高中数学核心解题技巧120讲(第23讲)

第二十三讲正与反的转化与变换

对于某些数学问题，当从正面思考难以解决时就转向反面思考，当用直接解法不能奏效时就转用间接解法，当命题难以被证明时就转而举反例加以否定，特别是否定性命题，常可利用正反的相互转化.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较少，从反面考虑较简单，有些命题直接证明难度较大，正难则反，可以采用反证法.

例1 (1)求证：方程sinx +c=x  有唯一解；

(2)若方程cos2θ+6sinθ+a—2=0,    当

时有解，求实数a  的取值范围.

解题策略：第(1)问是唯一性命题的证明，直接证明很难办到，只能从反面考虑，命题的反面是此方程至少有两解，  反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类；第(2)问，将原方程变形为2sin² θ—6sinθ—a+1=0 .直接讨论当

时有解求参数a的取值范围，不易解决.若设t=sinθ,     则得关于t  的二次方程2t²—6t—a+1=0,          再进行讨论可求a  的取值范围，但显得烦琐.若两个变元sin θ和a  转换一下角色，用sinθ表示a,可轻松求解.此谓正难则反，逆向考虑，反客为主.

      解题策略：本题的本质是一道三角函数方程解的存在性问题，我们可以在假设问题的结论有解的前提下，                来探求满足题设条件的根是否存在，由于sinx, cosx, tanx,cotx 为等差数列的充要条件是：

例3一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2/5;从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7/9 .求：

(1)从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；

(2)袋中白球的个数.

解题策略：含有“至少”“至多”型的概率问题可以考虑用对立事件的概率求解.

解：(1)由题意知，袋中黑球的个数为

记“从袋中任意摸出2个球，得到的都是黑球”为事件A,则

例4试求实数k的取值范围，使抛物线y=x² 的所有弦都不能被直线y=k(x—3)垂直平分.

解题策略：本题若直接从正面解决，则条件“不能被直线垂直平分”较难用式子表示，正难则反，若我们先从问题的反面入手，化“不能”为“能”,则可快速求解，这也是补集思想的解题策略.必需注意的是中点P应落在y>x²的区域内或弦的两个端点存在，也即弦所在直线方程与抛物线方程联立，有两个相异的根.

在解某些数学问题时，如果直接求解较为困难，则可以通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换.或者说换一个角度看问题，寻找新的解题途径，这就是数学思想领悟三：转化与变换的思想，是使问题顺利解决的一种解题策略，转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程，变换是集合到它自身的一种特殊对应，所谓变换思想，就是运用“变换”观点处理数学对象的一种思维倾向、转化与变换是把待解决的问题归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，一般总是把较为陌生或较为复杂的问题转化归纳为所熟悉的规范性问题来解决，其操作原则是熟悉化或简单化.

一个数学问题，我们可以把它看作一个数学系统或数学结构，组成其要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，但其变形并不唯一，而且是多种多样的，解题模式也是可以变化的，这就要求解题者进行动态思维，去寻找有利问题解决的变换途径和方法.

高中数学中常用的转化策略有：一般与特殊的转化、繁与简的转化、局部与整体的转化、正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、空间问题与平面问题的转化、复数与实数的转化、命题的等价转化、不同数学语言的转化、不同数学知识之间的转化等.纵观中学数学中的主要变换除了代数变换、几何变换、线性变换外还有解析式的恒等变换(解析式的值恒定),方程、不等式的同解变换(解集不变)等.

实质上，数学思想与数学方法的核心是转化与变换，函数与方程的思想就内在而言是函数与方程、不等式之间的相互转化，数形结合是数与形的相互转化、“配合作战”,数学教育家G.波利亚指出：“掌握数学意味着什么呢?这就是善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考，思路合理，见解独到和有发明创造的题”“问题解决是数学教育的中心任务”,根据G.波利亚的解题理论，解题首先要弄清问题，也就是正确地全面地理解原始问题的含义，分清问题中的“已知”与“所求”,领悟问题的条件所提供的信息，并将这些信息进行分析与编码，如果题目没有现成的解题模式可循，就需要探求解题策略，转化与变换就是较高层次的解题方法，如通过构造方程或方程组进行转化，等与不等的相互转化，整体与局部的相互转化，高维与低维的相互转化，根据量的变与不变实施转化……不论是哪一个方面的转化，必须借助于等价变换来实施.转化与变换的思想方法包含三个基本要素：

①把什么东西转换，即转换的对象；

②转换到何处去，即转换的目标；

③如何转换，即转换的方法.

转化与变换必须遵循的五条原则：

(1)熟悉化原则：将陌生问题转化为熟悉的问题.

(2)简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题.

(3)和谐化原则：转换问题的条件或结论使其表面形式更加符合数与形内部和谐统一的形式，或者转换命题，将其推演有利于运用某种数学方法或者符合人们的思维规律.

(4)直观化原则：比较抽象的问题转换为比较直观的问题.

(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应从反面去探求或证明，集合思想中的“补集法”是正难则反的体现，也是一个转化.