高中物理模型&知识总结 200 例|第 106 期 电场中的功能关系

电场中的功能关系

适合：【高二同步】【高三一轮】

一、模型识别

上一期把电场画成了等势面，这一期把电场换算成能量。电场力做功这件事，本质上和重力做功是同一个套路：只认首末位置，不认路径，于是才配谈“势能”。把这层关系理顺，后面带电粒子的加速、偏转、示波管，全都是这道题的变体。

识别信号：

• 题干出现“电场力做功”“电势能变化”“机械能变化”，问数值或问正负
• 出现“由静止释放”“只在电场力作用下”，这是只有电场力做功的暗示
• 出现“以某速度抛出”“上升最大高度”，说明重力也参与，要考虑合力
• 问“沿不同路径做功是否相同”，考的是保守力的性质

一句话判断：只要题目把“功、动能、电势能、机械能”摆在一起，就是这道题的框架——找有几种力做功，各挂一个能量账户。

二、核心规律

第一步　电场力做功只认首末位置，不认路径

两件事要分清： 是起点减终点； 要连正负号一起代进去。

路径画成弯的、直的、绕一圈再回来，只要起点是 A、终点是 B，功都一样。这一点和重力做功完全同构——正因为如此，电场力才被叫作保守力，才谈得上电势能。

图 1 就是故意画了条弯的：从 A 到 B 走曲线，和走直线算出来的功分毫不差。

第二步　做的功，等于电势能的减少量

关键是“减少量”，不是“增加量”。电场力做正功，电势能就减；做负功，电势能就增。这里差了负号，是最容易翻车的地方。

也可以从电势能定义直接算：，于是

两条路殊途同归。

第三步　动能那边用动能定理接上

只有电场力做功时，把前两步并起来：

也就是动能与电势能之和守恒。电势能减多少，动能就加多少，一分不多一分不少。图 2 画的就是这件事：左边一根柱子全是电势能，右边这根柱子总高不变，只是把一段电势能换成了动能。

要是重力也参与，就再挂一项：

三个能量此消彼长，总量还是不变。

要是有别的力掺和（拉力、摩擦力），那就老老实实写完整版

第四步　正负号只问一句：电场力往哪边

正电荷受力方向与场强同向，负电荷反过来；场强方向由高电势指向低电势。所以：

• 正电荷顺着场线走（从高电势到低电势），电场力做正功，电势能减少
• 负电荷顺着场线走（从高电势到低电势），电场力做负功，电势能增加

记一句就够：顺着电场力的方向走，电势能减少；逆着它走，电势能增加。 这句话与电荷正负无关，因为正负已经含在“电场力方向”里了。

第五步　机械能怎么变，看“除重力外”的功

除重力之外的力做的功，等于机械能的变化。这个模型里通常只有电场力算“别的力”，于是

电场力做正功，机械能增加；做负功，机械能减少。反过来也好用：机械能减少多少，电势能就增加了多少（前提是只有电场力和重力做功）。

读图题里这招很好使——看到“机械能减少”，立刻知道电场力在做负功。

一句话：电场力做功只看首末位置，，与路径无关；做的功等于电势能的减少量，；只有电场力做功时动能与电势能之和守恒，加上重力就是三者之和守恒；顺着电场力方向走电势能减少、逆着走增加；除重力外的力做的功等于机械能的变化。

三、例题 1

题目：

如图 1 所示，虚线表示某电场中的三个等势面，电势自左向右依次为 100 V、60 V、20 V。一个电荷量 、质量  的带电粒子，从 A 点由静止释放，只在电场力作用下沿图中曲线运动到 B 点。下列说法正确的是（　　）

A．电场力对该粒子做功 

B．粒子从 A 运动到 B 的过程中，电势能增加了 

C．粒子到达 B 点时的速度为 

D．若把该粒子换成等量负电荷，仍从 A 由静止释放，它也能沿同样的路径到达 B

答案：　AC

解析：

A 项算功。A 在 100 V 面上，B 在 60 V 面上，起点减终点：

结果是正的，电场力做正功。A 正确。

顺带说一句，图 1 那条曲线画得弯，可它不影响答案——从 A 到 B 走哪条路，这 40 V 都躲不掉。

B 项看方向。电场力做正功，电势能就该减少 J。题目说“增加”，符号反了。B 错。

C 项接动能。粒子从静止出发，只有电场力做功，由动能定理：

C 正确。

D 项换电荷。电势自左向右降低，场强方向由高电势指向低电势，也就是水平向右。把正电荷换成负电荷，受力方向立刻反成水平向左。

从 A 点由静止释放，负电荷只会向左加速，往电势更高的地方去，永远到不了右边的 B 点。要让负电荷从 A 走到 B，得靠外力推——那电场力就在做负功了。D 错。

图 2 把 C 项背后的账本画了出来。左边是 A 点：，全部家当都在电势能里；右边是 B 点：电势能掉了一段（从 100 V 降到 60 V 对应的那部分），掉下来的这一段原封不动变成了动能。两根柱子总高一样——这就是“动能与电势能之和守恒”。

四、例题 2

题目：

如图 3 所示，空间存在竖直向下的匀强电场，场强 。一个质量 、电荷量  的带电小球，以  的初速度竖直向上抛出，小球上升的最大高度为 。取 ，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）

A．小球上升的最大高度 

B．上升过程中，小球的电势能增加了 

C．上升过程中，小球的机械能守恒

D．小球落回抛出点时的速度大小为 

答案：　ABD

解析：

先把两个力算清楚。小球带正电，场强竖直向下，电场力也竖直向下：

两个力等大，而且都向下。这题是特意凑成这样的——电场力和重力同向等大，合力就成了重力的两倍，加速度也到了 ，方向竖直向下。

A 项算高度。上升过程是匀减速，末速度为零：

A 正确。

B 项算电势能。上升过程位移向上，电场力向下，两者反向，电场力做负功：

做负功，电势能增加，增加量就是  J。B 正确。

注意这里的方向关系：电场力向下、位移向上，所以是“逆着电场力走”，电势能增加。图 4 把这件事单独画了一遍——位移箭头朝上，两个力箭头都朝下。

C 项看机械能。上升过程中重力做负功，这部分不影响机械能（重力做功本身就是机械能内部的转化）；真正改变机械能的是电场力，它做了  J 的功，机械能就减少这么多。所以机械能不守恒。C 错。

换个角度验一遍：动能减少  J，重力势能只增加了  J，剩下那  J 被电势能拿走了。三笔账正好对上。

D 项看全过程。小球从抛出到落回抛出点，位移为零。重力是恒力，位移为零，做功为零；电场力也是恒力，位移同样为零，做功也为零。由动能定理，回到抛出点时动能与出发时相同，速度大小仍是 ，只是方向变成竖直向下。

D 正确。

图 4 只讲一件事：功的正负看力和位移的夹角。位移朝上， 和  都朝下，两个夹角都是 ，两个力都在做负功，所以动能一路减少，减下来的部分分别存进了重力势能和电势能。

底部那个式子是这一段的总结：动能减少了多少，就等于这两个力所做负功的大小之和。

五、易错点

• 把  的符号丢掉： 是起点减终点， 带符号。负电荷从低电势走到高电势，两个负号相乘反而得正功，只写绝对值必错。
• 以为路径长做功就多：静电力是保守力，功与路径无关。题目画条弯线是干扰，别被带跑。
• 把“电势降低”当成“电势能减少”：电势降低只说明  变小，电势能变不变还要看电荷正负。负电荷在电势降低处电势能反而增加。
• 以为电场力做正功机械能就守恒：机械能守恒的条件是“只有重力（和弹簧弹力）做功”。电场力一掺和，机械能就不守恒了，变的就是它做的功。
• 混淆“总能量”和“机械能”：只有电场力和重力时，动能加两种势能的总和才守恒；机械能只是其中一部分，少了电势能那一块。
• 以为电势能大动能就大：两者是此消彼长的关系。电势能最大的位置（比如上抛的最高点），动能往往最小。
• 算  时忘了零势点：电势能的具体数值依赖零势点的选取，只有它的变化量才有绝对意义。题目问“电势能是多少”时，一定会指明零势点。
• 从“机械能变化”反推电场力做功时漏前提：这条只在这个过程里除重力外只有电场力做功时成立。有摩擦力、有拉力就不行。

一句话总结

一句话：电场力做功只看首末位置，，与路径无关；做的功等于电势能的减少量，；只有电场力做功时动能与电势能之和守恒，加上重力就是三者之和守恒；顺着电场力方向走电势能减少、逆着走增加；除重力外的力做的功等于机械能的变化，所以电场力做负功时机械能减少。