【高一同步重难点】第六章6.2向量的数量积考点重点难点讲解

(一) 向量的数量积

1、向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作(OA)=，(OB)=，

则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角．

(2)性质：当θ=0时，与同向；当θ=π时，与反向．

(3)向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作⊥．

2、向量的数量积的定义

(1)定义：非零向量与，它们的夹角为θ，数量||||cosθ叫做向量与的数量积(或内积)；

(2)记法：向量与的数量积记作⋅，即⋅=||||cosθ；

零向量与任一向量的数量积为0；

3、向量在上的投影向量

(1)设，是两个非零向量，(AB)=，(CD)=，

考虑如下变换：过(AB)的起点A和终点B，分别作(CD)所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到(A1B1)，我们称上述变换为向量向向量投影，(A1B1)叫做向量在向量上的投影向量．

(2)在平面内任取一点O，作(OM)=，(ON)=，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则(OM1)就是向量在向量上的投影向量，且(OM1)=||cosθ．

(3)几何意义：数量积⋅等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．

3、向量数量积的物理背景

如果一个物体在力(F)的作用下产生位移，那么力(F)所做的功W就等于力(F)与位移的数量积，即W=(F)⋅=|(F)|||cosθ，其中θ是(F)与的夹角．

(二) 平面向量数量积的性质与运算律

1、平面向量数量积的性质

设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则

(1)⋅=(e⋅)=||cosθ；

(2)⊥⇔⋅=0；

(3)当与同向时，⋅=||||；当与反向时，⋅=-||||；

特别地，⋅=||^(2)或||=sqrt(⋅)=sqrt(^(2))；

(4)cosθ=cosθ=(⋅)/(||||)；

(5)|⋅|≤||||

2、平面向量数量积满足的运算律

(1)⋅=⋅；

(3)(λ)⋅=λ(⋅)=⋅(λ)(λ为实数)；

(3)(+)⋅=⋅+⋅；

(4)两个向量，的夹角为锐角⇔⋅>0且，不共线；

两个向量，的夹角为钝角⇔⋅<0且，不共线．

(5)平面向量数量积运算的常用公式

(+)⋅(-)=^(2)-^(2)(+)^(2)=^(2)+2⋅+^(2)(-)^(2)=^(2)-2⋅+(b^(2))

(三) 求平面向量数量积的方法

(1)定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式⋅=||||cosθ，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；

(2)运算律转化法：由(+)⋅(+)=⋅+⋅+⋅+⋅可得如下运算公式：(+)(-)=||^(2)-||^(2)；(+)^(2)=||^(2)+2⋅+||^(2)；(-)^(2)=||^(2)-2⋅+||^(2)；

(3)利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解．

附：高一、高二上学期期末备考专题

1.高一数学试卷（持续更新中）

2.高二数学试卷（持续更新中）

3.高三数学试卷（持续更新中）

4.高一高二数学同步重难点

5.高三一轮二轮数学同步重难点

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