高二数学 · 计数原理

2026-2027学年第8周同步精讲 · 含近年全国卷高考真题拆解与模拟训练

一、知识点精讲

计数原理是排列、组合与二项式定理的底层逻辑，也是高二同步学习里最容易"看着会、算就错"的一章。本轮我们换一个落点：抓模型、防错点，把解题套路从"凭感觉"变成"按步骤"。

1. 两个基本原理：完成一件事若有若干类互不重叠的做法，每类都能独立完成，总数 = 各类相加（分类加法，关键词"或"）；若需先后分成几步，每步依次完成才算做完，总数 = 各步相乘（分步乘法，关键词"且"）。

2. 排列与组合：从 n 个不同元素取 m 个，有序用排列数 A(n,m)=n!/(n−m)!，无序用组合数 C(n,m)=A(n,m)/m!。判别的唯一标准就是"交换顺序算不算同一种"。

3. 三大处理模型：元素相邻→捆绑法（捆成一个整体，别忘内部全排列）；元素不相邻→插空法（先排无限制元素，再把受限元素插空）；分组再分配→先分组（平均分组要除序）后全排列到具体位置。

4. 二项式定理：(a+b)ⁿ=Σ_k=0ⁿ C(n,k) a^n−k b^k，通项 T_k+1=C(n,k) a^n−k b^k。求系数和用赋值法（令字母=1 得各项系数和 2ⁿ）。

5. 本轮易错点：①分类讨论务必不重不漏，先定分类标准再算；②平均分组勿忘除以组数的全排列；③插空法要先排"无限制"元素；④二项式通项是第 k+1 项，k 从 0 计起。

二、高考真题分析

【真题1】(2023·新高考Ⅱ卷·第3题)

某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有（ ）

A. C₄₀₀⁴⁵·C₂₀₀¹⁵ 种 B. C₄₀₀²⁰·C₂₀₀⁴⁰ 种 C. C₄₀₀³⁰·C₂₀₀³⁰ 种 D. C₄₀₀⁴⁰·C₂₀₀²⁰ 种

解析：人数比例 400:200 = 2:1，按比例共抽 60 人，则初中部抽 40 人、高中部抽 20 人。从 400 人中选 40 人有 C₄₀₀⁴⁰ 种，从 200 人中选 20 人有 C₂₀₀²⁰ 种，由分步乘法原理相乘。

答案：D

【真题2】(2022·新高考Ⅱ卷·第5题)

有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）

A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种

解析：用捆绑法处理"丙丁相邻"：把丙丁看作一个整体，内部有 2! 种排法；此时连同{丙丁}、乙、戊共 3 个元素先排列，有 3! = 6 种。再安排甲，要求"不站两端"——在这 3 个元素排定的序列里共有 4 个空位，甲只能插在中间 2 个空位，有 2 种。合计 6×2×2 = 24 种。

答案：B

【真题3】(2024·新高考Ⅰ卷·第14题)

在如图的 4×4 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有______种选法；在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是______。

解析：这等价于在 4 行 4 列中各安放一个"棋子"且互不攻击（每行每列恰一个）。第 1 行有 4 列可选，第 2 行避开第 1 行所选列剩 3 列，第 3 行剩 2 列，第 4 行剩 1 列，由分步乘法原理共有 4×3×2×1 = 24 种选法（即 4 个元素的全排列数）。官方答案中 4 个数之和的最大值为 112（由图中所标数值确定）。

答案：24；112

三、模拟题解答

【模拟1】用数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的四位数，其中为偶数的共有多少个？

解答：偶数要求个位为 0、2、4。①个位为 0：千位有 5 种（1~5），百位 4 种，十位 3 种，共 5×4×3 = 60 个；②个位为 2：千位不能为 0，有 4 种（1,3,4,5），百位 4 种，十位 3 种，共 4×4×3 = 48 个；③个位为 4 同理 48 个。合计 60+48+48 = 156 个。

答案：156

【模拟2】将 6 本不同的书分成 3 堆，每堆 2 本，共有多少种分法？

解答：先从 6 本取 2 本 C₆²=15，再从剩下 4 本取 2 本 C₄²=6，最后 2 本 C₂²=1；三堆无顺序之分（平均分组），要除以 3 堆的全排列 3! = 6，故 15×6×1÷6 = 15 种。

答案：15

【模拟3】(x² + 1/x)⁶ 的展开式中常数项为多少？

解答：通项 T_k+1=C₆^k (x²)^6−k (1/x)^k = C₆^k x^12−3k。常数项要求 12−3k=0 ⇒ k=4，故常数项为 C₆⁴ = 15。

答案：15

四、本周同步学习建议

本周为 2026-2027 学年第 8 周，计数原理进入第二轮巩固。建议把重心放在两个基本原理 + 排列组合三大模型上：每天 15 分钟做 5 道小题，重点练"分类不重不漏、相邻捆绑、不相邻插空"；做分组题时先想清楚"堆有没有顺序"。错题本上专门记一类——平均分组忘除序、插空先排无限制元素。下阶段将进入二项式定理（第 9 周），记得关注本号更新，把通项公式和赋值法提前备好。