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专题03 函数的概念与性质
函数定义域值域、求值
1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数
，若
的
值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助
的值域为
可得
要取遍所有的正数，对
进行分类讨论即可得.
【详解】若函数
的值域为
，则
要取遍所有的正数．
所以
或
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
故选：A．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）若函数
的定义域为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
1
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C．
的图象关于点
对称
D．
【答案】BCD
【分析】对于A，令
,可得
；对于B，令
，可得
，即可判断；
对于C，令
得
，再令
即可判断；对于D，根据条件可得
,继而
，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.
【详解】对于A，令
，则
，
因为
，所以
，则
，
故A 错误；
对于B，令
，则
，
则
，故B 正确；
对于C，令
得，
，
所以
，
令
得，
，
则
的图象关于点
对称，故C 正确；
对于D，由
得
，
又
，所以
，
则
，
，
所以
，则函数
的周期为
，
又
，
，
2
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则
，
，
则
，
所以
，
故D 正确，
故选：BCD.
3．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数
求使方程
的实数解个数为3 时
取值范围 ．
【答案】
【分析】分析给定函数的性质，作出图象，数形结合求出
取值范围.
【详解】当
时，函数
在
是递减，函数值集合为
，
在
上递增，函数值集合为
，当
时，
是增函数，函数值集合为R，
方程
的实数解个数，即为函数
与直线
的交点个数，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，
观察图象，当
时，直线
与函数
的图象有3 个交点，
所以方程
的实数解个数为3 时
取值范围是
.
故答案为：
3
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4．（2024·福建厦门·统考一模）已知函数
的定义域为
，
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】A
【分析】利用赋值法对
进行赋值结合函数的周期可得答案.
【详解】令
，得
，即
，
令
，得
，得
，所以函数
为偶函数，
令
，得
，
令
，得
，
，
或
，
若
，解得
与已知
矛盾，
，即
，解得
，
，
令
，得
，
，
，
，
，所以函数
的周期为4.
.
故选：A.
函数单调性
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）若函数
单调递增，则实数
的取值范围为
（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
恒成立分离常数
，利用基本不等式求得
的取值范围.
【详解】依题意
，即
对任意
恒成立，
即
恒成立，因为
（当且仅当
时取“=”），所以
.
故选：D
6．（2024·重庆·统考一模）已知定义在R 上的函数
满足：
，且
时，
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.
【详解】任取
，则
，
而
时，
，则
，
，
所以
在
上单调递减，
，
，
取
，则
，令
，
得
，
5
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所以
为
上的奇函数，
，即
，则
，解得
故选：A.
7．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）设函数
，
（e 为自然对数的底数）
（1）若函数
有两个极值点，求a 的取值范围；
（2）设函数
，其中
为
的导函数，求证：
的极小值不大于1.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【分析】（1）求得
，根据
有两个极值点，转化为
与
的图象的交点有两个，利用导数求得函数
的单调性与极值，即可求解.
（2）根据题意得到
，求得
，得到
，进而求得
的单调性与极值，再分
和
两种情况，结合函数的单调
性和极值的运算，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数
，可得
，
因为
有两个极值点，
即方程
在
有两个不同的解，
即
与
的图象的交点有两个.
由
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
有极大值
.
6
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又因为
时，
；
时，
，
当
时，即
时有两个解，所以
（2）由函数
可得
，则
，所以
在
单调递增，
若
时，
当
时，
.
在
上单调递减；
当
时，
.
在
上单调递增；
所以
在
处取得极小值
若
，令
，则
；
令
，则
所以在
，
有唯一解；
若
，令
，则
，
令
，则
，所以在
，
有唯一解；
所以
在
有唯一解
，
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
单调递增；
所以
，
令
，则
，
由
，可得
，
7
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当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减，
所以
，即
的极小值不大于1.
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分
类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
函数奇偶性
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知
为奇函数，则
（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性求函数
在区间
上的解析式，对比系数求得
.
【详解】当
时，
，所以
，
通过对比系数得
.
故选：A
9．（2024·福建厦门·统考一模）已知
为定义在
上的奇函数，当
时，
，
则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义求解即可.
8
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【详解】当
时，
，所以
，
因为
为定义在
上的奇函数，所以
，且
，
所以
故选：D
10．（2024·浙江·校联考一模）若函数
是
上的偶函数，则
．
【答案】1
【分析】根据函数
是
上的偶函数，利用特殊值可得答案.
【详解】若函数
是
上的偶函数，
则有
，即
，解得
，
当
时，此时
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以函数
是
上的偶函数，符合题意，
则
.
故答案为：1.
11．（2024·广东深圳·校考一模）已知函数
的定义域为
，
是偶函数，
是奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
9
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【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数
的解析式，再利用基本不等式可求得
的最小
值.
【详解】因为函数
为偶函数，则
，即
，
①
又因为函数
为奇函数，则
，即
，
②
联立①②可得
，
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故函数
的最小值为
.
故选：B.
12．（2024·吉林白山·统考一模）已知函数
的定义域为
，且
，
，请写出满足条件的一个
（答案不唯一），
．
【答案】
（答案不唯一）；
【分析】应用赋值法可得
为偶函数及
以6 为周期，进而可求.
【详解】令
，则
，解得
或
，
若
，令
，
，则
，即
与已知矛盾,
∴
，令
，则
，
则
，∴
为偶函数；
令
，则
，
10
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则
，
则
，
所以
以6 为周期，
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为
，
结合
以6 为周期，则
．
故答案为：（答案不唯一）
；
函数与导数
13．（2024·广东深圳·校考一模）已知函数
，a，
．若
在
处与
直线
相切．
(1)求a，b 的值；
(2)求
在
（其中
为自然对数的底数）上的最大值和最小值．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得
，即可求出
、
的值；
（2）由（1）可得
的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极小值，再求
出区间端点的函数值，即可得解；
【详解】（1）解：
函数
，
，
函数
在
处与直线
相切，
11
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，解得
；
（2）解：由（1）可得
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
处取得极大值即最大值，
所以
，又
，
所以
14．（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数
与其导函数
的定义域均为
，且
与
均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）
A．
关于
对称
B．
关于点
对称
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据已知得出
关于
对称.假设
关于
对称，求导即可得出矛盾；根据偶
函数的性质，得出
，两边同时除以
，即可判断B；根据已知，结合导函数得出
关于
对称，
也关于
对称，即可得出
，
，进而推得
，即可得出C 项；根据已知，无法确定
12
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.
【详解】对于A 项，因为
为偶函数，
所以
关于
对称.
若
关于
对称，则导函数
关于点
对称，
这与
关于
对称矛盾，所以A 错误；
对于B 项，因为
为偶函数，
所以
，即
，
所以
，所以B 正确；
对于C 项，因为
为偶函数，
所以
为奇函数，
所以
关于
对称，
关于
对称，所以
.
又
关于
对称，所以
.
所以，
，
所以
，故C 正确；
对于D 项，由A 知，
关于点
对称，
.
但
无法确定.故D 错误.
故选：BC.
15．（2024·重庆·统考一模）已知函数
，则
在
有两个不同零点
的充分不必要条件可以是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】将问题转化为
，令
，利用导数讨论
的单调性，
求出
，由
在
有2 个不同零点的充要条件为
，从而作出判断.
【详解】因为
，
令
，则
，
令
，
则
，
注意到
，令
，解得
，
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
则
，且当
趋近于或
时，
都趋近于
，
若
在
有2 个不同零点的充要条件为函数
与
图象在第一象限有2 个交点，
所以
，即
有2 个零点的充要条件为
，
若符合题意，则对应的取值范围为
的真子集，
结合选项可知：A 错误，BCD 正确；
故选：BCD.
16．（2024·云南昆明·统考一模）若将函数
的图象平移后能与函数
的图象重合，
则称函数
和
互为“平行函数”.已知
，
互为“平行函数”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【分析】根据“平行函数”的定义，结合函数图象的变换关系求解即可.
【详解】因为
，
，
而将函数
的图象平移后能与函数
的图象重合，
所以
，经检验符合题意，
故选：B.
17．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知函数
，
其图象在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)求函数
的单调区间和极值；
【答案】(1)
；
(2)
的增区间是
和
，减区间是
，极大值是
，极小值是
；
【分析】（1）由出导函数
，计算
和
，由切线方程列方程组解得
；
（2）由
得增区间，由
得减区间，从而可得极值；
【详解】（1）
，
，
又图象在点
处的切线方程为
，
15
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所以
，解得
；
（2）由（1）得
，
或
时，
，
时，
，
所以
的增区间是
和
，减区间是
，
极大值是
，极小值是
；
18．（2024·吉林白山·统考一模）已知函数
（
为常数），函数
．
(1)若函数
有两个零点，求实数
的取值的范围；
(2)当
，设函数
，若
在
上有零点，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数确定函数的单调性，再根据函数有2 个零点建立不等式求解即可.
（2）由
在
上有零点可得方程，据此可看作
在直线上，
可转化为点到原点
距离的平方的最小值，利用导数求最小值即可.
【详解】（1）
，
，
①
时，
，则
在
上单调递增，
至多有一个零点．
②
时，令
得
，则
在
上单调递增；
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令
得
，则
在
上单调递减；
若
有2 个零点，则需满足
，则
，
又
，且
，
令
，则
，
令
，得
，故
在
上单调递增；
令
，得
，故
在
上单调递减；
∴
，则
，即
，
则
．
故
在
上有唯一零点，在
上有唯一零点，符合题意，
所以
为所求．
（2）设函数
在
上的零点为
，则
，
所以
在直线
上，
设
为坐标原点，则
，其最小值就是
到直线的距离的平方，
所以
，
又
，∴
，令
，则
，
，∴
在
上单调递减，
，即
，
17
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所以
的最小值为
.
【点睛】关键点点睛：第（2）问中关键在于利用函数
在
上的零点为
，得到方程
后转化为点
在直线
上，再利用
的几
何意义求解.
19．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知函数
，
，
，则
（ ）
A．当
时，函数
有两个零点
B．存在某个
，使得函数
与
零点个数不相同
C．存在
，使得
与
有相同的零点
D．若函数
有两个零点
，
有两个零点
，
，一定有
【答案】ACD
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理及同构式一一判定选项即可.
【详解】由
，
令
，令
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
，
对于A 项，当
时，则
，
又易知
，且
时，
，
根据零点存在性定理可知函数
在
和
内各有一个零点，故A 正确；
18
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对于B 项，当
时，此时
，则
有一个零点，
当
时，
，则此时
无零点，
又易得
，
则
，函数
的零点个数与
的零点个数相同，故B 错误；
对于C 项，由A、B 项结论可知：当
时，
有两个零点
，
，
同时
有两个零点
，
，
则根据
单调递增可知，存在唯一的
满足
成立，
有
，
若C 正确，因为
，则只能有
，即
，
由题意易知：
，
令
，则
时，
，
时，
，故
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
时，
，
时，
，
设
，
，
因为
，
时，
，
，
所以存在
，使得
，即
，所以，
，
即存在
，使得
与
有相同的零点
，故C 正确；
对于D 项，由C 项结论可知，此时
，
19
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则由
，故D 正确.
综上：ACD 正确.
故选：ACD
【点睛】难点点睛：可以先利用导数含参讨论函数的单调性与最值，结合零点存在性定理判定零点
个数，对于第二项，注意观察两个函数的解析式，利用同构式判定可零点之间的联系；第三项，构
造函数利用其单调性可判定同构式是否有解.
20．（2024·云南昆明·统考一模）已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后对
分类讨论即可得；
（2）由函性质可得
时，
，则
，再结合函数单调性进行分类讨论计算
即可得.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
①当
时，令
，得
，则当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
②当
时，令
，得
或
，
ⅰ）当
时，则当
或
时，
，
当
时，
，所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
ⅱ）当
时，当
时，
，所以
在
上单调递增，
20
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ⅲ）当
时，则当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
（2）当
时，令
，则
，
时，
，则
，
故
，则
，
故当
时，
，
所以当
时，
，解得
，
由（1）可知，当
时，
在
上的极小值为
，
由题，则有
，解得
，
当
，解得
，
①当
时，
，
，符合题意，
②当
时，
，
，符合题意.
综上，当
时，
恒成立.
【点睛】恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：
①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；
②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参变分离即可解决问题.
21．（2024·云南昆明·统考一模）已知函数
，
，则
（ ）
A．当
时，
有2 个零点
21
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B．当
时，
有2 个零点
C．存在
，使得
有3 个零点
D．存在
，使得
有5 个零点
【答案】BCD
【分析】令
，可得
，结合图象分析方程
的根的分布，再结合图象分
析
的交点个数，即可得解.
【详解】由
的图象可知，
的值域为
，
对于选项AC：令
，
则
在
上恒成立，
可知
在
上单调递增，则
，
即
当且仅当
等号成立，
令
，若
，可得
，
令
，
当
，则
，可知
；
当
，结合图象可知当且仅当
，方程
有根，解得
；
即
或
，结合图象可知：
有1 个根；
有2 个根；
综上所述：当
时，
有3 个零点，故A 错误，C 正确；
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对于选项B：令
，若
，可得
，
令
，即
，
注意到
，
由图象可知方程
有两个根为一根为
，另一根不妨设为
，
即
或
，结合图象可知：
有1 个根；
有1 个根；
综上所述：当
时，
有2 个零点，故B 正确；
对于选项D：令
，若
，可得
，
令
，即
，
令
，解得
，
由图象可设方程
有三个根为
，且
，
即
或
或
，结合图象可知：
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或
有1 个根；
有3 个根；
综上所述：当
时，
有5 个零点，故D 正确；
故选：BCD.
【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点
1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法
讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．
2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意
去数形结合．
22．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数
．若
为偶函数，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数对称轴可得
，进而可知
在
上为增函数，令
，利
用导数可得
，以及
，进而分析得解.
【详解】因为
为偶函数，则
，
可知
的对称轴为
，
又因为
均只有一条对称轴
，
24
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可知
只有一条对称轴
，则
，可得
，
所以
，
当
时，
，
因为
在
上为增函数，则
在
上为增函数，
令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
可得
，即
，则
；
由
，可得
，则
；
即
，可得
，所以
．
故选：A．
【点睛】关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数
，对应的不等式为
，以及变形的
．此类不等式常用的有
，
，
，
，加强记忆，方便碰到此类问题后直接使用．
23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知函数
.
(1)设函数
，讨论
的单调性；
(2)设
分别为
的极大值点和极小值点，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得
，然后对
进行分类讨论来求得
的单调区间.
25
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（2）由极值点的知识求得
的关系式，由此将要证明的不等式转化为证明
，
利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.
【详解】（1）
，
，
当
时，
在
上恒成立，则
在
上单调递增，
当
时，
单调递减，
单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
分别是
的极大值点和极小值点，
，且对于
有
，
且对称轴
，所以
，
，
所以
，
综上，要证
，
只需证
，
26
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因为
，
即证：
，
设
.
所以
，
所以
在
上单调递增，所以
.
所以
成立.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定
的定义域；（2）计算导数
；（3）求出
的根；（4）用
的根将
的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内
的符号，进而确定
的单调区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分
类讨论要做到不重不漏.利用导数证明不等式，首先考虑将要证明的不等式进行转化，转化为可构
造函数并能利用导数进行证明的结构，从而来对问题进行求解.
24．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数
．
(1)证明曲线
在
处的切线过原点；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
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(3)
【分析】（1）利用导函数的几何意义求解即可；
（2）首先求函数的导数，根据判别式，讨论a 的取值，求函数的单调区间;
（3）把问题转化为
，利用一次函数单调性得
，只需证
，利用导数研究单调性即可.
【详解】（1）由题设得
，所以
，
又因为
，所以切点为
，斜率
，
所以切线方程为
，即
恒过原点．
（2）由（1）得
，
①
时，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减；
令
，则
②
且
时，即
时，
，
在
上单调递增，
时，
，
，则
，或
，得
所以
在
上单调递增，在
上单调递增；
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，则
，则
，
所以
在
上单调递减，
③
时，
，
则
，则
，所以
在
上单调递减；
，则
，所以
在
上单调递增，
综上：
时，
在
上单调递增；
在
上单调递减；
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递增，在
上单调递增；
在
上单调递减，
时，
在
上单调递减；
在
上单调递增，
（3）当
时，
，即
，
下面证明当
时，
，
，即证
，
令
，因为
，所以
，只需证
，
即证
，令
，
，
，
令
，
，
29
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令
，
，
与
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，
，
，
所以存在
，使得
，即
，
所以
，
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
，
，
令
，
时
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，
，所以
在
上单调递减，
，
，
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，综上所述
．
【点睛】关键点点睛
第三问的关键是构造函数并连续求导判断单调性，把构造的函数与当
时的函数值比较，从而
得到结论.
25．（2024·河北衡水·河北冀州中学校考一模）已知函数
，若
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
，则
，
，即
30
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，等价于
，等价于
，
构造函数
，再根据函数
的单调性进而可得出答案.
【详解】
，
则
，即
，
即
，即
，
则
，
等价于
，
令
，
因为
都是增函数，
所以函数
是增函数，
则
，即为
，
所以
，
所以
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，所以
，
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所以
的取值范围是
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参
数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用
分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
26．（2024·浙江·校联考一模）已知函数
有两个不同的零点
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出导函数，当
时，不满足题意；当
时，求出函数的单调性，再求出
极大值
，即可得解；
（2）要证
，即证
，构建函数
，即可得证，再证
，即证
，只需证
，即
，构建函数
，即可得证.
【详解】（1）由题意，
，
当
时，
，函数
单调递增，不满足要求；
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当
时，令
，得
，
+
0
递增
极大值
递减
令
，得
．
设
，于是
，
所以
在
上单调递增，故
，
故
，
所以由零点存在定理可知，存在
，使得
；
存在
，使得
.
故当
时，函数
有两个不同的零点
．
（2）由题意，令
，且不妨令
，则有
（*）
两式相减可得，
，
要证
．即证
．
（**）
令
，则（**）即为
．
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设
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，即有
（*）两式子相加得，
，
则要证
即证
，由上式只需证
，
即证
（***）
令
（***）
．
设
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，即有
．
故
.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数
存在两个零点
且
，求证：
（
为函数
的极值点）；
2.若函数
中存在
且
满足
，求证：
（
为函数
的极值
点）；
3.若函数
存在两个零点
且
，令
，求证：
；
4.若函数
中存在
且
满足
，令
，求证：
.
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