高中数学选择性必修二第一章等差数列的前n项和公式教学建议

本节推导等差数列的前n项和公式，并应用它们解决一些问题. 

课本把等差数列的前n项和公式看成了等差数列的一个性质，即这个公式是可以根据前面学习的等差数列的概念、通项公式和性质推导出来的.应该怎样推导呢?历史上出现过的最简便的方法可能是“倒序相加法”,这也是一个被广泛引用的方法.古代数学家们是如何想到这种方法的，我们已经无从知道，但有一点却是肯定的——这种方法建立在对等差数列深入理解的基础上，即掌握等差数列的某些性质的基础上.

基于上述认识，课本创设了一条探究等差数列前n项和公式的路径，让学生经历利用等差数列的性质推导出“倒序相加法”的过程，不仅使这一方法的引入更加自然，而且把提高“四能”渗透其中.过程大致如下：

(1)以高斯求1,2,3,…,100的和的故事创设情境.选择这个故事，一是它有趣且著名，很多学生已经对它耳熟能详；

二是以1,2,3,…,100为对象展现的“首尾配对”的求和过程非常直观；

第三点也是最重要的，高斯算法与“倒序相加法”的思想是一样的，都是把不同数求和转化成相同数求和，都利用了上一小节例5中的性质.

(2)通过思考栏目，让学生探究高斯算法中蕴含的数学思想.

事实上，数列1,2,3,…,n,…的性质具有一般性，或者说，这些性质可以方便地推广到一般的等差数列中去.

因此，研究清楚高斯算法到底利用了数列1,2,3,…,n,…的什么性质，我们就可以非常方便地把高斯算法推广为求1,2,3,…,n,…的前n项和的方法，并进一步推广到求一般等差数列的前n项和上去.

另外，由Sn=a1+a₂+…+an=na₁+(1+2+…+(n—1))d可知，求一般等差数列的前n项和的问题都可以转化成求1,2,3,…,n,…的前n-1项和的问题，这也说明求1,2,3,…,n,…的前n-1项和，可以作为研究等差数列求和问题的一个基础.

为了便于探究性质,课本符号代替具体的数(探究等差数列的取值规律时也是这样做的),从而发现了高斯求和过程中的“秘密”,即利用性质:a1+a100=a2+a99=......=a50+a51,即上一小节例5中的性质的一个特殊情形,从而把不同数求和转化成相同数求和.

(3)课本把高斯算法推广到求数列1,2,3,…,n,…的前n项和.由于推广的指导思想就是高斯算法的思想，即利用上一小节例5中的性质把不同数求和转化成相同数求和，所以学生不难独立完成这次推广.难点在于要对项数n分奇偶讨论，以及处理一般化的符号.

为了降低难度，教学中，可以先让学生解决教科书第18页“边空”中的问题“你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗?”,这实际上是项数n为奇数时的一个特殊情况，需要确定配对后的余项，即中间项(51);然后，再思考项数n为一般正整数时的情况.这样，学生就不难想到要对项数n分奇偶讨论了.

当处理项数n为一般正整数的情况时，难点是用符号表示中间若干项的序号.教学时，应该在“中间项的序号如何用n表示”上加强引导，必要时可以让学生借助具体的数进行尝试.

(4)课本一个思考栏目，让学生思考如何避免对n分奇偶进行讨论，这就为引出“倒序相加法”提供了契机.考虑到学生很难自己提出“倒序相加法”,教科书提出了一个可能发现“倒序相加法”的思路——在Sn=1+2+3+…+n=n(1+n)/2的两边同乘以2,得到2Sn=2(1+2+3+…+n)=n(1+n),这相当于把两个Sn,相加，而结果变成n个(n+1)相加.在这个等式的启发下，想到用“倒序相加法”求1+2+3+…+n.这样的引导，展现了数学发现中的“触类旁通”“灵感”等要素，为学生分析问题和解决问题作出了示范.

(5)课本一个探究栏目，让学生体会“倒序相加法”的妙处，并把它推广到求一般等差数列的前n项和.

本等差数列求和公式，还可以和梯形的面积公式类比，如上图，a₁是上底，an是下底，n是高，而等差数列的前n项和就是梯形的面积，根据梯形的面积公式推导过程，可以将两个相同的梯形拼接成一个平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，就得到等差数列的前n项和.这是拓展学生思维广度的好方法.

2.对等差数列的前n项和公式的理解

在得到等差数列的前n项和公式Sn=na1+an2以后，教科书在“边空”的提示中对这个公式进行了解读：等差数列的前n项和等于前n项的平均数的n倍，而前n项的平均数等于首项与末项的平均数，值得指出的是，由a1+an=a2+an−1=a3+an−2=…及a1+an2=a1+a2+⋯+ann可知，等差数列与“平均数”的联系非常紧密，而“平均数”是一个重要且有用的概念，教学时应提醒学生加以注意.

进一步地，教科书通过把等差数列的通项公式代入这个公式，得到了另一个求和公式(公式(2)),并让学生用其他方法推导.这种方法实际上就是我们前面提到的把求等差数列a₁,a2,…,an,…的前n项和问题转化成求1,2,3,…,n,…的前n—1项和问题的方法，其思想是把首项a₁作为基础，把其他项用a₁,d表示.教学中可以让学生自己推出这个公式，并分析两个公式各适用于什么情况.

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秋天的早晨，作者拍摄.