【广州市一等奖初中数学探究式教学获奖教育教学论文】:聚焦问题解决浸润数学文化——数学文化视角下“杨辉三角”探究式教学

聚焦问题解决浸润数学文化

——数学文化视角下“杨辉三角”探究式教学

探究式教学,是美国著名哲学家、教育学家、心理学家约翰·杜威(John Dewey,1859-1952年)提出的.杜威认为科学教育不仅要引导学生学习知识,而且要教授学生学习科学研究的过程或方法;教师是儿童生活成长与经验改造的启发者和诱导者,教师的主导作用在于选择有价值的活动.[1]

数学史是数学文化的重要组成部分.已有研究表明,基于数学史的数学文化主要分为知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐与多元文化五个维度,彰显数学的科学价值、应用价值、审美价值与文化价值.[2]近些年,数学文化与数学教学不断融合,为师生展现数学概念、命题证明与思想方法等内容的历史演进,回答数学“从何而来”、“为何演进”、“如何发展”等系列问题,感悟数学的科学性、实用性与趣味性,激发学生的学习兴趣,渗透数学文化的数理人文.

以浙教版《义务教育教科书·数学》[3]七年级下册第三章“整式的乘除”章末的阅读材料为例，开展数学文化视角下“杨辉三角”探究式教学，旨在帮助学生了解数学在人类文明发展中的重要作用，激发数学学习兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏多元的数学文化.

鉴于此，本文基于南宋数学家杨辉(字谦光，钱塘人，约生活在南宋末年，因其在《宋史》无传，其他史书亦无详细记载，故其具体生卒年已不可考)在1261年所著《详解九章算法》中有关开方作法本源图等数学史料，通过“做数学”的探究活动开展数学文化视角下“杨辉三角”探究式教学，拟定教学目标如下：

(1)借助微视频了解“杨辉三角”的简史；

(2)借助阅读材料启发学生发现“杨辉三角”数与形的分布特点；

(3)经历“自主阅读—合作探究—拓展提升”等环

节有步骤的探究“杨辉三角”中蕴涵的数字规律.

开方作法本源图是我国宋朝时期的数学家杨辉所著《详解九章算法》的一张图(如图1)，并注释这个方法是出于贾宪所著的《释锁算书》，但《释锁算书》早已失传，其刊行年代从无查考，是不是贾宪所著也不可知，更不知道在贾宪以前是否已经有这个方法.

然而有一点可以肯定,该图的发现在我国不迟于公元1200年.在欧洲,人们认为这张图是帕斯卡在1654年发明的,因此称为“帕斯卡三角”.在帕斯卡之前已有许多人论及过,最早的是德国人阿皮安努斯,他曾经把这个图形刻在1527年著的一本算术书的封面上.

数学文化视角下“杨辉三角”探究式教学围绕“自主阅读—合作探究—拓展提升”教学主线开展，展现数学文化的多元维度.

阅读材料是培养学习兴趣的重要途径,发挥阅读课的作用可以有效地提升数学素养.通过自主阅读,从已有的经验出发,有步骤地从不同视角观察“杨辉三角”的结构特点,发现其数字规律.

师:观察“杨辉三角”的三角形结构(如图2),猜想“杨辉三角”的数字规律.

生1:整体上观察外围的数字是常数1,局部观察三角形结构,猜想第n行两个数字的和等于第(n + 1)行三角形结构的数字,此外,从整体到局部的三角形结构都具备对称性.

学生阅读能力的不同会使阅读的效果差异很大,通过合作探究,使学生积极思考,及时沉淀所阅读的内容,通过老师的引导可以让学生获得的知识达到同一水平.

师:第九行从右往左第四个数是多少(如图2)?

生2:观察“杨辉三角”局部的三角形结构,得到第九行从右往左第四个数是35 + 21 = 56.

师:第九行从左往右第四个数是多少?

生3:根据“杨辉三角”的对称性,可以得到是56.

师:从不同视角观察“杨辉三角”的线性结构,可以得到哪些数字?

生4:从运算求和的视角观察水平方向(如图3)的数字和,得到20, 21, 22⋯,以此类推,可以得到第n行的数字和为2n;从“位置制”的视角观察水平方向的数字,得到11n;从每行数字个数的视角观察得到正整数集合.

生5:观察斜线方向视角(如图4),第一斜行的数字是常数1,第二斜行的数字是正整数集合,也是一级等差数列;第三斜行1,3,6,10…,这个集合是二阶等差数列,如果把第三斜行相邻的两个数相加,可以得到完全平方数集合.继续研究第四行、第五行可以得到高阶等差数列。

生6:从其他斜线方向视角观察(如图5)斜行数字的和是:1,1,2,3,5,8,13……,这个集合是著名的斐波那契数列;从折线方向视角观察(如图6),可以得到左上角的数字与折线下的数字之间的和的关系,如1 + 1 + 1 = 3.

编者语:学生能听懂“线性结构”这个词组吗?

观看微视频,了解二项式系数与“杨辉三角”的关系,借助“希沃”进行展示,用2张不同的正方形和2张相同的长方形拼成一张大正方形得到(a + b)2 = a2 + 2ab + b2（如图7）,通过构造面积验证完全平方公式的合理性,用类似的方法构造(a + b)3（如图8）.

师:猜想(a + b)n的系数与“杨辉三角”的关系(如图9)?

生7:二项式展开后各项的系数符合“杨辉三角”的数字规律.

本节课利用已有的知识,采用探究式教学,提高了学生的积极性:通过观察、猜想、归纳从不同视角探究“杨辉三角”的规律(如图10),培养了学生的综合能力,了解“杨辉三角”重要性的同时,感悟数学方法和数学思想的紧密联系,拓展学生探究数学知识的眼界,开拓学生的思路,体会数学家成功探索知识的成就感......

本文为节选。

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