2026年大学生数学竞赛模拟试题及其参考解答8套

第一套

1 求极限

解等价无穷小：

2 设  在  连续， 可导，。证明：，使得 。

证明构造辅助函数 。 在  连续， 可导，。 罗尔定理：存在 ，。

得到 。证毕。

3 计算定积分

解被积函数  是奇函数，积分区间  关于原点对称。奇函数在对称区间定积分为0。

4 求曲线 ， 围成图形绕  轴旋转一周旋转体体积。

解圆盘法：

5 计算二重积分

解极坐标：

6 求幂级数  的收敛域与和函数。

解收敛半径：

端点：， 发散；，交错级数  收敛。收敛域：。

令 

7 矩阵

求矩阵  的特征值。

解特征方程：

解得特征值：。

8 设方阵  满足 ，证明  可逆，并求 。

证明

因式分解： 不对，重新整理：

所以  可逆，。证毕。

9 随机变量 ，求期望  和方差 。

解均匀分布 ：：

10 求微分方程  的通解。

解特征方程：

复根形式，通解：

第二套

1 求极限

解等价无穷小：

2 设函数  在  连续， 可导，且 。证明：，使得 。

证明构造辅助函数 。 在  连续， 可导，。 由罗尔定理，，。

得 。证毕。

3 计算定积分

解被积函数  是奇函数，积分区间关于原点对称，奇函数在对称区间积分等于0。

4 求曲线 ， 围成图形绕  轴旋转一周的旋转体体积。

解把  表示为 ，圆盘法，

5 计算二重积分

解极坐标：

6 求幂级数  的收敛域与和函数。

解收敛半径：

端点：， 发散；，交错级数  收敛。收敛域：。

令 

7 矩阵

求  的特征值。

解特征方程：

解得特征值：。

8 设  是  阶方阵，且 ，证明  可逆，并求 。

证明

所以  可逆，。证毕。

9 设随机变量 ，，求 。

解二项分布：

代入：，。

10 求微分方程  的通解。

解特征方程：，根：

复根形式，通解：

第三套

1 求极限

解等价无穷小：

2 设  在  连续， 可导，。求证：存在 ，使得 。

证明构造辅助函数： 在  连续， 可导，。 由罗尔定理，，使得 。

得到 。证毕。

3 计算定积分

解降幂公式：

4 求曲线 ， 围成图形绕  轴旋转一周旋转体体积。

解交点 。 washer 圆环法：

5 计算二重积分

解极坐标：

6 求幂级数  的收敛域与和函数。

解收敛半径：

端点：， 发散；，交错级数  收敛。收敛域：。

令 

7 矩阵

求  的特征值。

解特征方程：

解得特征值：。

8 设方阵  满足 ，证明  可逆，并求 。

证明

由逆矩阵定义， 可逆，且 。证毕。

9 设随机变量 ，求期望  和方差 。

解均匀分布 ：：

10 求微分方程  的通解。

解特征方程：，二重根 。 通解：

第四套

1

求极限

解等价无穷小：

2

设  在  连续， 可导，。证明：，使得 。

证明构造辅助函数 。 在  连续， 可导，。 罗尔定理：

得 。证毕。

3

计算定积分

解被积函数是奇函数，积分区间  关于原点对称，奇函数在对称区间积分等于0。

4

由  围成图形绕  轴旋转，求旋转体体积。解圆盘法：

5

计算二重积分

解极坐标：

6

求幂级数  的收敛域与和函数。解收敛半径 。 端点：， 发散；， 收敛。收敛域：。

令 

7

矩阵

求特征值。

解

特征值：。

8

设  均为  阶可逆方阵，证明 。

证明

由逆矩阵定义， 的逆矩阵是 ，即 。证毕。

9

随机变量 ，已知 ，求 。解二项分布期望方差：

代入：，。

10

求微分方程  的通解。

解特征方程：，二重根 。 通解：

第五套

1

求极限

解等价无穷小：

2

设  在  连续， 可导，。证明：，使得 。

证明构造辅助函数 。 在  连续， 可导，。 罗尔定理：

得 。证毕。

3

计算定积分

解被积函数是奇函数，积分区间  关于原点对称，奇函数在对称区间积分等于0。

4

由  围成图形绕  轴旋转，求旋转体体积。解圆盘法：

5

计算二重积分

解极坐标：

6

求幂级数  的收敛域与和函数。解收敛半径 。 端点：， 发散；， 收敛。收敛域：。

令 

7

矩阵

求特征值。

解

特征值：。

8

设  均为  阶可逆方阵，证明 。

证明

由逆矩阵定义， 的逆矩阵是 ，即 。证毕。

9

随机变量 ，已知 ，求 。解二项分布期望方差：

代入：，。

10

求微分方程  的通解。解特征方程：，二重根 。 通解：

第6套

1

求极限

解泰勒展开：

2

设  在  连续， 可导，。求证：存在 ，使得 。

证明构造辅助函数 。 在  连续， 可导，。 由罗尔定理，，

，约去，得到：。证毕。

3

计算定积分

解降幂公式：

4

求 ， 围成图形绕  轴旋转一周的旋转体体积。解交点：。用壳层法（圆柱壳）

5

计算二重积分

解极坐标：，

6

求幂级数  的收敛域。解收敛半径：

端点：， 收敛；， 绝对收敛。 收敛域：。

7

设矩阵

求  的特征值。

解特征方程：

解得特征值：。

8

设  是  阶方阵，。证明： 可逆，并且 。

证明。 根据逆矩阵定义：若两个方阵乘积为单位矩阵，则互为逆矩阵。 所以  可逆，且 。证毕。

9

设随机变量 ，求  和 。

解均匀分布 ：：

10

求微分方程  的通解。

解特征方程：，二重根 。 通解：

第7套

1

求极限

解

2

设函数  在闭区间  上连续，在开区间  内可导，且 。证明：，使得 。

证明构造辅助函数 。 在  连续， 可导，。 由罗尔定理，，使得

，约去得到：。证毕。

3

计算定积分

解几何意义：单位圆第一象限四分之一圆面积。

换元验证：令 

4

求曲线 ，直线  围成图形绕  轴旋转一周的旋转体体积。解

5

计算二重积分

解

6

求幂级数  的收敛域与和函数。解收敛半径 。 端点： 发散； 收敛。收敛域：。

令 ，则 。 求导：。

7

设矩阵

求  的特征值。解

特征值：。

8

设方阵  满足 ，证明  和  都可逆，并求它们的逆矩阵。

证明

所以  可逆，。

整理原式：

所以  可逆，。

9

设随机变量 ，求 。

解

10

求微分方程  的通解。解特征方程 ，根：。 复根情形，通解：

第8套

1

求极限

解放缩：

左右两边极限都是 ，由夹逼准则：

2

设函数  在  上连续，在  内可导，。证明： (1) ，使得 ； (2) 存在两个不同点 ，使得 。

证明(1) 令 。， 在  连续，由零点定理，。

(2) 在  对  用拉格朗日：

在  对  用拉格朗日：

相乘：。证毕。

3

求不定积分

解

4

求曲线 ，直线  围成平面图形绕  轴旋转一周旋转体体积。解圆盘法：

5

计算二重积分

解

6

求幂级数  的收敛域与和函数。解收敛半径：。 端点 ：通项不趋于0，发散。收敛域：。

设 ，逐项积分：

两边求导：

7

已知矩阵

求  的特征值与特征向量。解特征方程：

特征值 。

：，基础解系 。 对应全部特征向量：。

：，基础解系 。 对应全部特征向量：。

8

设向量组  线性无关，证明：向量组

线性无关。

证明设 。

 线性无关，故：

系数行列式不为0，只有零解 。所以  线性无关。证毕。

9

设随机变量 ，求  的概率密度函数。解 标准正态，。

分布函数：

当 ：

对  求导：

这就是自由度为1的卡方分布。

10

求微分方程  的通解。解特征方程：，根 。 通解：