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专题4.3 指数函数与对数函数的关系
教学目标
1．理解反函数概念及指数、对数函数的反函数关系
2．掌握反函数的核心性质与求法步骤
3．能运用性质解决图像对称、定义域值域互化问题
教学重难点
重点：反函数的定义、指数与对数函数的反函数关系
难点：反函数的求解（含定义域值域转化）
知识点01 反函数的概念
一般地，如果在函数
中，给定值域中任意一个y 的值，只有唯一的x 与之对应，那么x 是y
的函数，这个函数称
的反函数．此时，称
存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x
表示，因变量仍用y 表示，则函数
的反函数的表达式，可以通过对调
中的x 与y，然后
从
中求出y 得到．
【即学即练】
下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）
A．
B．
C．
nnD．
【答案】D
【详解】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y 至多对应一个x.
对于A，当y 为正数时，一个y 对应两个x，不满足反函数的定义，A 错；
对于B，当y 为正数时，一个y 对应两个x，不满足反函数的定义，B 错；
对于C，当y 为正数时，一个y 对应两个x，不满足反函数的定义，C 错；
对于D，满足反函数的定义，D 对.
故选：D
知识点02 反函数的性质
若函数
的反函数记作
，则具有以下性质：
（1）定义域与值域互逆：
的定义域是
的值域，
的值域是
的定义域。
（2）图像对称关系：两函数的图像关于直线
呈轴对称；
（3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。
【即学即练】
函数
的反函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由对数函数的性质可得：函数
的值域为
，
则反函数的定义域为
.
故选：D.
知识点03 求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数
，求出因变量y 的取值范围。
②求解x 的表达式：由
变形得到
，若x 有多个解，需结合原函数中x 的限制条件
筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x 与y 的符号互换，得到
，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随
意设定。
【即学即练】
若函数
的反函数为
，则
的解析式为 ．
【答案】
【详解】由
，
得
，
将
互换得，
，
且函数
的值域为R，
因此，函数
，
故答案为：
．
知识点04 指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数
和对数函数
是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线
对称。
【即学即练】
已知指数函数
的反函数的图象经过点
，则
.
【答案】
【详解】解：设指数函数
，
因为指数函数
的反函数的图像经过点
，
所以指数函数
的图像过点
，
所以
，解得
，
所以
，
所以
，
故答案为：
题型01 反函数存在的条件
【例1】下列命题组真命题的个数为（ ）
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【详解】对①，取函数
，显然存在反函数，但不单调，①错误；
对②，取偶函数函数
，则
，显然函数
不存在反函数，②错误；
对③，取奇函数函数
，当
时有
和
与之对应，
即从
到
的映射不满足函数定义，故奇函数
没有反函数，③错误.
故选：A
【例2】若函数
在
上存在反函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：若函数
在
上存在反函数，
则函数
在
上单调即可，
又因为函数
在
上递减，在
上递增，
所以
，所以
.
故选：B.
【变式1-1】下列各图中，存在反函数的函数
的图像只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域，
所以
要有反函数，则
的定义域与值域建立一一对应关系，结合各个选项的图形，选项C
满足题意，
故选：C.
【变式1-2】已知函数
存在反函数，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】易知函数
的定义域为
，
若函数
存在反函数，则
在定义域内
和
上单调，
又
，显然
时，满足题意.
因此，实数a 的取值范围是
.
故答案为：
【变式1-3】已知函数
，
，判断其是否存在反函数.若存在，求出反函数；若不存在，
说明理由.
【答案】不存在
【详解】因为
的图象开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
即当
时，有两个
的值和与之相对应，
所以函数
，
不存在反函数.
紧扣“定义域内任意
对应唯一
”，即原函数是一一映射（既单射又满射）
02 求反函数的解析式
【例3】若指数函数
经过点
，则它的反函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设指数函数
且
，点
在
的图象上，
所以
，解得
.
所以
，故反函数
.
故选：A
【例4】已知函数
与
的图象关于
对称，求
的解析式.
【答案】
【解析】由题意得
与
互为反函数，根据反函数的定义即可求出答案．
【详解】∵函数
与
的图像关于
对称，
与
互为反函数，
而
，
．
【点睛】本题主要考查反函数的求法，同底的指数函数和对数函数互为反函数，属于基础题．
【变式2-1】若一个对数函数的反函数图象经过点
，则此反函数解析式
.
【答案】
【详解】根据题意，所求反函数为指数函数，故可设
，
又其图象过点
，则
，解得
（舍）或
，故
.
故答案为：
.
【变式2-2】把
的图像向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位，得到函数
的图像，则函
数
的解析式为 .
【答案】
【详解】把y＝2x 的图象向下平移1 个单位，再向右平移2 个单位，得到函数y＝2x﹣2
1
﹣的图象，即f﹣1
（x）＝2x﹣2
1
﹣，据此可得函数f（x）的解析式为y＝log2（x+1）+2．
故答案为：y＝log2（x+1）+2．
【点睛】本题考查函数图象的平移变换，反函数的概念及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计
算能力，属于中等题．
【变式2-3】已知函数
，函数
是定义在区间
上的奇函数，且当
时，有
，求函数
的解析式．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
所以当
时，
，
因为
是定义在区间
上的奇函数，所以
时，
，
当
时，
，所以
，
所以
.
【点睛】本题考查了求反函数的解析式，考查了根据奇函数求函数解析式，属于基础题.
题型03 过定点问题
【例5】已知
是函数
（
，且
）的反函数，则
的图象经过的定点坐标
为 ．
【答案】
【详解】
是函数
的反函数，
所以
，
所以
的图象经过的定点
.
故答案为：
.
【例6】函数
（
且
）的反函数过定点 ．
【答案】
【详解】对于函数
（
且
），令
，即
，所以
，
即函数
（
且
）恒过点
，
所以函数
（
且
）的反函数恒过点
.
故答案为：
【变式3-1】已知函数
是函数
的反函数，则
过定点 .
【答案】
【详解】
函数
是函数
的反函数，
又函数
过定点
所以函数
过定点
.
故答案为：
【变式3-2】已知函数
和函数
（
且
）互为反函数，则
恒过定点
的坐标为
.
【答案】
【详解】因为
（
且
）过定点
且函数
和函数
（
且
）互
为反函数，
所以
恒过定点
的坐标为
.
故答案为：
.
【变式3-3】已知
且
，
且
，函数
的图象过定点A，A 在函数
的图象上，且函数
的反函数过点
，则
.
【答案】8
【详解】函数
的图象可以由
的图象向右平移2 各单位长度，再向上平移3 个单位长度得到，
故点A 坐标为
，又
的反函数过点
，所以函数
过点
，所以
，解
得
，所以
.
故答案为：8
利用“原函数与反函数图像关于
对称”，先找原函数过的定点，再求其关于
的对称点，即
为反函数的定点。
题型04 反函数含参问题
【例7】若函数
的反函数的图像过点
，则实数m 的值为 ．
【答案】1
【详解】函数
的反函数的图像过点
，所以函数
图像过点
，则
，解得
．
故答案为：1
【例8】若点
既在函数
的图像上，又在
的反函数的图像上，则
的值为
．
【答案】
【详解】因为
既在函数
的图象上，又在
的反函数的图象上，
所以点
在函数
的图象上，
所以
，
即
，
解得
，
所以
．
故答案为：
．
【变式4-1】已知函数
与
互为反函数，函数
的图像与
的图像关于
轴对称，
若
，则实数
的值为 .
【答案】
【详解】因为函数
与
互为反函数，所以
，又因函数
的图像与
的
图像关于
轴对称，所以
由
可解得
故答案为：
【变式4-2】已知函数
的图象关于直线
对称，则实数m 的值为
【答案】1
【详解】由
得
，
即
，即
的反函数为
，
因为函数
的图象关于直线
对称，
故
与
为同一函数，
故
，
故答案为：1
【变式4-3】设函数y=
的图象与
的图象关于直线y=x 对称，若
，实数m 的值为
．
【答案】1
【详解】∵
，函数y=
的图象与
的图象关于直线y=x 对称
∴
，
∴
∴
∴
．
故答案为：1nn
利用原函数与反函数的定义域、值域互逆，以及图像关于
对称的性质，建立参数满足的等式或不
等式。
题型05 反函数的定义域问题
【例9】若函数
的值域是
，则此函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】由
，则
，
，
即函数
的值域是
的反函数为
，
，
当
时
，所以
，
当
时
，所以
，
即反函数
，
的值域为
，
所以原函数
的定义域为
.
故答案为：
【例10】函数
与函数
互为反函数，若
且
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．R
C．
D．
【答案】C
【详解】∵当
时，
，
∴函数
，
的值域为
，
又
与
互为反函数互为反函数，
故
的定义域为
.
故选：C.
【变式5-1】函数
反函数的定义域为 .
【答案】
【详解】当
时，
单调递增，可知
．
所以反函数的定义域为
．
故答案为：
．
【变式5-2】函数
的反函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：∵
，∴
，
∴函数
的值域为
，
∵
的定义域即函数
的值域，
∴
的定义域为
．
故选：C
【变式5-3】函数
的值域是
或
，则此函数的定义域为 .
【答案】
【详解】
，其中
或
，
当
时,
是减函数,此时
，
当
时,
是减函数,此时
，
∴函数
的定义域为
.
故答案为：
.
题型06 反函数的值域问题
【例11】函数
的反函数的值域是 ．
【答案】
【详解】函数
的定义域满足
,
解得
,即定义域为
根据互为反函数的两个函数定义域与值域关系可知,函数
的反函数的值域即为函数
的
定义域
所以函数
的反函数的值域为
故答案为:
【点睛】本题考查了反函数的性质及简单应用,属于基础题.
【例12】已知函数
过点
，若
的反函数为
，则
的值域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
过点
，则
，解得
，
∴
，
的反函数为
，得
，
由
，∴
的定义域为
，当
，有
，则
的值域为
.
故选：D
【变式6-1】若
为函数
的反函数，则
的值域是 ．
【答案】
【详解】由反函数的值域为原函数的定义域，
而
中
，即
，
故反函数的值域为
.
故答案为：
【变式6-2】已知函数
，且
过点
，若
的反函数为
，则
的值域为 .
【答案】
【详解】∵函数
，且
过点
,
∴
，即
，又
，且
，
∴
，
，
∵
，即
，∴
，
∵
的反函数为
，则
的值域为
.
故答案为：
.
【变式6-3】设
是奇函数，若函数
图象与函数
图象关于直线
对称，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以
可得
或
，
所以
的定义域为
或
，
因为
是奇函数，定义域关于原点对称，所以
，解得
，
所以
的定义域为
，
因为函数
图象与函数
图象关于直线
对称，
所以
与
互为反函数，
故
的值域即为
的定义域
.
故选：
.
题型07 反函数的图象
【例13】若函数
与函数
的图象关于直线
对称，则
的大致图象是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意函数
与函数
互为反函数，
所以
，解得
，它在定义域
内单调递增，且过定点
，
对比选项可知A 符合题意.
故选：A.
【例14】函数
的反函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以函数
的反函数为
，
函数
的图象可由反比例函数
的图象向左平移一个单位得到，从选项得知B 满足，
故选：B.
【变式7-1】若函数
的图象位于第一、二象限，则它的反函数
的图象位于
（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第二、三象限
D．第一、四象限
【答案】D
【详解】由题意，函数
的图象位于第一、二象限，
因为函数
和反函数
的图象关于
对称，
可得反函数
的图象位于第一、四象限.
故选：D.
【点睛】本题主要考查反函数的性质的应用，其中解答中互为反函数的两个函数的关系是解答的关键，属
于基础题.
【变式7-2】如图，已知函数
，则它的反函数
的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得，函数
的反函数是
，
这是一个在
上的单调递增函数，且
，所以只有选项C 的图像符合.
故选：C.
【变式7-3】已知函数
，则函数
的大致图象是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意
，所以
，其图象可由
的图象向右平移一个
单位得到，
故选:C．
题型08 反函数与单调区间
【例15】奇函数
的反函数是
，函数
在
上是减函数，则函数
在
上是
A．增函数
B．减函数
C．非单调函数
D．常数函数
【答案】A
【详解】因为函数
的反函数是
，
且
在
上是减函数，
而
和
关于
对称，
所以在
上单调性相同，
所以可得
在
上是减函数，
而
是奇函数，所以在
上也是减函数，
而
的图像与
的图像，关于
轴对称，
所以
在
上是增函数，
故选
项.
【点睛】本题考查原函数与反函数的图像之间的关系，奇函数图像的特点，函数的对称变换，属于简单题.
【例16】若函数
，函数
与函数
图象关于
对称，则
的单调增区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】∵函数
与
的图象关于直线
对称，
∴函数
是
的反函数，则
，
∴
，
由
，解得
，
令
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
在
上单调递减，
∴
的单调增区间为
．
故选：A．
【变式8-1】函数
是定义在
上的减函数，则
（ ）
A．在
上是增函数
B．在
上是减函数
C．在
上是增函数
D．在
上是减函数
【答案】C
【详解】
为
上的减函数
与
图象关于
对称
在
上为减函数
在
上为增函数
故选
【点睛】本题考查反函数性质的应用，关键是明确函数与其反函数在对称区间内单调性相同，同时原函数
的定义域为其反函数的值域，原函数的值域为其反函数的定义域.
【变式8-2】若函数
，函数
与函数
互为反函数，则
的单调减区间是
．
【答案】
【详解】因为
与函数
互为反函数，所以
，在定义域
上为减函数，
令
，
解得：
，
可知
的定义域为
，
则
在
上递增，在
上递减，
利用复合函数的单调性可知：
在
上递减，在
上递增.
故答案为：
.
【变式8-3】函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，则
的单调减区间为
【答案】（0,1）
【详解】由题意函数f（x）的图象与函数
的图象关于直线y＝x 对称，所以函数f（x）是
的反函数即f（x）＝
，
即f（2x﹣x2）＝
，令2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，
又f（x）＝
是减函数，t＝2x﹣x2在（0，1）上增，在（1，2）上减，
由复合函数的单调性知，f（2x﹣x2）的单调减区间为（0，1），
故答案为：（0,1）．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性以及单调区间的求法．对于复合函数的单调性，一要注意先确定
函数的定义域，二要利用复合函数内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增
异减”．
题型09 指数函数与对数函数的综合应用
【例17】（多选）已知a，b 分别是函数
与
和
的图象在第一象限的交点的横坐
标，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于选项A：设函数
与
和
的图象在第一象限的交点分别为C，D，
则
，
，
又因为函数
的图象关于直线
对称，函数
和
的图象关于直线
对
称，
可知点
，D 两点关于
对称，则
，
，
所以
，故A 正确；
对于选项B：因为
，且
，则
，
取倒数有
，即
，故B 错误；
对于选项C：由
得
，当且仅当
时取等号，
由图象可知，
，等号不成立，所以
，故C 正确；
对于选项D：因为
，则
，
可得
，
令
，可知
在区间
上单调递减，
所以
，故D 正确；
故选：ACD.
【例18】已知
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【详解】由
可得：
，
又由
可得：
。
而函数
与
互为反函数，所以它们的图象关于直线
对称，
下面作出函数
，
，
，
的图象：
由图可得：方程
的根为
，即
为如图交点
的横坐标，
方程
的根为
，即
为如图交点
的横坐标，
由图可知交点
的横坐标为，根据对称性可得：
，
根据同构方程思想可得：满足
和
的根必有：
，
所以
，
故选：A.
【变式9-1】方程
的实根是 ．
【答案】2025
【详解】令
，则函数单调递增，且
，
因此函数
与函数
互为反函数，则
与函数
的
交点在直线
上，
因此
，故
，
故
，解得
，
故答案为：2025
【变式9-2】设
是函数
的反函数图象上不同的三点，如果满
足等式
的实数
有且仅有一个，求实数
的取值范围．
【答案】
【详解】
的反函数为
，则
，
，
，
由
得
，故
，
此方程等价于
，
（1）当
，即
时，方程有唯一实根
，符合题意；
（2）当
，即
时，方程有两个实根
，
显然
且
满足条件，从而
，解得
，
而
时，点
重合，矛盾，所以
.
综上，实数
的取值范围为
.
【变式9-3】设
．
(1)判断函数的单调性并证明；
(2)若
的反函数为
，求证：
有唯一解；
(3)解关于
的不等式：
．
【答案】(1)在
上是减函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）由
，得
，
所以
的定义域为
，任取
，
则
，
则
，又
，
且
，
所以
，所以
，所以
，
所以
在
上是减函数．
（2）因为
，所以
，即
有一个根
，
假设
还有一个根
，则
，
因为
，所以
，所以与假设相矛盾．
所以
是
的唯一解．
（3）因为
，所以
，
又因为
在
上单调递减，所以
，
则
，得
，
所以
或
．
故不等式的解集为：
.
一、单选题
1．已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
关于直线
对称的点为
，则
的对称点为
，
又
在函数
的图象上，故
，解得
，
故选：
.
2．函数
的图象与函数
的图象（ ）
A．关于直线
对称
B．关于y 轴对称
C．关于x 轴对称
D．关于原点对称
【答案】A
【详解】
的反函数满足
，化简可得
，
所以
，因为反函数的图象关于直线
对称，
即
与
关于直线
对称，
故选：A.
3．设
，若
的反函数的图象经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
的反函数的图象经过点
，
所以，函数
的图象经过点
，
所以，
，可得
，解得
.
故选：A.
4．已知函数
是
的反函数，则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
是
的反函数，
所以
，
则
，
则
，解得
，
所以函数
的定义域为
，故排除AB；
令
，在
上是减函数，
而函数
是减函数，
所以函数
在
上是增函数，故排除C.
故选：D.
5．函数
，
的反函数的定义域是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
在
单调递增，
所以
，
即
，
因为反函数的定义域是原函数的值域，
所以反函数的定义域为
，
故选：C．
6．已知函数
的反函数为
，那么
在
上的最大值与最小
值之和为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【详解】因为
，
且函数
的定义域为
，则
为奇函数，
因为
均为
上的单调增函数，则
也为
上的增函数，
根据函数与反函数关于直线
对称，
则函数
的反函数
也为定义域上的奇函数、增函数，
故
在
上单调递增，且
的关于点
对称，
因为
，则
，
即其最大值与最小值之和为
.
故选：A.
二、多选题
7．已知函数
和
，以下结论正确的有（ ）
A．它们互为反函数
B．它们的定义域与值域正好互换
C．它们的单调性相反
D．它们的图像关于直线
对称
【答案】ABD
【详解】A 选项，注意到
，则其与函数
互为反函数，故A 正确；
B 选项，函数
定义域为
，值域为R.函数
定义域为R，值域为
.故B 正确；
C 选项，当
时，两函数均在定义域内单调递减.当
时，两函数均在定义域内单调递增.故C 错误；
D 选项，两函数互为反函数，则函数图像关于直线
对称，故D 正确.
故选：ABD.
8．已知函数
的图象关于直线
对称，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
，
C．函数
在定义域内是减函数
D．函数
的值域为
【答案】ABD
【详解】对于A，令
，
，故点
在函数
的图象上，
由
的图象关于直线
对称，则
也在函数
的图象上，故
，得
，故
，
由
可得
，故函数
的图象关于
对称，A 正确；
对于B，函数
中，
，
，B 正确；
对于C，函数
在
、
上单调递减，在定义域上不单调，C 错误；
对于D，
，
因为
，则
，可得
，故
，D 正确，
故选：ABD．
三、填空题
9．已知函数
（
且
）的反函数图像经过点
，则
．
【答案】1
【详解】由函数
（
且
）的反函数图像经过点
，
可得原函数
的图像经过点
，
代入可得
，且
，即
，
则
.
故答案为：
10．若函数
，函数
与函数
的图象关于直线
对称，则
的单调递减区间是
．
【答案】
（或
）
【详解】因为函数
，且函数
与函数
的图象关于直线
对称，
所以
，所以
，
令
，解得
，所以
的定义域为
，
又
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
在定义域上单调递增，
所以
的单调递减区间为
（或
，
故答案为：
（或
）．
11．已知函数
，若将函数图像绕原点逆时针旋转
角后得到的函数
存
在反函数，则
．
【答案】
或
【详解】由已知函数
的图像绕原点逆时针旋转
角后得到的函数
存在反
函数，
则函数
在其定义域上不同的
处的取到的函数值也不相同.
如图,结合反比例函数的图像和性质与旋转情况可得,
当
，可得函数
，其存在反函数；
当
，可得函数
，其存在反函数；
当
，且
时，
将函数
图像绕原点逆时针旋转
角后得到的函数
，必存在平行于
轴的直线与函数
的图象有两个交点（例如下图情况中的
），
即函数
，在其定义域上存在
，
，使
.
故
不存在反函数，不满足题意.
综上所述，若将函数
图像绕原点逆时针旋转
角后得到的函数
存在反
函数，则
或
.
故答案为：
或
.
四、解答题
12．求下列函数的反函数．
(1)
；
(2)
；
(3)
（
或
）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由
得
，
所以函数
的反函数为
．
（2）由
得
，
对
，两边同时取以2 为底的对数，得
，
所以函数
的反函数为
．
（3）由
得
．
当
时，
，得
，即
；
当
时，
，得
，即
．
故函数
（
或
）的反函数为
13．已知
(1)求
的反函数；
(2)若
，求a 的值.
(3)如何作出满足（2）中条件的
的图像
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】
【详解】（1）由
得
.
∴
的反函数为
（2）若
，即
，化简得
，解得
.
（3）当
时，
，
只需要将反比例函数
图像向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位，即得
图象，故图象
如下：
14．已知函数
的图象与
（
且
）的图象关于直线
对称，且
的图象
过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
成立，求x 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】
【详解】（1）
的图象过点
，则
，即
，∴
（负值舍去），
∴
，
由
得
，所以
；
（2）
在定义域内是减函数，
因此由
得
，解得
．
15．已知函数
的反函数是
，且函数
的图像与函数
的图
像关于点
对称．
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
在
上有意义，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由
得
．
又函数
的图像与函数
的图像关于点
对称，则
，
于是
．
（2）由（1）的结论，有
．
要使
有意义，必须
又
，故
．
由题设
在
上有意义，所以
，即
．
于是，
．
