指对函数综合问题专题讲义

四大题型 · 图象辨识 / 单调性比大小 / 性质求参数 / 实际应用

适用对象：高一同步学习 / 高三一轮复习；家长可陪同阅读

配套材料：《三、指对综合问题》练习 18 题（改编与精讲）

教材定位：人教A版必修一 · 指数函数与对数函数

编制：知微说数　　2026 年 11 月

使用说明（学生先读）

【这个专题解决什么问题】指数与对数的综合题，难点不在算不动，而在认不出。题目把底数范围、图象、奇偶性、单调性、分段函数和实际应用混在一起，学生常常公式都背得出，却不知道第一步动哪里。本讲义把配套练习《三、指对综合问题》的 18 道题归成四个单元，每单元先给辨识口令，再给可以照着做的步骤。

【给家长的陪读提示】不必替孩子算，只问三句话：这题属于四类里的哪一类？底数和 1 比过大小了吗？对数的真数、分段函数的分界点检查了吗？孩子能自己答出这三句，方法才真的变成他的。建议先让他独立完成例题的「思路」一步，再对照解析。

【入口】先看题目问的是图象、比大小、求参数还是实际应用，四类对应四套固定动作；看到含参、分段、是偶函数、是减函数这类字眼，先把它翻译成方程或不等式，再动笔计算。

【出口】做完本讲义，学生应能独立完成四件事：由底数判断增减与过哪个定点；用 0 和 1 作中间量比较三个数；由奇偶性与单调性反求参数；把衰减、冷却应用题翻译成指数方程并求出时间。

知识主线与易失分点

• 知识主线：底数  决定增减，指数与对数互为反函数，单调性把比函数值转成比自变量，含参条件翻译成不等式，应用题先由已知时刻定参数再求时间。
• 四个单元：U1 图象辨识、U2 单调性比大小、U3 性质求参数、U4 实际应用模型；文末有本专题方法选择速查表与决策图。
• 最容易失分的点： 时不等号方向忘记反转，对数真数忘查大于 0，分段函数分界点两侧的大小关系漏检，换元后新变量  的取值范围没有跟着改。

第一部分　知识点精讲与例题

U1　图象辨识：先看底数，再看定点

【本单元导语】题目给几个函数让你选图象，或给一幅图让你反推 、 的范围。这类题不需要描点，也不需要求导，只需要三件信息：增减方向、必过定点、渐近线位置。

一、方法适用条件（辨识）

看到只给底数范围、要选图象，用定点加增减加渐近线三件套；看到由图象反推参数，先读增减定  与  的关系，再读与坐标轴的交点；看到指数与对数同时出现，先查它们是否同底、是否互为反函数。

二、必备知识：三件套

指数函数 （ 且 

同底的  与 互为反函数，图象关于直线  对称，所以两者的增减方向必定相同。

图 U1-1　 与 ：同过 ，增减相反

图 U1-2　 与 ：同过 ，增减相反

图 U1-3　 与  关于直线  对称

【易错：底数小于 1 时整体反向】 时， 在  上为正、在  上为负，与  时完全相反。画图前先把  与  比一次，不要凭对数总是增的印象落笔。

三、复合函数图象：先判奇偶，再看符号

遇到  这样的长式子，先拆因子： 是奇函数， 是偶函数，奇乘偶得奇函数，图象关于原点对称。再看  时两个因子的符号：第一因子恒正，第二因子在  即  时为正。于是右半支先在  轴下方，越过  后翻到上方并持续增大。

图 U1-4　奇函数  的零点与符号变化

例 1　已知  且  且 ），判断  与  的图象组合（对应练习第 1 题）

思路：两个函数底数不同，先用已知等式把它们化成同一个底，再套三件套。

第一步：由  得 ，即 ，所以 。

第二步： 过 ， 过 ；两者同底 ，若  则都递增，若  则都递减，且互为反函数、关于  对称。

第三步：因此正确图象必须满足两条曲线单调性相同，同时指数支过 、对数支过 。练习第 1 题四个选项中只有 B 符合，答案为 B。

提炼：题目给的是 、 的关系，考的是能不能把它翻译成同底。以后看到 ，第一反应就是 。

例 2　说明  的奇偶性、零点与  时的符号变化（对应练习第 2 题）

思路：不展开、不描点，按奇偶、零点、符号三步走。

第一步（奇偶）：，而 ，故 ，是奇函数，图象关于原点对称。

第二步（零点）： 当且仅当 （得 ）或 （得 ，即 ），共三个零点。

第三步（符号）： 时 ；故  时 ， 时  且随  增大而增大。左半支由奇函数对称得到。

提炼：练习第 2 题的四个选项中，先排除偶函数形状的 A、B，再由右端向上锁定 C。长式子不可怕，先判奇偶能一次砍掉一半选项。

U2　单调性比大小：先找中间量

【本单元导语】三个数分别是 、、，不同底不同形，硬算小数最慢也最容易错。这类题的正解是不与彼此比，只与 0、1、2 比。

一、方法适用条件（辨识）

看到几个数混着指数幂与对数，用中间量法；看到**同一个函数的几个函数值 、、**，先用奇偶性把自变量搬回同一个单调区间，再比它们绝对值的大小。

二、标准步骤

第一步，把每个数与 、 各比一次：对数看真数与底数、指数幂看指数的正负。第二步，同底或同指数的用单调性比： 时递增， 时递减。第三步，若出现 ，用偶函数  把自变量统一取绝对值，再按所在区间的单调性排出大小。

【易错：偶函数的自变量要取绝对值】 若  是偶函数且在  上递增，则它在上递减；比较  时比的是 ，自变量越大函数值反而越小。 练习第 7 题的四个选项全靠这一步区分。

例 3　设 ，，，比较  的大小（对应练习第 6 题）

思路：先统一形式，再找中间量 。三个数里只有  的底是 ，先化成以  为底。

第一步：，于是  与  同底；由  及  递增得 ，且 。

第二步：，所以 ，把  当作桥就把三数分开了。

第三步：合并得 ，练习第 6 题选 C。

提炼：比大小的本质是分组，不是通分。先把能化成同底的化同底，剩下的找一个整数当桥；常见的桥是 、、。

例 4　设  是定义域为  的偶函数，且在  上单调递增，设 ，，，比较 （对应练习第 7 题）

思路：题目没有给  的解析式，所以只能靠奇偶性把三个自变量搬到同一侧，再用单调性。

第一步（化简自变量）：，，由  得 ；，且 ，故 。

第二步（搬到同一侧）： 是偶函数，；又  在  上递增，由对称性知  在  上递减。

第三步（比大小）：自变量  且该区间递减，所以 。

练习第 7 题选 A。

提炼：看到偶函数加单调区间，口诀是先取绝对值，再反向。若把  直接当成最小自变量，就会把不等号方向写反。

U3　性质求参数：把条件翻译成方程

【本单元导语】是  上的减函数、是偶函数、最小值为 、方程有解——这些都不是让我们去猜函数，而是在给一条可以写成方程或不等式的条件。

一、方法适用条件（辨识）

看到分段函数是  上的减函数，先分别定两段自己的单调性，再补分界点处的衔接条件；看到是偶函数，用  对恒成立求出参数；看到最小值、方程有解，优先换元  或 ，把指对问题变成二次函数问题。

二、标准步骤

第一步，定底数范围（单调性本身就是对  的限制）。第二步，把文字条件写成恒等式或不等式。第三步，处理分段函数的分界点：减函数要求左段在分界点的函数值不小于右段在分界点右侧的极限。第四步，若换元，务必同步写出  的取值范围，再在闭区间上求二次函数最值。

【易错：分界点与换元范围】 分段函数的分界点条件常被漏掉，练习第 9 题的答案  里的左端点就是这么来的；换元  后， 必须同步变成 ，否则最小值会算错。

例 5　已知分段函数  满足  时 ， 时 ，且 ，求 （对应练习第 8 题）

思路：先由  反推  落在哪一段，再把  代回对应段的公式。

第一步（试左段）：若 ，则  得 ，指数函数值恒正，无解。

第二步（试右段）：若 ，则  得 ，故 ，满足 。

第三步（求值）：，代入左段。

练习第 8 题选 A。

提炼：分段函数求值的固定动作是先定段、再代入。含  这类复合自变量时，先算出具体数值，不要急着化简表达式。

例 6　已知 （）、（）是  上的减函数，求  的取值范围（对应练习第 9 题）

思路：三段条件——左段递减、右段递减、分界点衔接——缺一不可。

第一步（左段）： 递减要求 ；此时  段的值域是 ，分界点处 。

第二步（右段）： 时  递减，而  递增，复合后右段递减，自动满足。右段在  时的上确界为 。

第三步（衔接）：要使整个  上递减，右段的任何值都不能超过左段的最小值 ，故 ，解得 。

练习第 9 题选 B。

提炼：分段单调题的分数几乎都在衔接条件上。写完两段各自的单调性后，务必回头问一句：分界点两侧接得上吗？

U4　实际应用模型：先定参数，再求时间

【本单元导语】污染物衰减、茶水冷却、养生壶保温，题干很长，但数学内核只有一句：每经过相同的时间，剩余量与初始量的比值固定，所以用指数模型。

一、方法适用条件（辨识）

看到每经过相同时间剩余固定比例、减少百分之几，写 ；看到**冷却到环境温度 **，写 ，注意要减去环境温度后再谈比例。

二、标准步骤

第一步，写出模型并认清  或  是多少。第二步，用题目给的第一个时刻定出  这个整体（不必单独求 ）。第三步，把目标量代入，利用  转成指数方程。第四步，两边取对数，用题给参考数据算近似并按要求取整。

图 U4-1　污染物剩余比例衰减曲线： 小时后剩 ，约  小时后剩 

【易错：参考数据的底与线性外推】 题给 、 时对数底是 ；、 时底是 ，不要混用。更不能把前  小时消除  理解成每小时消除  去线性外推，衰减是乘性的，不是减性的。

例 7　废气污染物含量 （ 为正常数）。若前  小时消除了  的污染物，污染物减少  约需多少小时（精确到  小时，参考数据 ，）（对应练习第 16 题）

思路：把两个百分比都翻译成剩余比例，用第一个条件定出  这个整体，再解第二个时间。

第一步：前  小时消除 ，即 ，故 。

第二步：减少  即 ，于是 ；把它写成 。

第三步：两边取常用对数，并用 。

第四步：，精确到  小时为  小时，练习第 16 题选 B。

提炼：应用题里比例比参数更好用。不必解出 ，把  当作一块积木直接代入，计算量能少一半。

例 8　冷却模型 。 的水在  室温中， 分钟后降到 。求降到适合冲泡绿茶的  约需几分钟（参考数据 ，）（对应练习第 17 题）

思路：先减去室温 ，把温度问题变成剩余温差的比例问题。

第一步：模型为 。由  时  得 ，即 。

第二步：令 ，得 ，即 。

第三步：两式取自然对数相除消去 。

第四步：约  分钟，练习第 17 题选 B。

提炼：冷却模型一定要先减环境温度。若直接用  和  算比例，答案会错；对有环境温度的模型，比例永远作用在温差上。

三、本专题方法选择速查

图 0-5　四类题型的方法选择速查

一句话口诀：先分类、再定底、后翻译；分段查衔接，换元查范围，应用减环境。做完随堂练习后，把九道题分别归到这四个格子里，本专题就收口了。

第二部分　随堂练习（先做，再看答案）

基础

面向全员：直接套用本专题的定义、公式与基本方法，目标是 90% 以上正确率。建议先独立做完 3 题，再对照解析。

1. 设 ，，，比较  的大小（对应练习第 5 题）。　★★

2. 证明函数  在  上是增函数（对应练习第 15 题第 (1) 问）。　★★

3. 已知  是奇函数，且当  时 。若 ，求  的值（对应练习第 11 题）。　★★

拓展

中等难度：需要两步以上推理、公式变形或与其他单元方法综合。解析里标出了每一步的理由。

1. 已知  是偶函数，函数  的最小值为 ，求实数  的值（对应练习第 10 题）。　★★★

2. 已知  是偶函数。设 ，。是否存在实数  使  的最小值为 ？若存在求出 ，若不存在说明理由（对应练习第 14 题第 (3) 问）。　★★★

3. 设 ，（）。若关于  的方程  在  上有解，求  的取值范围（对应练习第 15 题第 (2) 问）。　★★★

拔高

压轴取向：需要含参分析、分段衔接或跨章节综合，适合备考冲刺。家长陪读时重点问孩子第一动作是什么。

1. 已知 （ 且 

2. 物体冷却满足 ，其中  为环境温度、 为参数。某日室温 ，上午 8 点起用养生壶烧水，加热阶段水温是时间的一次函数，初始水温与室温相同， 分钟后达到 ；到 8 点 18 分时，热水自然冷却到 。求从 8 点起水温 （单位：）关于时间 （单位：分钟）的函数 。　★★★★

3. 已知  是偶函数。若函数  的图象与直线  没有交点，求  的取值范围（对应练习第 14 题第 (2) 问）。　★★★★★

第三部分　参考答案与解析

基础　答案

1. 答案：

第一步：把三个数分别与 、 比一次。； 的底在  内且指数为正，故 。

第二步：，真数小于  而底大于 ，故 。

第三步：合并得 ，练习第 5 题选 D。

回到 U2 的例 3：那一题的桥是 ，这一题的桥是  和 。桥取哪个整数，取决于三个数落在哪几个区间里。

2. 答案： 在  上单调递增

第一步（定义法）：任取 ，由  递增得 ，从而 。

第二步：两个内层值都大于 ，且  在  上递增，故 ，即 。

第三步：由定义知  在  上是增函数。也可以直接说成复合函数：内层  递增且恒正，外层  递增，递增加递增得递增。

回到 U1 的例 2：那一题靠奇偶性看形状，这一题靠单调性看走势，都是先判性质再动笔。

3. 答案：

第一步：求  一侧的表达式。设 ，则 ，由奇函数 。

第二步：代入 。

第三步：比较指数得 ，即 。

回到 U3 的例 5：两题都是先确定自变量落在哪一侧，再代对应段的公式；这里由奇偶性生成了另一侧。

拓展　答案

1. 答案：

第一步（由偶函数求 ）：。令  对任意  成立，得 ，故 。

第二步（化简 ）：，所以 。

第三步（换元）：令 ，则 ，于是 ，定义域变成 。

第四步（分类求最值）：若对称轴 （即 ），最小值为 ，得 ，与  矛盾，舍去。故最小值在端点  取得：，解得 ，此时 ，符合。

回到 U3 的例 6：那题考分段衔接，这题考换元后  的范围；两者都是先把条件翻译干净，再解方程。

2. 答案：存在，

第一步（由偶函数求 ）：仿拓展第 1 题，，与  恒等得 ，故 。

第二步（化简 ）：，故 ，于是 。

第三步（换元并同步改范围）：令 ，由  得 ，。

第四步（分类求最值）：若 ，最小值 ，不合。若 ，最小值  得 ，与范围矛盾。若 （即 ），最小值在 ： 得 ，符合。若 （即 ），最小值在 ： 得 ，与  矛盾。

结论：存在，。注意答案为何不是 ：那个值对应的顶点落在区间右侧之外，端点和顶点不能混用。

回到 U3 的例 6 与 U4 的例 7：换元后先写清新变量范围，再谈最值，是所有含参最值题的通法。

3. 答案：

第一步（分离参数）：在  上 ，方程等价于 。有解意味着  落在这个式子的值域里。

第二步（化简并看单调）：； 递增，故  递减，整个分式随  递增，取  后仍递增。

第三步（代端点）： 时 ； 时 。

第四步：区间闭、函数连续递增，故值域就是上面这个闭区间。

回到 U3 的例 6：那里把条件翻译成不等式，这里把有解翻译成值域；不是恒成立，别把  写成大于等于最大值。

拔高　答案

1. 答案：（选 A）

第一步（由递增定 ）：内层  恒递增，要使复合后递增，外层  必须递增，故 。

第二步（由渐近线定  的上界）：定义域要求 ，即 。存在竖直渐近线说明 ，故 ；又真数在  处等于 ，需 。

第三步（由交点定下界）：。因 ， 给出 ， 给出 。

第四步：合并即 ，练习第 4 题选 A。检验一下：取 ，则 ，与图象相符。

回到 U1 的例 1：那题由等式化同底，这题由图象的三条信息逐条反推参数；图象题的每一条信息都要翻译成一个不等式。

2. 答案：；

第一步（加热段）： 时水温 ， 时 ，一次函数斜率 ，故  时 。

第二步（定参数 ）：冷却从 、 开始，模型为 。由  时  得 ，即 ，故 。

第三步（写成分段函数）：（）；（）。

第四步（检验）： 两段衔接一致，，与题设吻合。

回到 U4 的例 8：两题都是先减去环境温度再谈比例；差别只在冷却的起点从  平移到了 ，所以指数上要写 。

3. 答案：，即 

第一步（由偶函数求 ）：与拓展第 2 题同理，，故 。

第二步（把无交点转成方程无解）：令 ，即 。

第三步（指数化）：，移项得 ，即 。

第四步：因  可取遍所有正实数，方程有解当且仅当 ；故没有交点当且仅当 。

回到 U3 的例 6 与拓展第 2 题：同一道题的三问分别考偶函数求参、无交点、换元最值，说明性质先翻译这一步能一口气打通三问。