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【小学数学模型】08|燕尾模型面积之比,就是底边之比
数学模型 · 小学数学 · 第 08 篇
08｜燕尾模型
面积之比，就是底边之比
一、开门见山：这节课解决什么问题
同学们，春天看燕子，尾巴分叉成两瓣。三角形里也藏着这样一条「燕尾」：在三角形内部点一个点 P，连接顶点 A 并延长到对边 BC 上的 D，点 P 两侧的两块三角形，就像燕子的两瓣尾巴。小升初的几何压轴题，经常给你「尾巴」两侧的面积，让你反推 D 把 BC 分成了几比几——这正是燕尾模型的拿手好戏。学完这节课，「面积比」和「线段比」就能在你手里自由互化。
二、知识清单：先把地基打牢
●三角形面积公式：S=12× 底 × 高。燕尾模型每一步推导都靠它。
●同高三角形面积比：两个三角形高相同，面积比等于底之比。这是燕尾模型的「发动机」。
●比的性质：若 a:b=c:d，则 (a−c):(b−d)=a:b。燕尾证明里「大减小」就靠这条。
●中线：顶点与对边中点的连线，把三角形面积平分——燕尾比 1 : 1 的特例。
●整体与部分：内部一点连三个顶点，三块面积之和等于总面积，列方程时常用。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
先看结构：△ABC 内一点 P，连接 AP 并延长，交 BC 于 D。结论是：
为什么成立？我们分两层看。先看「大个子」△ABD 和 △ACD：它俩共用从 A 向 BC 作的高，底分别是 BD 和 DC，同高三角形面积比等于底之比，所以 S△ABD:S△ACD=BD:DC。再看「小个子」△PBD 和 △PCD：共用从 P 向 BC 作的高，面积比同样是 BD:DC。而燕尾的两瓣，恰好是大个子减去小个子：S△ABP=S△ABD−S△PBD，S△APC=S△ACD−S△PCD。两组比相同，相减之后比值不变——所以两瓣面积的比，仍然等于 BD : DC。
更妙的是：这个比值与 P 在 AD 上的具体位置无关！P 往上挪、往下挪，只要还待在线段 AD 上，两瓣面积之比永远是 BD : DC。就像燕子的尾巴，胖瘦可变，分叉的方向不变。这就是题目里敢写「P 是 AD 上任意一点」的底气。
什么时候用？题干出现「三角形内一点」「连顶点并延长到对边」「给面积求线段比（或反过来）」，就是燕尾的信号。注意和蝴蝶模型（在梯形里用）、等积模型（平行线间面积相等）区分：燕尾的舞台是三角形内部一点，核心动作是「延长到对边找 D」。P 落在边上、甚至在形外的变形也成立，但要重新画图确认对应关系。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●S△ABP、S△APC：燕尾的两瓣，以 AP 为公共边、分居两侧的三角形面积。
●B、C：对边 BC 的两个端点，也是两瓣各自「张开」朝向的顶点。
●D：AP 延长线与 BC 的交点，即「燕尾尖」落在对边上的位置。
●BDDC：D 分 BC 所成的线段比。常见变形：S△APC=S△ABP×DCBD；知两瓣面积反推线段比时直接倒用，记得约成最简整数比。
五、图形长什么样
模型结构示意图
1找点：三角形内（或边上）那个特殊点 P 在哪里？
2连尾：连接 AP 并延长，找到它在 BC 上的落点 D。
3对号：想清楚要用的两块面积「共哪个顶点、对哪条高」。
4互化：面积比 ↔ 线段比，双向换算。
5收口：三块面积之和等于总面积，必要时列方程。
六、标准解题流程
1连 AP 并延长交 BC 于 D，找到「尾」的落点。
批注 题目没画 D 就自己补出来，没有 D 就没有燕尾模型可用。
2把面积比转化为 D 分对边所成的线段比（或反向转化）。
批注 转化前先问自己「这两个三角形共哪个顶点、哪条高」，对应边接反是全模型第一易错点。
3结合总面积守恒（三块之和 = 整体）列式求解。
批注 三条燕尾把三角形恰好分成三块，不重叠、不遗漏，列方程时大胆用。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
△ABC 中，D 在 BC 上且 BD : DC = 2 : 3，连 AD，P 是 AD 上一点。S△ABP = 6，求 S△APC。
例1 题图
审题关键
圈「P 是 AD 上一点」（燕尾尖已落在 D）和「BD : DC = 2 : 3」（面积比的原料）。
规范解答
由燕尾模型，S△ABPS△APC=BDDC=23所以 S△APC=6÷2×3=9。
方法提炼
正向用——知线段比求面积，先写比、再按份数算。
例2（变式）
题目
（变式）△ABC 中 P 为内部一点，连 PA、PB、PC，AP 延长线交 BC 于 D。已知 S△ABP = 6，S△APC = 8，求 BD : DC。
例2 题图
审题关键
方向反了——给面积求线段比，变在「倒用公式」。圈「P 为内部一点」确认结构成立。
规范解答
由燕尾模型，BD:DC=S△ABP:S△APC=6:8=3:4
方法提炼
燕尾比等于「尾」两侧块面积比，与 P 在 AD 上的具体位置无关。变式变的是方向，不变的是对应：朝 B 的一瓣对 BD，朝 C 的一瓣对 DC。
八、小升初常考题型精讲
题型一：知比求积·直接套用型
题目
△ABC 中 D 在 BC 上，BD : DC = 3 : 5，P 是 AD 上任意一点。若 S△ABP = 9，则 S△APC = ____。
题型一 题图
审题关键
「任意一点」四个字就是在暗示：结果与 P 的位置无关，放心套燕尾。
规范解答
S△ABPS△APC=BDDC=35，所以 S△APC=9÷3×5=15。
方法提炼
看到「任意一点」，要立刻反应过来——这是燕尾「与位置无关」性质的直接考法。
题型二：共高基础·模型前身型
题目
△ABC 中，D 在 BC 上，BD : DC = 2 : 3，S△ABD = 12，则 S△ACD = （ ）
A．15 B．18 C．20 D．27
题型二 题图
审题关键
这题连 P 都没有，直接用共高三角形——燕尾的「发动机」单独出道。
规范解答
△ABD 与 △ACD 共用从 A 到 BC 的高，面积比 = 底之比 = BD : DC = 2 : 3，所以 S△ACD=12÷2×3=18。
方法提炼
共高面积比是燕尾证明的第一步，小题常单独考它，别只会套完整模型。
题型三：知积求比·逆向倒用型
题目
P 是 △ABC 内一点，S△ABP = 15，S△APC = 21，AP 的延长线交 BC 于 D，则 BD : DC = ____。
题型三 题图
审题关键
给两块面积、求线段比，典型逆向燕尾。
规范解答
BD:DC=S△ABP:S△APC=15:21=5:7（两瓣都是「大减小」，但比值不变，这正是燕尾证明的核心）。
方法提炼
结果要约成最简整数比；填空题直接写「5 : 7」。
题型四：整体守恒·三瓣求和型
题目
P 是 △ABC 内一点，已知 S△PAB = 6、S△PBC = 9、S△PCA = 12，则 S△ABC = （ ）
A．24 B．27 C．30 D．54
题型四 题图
审题关键
三条「燕尾」把三角形恰好分成三块，求和即可。
规范解答
S△ABC=6+9+12=27。
方法提炼
内部一点连三顶点，三块不重不漏拼成整体——这是列方程解燕尾综合题的地基。
题型五：中线特例·燕尾比 1:1 型
题目
AD 是 △ABC 的中线，P 是 AD 上任意一点，S△ABP = 8，则 S△APC = ____。
题型五 题图
审题关键
「中线」意味着 D 是中点，BD : DC = 1 : 1。
规范解答
D 是 BC 中点且 P 在直线 AD 上，则 B、C 到直线 AD 的距离相等；△ABP 与 △APC 以 AP 为公共底、高相等，面积相等，所以 S△APC=8。
方法提炼
中线上的点，两侧面积永远相等——燕尾比 1 : 1 的特例，选择题常拿它设陷阱。
九、真题再现：经典考题拆解
题目（改编自常见考题）：P 是 △ABC 内一点，BP 的延长线交 AC 于 E。已知 S△APB = 8，S△PBC = 12，AE = 6，求 EC 的长。
图 9
规范解答
这次「燕尾尖」从 B 出发、落在 AC 上。由燕尾模型：AEEC=S△APBS△PBC=812=23所以 EC=6÷2×3=9。
方法提炼
燕尾可以从任意一个顶点「长出来」，不一定非从 A 开始。先认准尖点落在哪条边上，再配对应。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误面积比与线段比的对应边接反，如写成 S△ABP : S△APC = DC : BD。→
✓ 正确做法先问「这两个三角形共哪个顶点、哪条高」：朝 B 的一瓣对 BD，朝 C 的一瓣对 DC，方向必须一致。
✗ 常见错误以为 P 一动面积比就变，反复重算。→
✓ 正确做法只要 P 在 AD 上，面积比恒等于 BD : DC，与 P 的位置无关。
✗ 常见错误P 落到边上或形外时硬套原图结论。→
✓ 正确做法变形仍适用，但必须重新画图，确认「尾尖」D 落在哪条边（或延长线）上再列比。