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初中几何模型 · 系列 | 第 2 期 半角模型
初中几何模型 · 系列 ｜ 第 2 期
半角模型：正方形里的 45°，为什么 EF = BE + DF
难度 ★★☆ ｜ 学段：初二（中考）｜ 主考：选填 / 填空 ｜ 阅读约 6 分钟
先看一道题，给自己 30 秒。
如图，正方形 ABCD 边长为 6，E 在 BC 上，F 在 CD 上，且 ∠EAF = 45°。已知 BE = 2，DF = 3，求 EF 的长。
第一反应是不是：连 EF，上勾股？可 E、F 都不在顶点，直接算很麻烦。其实这道题根本不用算——记住今天这个模型，答案一眼就出来。
一、一句话记住"半角模型"
名字就是它的定义：一个 45° 的角，正好夹在正方形的 90° 直角里——它是直角的一半，所以叫"半角"。
核心结论（建议直接背下来）
翻译成人话：从直角顶点 A 引出的 45°"半角"，把对边上的两段 BE、DF 直接"接"成了 EF。看到正方形 + 45° + 线段和，先往这上面想。
放在图形里，它长这样——A 是直角顶点，E、F 分别在两条直角边（BC、CD）上：
为什么是"加"？看图 2：把 △ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°，D 落到 B，F 落到 CB 延长线上的 F'。这时 AF' = AF，且 ∠F'AE = 45° = ∠FAE，于是 △AEF ≌ △AEF'（SAS），所以 EF = EF' = BE + DF。
二、凭什么是真的？一次说透
证明一：旋转法（初中首选，四步）
① 将 △ADF 绕 A 顺时针旋转 90° 至 △ABF'，则 F' 在 CB 的延长线上，且 AF' = AF，BF' = DF；
② ∠F'AE = ∠F'AB + ∠BAE = ∠FAD + ∠BAE = 90° - 45° = 45° = ∠FAE；
③ 又 AE 公共，故 △AEF ≌ △AEF'（SAS）；
④ 所以 EF = EF' = BE + BF' = BE + DF。证毕。
证明二：截长补短（备选，一眼法）
在 EF 上截取 EG = BE，连 AG，可证 △AGE ≌ △ABE（SAS），得 AG = AD、∠GAF = ∠FAD；再证 △AGF ≌ △ADF，得 GF = DF，于是 EF = EG + GF = BE + DF。两种都行，考试写旋转法最利落。
三、看到什么，就该想到它？
● 正方形、等腰直角三角形里，出现一个角恰好是直角的一半（45°）；
● 这个半角的顶点，正好落在那个直角顶点上；
● 题目要你"求线段和"，或证明 a + b = c 这种关系；
● 常以"旋转""折叠"为背景出现，本质是同一个模型。
换件马甲，本质不变
直角半角（45°） 最经典，EF = BE + DF；
等腰△顶点 120° 里放 60° 半角 同样旋转 120°，得到"短边和 = 第三边"；
一句话 只要"半角 + 顶点在顶角"，旋转法通吃。
四、实战两题：从 10 秒到举一反三
例 1｜回看开头那道题
正方形边长为 6，BE = 2，DF = 3，直接套结论：EF = BE + DF = 2 + 3 = 5。所谓模型识别，就是这么一行。
例 2｜逆向：已知和，求一段
思路 模型结论 EF = BE + DF，直接移项：DF = EF - BE = 10 - 4 = 6。
点睛 正向套结论、逆向移项，说的都是同一句话。数字大一点，也照样一行出答案。
五、两个最容易踩的坑
坑 1｜把"半角"当成"角平分线"。半角是"直角的一半"，不是把某个角平分；只有特殊比例才重合，别张冠李戴。
坑 2｜旋转的方向和落点搞错。旋转要把整个三角形带着转，落点落在边的延长线上；延长线画错，全等就证不出来。
六、一句口诀带走
口 诀
半角夹直角，旋转九十度；凑出全等形，线段和清楚。
七、评论区挑战：这道题，家长也能答
今日挑战
正方形 ABCD 边长为 18，E 在 BC 上，F 在 CD 上，∠EAF = 45°。已知 BE = 6，DF = 9。请问：EF 等于多少？
不用旋转、不用勾股，套一句结论就出答案。把答案（一个数字）打在评论区，下期揭晓答案和完整解析。
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