高一数学 · 集合（第三轮复习）

高考一轮滚动复习 · 含近年全国卷高考真题拆解与模拟训练

一、知识点精讲

集合是高中数学的"语言"。前两轮我们分别梳理了表示法互通、运算律与含参子集。本轮换四个高频丢分专项重新突破：

1. 集合相等与元素互异性：两集合相等 ⇔ 元素完全相同。含参集合（如 B={1,a}）求参数后，必须代回检验互异性（a≠1，否则塌缩成单元素）与确定性。这是选择/填空的隐形陷阱。

2. 韦恩图与容斥计数：有限集求元素个数用 card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)；三集合有 card(A∪B∪C)=Σcard−Σ两两交+card三者交。数"个数"题优先画图。

3. 补集/差集的逆向思维：∁_A(A∩B) 型题，先求交再在 A 内取补；也可等价写成 A−(A∩B)=A−B。注意全集是 A 而非 U。

4. 新定义/信息迁移题：题干临时定义一种运算或性质（如"√x∈A"），关键是把文字翻译成集合语言，再按定义机械执行，不慌。

二、高考真题分析

【真题1】(2025·新高考Ⅱ卷·第3题)

已知集合 A={−4,0,1,2,8}，B={x∣x³=x}，则 A∩B=（ ）

A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1}

解析：x³=x ⇒ x(x−1)(x+1)=0 ⇒ x∈{−1,0,1}，即 B={−1,0,1}。与 A 取交集得 {0,1}。

答案：D

【真题2】(2024·全国甲卷(理)·第2题)——新定义 + 补集逆向

已知集合 A={1,2,3,4,5,9}，B={x∣√x∈A}，则 ∁_A(A∩B)=（ ）

A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5}

解析：√x∈A ⇒ √x∈{1,2,3,4,5,9} ⇒ x∈{1,4,9,16,25,81}，即 B={1,4,9,16,25,81}。A∩B={1,4,9}。在全集 A 中取补：A−{1,4,9}={2,3,5}。

答案：D（对应知识点3+4：先把"√x∈A"翻译成集合语言，再做补集逆向）

【真题3】(2020·新高考Ⅰ卷(山东)·第1题)

设集合 A={x∣1≤x≤3}，B={x∣2<x<4}，则 A∪B=（ ）

A.{x∣2<x≤3} B.{x∣2≤x≤3} C.{x∣1≤x<4} D.{x∣1<x<4}

解析：A=[1,3]，B=(2,4)。并起来覆盖 [1,3]∪(2,4)=[1,4)，注意右端点 4 是开区间、不含。

答案：C（易错：把 4 写进闭区间，或漏掉 A 的 [1,2] 段）

【真题4】(2022·新高考Ⅱ卷·第1题)

已知集合 A={−1,1,2,4}，B={x∣|x−1|≤1}，则 A∩B=（ ）

A.{−1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{−1,4}

解析：|x−1|≤1 ⇒ −1≤x−1≤1 ⇒ 0≤x≤2，即 B=[0,2]。A 中落在 [0,2] 的元素是 1,2。

答案：B

三、模拟题解答

【模拟1】已知集合 A={2,a}，B={2,a²}，且 A=B，求实数 a 的值。

解答：由 A=B，两集合均含 2，故 a 与 a² 必为另一相同元素，即 a=a² ⇒ a(a−1)=0 ⇒ a=0 或 a=1。检验互异性：a=0 时 A={2,0}、B={2,0} 成立；a=1 时 A={2,1}、B={2,1} 成立。

答案：a=0 或 a=1（易错：本题两解均满足互异性，勿因"含参数就分类"而误丢解）

【模拟2】某班 50 人，参加数学小组 30 人，参加物理小组 25 人，两组都参加 10 人，求两组都不参加的人数。

解答：至少参加一组 card(M∪P)=30+25−10=45。都不参加=50−45=5。

答案：5 人（对应知识点2：先求并再用总数减，韦恩图一目了然）

四、同步学习建议

集合进入 2026-2027 学年第9周，已是三轮滚动。建议把"集合相等求参必验互异性""容斥计数画韦恩图""补集逆向思维"三类错题各整理 3 道，周末重做一遍。每天 8 分钟做 5 道交并补小题，重点盯端点开闭符号。下一阶段进入《等式与不等式性质》，集合语言会贯穿函数与解析几何始终，务必滚瓜烂熟。