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专题03 导数及其应用
题型概览
题型01 切线、单调性及最值问题
题型02 恒成立存在问题
题型03 证明不等式
题型04 双变量问题
题型05 函数零点问题
题型06 利用导数比较大小及构造解不等式
切线、单调性及最值问题
1．（2025·天津武清·一模）已知
曲线
在点
处的切线为
.
(1)当
时，求直线 的方程；
(2)证明:
与曲线
有一个异于点P 的交点
且
；
(3)在（2）的条件下， 令
求k 的取值范围.
2．（2025·福建泉州·一模）设函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
上单调递增，求
的取值范围；
(3)当
时，
，求
的取值范围．
+
0
-
0
+
题型01
1
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极大值
极小值
+
0
-
0
+
极大值
极小值
3．（2025·山东泰安·一模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若方程
有两个不同的实数根，求实数
的取值范围.
4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数
（e 为自然对数的底）的一条切线与x 轴平行，则切
点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·黑龙江·一模）设函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
为增函数，求
的取值范围.
6．（2025·山东聊城·一模）曲线
在
处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·山东济宁·一模）曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
2
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在
处的切线斜率为
在
处的切线斜率为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数
，其中
.
(1)若
的图象在
处的切线经过点
，求a 的值；
(2)讨论
的单调性.
9．（2025·黑龙江·一模）若不等式
对一切
恒成立，其中
，e 为自然对
数的底数，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
10．（2025·湖北·一模）已知为自然对数的底数，函数
满足：
，
，
函数
，
(1)求函数
的极值点和极值；
(2)求
解析式；
(3)若
在
上单调递增，求实数
的最大值；
(4)求证：
，
.
恒成立存在问题
1．（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，
那么项链所形成的曲线是悬链线．在17 世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程
题型02
3
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是
，其中c 为参数．当
时，该方程就是双曲余弦函数
．相应地
就有双曲正弦函数
．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：
；
②二倍角关系：
；③导数关系：
(1)类比关系式①②③，写出
和
之间的三种关系式（不需要证明）；
(2)当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)设无穷数列
满足
，是否存在实数
，使得
？若存在，求
的值；
若不存在，说明理由．
2．（2025·江西·一模）已知函数
（
），将
的图象绕原点
逆时针旋
转
后，所得曲线仍是某个函数的图象，则
的取值范围为 .
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)设
是
的两个极值点，
①求证：
；
4
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②求证：
.
4．（2025·山东济宁·一模）
，若
恒成立，则实数
的取值范围
是 ．
5．（2025·山东淄博·一模）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)证明：
时，
；
(3)若不等式
对任意的
都成立（其中是自然对数的底数），求整数
的最大值．
6．（2025·江西萍乡·一模）设函数
，
，若
，
，使得
，则实数
的取值范围是 .
7．（2025·江西萍乡·一模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
有2 个零点，则
B．当
时，
是增函数
C．当
时，
恒成立
D．当
时，若
是
的零点，则
8．（2025·山东烟台·一模）已知正数
满足
，则
的最小值为 ：
当
取得最小值时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .
5
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9．（2025·江西上饶·一模）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线的斜率为
，求
的值；
(2)若
是
的极小值点，求
的取值范围．
10．（2025·浙江·一模）已知函数
，其中
.
(1)若函数
是偶函数，求
；
(2)当
时，讨论函数
在
上的零点个数；
(3)若
，
，求
的取值范围.
证明不等式
1．（2025·山东淄博·一模）过点
向曲线
引斜率为
的
切线
，切点为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
的前
项和为
D．
2．（2025·四川巴中·一模）已知函数
(1)求函数
的极值；
(2)求证：当
时，
；
(3)若
，其中
，讨论函数
的零点个数．
题型03
6
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3．（2025·安徽滁州·一模）已知函数
的极值点从小到大依次为
，
，
，
，
是
的导函数，则（ ）
A．
B．
C．
是
的极小值点
D．
4．（2025·江西南昌·一模）已知
．
(1)若
在定义域上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
有极大值m，求证：
5．（2025·北京延庆·一模）已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的单调区间；
(3)若
，且
，证明：
.
6．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知
.
(1)求证：当
时，
；
(2)设
.
（ⅰ）求证：数列
为递减数列；
（ⅱ）求证：
.
7
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7．（2025·福建厦门·一模）设函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
是增函数，求a 的取值范围；
(3)当
时，设
为
的极小值点，证明：
．
8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
，其中
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点
，
，证明：
9．（2025·广东·一模）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列
的性质，对通项公式取对数得，
，则可通过研究函数
的性质，得到数列
的性质，进而得到
的性质.请根据以上材料，解决如下问
题：
(1)若不等式
对任意
恒成立，求实数的取值范围，并证明：
；
(2)是否存在常数
，使得：
有，
？若存在，求
的值；若不存在，请说
明理由.
（注：e 为自然对数的底数）
10．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列
满足
，且
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
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(2)证明：
；
(3)若数列
满足
，证明：
（e 为自然对数的底）．
双变量问题
1．（2025·山东聊城·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个不同的极值点
，
，且
，求实数
的取值范围.
2．（2025·陕西西安·一模）已知函数
，
.
(1)记
的导数为
，求
的值，其中
；
(2)若
，
恒有
，求a 的取值范围.
3．（2025·河南郑州·一模）已知函数
且
，
关于
对称的函数
记为
(1)若
，方程
有且只有一个实数解，求a 的值;
(2)讨论方程
在
上实数解的个数;
(3)若
，设函数
，若
，求
的取值范围.
函数零点问题
1．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
，若函数
与
题型04
题型05
9
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的图象有且仅有三个交点，则实数
的取值范围是 .
2．（2025·山东烟台·一模）已知函数
在
处有极大值.
(1)求实数的值；
(2)若函数
有三个不同的零点，求实数
的取值范围.
3．（2025·四川内江·一模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
在
上是增函数
B．当
时，
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．若
在
上为减函数，则
D．当
时，若函数
有且只有一个零点，则
4．（2025·北京延庆·一模）已知函数
，给出下列四个结论：
①
，使得
关于直线
对称；
②
，使得
存在最小值；
③
，
在
上单调递减；
④
，使得
有三个零点；
其中所有正确的结论的序号是 .
5．（2025·陕西西安·一模）设函数
，其中
，若
有两
个零点且
取最小整数P 时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·云南曲靖·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
10
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(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个零点，求
的取值范围．
7．（2025·安徽滁州·一模）已知函数
(1)若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围;
(2)若
，求证：
有且只有1 个零点.
利用导数比较大小及构造解不等式
1．（2025·黑龙江·一模）已知实数
，
，
满足
，
，
，其中为自然对数的底数.则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·黑龙江·一模）已知函数
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
，若
时，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
，其导函数为
，当
时，
题型06
11
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不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12
