故
，得到
，即（*）式成立，
故
，从而
，证毕.
1．（2026·安徽安庆·一模）已知
，若函数
恰有1 个零点，则
（ ）
A．e
B．
C．1
D．3
【答案】B
【详解】由
，可得
恒为
的一个零点，
令
，则
恰有1 个零点，等价于
的唯一零点是
，或
无零点.
因为
，且
，所以
恒成立，
在
上单调递增.
又
时
，
时
，因此
必然存在唯一零点.
当
的零点是
时，可得
，即
，解得
，
.
2．（2026·海南海口·一模）已知
，设
满足方程
，
满足方程
，则
（ ）
A．a
B．2a
C．1
D．2
【答案】A
【分析】通过变量替换将第二个方程变形为与第一个方程相同的形式，利用函数单调性得到
66
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，从而求解出
的值.
【详解】由题意可得，
满足方程
，
满足方程
，
令
，则
，将
代入
可得：
，进一步化简可得：
，
观察
与
，发现两个方程形式相同，
设
，对函数
求导可得：
，
在
时，
，所以
在
时单调递增，即方程
有唯一解，
所以，
，即
，所以
.故选：A.
3．（2026·湖北黄冈·一模）已知函数
，关于
的方程
有且仅有4
个不同的实根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数判断函数
的单调性，即可作出其图象，由此可得到
的图象，
将方程
有且仅有4 个不同的实根，转化为
和
对应的方程
的
根的总数为4 个，数形结合，即可求解.
【详解】由
可得定义域为
，且
，
当
且
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减，所以：
是极大值点，
；
67
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当
时，
；当
时，
；由此可作出函数
的图象：
令
，则原方程
可化为：
，得
或
，
原方程
有且仅有4 个不同的实根，等价于
和
对应的方程
的
根的总数为4 个；结合
的图象可得
的图象：
由题意知
以及
，故
，且
，结合
图象，要使得
和
有且仅有4 个不同的实根，需满足
且
，即得
，此时
有1 个解，
有3 个解，即
.
4．（2026·重庆·一模）若方程
的三个根
成等比数列，则公比为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】分离参数，转化问题为直线
与
图象的交点问题，结合导数作出函数图象，
进而求解即可.
68
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【详解】由
，得
，所以
.设
.
方程
的根等价于直线
与
图象的交点的横坐标.
因为函数
的导数为
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，又
时，
，
时，
，
作出
的大致图象，如下图：
则
（*），因为
成等比数列，设公比为
，
所以
，
，代入（*）式得
，由
，得
，即
，所以
，解得
，代入
，可得
，整理得
，解得
或
（舍
去），则公比为
.
5．（2026·重庆·一模）关于
的方程
有两个不同的解，则实数
的取值范围
69
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为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指对运算将方程
化为
，设
，求
导确定单调性可得
，令
，求导确定函数
的单调性与最值从
而得实数
的取值范围.
【详解】方程
可转化为
，则
，
所以
，设
，则方程转化为
，
又
恒成立，所以
在
上为增函数，所以
，即
，
令
，所以
，则
可得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以
，又
时，
，
时，
，
若方程
有两个不同的解，则实数
的取值范围为
.
故选：D.
6．（2026·山西朔州·一模）若关于
的方程
有2 个不同实根，设
，则
（ ）
A．
B．
70
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C．
D．
【答案】C
【分析】通过去绝对值号，将原方程转化为两个方程，再结合函数的单调性、零点存在定理分析根
的个数，最终得出的范围.
【详解】由原方程
，可得
，并将方程转化成
或
，即
或
.
设
，
，
因为
，因为
，所以
在
单调递增.
当
，
，当
，
，又因为
在
上是连续的函数，
所以根据零点存在定理，
有唯一根
，即
，
两边取对数得
，化简得
，整理得
，
因为
在
严格递增，故
.所以
在
单调递增，
在
单调递减，故函数
在
取得最小值
，
同理函数
在
取得最小值
，
因为
.
因为当
和
时
与
均趋近于正无穷，从而当两个函数的最小值一正一负时，方
71
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程有且仅有2 个实根，即
且
，即
整理得
即
所以
，即
的取值范围为
.
7．（2026·江西新余·一模）已知
在
上有两个不同零点，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
得出
，变形得出
，分析可知
，构造函数
，其中
，分析出函数
在
上为增函数，可得出
，则
，参变分离得出
，构造函数
，
其中
，利用导数分析函数
的单调性与极值，数形结合可得出实数
的取值范围.
【详解】由
可得
，
故等式可变形为
，
等式两边同时乘以
可得
，
若
，对任意的
，
，则
，故
，
72
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所以
，但
，等式不成立，不符合题意，所以
，
构造函数
，其中
，则
，
所以函数
在
上为增函数，由
可得
，
所以
，参变分离得
，
构造函数
，其中
，则
，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
所以函数
的极大值为
，
又因为
，
，且
，如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与函数
在
上的图象有两个交点，
因此实数
的取值范围是
.
故选：D.
8．（2026·福建龙岩·一模）已知
，对任意
，关于
的方程
有实数解，则
的最小值为______.
【答案】
73
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【详解】由题意，该方程有解，故
，
该不等式对任意
恒成立，即
，设
，则
，
当
时，
，当
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单
调递减，则
，即
的最小值为
.
9．（2026·河北邢台·一模）若函数
在定义域内有零点，则实数a 的取值
范围为________.
【答案】
【分析】根据函数的解析式形式，利用同构函数法，结合函数的零点定义、导数的性质进行求解即
可.
【详解】函数的定义域为
.令
，令
，于是有
，
设函数
，因此函数
是实数集上的增函数，
所以由
，由
，
当
时，由
，设
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
因此
，且
，当
时，
，当
时，
，
函数
在定义域内有零点，转化为函数
在
时，与直线
74
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有交点，如下图所示：根据数形结合思想可知：当
时，函数
在
时，总
与直线
有交点，所以实数a 的取值范围为
.
10．（2026·广东深圳·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
有两个零点.
（i）求
的取值范围；（ii）证明：
.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
；
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数的单调性，
（2）（i）方法一：求导，对
进行讨论，结合函数单调性可求解
，即可构
造函数
，求导，结合零点存在性定理即可求解，方法二：求导，对
进行讨
论，换元
，
，
，则
， 可求解
，即可结合解法一求解，解法三：求导，对
进行讨论，结合
75
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零点存在性定理即可求解，解法四：分离常数得
，构造函数
，利用导数求解
函数的单调性，即可结合函数图像求解，（ii）根据（i）的求解可求解函数
的最大值，进而
构造函数
，利用导数求解单调性，即可得证.
【详解】（1）由于
令
，则
，
令
，
，
在
上单调递增；
令
，
，
在
上单调递减；
于是
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）（i）解法1 由于
若
，
，
，于是
在
上单调递增，至多与
轴只有一个交点，
矛盾；于是
，令
，则等价于
，
易得
，因为
，则
，
令
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
因为
即
，
，所以
，
显然
不符合题意，故
，即
，
76
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令
，
，则
在
上单调递增，且
，
由于
，所以
，
由于
，令
，
在
上单调递增，则
，
于是
，
，
由零点存在定理，存在
使得
，
当
时，易证
，则
即
，
由于
，
取
，且
，则
，
由零点存在定理，存在
使得
，所以当
时，
在
上有两个零
点.
解法2 由于
，
，
若
，
，
，于是
在
上单调递增，至多与
轴只有一个交点，
矛盾：于是
，令
，
，
，则
，
令
，则
，由于
，令
，
，
当
时，
，即
，于是
在
上单调递增，
当
时，
，即
，于是
在
上单调递减，
77
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于是
，若
，即
，
由
，则
，可得
，同解法1；
解法3 由于
，
，
若
，
，
，于是
在
上单调递增，至多与
轴只有一个交点，
矛盾；于是
，设
，
，
若
，则
，
在
上单调递减，且
，
不妨令
，则
，于是取
，则
，
且
在
上连续，由零点存在定理，存在唯一
，
，
于是
在
单调递增，在
单调递减，则
存在唯一极大值点
；
若
，令
，则
，于是
在
上单调递增，在
单调递
减，由于
，则
，
，且
，
且
在
上连续，由零点存在定理，存在唯一
，
，
于是
在
单调递增，在
单调递减，则
存在唯一极大值点
；
综上所述：若
，
有一个极大值点
；
，
于是
，
78
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若
，则
至多只有一个零点，矛盾；
若
，由于
，同解法1；
解法4 令
，则
，
，
于是函数
与函数
的图象在
上有两个交点，
由于
，设
，
，
，
于是
在
上单调递减，且
，
于是
时，
，
，
在
上单调递增；
时，
，
，
在
上单调递增：且
，
，
所以函数
的图象如图所示，所以
，
（ii）根据（i）可知，
，其中
，则
，
79
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下证：
即证：
.
设
，
令
，
，于是
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，即证.
11．（2026·安徽宿州·一模）已知函数
.
(1)证明函数
存在唯一零点；
(2)
的零点为
，证明
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分析函数的单调性，再结合零点存在定理证明；
（2）根据
得到
满足的关系式，再将
转化，最后通过研究函数的单调性来证明不
等式.
【详解】（1）函数
的定义域为
，当
时，
，（这是因为
）故函数
在
没有零点；
当
时，
，易见
在
上是减函数，
且
，故存在
，使得
在
上递增，在
上递减，
且
，
所以
在
上存在唯一零点，又
，所以在
上无零点，
故
在
上存在唯一零点.
80
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（2）注意到
，由（1）知存在唯一
使得
，即有
，
故
.令
，
令
，显然当
时，
.故
在
上单调递减，
所以
.
12．（2026·山西临汾·一模）已知函数
（
，
且
）.
(1)当
时，
在
处的切线斜率为0，求b 的值；
(2)若对任意的
，函数
有两个不同的零点，求a 的取值范围；
(3)当
，
时，若函数
有两个不相等的零点
，
，证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）确定
表达式，对其求导，再根据
的切线斜率为0 求出
的值.
（2）对函数
求导，根据题意判断
单调性，求出极值点
，再由
有两个零点等价于
，结合
的值推出
的取值范围.
（3）方法一：通过构造函数
，利用函数单调性和零点关系推导；方法二：先由
得出
的表达式，再通过换元法构造函数
证明不等式.
81
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【详解】（1）由
可知，
，则
，由题可得：
，故
.
（2）因为
，则
，
因为
，
，所以
是单调递减函数，
令
，得唯一极值点
，
在
递增，
递减，
所以
有两个零点等价于
，则
，
，得：
，约去正数
，得
，
当
时，
，因此
，即
，得出
，
故
，又
，故
.
（3）方法一：
当
时，
，
时，
，
令
，则有
，即
，
则
在
单减，在
单增，不妨设
，
构造
，
，
，
，
82
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，
令
，则
在
上单减，
，故
，
故
在
单减，故
，又
，
，
又
，
，又
，且
在
单增，
故
，故
得证.
方法二：已知
，即
，两式相减得：
，
即：
，故
，不妨设
，
则
，
，下证：
，令
，则
，
即证
，即证
，
令
，
，则
，
故
在
上单增，故
，所以
，故
得证.
13．（2026·河南南阳·一模）已知函数
，其中
，且
．
(1)当
时，讨论
的零点个数；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
83
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【答案】(1)当
时，有1 个零点；当
或
时，有2 个零点；(2)
【分析】（1）根据条件，将问题转化成
解的个数，构造函数
，利用导
数与函数单调性间的关系，得到
的图象，再数形结合，即可求解；
（2）根据条件，利用指数、对数函数的性质，将问题转化成
恒成立，构造函数
，利用导数，求出
的最小值，即可求解.
【详解】（1）函数
（
，
）等价于
，
两端同取自然对数得
，即
，令
，
则原题转化为
的解的个数，由于
，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
则
在
处取得最大值，最大值为
，
又当
时，
；当
时，
，函数图象如图所示，
由图知，当
时，
，解得
，此时有1 个零点；
当
时，
，
与
有2 个交点，此时2 个零点；
当
时，
，
与
有2 个交点，此时2 个零点；
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综上，当
时，有1 个零点；当
或
时，有2 个零点．
（2）由题知
恒成立，即
恒成立．
当
时，若
，则
，显然不成立，故
时不符合题意；
当
时，由
，可得
，
因为曲线
与
关于直线
对称，所以
，
令
，则
，
令
，得
，又因为
单调递增，
所以当
时，
，
在区间
上单调递减，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
所以
时，
取得极小值，也是最小值，
所以
的最小值为
，其中
，
由
，得
，即
，得到
，所以
．
综上所述，实数
的取值范围是
．
14．（2026·陕西商洛·一模）已知函数
．
(1)若
，求证：
；
(2)若
，求证：
在
上恰有两个零点；
(3)若不等式
对任意的
恒成立，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
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【分析】（1）根据三角函数的有界性，将问题转化为
，构造函数
，由导数求解函数的单调性即可求解，
（2）求导得函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求解，
（3）根据
，可得
在
时取得最小值．进而将问题转化为
为函数
在
上的一个极小值点，得
，进而利用导数证明：当
时，
为函数
在
上的一个极小值点．
【详解】（1）证明：若
，则
，当且仅当
时等号成立，
令
，所以
，所以当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，当且仅当
时，等号成立，又等号不能同时取到，所以
.
（2）证明：若
，所以
，
当
时，
，所以
.
当
时，记
，
，
故
在
上单调递增，又
，
所以
，使得
，所以当
时，
，当
时，
，
86
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
又
，所以
在
上恰有1 个零点；
因为
，所以
在
上恰有1 个零点．
综上，
在
上恰有两个零点.
（3）若不等式
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，
令
，又
，所以当
时，
取得最小值．
因为
，则
为函数
在
上的一个极小值点，
所以
，即
，解得
下面证明：当
时，
为函数
在
上的一个极小值点．
因为
，令
，所以
，
令
，所以
，
当
时，
，所以
，
当
时，
，
，所以
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
87
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即
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
即
在
上单调递增，
又
，所以当
时，
恒成立，此时
单调递减，
当
时，
恒成立，此时
单调递增，
所以
为函数
在
上的一个极小值点.
综上，
的值是2.
15．（2026·山东枣庄·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)设
，
．
（ⅰ）讨论
在
内的零点个数；
（ⅱ）证明：
．
【答案】(1)
；
(2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可；
（2）（ⅰ）对函数两次求导，根据
三种情况分别讨论函数的零点个数；（ⅱ）
结合（ⅰ）中的结论可得到
，然后令
对不等式进行化简即可证明.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
，所以切线斜率为，
88
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由
，则曲线
在
处的切线方程为
，即
．
（2）（ⅰ）因为
，所以
．
令
，则
．
a.当
时，因为
，所以
，
，所以
恒成立，
此时，
在
内无零点．
b.当
时，因为
，所以
，则
单调递增．
因为
，所以
单调递增．
，
此时，
在
内无零点．
c.当
时，因为
，所以
，则
单调递增．
因为
，
，所以存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增．
因为
，所以
．
因为
，所以
在区间
内有1 个零点，
所以当
时，
在
内的零点个数为0，
当
时，
在
内的零点个数为1．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当
且
时，
，所以
，即
．
令
，则
，
89
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所以
，
，…，
，
所以
．
16．（2026·湖北黄冈·一模）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)当
时，证明：
在
上存在2 个不同的零点
，且
；
(3)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数单调性和函数导数之间的关系，求出函数导数，进而判断函数单调性，求
出函数最值；
（2）根据函数零点与函数导数之间的关系，进而求出函数单调性，根据函数单调性判断函数最值，
判断函数零点，再构造函数，根据函数单调性列出不等式，证明结果即可；
（3）根据不等式恒成立的条件，构造函数，根据函数导数求出函数单调性和最值，求出参数范围.
【详解】（1）由题意可知
．
当
时，
，
在
上单调递减，∴
．
（2）当
时，
，即
，可得
，
令
，
，令
，由定义域为
，可得
，解得
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以在
上单调递增，
所以
．又
时
，
时
，
90
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所以
在
上2 个不同的零点
，即
在
上2 个不同的零点
，
设
，令
，
，
则
，
∴
在
上单调递减，∴
，
∴
，即
，又
，
，
而
在
上单调递增，
，故
．
（3）令
在
上恒成立．
记
，
．则
，
所以原不等式等价于
在
上恒成立．
可知
，令
，
．
当
时，
，即
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
∴
，
当
即
时，
，
在
上单调递增，
，不等式恒成立；
当
即
时，存在
使得
，
即存在
使得
在
上单调递减，在
上单调递增，
即在
上
，不等式不恒成立．所以
；
当
时，
，
，
，可知
在
上单调递增，
91
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，
．即
在
上有唯一解
，
使得
，即
时
，
在
上单调递减，
时，
，
在
上单调递增，
因为
，∴存在
，使得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，即
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，
．
∴当
时，
，即
在
上单调递增，
而
，∴
，∴
．
17．（2026·江西·一模）已知函数
，记等差数列
的前
项和为
，
记
.
(1)证明：曲线
是中心对称图形；
(2)证明：“
”是“
”的充要条件；
(3)
时，判断函数
在区间
上的零点个数.
【答案】(1)证明见解析
92
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(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由
可得答案；
（2）由已知得
，再由（1）可得充分性；①假设
，即
，利用导数判断出函数
在
上单调递增，得出矛盾.②假设
，同①理得
，矛盾.③假设
，同充分性证明方法可以推得
，假设成立.必要性得证；
（3）
的周期
，故先研究
在
上的零点个数，分
、
、
讨论，结合导数、零点存在定理可得答案.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
所以曲线
是中心对称图形，且对称中心为
；
（2）（i）先证明充分性：若
，则
，
所以
，
所以
.所以
，充分性得证；
（ii）再证明必要性：若
，
①假设
，则
，即
，
，
93
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所以函数
在
上单调递增，
，
同理
，所以
，矛盾，假设不成立.
②假设
，同①理得
，矛盾，假设同样不成立.
③假设
，同充分性证明方法可以推得
，假设成立.
综上，必要性得证，
所以“
”是“
”的充要条件；
（3）
，因为
，所以
是周期函数，且周期
，
故先研究
在
上的零点个数，
①
时，
（等号不可同时取得），
所以此时
，函数
无零点.
②
时，
，所以此时
，函数
无零点，
③
时，
，令
，
则由复合函数的性质可得函数
在区间
上单调递增，
时，
，由零点存在定理：
，使得
，
所以
时，
单调递减，
时，
单调递增，
又因为
，所以
，又因为
在
上单调递减，
94
利用导数研究不等式证明及恒成立
考点5
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由零点存在定理：
，使得
.
综上所述，
在
上有2 个零点，分别为
，
由
是周期函数，且周期
得：
在
上有2 个零点，
在
上有2 个零点，
在
上有2 个零点，
在
上有1 个零点.所以函数
在区间
上的零点个数为
.
1．（2026·山东济南·一模）若存在
，对任意的
，都有
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】问题转化为
在
上恒成立，令
，利用导数求出
，则存在
，使
，令
，利用导数求出
的最大值即可得到
的最大值.
【详解】任意的
，都有
，则有
在
上恒成立，
令
，函数定义域为
，
，令
，解得
，
时，
，
在
上单调递减；
时，
，
在
上单调递增，
95
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，因此存在
，使
，
令
，
，令
，解得
，
时
，
在
上单调递增；
时
，
在
上单调递减，
有
，所以
时，
的最大值为
.
故选：C
2．（2026·湖南常德·一模）已知实数
，若对任意的
，
恒成立，则
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件得出
关系，然后再利用导数即可求解.
【详解】由题意可知
整理得
，
又因为
，所以
要想最大，则有
，并且
，即
，所以
，
设函数
，令
，解得
或
（舍去）.
当
时，
， 当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
的最大值为
.
96
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故选：B
3．（2026·江西·一模）若
使得不等式
对任意
恒成立，
则实数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．4
D．
【答案】C
【分析】令
，将问题转化为
使得不等式
对任意
恒成立，结合导数研究
的单调
性以及图像，数形结合求解.
【详解】令
，其中
，则
，当
时，
，当
时，
，所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数
在
上单调递减．所以
使得不等式
对任意
恒成立等价于
使得不等式
对任意
恒成立．
令
得
，由图可知
，
因此实数
的最大值为4．
4．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意
，不等式
恒成立，则实数
的最
大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
97
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【分析】记
，由
，可知只要
时
恒成立即可，从
而将问题转化为
在
恒成立，令
，结合导数求出
的最
值即可求解.
【详解】原不等式等价于
，记
，
注意到
，这说明只要
时
，则当
时也有
.
故下只考虑
时的情况，要使
，只需
在
恒成立，
令
，
.
因为
，故
，经验证，满足题意.
故选：D
5．（2026·河北保定·一模）已知函数
(1)当
时，求
的极值.
(2)已知
.
（i）证明:
；
（ii）若
在
上恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)极大值
，极小值
；(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）先对函数求导得到
，通过导数的正负判断单调性，进而确定极值点并
计算极值；
（2）（i）通过构造辅助函数并分析导数符号证明不等式；
（ii）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性求最值，从而确定参数范围.
98
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【详解】（1）
时，
，
，
令
，得
，解得
，
当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
单调递减；
所以当
时，
取得极大值
，
当
时，
取得极小值
.
（2）
时，
.
（i）要证
，
，即证
，
令
，则
，
令
，则
，
即化为
，
因为
，所以
，所以
，即
，
在
单调递增，
又
，所以
，即
.
（ii）由
得
，
当
时，
显然成立；
当
时，不等式可化为
，令
，则
99
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则
，
令
，
当
时，
，由
得
，又
，
所以
，所以
，
在
单调递增，所以对
，
；
下面证明当
时，
，即
，也即证
：
令
，则
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
在
单调递增，所以
，即
，
所以
.
综上，
时，
，所以
，即实数的取值范围为
.
6．（2026·山东东营·一模） 已知函数
(1)当
时， 求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数
在
处取得极值，
(i)求
的值；
(ii)已知
，若
在
上恒成立， 求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
，
100
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【分析】（1）当
时，
，
，求出
，代入到直线的点斜式方程
计算即可.
（2）(i)函数
在
处取得极值，则
，由
得，
，则
，计算即可.
(ii) 由
在
恒成立，利用分离常数法得：
，令
，得
，则
，
时，
，得
是最小值点，计算即可.
【详解】（1）
当
时，
，
，
，
，
函数
在
处的切线方程为
，化简得：
.
（2）(i)
函数
在
处取得极值，
，
，
，
，
，
，
，令
，解得：
或
，
当
时
，
单调递减，
101
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当
时
，
单调递增，
函数
在
处取得极小值，
函数
在
处取得极值时
(ii) 由(i)得
，
，且
，在
恒成立，
，即
，
，整理得：
，即
，令
，
，
，
，
化简得：
，
令
，则
，
时，
，
在
单调递增，
，
当
时，
，
解得：
，
当
，
，
单调递减，
当
，
，
单调递增，
是极小值点，也是最小值点，
，
，
102
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实数
的取值范围是
.
7．（2026·江西南昌·一模）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)设函数
的零点为
，设曲线
在
处的切线为
，求证：
(3)当
时，设
，且满足
，求证：
.
【答案】(1)
在
为增函数；
在
为减函数；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数导数，利用导数求函数单调区间；
（2）求出切线方程，构造函数，利用导数求最值，即可得证；
（3）分类讨论证明
，结合条件不等式可转化为
，构造函数
，求导后，利用不同方法证明
在
为增函数，即可得证.
【详解】（1）
，由
，
当
时，
，即
在
为增函数；
当
时，
，即
在
为减函数.
所以
的递增区间为
，递减区间为
；
（2）由
，解得
，
又因为
，则
，所以切线方程为
，
设
，则
，
103
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令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
可知
在
为增函数，
在
为减函数，
故
，所以
；
（3）由（1）可知
，
①若
，则
，
不符合题意；所以
，
②若
，则
，
③若
，
，又因为
在
为减函数，
所以
，所以
，
综上所述
，
又因为
，由
，所以
，
即
，即
，
设
，所以
，
方法一：设
，所以
，因为
在
为单调递增，
当
时，
，
，
，
所以存在
，使得
，即
，
又因为
，
，即
在
为减函数；
104
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又因为
，
，即
在
为增函数；
所以
，
又因为
，则有
，又因为
，
，
所以
，即
在
为增函数，
又因为
，所以
，即
.
方法二：
设
，因为
在
单调递增，又因为
所以
所以
，即
在
为增函数，又因为
，所以
，即
.
8．（2026·广东江门·一模）帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的
方法.已知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且
满足
.其中
.已知
在
处的
阶帕德近似为
.
(1)求
的值；
(2)若对于任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)已知
是函数
的三个不同的零点，且
，求实数
的
105
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取值范围，并证明
.
【答案】(1)
，
，
(2)
(3)
，证明见解析
【分析】（1）结合题意，利用导数计算即可得.
（2）利用导数研究单调性，进而可得
与
的大小，可求
的范围.
（3）根据题意，设
，所以等价于
是
的三个不同零点，借助
导数，对
和
进行讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理计算从而求出
的取值范围.
结合（2）所得，即可证明.
【详解】（1）
，
；
所以
；
所以
，
，
由
，可得
.
（2）由（1）得：
.
令
，由于
，所以若
恒成
立，
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则
在
附近单调递增，即
，又
，
所以
，则
.
下面证明充分性，即当
时，不等式
恒成立，
由于当
时，
，
所以若
，则
恒成立，
若
时，
，
令
，
，所以
，
则
在
上单调递增，又
，
所以
恒成立，即
在
上成立，
则有
成立，充分性得证，
所以当
时，不等式
恒成立.
（3）
，
设
，则
令
，
107
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当
时，
，则
，故
在
上单调递增，不合题意；
当
时，由
，可得
，
此时
在
上恒成立，故
，则
在
上单调递增，不合题意；
当
时，即
时，
有两个零点
，
其中
，
令
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
由
，所以
，
又
，
即
在区间
内存在一个零点，在区间
上存在一个零点，
又
，所以当
时，
有三个不同的零点
，
因为
，所以
，由于
，
可得
，即
，由
可得
，即
，
由（2）可知当
时，
，则当
时，有
，
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由于
，所以
，化简得
，
即
，可化为
，
即
，
由
，则有
，原命题得证
9．（2026·河北沧州·一模）已知函数
．
(1)求
的最小值；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
(3)证明：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，进而求出函数的最小值；
（2）原不等式可化为
，当
时，不等式恒成立，当
时，先证明
在
上单调递增，求出
，分
和
两种情况分别讨论，即可求出答案；
（3）由（1）知，当
时，
，利用放缩得到
，代入再通过不
等式累加即可证明.
【详解】（1）由题得
，
当
时，
，所以
在
上单调递减；
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当
时，令
，则
，
则
在
上单调递增，
，所以
在
上单调递增．
所以
，所以
的最小值为
.
（2）由
，整理得
，即
，
当
时，
恒成立，符合题意；
令
，则
，令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，所以
，
①当
时，
，所以
在
上单调递增，所以
，符合题意；
②当
时，
，
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
则当
时，
，不符合题意．
综上，实数
的取值范围是
.
（3）由（1）知，当
时，
取
，
有
，
故
，所以
，即
.
10．（2026·江西·一模）已知函数
．
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(1)求
在
上的最大值；
(2)求证：
恒成立；
(3)若
都有
恒成立，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，确定函数的单调性，开区间上的极大值即为函数的最大值；
（2）先证明
，然后将
变形为
，放缩法求解；
（3）先将
恒成立转化为
，求三阶导数，讨论函数的单调性，求
解.
【详解】（1）由题知
，
当
时，
，
当
时，
，即
在
上单调递增，
当
时，
，即
在
上单调递减，
所以当
时，
取最大值
.
（2）先证：
，令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，故
，即
在
上恒成立．
又
，
111
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由
知，
，所以
，即
，得证.
（3）当
时，
，即
，
令
，则
，其中
，
令
，则
且
，令
，
则
，其中
.
令
，
，则
，
故
在
上单调递减，其中
.
①若
，则
，
令
，
在
上单调递增，
，
所以
恒成立.故
在
上单调递增，
且
.
所以
在
上也单调递增，且
，
所以
，故
恒成立.
②若
，则
，且
，使得当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，故
时，
，
112
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所以函数
在
上单调递减，
所以
时，
，所以
时，
，
与
恒成立矛盾．
综上所述：
的最大值为
.
11．（2026·四川巴中·一模）函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
在
上的最大值；
(3)设
，求证:
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后分别求出
，即可得到切线的切点和斜率，并使用点斜
式求得切线方程；
（2）令
求出
在
上的增减性后即可求得最大值；
（3）设
，则不等式为
，设
，多次求导后确定
在
内有零点
，从而确定
的最小值为0，即可得证.
113
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【详解】（1）由题意得
，
，
，
故切线方程为
，即
.
（2）令
，且
，解得
，
当
时，
单调递增;当
时，
单调递减，
所以函数
在
上的最大值
.
（3）令
，则
，则原不等式转化为
，
令
，下面证明
，则
，
令
，则
，故
在
上单调递减，
因为
，
，
即存在
，使
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，故当
时，
.
12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)函数
．
114
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（ⅰ）当
时，讨论函数
在区间
上的零点个数；
（ⅱ）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)递增区间
，递减区间
.
(2)（i）当
时，函数
在
上无零点；当
时，函数
在
上
有且仅有一个零点.
（ii）
.
【分析】（1）求导，判断导数正负，得解；
（2）（ⅰ）求出函数
的解析式，求导判断单调性结合零点存在性定理求解；（ii）
由题可得
，令
，设函数
，
，求导讨论判断
函数单调性，求解.
【详解】（1）当
时，
，则
，
，
令
，则
，所以
在
上单调递减，又
，
所以当
时，
，当
时，
，
即当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）（ⅰ）由题可得
，
115
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令
，则
，
当
时，
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
又
，
，
当
时，
，此时函数
在
上无零点；
当
时，
，此时函数
在
上有且仅有一个零点.
（ii）当
时，
可化为
，即
，
令
，设函数
，
，则
，
当
，即
时，函数
在
上单调递增，
所以
，即
且不恒为零，
所以函数
在
上单调递增，所以
，
即不等式
在
上恒成立；
当
，即
时，在
上，函数
单调递减，
故
，即
，所以函数
在区间
上单调递减，
故存在
使得
，不合题意；
综上，实数
的取值范围为
.
13．（2026·山西运城·一模）柯西不等式是一个重要不等式，在代数、几何等领域中有广泛应用，
柯西不等式的二维形式：对任意的实数
都有
，当且仅当
116
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时等号成立，已知函数
．
(1)当
时，证明：
．
(2)已知
有两个不同的零点
．
①求a 的取值范围；
②证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
②证明见解析
【分析】（1）利用导数工具研究函数单调性得到
即可分析求证；
（2）①问题化为
有两个不同的正实根
，构造函数并应用导数研究交点个数求参
数范围；
②令
，首先证明
、
，再应用柯西不等式、作差法证明结论．
【详解】（1）证明：当
时，函数
，
则函数定义域为
，
，
所以当
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
.
（2）①令
，
在定义域
上有两个零点，
117
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所以
有两个不同的正实根
，令
且
，则
，
当
时
，则
在
上单调递增，
当
时
，则
在
上单调递减，
所以
，
时
，
时
，所以
；
②证明：令
，先证
，即证
，即证
，
由①易知
，则
，令
，
所以
，则
在
上单调递增，
所以
，故
得证，再证
，
由
，而
，所以
，即
，
结合
，所以
得证，
由
，
又
，则
，得证.
14．（2026·广东佛山·一模）已知函数
，其中
为正实数．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
．
（ⅰ）求
的取值范围；
118
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（ⅱ）当
取最小值时，若
，
为正实数，且
，证明：
．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求导得切线斜率，代入点坐标写出切线方程即可；
（2）（i）通过导数分析函数单调性，结合判别式讨论参数；（ⅱ）利用条件
转化为
，结合函数性质
和单调性证明不等式.
【详解】（1）当
时，
，
．
所以
，又
．所以所求的切线方程为
，即
．
（2）（ⅰ）
，
因为
，设二次函数
的判别式为
，
①当
，即
时，
，所以
在
单调递增，
所以
，所以
．
②
，即
时，设
的两个根为
，
，且
，
由韦达定理，可得
，即
，所以
，
所以
在
单调递减，在
单调递增．
所以当
时，有
，与
不符合，舍去．
综上所述，
的取值范围为
．
119
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（ⅱ）由（ⅰ）得，
的最小值为2，
在
单调递增，
且
，即
因为
，
为正实数，且
，所以
．
不妨设
，则
，
，所以
，
．
又
，所以
，即
．所以
，所以
．
所以
，即
．
15．（2026·广东茂名·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
在区间
上的最大值；
(2)若对任意
，且存在
.
（i）用含
的式子表示，并证明：
；
（ii）将
在区间
上从小到大排列的第个极大值点记为
，求
.
【答案】(1)
(2)（i）
，证明见解析；（ii）
【分析】（1）由
的值得到
，利用导数法求出
的单调性，结合单调性求出
在区间
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上的最大值；
（2）（i）由对任意
，且存在
得到
，即
，且
为
的极值点得到
，即
，结合
计算得到
；由
得到
从而得到
，由
得到
从而得到
，结合
得到
；（ii）利用导数法得
到
的单调性，从而得到
的极大值点为
，求出
，即可求
解.
【详解】（1）
，
，
，
，
当
时，解得
，
，
的解集为
，
在
上为单调递增函数，
当
时，解得
，
，
的解集为
，
在
上为单调递减函数，
时，
在区间
上取最大值为
；
121
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（2）（i）
对任意
，且存在
，
，
①，且
为
的极值点，
，
，
，
②，
③
将①②代入③，得到
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，
；
（ii）由（i）知，对于
，当
时，
，
当
时，
，
则
在
上是单调递增函数，在
上是单调递
减函数，故极大值点为
，
则
，
122
三次函数的图象与性质
考点6
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故
.
1．（多选）（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
在
上单调递增
B．
的极大值为2
C．
有两个零点
D．
的图象关于原点对称
【答案】ABD
【分析】利用导数可判断AB 选项，根据零点的定义可直接解函数的零点，再根据奇偶性判断D 选
项.
【详解】由函数
，
，
当
或
时，
,当
时，
.
所以函数
在
上单调递增,在
上单调递减，在
上单调递增，所以A 正确；
所以
是
的极大值点，且
,所以B 正确；
令
,解得
或
或
,所以函数
有三个零点，故C 错误；
对任意实数x，满足
，
因此函数
是奇函数，所以函数
图象关于原点对称，D 正确.
2．（多选）（2026·四川攀枝花·一模）已知曲线
在
处的切线斜率
为9，则（ ）
A．
B．函数
有2 个零点
123
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C．若函数
在区间
上有最小值，则实数b 的范围为
D．若
，
，则
【答案】ACD
【分析】利用导数的几何意义求得
，即可判断A；利用导数确定函数的单调区间及极值，作
出图象，得函数有3 个零点，即可判断B；结合图象，可得
，求解后即可判断C；解
得
，
，即可判断D.
【详解】对于A，因为
，所以
，
所以
，由题意可得
，解得
，故A 正确；
对于B，由A 可知
，
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
且
，
，
，
，
当
趋于
时，
趋于
；当
趋于
时，
趋于
；作出
的图象，如图所示：
所以函数
在
，
和
上分别有一个零点，所以函数
有3 个零点，故B
不正确；
对于C，因为函数
在区间
上有最小值，由函数的图象可得
，解得
，即实数b 的范围为
，故C 正确；
124
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对于D，令
，即
，所以
，
，即
，所以
或
，
因为
，所以
无解，解得
，即
；
令
，即
，即
，所以
或
，
又因为
，所以
无解，解得
，即
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
3．（多选）（2026·河北沧州·一模）若函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．当
在
上单调递减时，
C．当且仅当
时，
有两个不同的零点
D．当
时，过原点
可作
图象的两条不同切线
【答案】ABD
【分析】代入得
，根据解析式可直接判断A；求导，根据导数得单调性可判断B；根据三次函
数性质结合极值可判断C；根据导数的几何意义求得切线方程，由题意列式计算可判断D.
【详解】对于A，
，
所以
是奇函数，所以A 正确；
对于B，
，当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
125
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当
在
上单调递减时，
，所以
，所以B 正确；
对于C，由上可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的极大值为
，
的极小值为
，若
有两个不同的零点，则
或
，所以C 错误；
对于D，当
时，
，设
在
处的切线斜率为
，
切点为
，则
，所以切线方程为
，当切线过原点时，
，
解得
或3，所以D 正确．
故选：ABD．
4．（多选）（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数
，则下列说法中正确的是
（ ）
A．
B．
的极大值点是
C．
在
处的切线为
D．
图象的对称中心是
【答案】BCD
【分析】对于A，求导代入即可判断，对于B，根据导数研究函数的单调性，判断极值点即可；对
于C，根据导数的几何意义求出切线方程；对于D，根据函数的对称性进行判断.
【详解】
，对于A，
，故A 错
误；
126
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对于B，令
，则
，解得
或
，
所以当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的极大值点是
，故B 正确；
对于C，
，
，所以
在
处的切线为
，即
，故C 正确；
对于D，
，
所以
图象的对称中心是
，故D 正确；
故选：BCD
5．（多选）（2026·湖南岳阳·一模）已知函数
，则（ ）
A．若
，且曲线
的对称中心为
，则
B．若
，且曲线
的对称中心为
，则
有极值
C．若
，且
，则存在实数
，使得
D．若
且
，直线
是曲线
在对称中心处的切线，定点
满足
，则过点
与曲线
相切的直线有三条
【答案】ABD
127
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【分析】对称中心横坐标为二阶导数的零点
；导数判别式
决定函数单调性
与极值；对称中心处的切线满足
..对选项A、B，代入对称中心条件求解参数，
验证结论；对选项C，通过不等式变形判断导数判别式符号，结合单调性验证结论；对选项D，构
造切线条数对应的零点函数，通过导数分析单调性与零点个数，判断切线条数.
【详解】
，二阶导数
，对称中心横坐标
，对
称中心为
；一阶导数
，判别式
，
时函数有两个
极值点，
时函数在
上单调.
选项A：由
，对称中心为
，得
，解得
；对称中心在函数图像上，故
，即
，得
.因此
，选项A 正确；
选项B：由
，对称中心为
，得
，得
，
，
即
，解得
，则
，
；导数为
，判别式：
，导数有两个不同实根，
存
在极值，选项B 正确；
选项C:由
，且
，得
，导数判别式
，故
恒正或恒负，
在
上单调，单调函数不存在
使得
，选项C 错误.
选项D：已知
且
，
是对称中心处的切线，
：设切点为
，
切线过点
，由切线方程得
，令
，切线条数
等价于
的实根个数.求导得
，其中
为对称中心
横坐标，
的极值点为
和
.由对称中心处切线性质，
，代入
128
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得
.因
且
，故
，即
.分析
的单调性与
零点：
时，
，
单调递减，
时
，且
，故
有1
个零点；
时，
，
单调递增，从
递增到
，故
有
1 个零点；
时，
，
单调递减，从
递减到
时
，故
有
1 个零点.
共有3 个实根，即过点
与曲线相切的直线有三条，选项D 正确.
故选：ABD.
6．（多选）（2026·陕西渭南·一模）设函数
，则（ ）
A．点
是
图像的对称中心
B．当
时，函数
有三个零点
C．当
时，直线
不是曲线
的切线
D．若
有三个不同的零点
，则
【答案】ABD
【分析】对于A 计算
即可判断，对于B 由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可
判断，求切线方程即可判断C，结合零点的定义代入计算，即可判断D，
【详解】对于A：由
，
所以
是
图像的对称中心，故A 正确；
对于B：当
时，
，所以
，
令
，得
或
，由
有：
或
，由
有：
，
129
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所以
在
单调递减，在
单调递增，
又
，所以函数
有三个零点，故B 正确；
对于C：当
时，
，所以
，由
，
，
所以
在
处的切线方程为：
，故C 错误；
对于D：设
的三个零点为
，
所以
，
对比
项的系数有：
，故D 正确；
故选：ABD.
7．（多选）（2026·陕西铜川·一模）已知三次函数
，下列说法正确的是
（ ）
A．若
的极大值为4，则
B．
的极小值为0，则
C．
，则
D．存在
，使
在
的值域为
【答案】AC
【分析】A 选项，显然
，求导，并进行因式分解，分
和
两种情况，得到
的单
调性和极值情况，得到
，A 正确；B 选项，在A 基础上，分
和
两种情况，分析出
满足要求；C 选项，作差法比较出
，C 正确；D 选项，在A 基础上，分
，
和
三种情况，得到D 错误.
【详解】对于A 选项，显然
，
，
130
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令
得
或3，若
，
令
，得
或
，令
，得
，
故
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极大值，在
处取得极小值，且
，
令
，解得
；若
，
令
得
，令
得
或
，
故
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
处取得极小值，在
处取得极大值，
且
，不合要求，综上，
，A 正确；
对于B 选项，由A 可知，当
时，极小值为
，满足要求；
当
时，极小值为
，不合要求，则
，B 错误；
对于C 选项，由题意得
，
可得
，
，
又
，故
，故
，C 正确；
对于D 选项，由A 知，
时，
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
显然
的最小值为
，不合要求；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
131
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其中
，故
的最小值为
，不合要求；
若
，则
在
上单调递减，故
的最小值为
，不合要求；
不存在
，使
在
的值域为
，D 错误.
故选：AC
8．（多选）（2026·四川遂宁·一模）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于点
成中心对称
B．当
时，
有两个极值点
C．对于任意
有三个零点
D．当
时，
在
上存在最大值
【答案】AC
【分析】计算
即可判断A，求导得
，令
，即
，求判别
式即可判断B，先判断
的单调区间，进而根据零点存在定理即可判断C，先判断
在
上的单调性即可判断D.
【详解】对于A：
，
所以
的图象关于点
成中心对称，故A 正确；
对于B：
，令
，即
，所以
，
所以当
时，方程
有两个根，即
有两个极值点，故B 错误；
132
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对于C：由
，解得
，
显然当
时，
，由
有：
或
，由
有：
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
又
，
当
，所以对于任意
有三个零点，故C 正确；
对于D：当
时，
在
单调递减，又
，
所以
在
单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D 错误；
故选：AC.
9．（多选）（2026·山东淄博·一模）已知函数
，则下列说法正确的
是（ ）
A．若
，且曲线
的对称中心为
，则
B．若
，函数
在
上单调递增，则
C．若
，且
，则存在实数
，使得
D．若
，
，且函数
有两个极值点
、
，则
【答案】ACD
【分析】利用
求参数判断A，对函数求导有
在
上恒成
立，结合判别式列不等式判断B，根据已知有
，再判断
的判别式符号
确定函数的单调性判断C，由
是
的两个根，结合韦达定理判断D.
【详解】对于A，若
，则
，
133
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由
的对称中心为
，则
，
所以
，
所以
，所以
，则
，A 对，
对于B，若
，则
。若
在
上单调递增，
则其导数
在
上恒成立，所以
，即
，B 错，
对于C，由
，
，不等式两边同乘
，得
，
的判别式
，故
有两个不同零点，即
有两个极值点，故
不单
调，因此存在
使得
，C 对，
对于D，将
代入导函数，得
，极值点
是
的两个根，
由韦达定理：
，D 对.
134
