高三一轮重难点考点汇总:解三角形常考题型汇总

(一) 基本定理公式

1. 正余弦定理：

(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)=2R

a^(2)=b^(2)+c^(2)-2bccosA；

b^(2)=c^(2)+a^(2)-2accosB；

c^(2)=a^(2)+b^(2)-2abcosC.

常见变形

(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

(2)sinA=(a)/(2R)，sinB=(b)/(2R)，sinC=(c)/(2R)；

cosA=(b^(2)+c^(2)-a^(2))/(2bc)；

cosB=(c^(2)+a^(2)-b^(2))/(2ac)；

cosC=(a^(2)+b^(2)-c^(2))/(2ab).

2. 面积公式：

SΔABC=(1)/(2)absinC=(1)/(2)bcsinA=(1)/(2)acsinB

SΔABC=(abc)/(4R)=(1)/(2)(a+b+c)⋅r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.)

(二) 相关应用

1. 正弦定理的应用

①边化角，角化边⇔a:b:c=sinA:sinB:sinC

②大边对大角大角对大边：a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB

③合分比：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=(a+b)/(sinA+sinB)=(b+c)/(sinB+sinC)=(a+c)/(sinA+sinC)=(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)=2R

2. △ABC内角和定理：A+B+C=π

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB⇔c=acosB+bcosA，同理有：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，-tanC=tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA⋅tanB)⇔tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC

④sin((A+B)/(2))=cos(C)/(2)；cos((A+B)/(2))=sin(C)/(2)

⑤在ΔABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B=(π)/(3),A+C=(2π)/(3).

(三) 实际应用

1. 仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2. 方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

3. 方向角：

相对于某一正方向的水平角．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

4. 坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

2. “边化角”或“角化边”

在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

(1)若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

(2)若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

(3)若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

(4)代数变形或者三角恒等变换前置；

(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到A+B+C=π.