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第五章 一元函数的导数及应用 章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（24-25 高二上·北京朝阳·期末）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二上·河南周口·期末）已知函数
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
3．（24-25 高二下·河南·阶段练习）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）对于函数
，
在
上单调递增的必要不充分
条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二下·河南商丘·开学考试）已知函数
在
处取得极小值，则
的极大值为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
6．（24-25 高三上·山西吕梁·期末）已知函数
，当
时
恒成立，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数
是定义在
上的偶函数，其导函数为
，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高二上·云南昆明·期末）已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2025 高三下·全国·专题练习）函数
的导函数
的图象如图所示，下列命题中正确的
是（ ）
A．
是函数
的极值点
B．
在区间
上单调递增
C．
是函数
的最小值点
D．
在
处切线的斜率小于零
10．（2025 高二·全国·专题练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，
则（ ）
A．当
时，
B．
，都有
C．
的解集为
D．
的单调递增区间是
，
11．（24-25 高三下·湖南岳阳·开学考试）湖南矮寨特大悬索桥，创造了4 个世界第一，堪称世界建桥史上
的经典之作.它的两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”，通过适当建立坐标系，悬链线可以为双
曲余弦函数
的图象，相应的双曲正弦函数为
.则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
是偶函数
C．函数
的值域为
，
D．当直线
与
和
共有3 个交点时，
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（2025 高二·全国·专题练习）函数
的单调增区间为 .
13．（24-25 高二下·吉林白山·开学考试）设
为曲线
上的点，且曲线
在点
处切线的倾
斜角的取值范围为
，则点
横坐标的取值范围为 .
14．（24-25 高二上·江苏无锡·期末）已知函数
，当
时，
的最小值为4，实
数a 的值为 ．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025·湖北武汉·二模）已知函数
，曲线
在点
处的切线与
平行．
(1)求
的值；
(2)求
的极值．
16．（24-25 高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数
在
处取得极值.
(1)求函数
的解析式及单调区间；
(2)求函数
在区间
的最大值与最小值.
17．（24-25 高二上·山西·期末）已知函数
.
(1)若
在
上不单调，求实数
的取值范围；
(2)若
，求
在
上的值域.
18．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在
上的函数
.
(1)若
，判断
是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若
存在两个零点，求
的取值范围.
19．（24-25 高二上·云南昆明·期末）意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452-1519）画作《抱银貂的女人》中，
女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出异样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，
使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬
链线的函数解析式：
，
为悬链线系数．近现代，悬链线广泛运用于悬索桥、架空电缆、双
曲拱桥、拱坝等工程．
称为双曲余弦函数，
，相应地双曲正弦函数
，
双曲正切函数
．
(1)证明：
，点
在等轴双曲线
上；
(2)已知
时，
，求实数
的取值范围；
(3)求函数
的最小值．
