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专题03 函数与导数
题型概览
题型01 函数及其性质
题型02 指对幂函数
题型03 抽象函数
题型04 导数及其应用
题型05 函数的零点、极值、最值
题型06 新定义
函数及其性质
1．（2025·河南·二模）已知
是奇函数，且当
时，
.若
，则
2．（2025·河南新乡·二模）若
分别为奇函数、偶函数，
，且
，则
.
3．（2025·河南·模拟预测）已知函数
的部分图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河南·二模）（多选）已知定义在R 上的偶函数
，其周期为4，当
时，
，则（ ）
A．
B．
的值域为
C．
在
上单调递减
D．
在
上有8 个零点
题型01
1
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5．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的值域为
B．
图象的对称中心为
C．当
时，
在区间
内单调递减
D．当
时，
有两个极值点
6．（2025·河南·二模）已知函数
若
，且
，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·河南·二模）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·河南·二模）已知函数
的图象关于点
对称，则
．
9．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，则（ ）
2
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A．
在区间
上单调递增
B．
极大值点仅有一个
C．
无最大值，有最小值
D．当
时，关于
的方程
共有3 个实根
10．（2025·河南·二模）曲线
的对称中心为 ．
11．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
定义在
上，且
为偶函数，
为奇
函数，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
的解集为
D．
12．（2025·河南·二模）已知函数
为
上的奇函数，若函数
与
的图象关
于点
对称，则
（ ）
A．1
B．0
C．
D．
13．（2025·河南·二模）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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14．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数
的定义域为
，若
为奇函数，且
为偶
函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·河南·二模）已知函数
，则满足
的
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知对于任意非零实数
，函数
均满足
，
，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
关于点
中心对称
C．
关于
轴对称
D．
指对幂函数
17．（2025·河南·二模）已知函数
，
是
的反函数，则
（ ）
A．10
B．8
C．5
D．2
18．（2025·河南·二模）已知
，则
（ ）
题型02
4
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A．
B．0
C．
D．
19．（2025·河南·二模）若存在
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2025·河南·二模）若
，则
.
21．（2025·河南郑州·二模）函数
与函数
的图象交点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2025·河南·二模）（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2025·河南鹤壁·二模）（多选）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2025·河南·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分
也不必要条件
25．（2025·河南·二模）设甲：
；乙：
，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分
也不必要条件
26．（2025·河南·二模）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易
形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而
破坏生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1 株
变成100 万株大约需要（ ）（参考数据：
）
A．40 年
B．30 年
C．20 年
D．10 年
5
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27．（2025·河南·二模）已知
，
，则
（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
28．（2025·河南·二模）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2025·河南·二模）已知
是减函数，则函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2025·河南焦作·二模）已知
且
，若函数
与
在区间
上都单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
抽象函数
31．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
是奇
函数，满足
，且对任意
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03
6
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32．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
的定义域为
，
，且
，当
时，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．数列
是等比数列
D．当
时，
33．（2025·河南新乡·二模）（多选）已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
是增函数
C．
D．
34．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
的定义域和值域均为
，对于
任意非零实数
，函数
满足:
，且
在
上单调递减，
，则下列结 论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
在定义域内单调递减
7
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35．（2025·河南信阳·二模）（多选）已知定义在
上的函数
满足
，
且当
时，
，则下列错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（2025·河南·二模）（多选）已知定义在
上的函数
的图象是一条连续不断的曲线，且
满足当
时，
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
导数及其应用
37．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
在
上可导且
，其导函数
满足
，对于函数
，下列结论正确的是（ ）
A．函数
在
上为增函数
B．
是函数
的极小值点
C．函数
必有2 个零点
D．
题型04
8
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38．（2025·河南·二模）若直线
与曲线
相切，则
的取值范围为 .
39．（2025·河南·二模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：
．
40．（2025·河南·二模）若曲线
与曲线
有三条公切线，则
的取值范围是
.
41．（2025·河南郑州·二模）已知函数
，
．
(1)若
，求曲线
的斜率为1 的切线方程；
(2)若不等式
没有整数解，求实数
的取值范围．
42．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数
.
(1)当
时，证明:
.
(2)若对于定义域内的任意
恒成立，求t 的取值范围.
43．（2025·河南周口·二模）将曲线
绕原点逆时针旋转角
后第一次与y 轴相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
44．（2025·河南·二模）已知函数
.
9
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(1)讨论
的单调性.
(2)若存在两个不同的
，
满足
，证明：
.
45．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，
为
的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，若
，则m 的取值范围为
B．若
是
的一条切线，则实数
的值有且只有1 个
C．当
时，
的图象关于点
对称
D．当
时，
有3 个零点
46．（2025·河南·二模）已知
，若
，则
的最
小值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
47．（2025·河南·二模）实数
，
满足
，
，则
的
最小值是 ．
48．（2025·河南·二模）已知函数
，若存在实数
，使得
成立，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
49．（2025·河南开封·二模）已知函数
，
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
10
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(2)若
有唯一的零点，求
的值．
50．（2025·河南·二模）已知
，且曲线
在点
处的切线方程
为
.
(1)求
的值；
(2)设
的导函数为
，求
的单调区间；
(3)证明：当
时，
.
51．（2025·河南·二模）已知函数
的图象与x 轴的三个交点为A，O，B（O 为坐标原
点）.
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有三个零点，求a 的取值范围；
(3)若
，点P 在
的图象上，且异于A，O，B，点Q 满足
，
，
求
的最小值.
52．（2025·河南郑州·二模）已知函数
，
，有
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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53．（2025·河南开封·二模）已知直线
与函数
，
的图象分别交于
，
两点，则
取最小值时，
，最小值为 ．
54．（2025·河南新乡·二模）已知函数
.
(1)若
在其定义域内单调递增，求
的取值范围；
(2)若
，证明：
，
；
(3)若
在
上有两个极值点，求
的取值范围.
55．（2025·河南·二模）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若对任意
，都有
，求实数
的取值范围；
(3)证明：
．
56．（2025·河南·二模）已知函数
，
．
(1)若
在
处取得极值，讨论
的单调性；
(2)设曲线
在点
处的切线为，证明：除点
外，曲线段
总在的下方；
(3)设
，证明：
．
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函数的零点、极值、最值
57．（2025·河南·二模）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
58．（2025·河南·二模）若函数
在区间
内仅有一个零点，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
59．（2025·河南鹤壁·二模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．当
时，
有最大值
B．当
时，
可以取得最小值
C．当
时，
可以取得最小值2
D．当
时，
可以取得最小值3
60．（2025·河南·二模）若函数
，关于
的方程
的根的
个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
61．（2025·河南·二模）以
表示数集
中的最小值，已知不全为
的实数
，
，二元函数
，则
的最大值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
题型05
13
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62．（2025·河南·二模）已知函数
有零点，那么实数
的最大值为
（ ）
A．
B．1
C．
D．
63．（2025·河南焦作·二模）已知函数
．
(1)当
时，证明；
；
(2)当
时，若函数
在区间
内有且仅有一个极值点，求实数
的取值
范围．
64．（2025·河南·二模）已知函数
.
(1)当
时，若不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)若
有两个零点
，
，且
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
65．（2025·河南·二模）已知函数
，若
，使得
有三个零点
，则a 的取值范围为 ，
在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为 ．
66．（2025·河南·二模）若函数
在定义域
上的最大值为
，则当ab 取得最小
值时，实数
.
新定义
题型06
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67．（2025·河南新乡·二模）曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线
，其曲率
（
是
的导数，
是
的导数），曲率半径
是曲率
的倒
数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为
的曲
线作曲线运动时，向心加速度的大小为
.若该质点以恒定速率
沿形状满足
的光滑轨
道运动，则其在点
处的向心加速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
68．（2025·河南·二模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，该公式也
称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算
的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：
．当
时，试比较
与
的大小，并给出证
明（不使用泰勒公式）；
(3)设
，证明：
.
69．（2025·河南·二模）若平面直角坐标系内
两点满足: （1）点
都在
的图象上;
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（2）点
关于原点对称，则称点对
是函数
的一个“姊妹点对”，且点对
与
记为一个“姊妹点对”. 已知函数
，则
的“姊妹点对”有
个.
70．（2025·河南开封·二模）（多选）设
，
表示不超过
的最大整数，例如：
，
．若存在实数，使得
，
同时成立，则下列说法一定正确的
是（ ）
A．若
，则
B．
C．
的最大值是4
D．
的最大值是5
71．（2025·河南·二模）已知
，函数
的值等于
除以6 得到的余数，
．设
，若存在
，使得对于任意的
，都不
满足
，则函数
的个数是（ ）
A．729
B．189
C．378
D．540
72．（2025·河南·二模）设
，
.
(1)求函数
的单调区间;
(2)求证:
；
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(3)设函数
与
的定义域的交集为
，集合
.若对任意
，都存在
，使得
成等比数列，且
成等差数列，则称
与
为"A 关联函数".求证：若
与
为"
关联函数"，则
.
73．（2025·河南焦作·二模）（多选）塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.
常见的塌缩函数有
，设
的值域为
的值域为
，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．方程
的所有实根之和为1
D．若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为
74．（2025·河南周口·二模）已知函数
，
，
，若存在区间I，对
，
恒成立，则称
在I 上具有
性质．
(1)若
，
，且
，
，求k 的值；
(2)若
，
，
，判断
在区间
上是否具有
性质；
(3)若
，
，
，证明，
是
在
上具有
性质的必要条件．
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75．（2025·河南·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.
会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.
现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线
上的曲线段
，其弧长为
，当动点从
沿曲线段
运动到
点时，
点的切线
也随着转动到
点的切线
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于
的倾斜角与
的倾斜角之
差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲
程度越大，因此可以定义
为曲线段
的平均曲率；显然当
越接近
，即
越小，
就
越能精确刻画曲线
在点
处的弯曲程度，因此定义
（若极限存在）为曲
线
在点
处的曲率.（其中
，
分别表示
在点
处的一阶二阶导数）
､
(1)已知抛物线
的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点
处的曲率是多少？
(2)若函数
，不等式
对于
恒成立，求
的取值范围；
(3)若动点
的切线沿曲线
运动至点
处的切线，点
的切线与
轴的交点
为
.若
，
，
是数列
的前
项和，证明
.
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76．（2025·河南·二模）设
，定义
为
的“
函
数”.
(1)设
为
的“
函数”，若
，
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
为
的“
函数”.
（ⅰ）若
是
的极小值点，求
的取值范围；
（ⅱ）若
，方程
有两个根
，
，且
，求证：
.
19
