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专题02 函数与导数
题型概览
题型01 函数的图像
题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
题型03 指对幂比较大小
题型04 函数与方程的综合应用
题型05 新定义问题
题型06 恒成立与能成立问题
题型07 证明不等式问题
题型08 切线问题
题型09 极最值问题
题型10 零点问题
函数的图像
1．（2025·福建泉州·二模）已知函数
与
的图象关于直线
对称，则
．
2．（2025·福建南平·二模）设
表示不超过实数
的最大整数，如
，则方程
解的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
3．（2025·福建龙岩·二模）已知函数
（
且
），
是自然对数的底数，
函数
的导函数为
．实数
，
满足
，
，当
时，实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题
型
1
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函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
4．（2025·福建泉州·二模）已知函数
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·福建泉州·二模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，
则（ ）
A．
B．方程
有解
C．
D．
6．（多选题）（2025·福建莆田·二模）已知定义域为
的函数
是偶函数，且
，
，若
，其中
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
7．（2025·福建厦门·二模）已知函数
若
，则
．
8．（2025·福建宁德·二模）设函数
，则满足
的
的取值范围是 .
9．（2025·福建漳州·二模）若函数
的导函数
为偶函数，且
，都有
，则
可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可）
题
型
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指对幂比较大小
10．（2025·福建漳州·二模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·福建三明·二模）若实数
满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
函数与方程的综合应用
30．（2025·福建泉州·二模）已知
，函数
，若关于
的方程
在区
间
上有解，则
的取值范围为 ．
12．（多选题）（2025·福建南平·二模）已知函数
则下列说法中正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．任意
，存在
，使得
恒成立
C．若方程
恰有两个不等实根
，则
D．若方程
恰有三个不等实根
，则
新定义问题
题型03
题
型
题
型
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13．（2025·福建福州·二模）已知函数
，记
，若
满足
，则称
是
上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数
是
上的“可控
函数”，则函数
也是
上的“可控函数”，其中
，例如
．
(1)判断函数
是否为
上的“可控函数”，并说明理由；
(2)已知函数
是
上的“可控函数”，且的最大值为
．
（i）求函数
的解析式；
（ii）若数列
满足
，
是数列
的前
项和．求证：
．
14．（2025·福建三明·二模）若对于函数
，存在直线
，使得方程
有
个解
、
、
、
，且
，则称直线
为函数
的
阶临界直
线，若
可趋近于无穷大，则称直线
为函数
的无限阶临界直线.
(1)判断函数
，
的奇偶性并直接写出它的一条
阶临界直线方程；
(2)若
，
，判断函数
是否存在
阶临界直线，并说明理由；
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(3)已知函数
.证明：函数
存在无限阶临界直线.
15．（2025·福建龙岩·二模）已知函数
，
，
，…，
．
(1)若
，
，
，…，
，求
的值；
(2)若
，集合
，集合
，
为
的子集，它们各有
个元素，且
．设
，
，
，
，…，
，且
，
，证明：
．
恒成立与能成立问题
16．（2025·福建莆田·二模）已知函数
，
，若对区间
内任意两个实数
，都有
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题
型
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17．（2025·福建泉州·二模）已知函数
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围．
18．（2025·福建莆田·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，函数
有两个极值点
．
（i）求实数
的取值范围；
（i i）当
满足
时，求实数
的最大值．
证明不等式问题
19．（2025·福建宁德·二模）设函数
.
(1)求函数
的值域；
(2)当
时，
恒成立，求
的最小值；
题
型
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(3)若
，证明：
.
附：
.
20．（2025·福建厦门·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的极小值；
(2)若
存在唯一极值点
，证明：
.
21．（2025·福建厦门·二模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
22．（2025·福建南平·二模）已知函数
，其导函数为
.
(1)求
的单调区间；
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(2)证明：
.
23．（2025·福建泉州·二模）已知函数
，
，
，
，直线
的斜率为
，曲线
在点
的切线为.证明：
(1)除点
外，曲线
上的点恒在直线的上方；
(2)若
，则
；
(3)
.
切线问题
24．（2025·福建福州·二模）曲线
在
处的切线方程为 .
25．（2025·福建泉州·二模）已知函数
，则与曲线
，
都相切的直线
的方程是 ．
题
型
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26．（2025·福建福州·二模）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2025·福建宁德·二模）曲线
在点
处切线斜率的取值范围为
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2025·福建·二模）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率为
，讨论
在
的单调性；
(2)曲线
上是否存在四个点，使得以这四点为顶点的四边形是平行四边形？证明你的结论．
极最值问题
29．（2025·福建泉州·二模）已知
，
，（为自然常数）且
，则
的最大值为
．
30．（2025·福建三明·二模）已知函数
存在最小值，则实数a 的取值范围为 .
31．（多选题）（2025·福建宁德·二模）设函数
，则（ ）
A．当
时，
没有零点
B．当
时，
在区间
上不存在极值
题
型
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C．存在实数
，使得曲线
为轴对称图形
D．存在实数
，使得曲线
为中心对称图形
32．（多选题）（2025·福建·二模）已知函数
，
，
，则
（ ）
A．
和
的图象有且只有一条公切线
B．若
恒成立，则整数
的最大值为
C．若、均大于，则
D．关于
的方程
在区间
内无解
33．（2025·福建漳州·二模）已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
零点问题
34．（2025·福建福州·二模）若
为函数
的零点，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．
35．（多选题）（2025·福建泉州·二模）已知函数
有3 个零点和2 个极值点，则
（ ）
A．
的3 个零点之和等于
题
型
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B．
的3 个零点之积等于
C．
在3 个零点处的切线的斜率之和大于零
D．
的3 个零点和2 个极值点的算术平均数相等
36．（2025·福建漳州·二模）已知函数
.
(1)若
，求
在
上的最大值；
(2)若
在
上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.
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