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专题02 函数及其应用、指对幂函数
易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及
解析式的求算）
已知函数的具体解析式求定义域的方法
法1：若
是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域
的交集.
法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自
变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.
函数解析式的常见求法
法1：配凑法：已知
，求
的问题，往往把右边的
整理或配凑成只含
的式
子，然后用
将
代换.
法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数
可
设为
，其中
是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出
即可.
法3：换元法：已知
，求
时，往往可设
，从中解出
，代入
进行换元.
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应用换元法时要注意新元的取值范围.
法4：解方程组法：已知
满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如
(或
)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出
．
分段函数
第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解
析式求值．
第二步：当出现
的形式时，应从内到外依次求值．
第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。
结论：复合函数：
一般地，对于两个函数
和
，如果通过变量
可以表示成
的函数，那么称这个函数
为函数
和
的复合函数，记作
，其中
叫做复合函数
的外层
函数，
叫做
的内层函数.
抽象函数的定义域的求法：
(1)若已知函数
的定义域为
，则复合函数
的家义域由
求出.
(2)若已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
在
时的值域.
易错提醒：函数的概念
①一般地，给定非空数集
，
，按照某个对应法则
，使得
中任意元素
，都有
中唯一确定的
与之对应，那么从集合
到集合
的这个对应，叫做从集合
到集合
的一个函数.记作：
，
.集合
叫做函数的定义域，记为
，集合
叫做值域，记为
.
②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
③函数表示法：函数书写方式为
，
2
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④函数三要素：定义域、值域、对应法则.
⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
①分式的分母不为零；
②偶次方根的被开方数大于或等于零：
③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
④零次幂或负指数次幂的底数不为零；
⑤三角函数中的正切
的定义域是
且
；
⑥已知
的定义域求解
的定义域，或已知
的定义域求
的定义域，遵循两点：
①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
基本初等函数的值域
①
的值域是
.
②
的值域是：当
时，值域为
；当
时，值域为
．
③
的值域是
.
④
且
的值域是
.
⑤
且
的值域是
.
分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，
即分段函数问题，分段解决．
例 1．函数
的定义域为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
，解得
，则定义域为
，
故选：C.
变式1：设
，若
，则
（ ）
A．14
B．16
C．2
D．6
【答案】A
【详解】因为
的定义域为
，则
，解得
，
若
，则
，可得
，不合题意；
若
，则
，可得
，解得
；
综上所述：
.
所以
.故选：A.
变式2：已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
，
所以
．
故选:C.
4
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变式3：已知函数
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的值域为
【答案】B
【详解】对选项A，
，故A 错误；
对选项B，
，故B 正确．
对选项C，因为
，所以
，
，故C 错误；
对选项D，当
时，
，函数
的值域为
，
当
时，
，
函数
的值域为
，又因为
时，
，
所以当
时，函数
的值域为
，
综上，函数
的值域为
，故D 错误．
故选：B
5
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1．已知函数
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
，则
,
令
，则
，
又因为
，
所以
，
所以
，
故选：B.
2．给出下列
个函数，其中对于任意
均成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，当
时，
；当
时，
，与函数定义矛盾，不符合；
对于B，当
时，
；当
时，
，与函数定义矛盾，不符合；
对于C，当
时，
；当
时，
，与函数定义矛盾，不符合；
对于D，令
，则
，所以
，
6
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令
，所以
，
所以
，
所以
，符合.
故选：D.
3．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
，且
，则
，
可得
，
所以
.
故选：B.
4．已知函数
满足
，则
可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，
，则
，
，不满足
；
对于B，
，则
，
，
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不满足
；
对于C，
，则
，
，不满足
；
对于D，
，当
时，
，故
；
当
时，
，故
，
即此时
满足
，D 正确，
故选：D
5．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
由
，所以
，
所以
，
所以
．
故选：D．
6．集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【详解】由题意可得：
，
，
所以
.
故选：B.
易错点二：忽视单调性与单调区间的主次（函数的单调性与最值）
1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
2.函数
在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。
3.函数的单调定义中的
、
有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。
4.求函数的单调区间必须先求定义域。
5.判断函数单调性常用以下几种方法：
方法1：定义法：一般步骤为设元
作差
变形
判断符号→得出结论.
方法2：图象法：如果
是以图象形式给出的，或者
的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确
定单调性.
方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及
增减性质进行判断；
6.求函数最值（值域）的常用方法
方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
方法3：基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
方法4：导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
结论：
1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设
，
是
定义域内一个区间上的任意两个量，且
；
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②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
结论1：若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
结论2：若
和
均为增（或减）函数，则在
和
的公共定义域上
为增（或
减）函数；
结论3：若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
结论4：若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
易错提醒：1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数
的定义域为
，区间
：
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
当
时，都有
，符号一致那么就说
在区间
上是增函数．
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
，当
时，都有
，符号相反那么就说
在区间
上是减函数．
①属于定义域
内某个区间上；
②任意两个自变量
，
且
；
③都有
或
；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数
在区间
上是增函数或减函数，那么就说函数
在区间
上具
有单调性，
称为函数
的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数
是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是
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减函数.
2．函数的最值
前提：一般地，设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足
条件：（1）对于任意的
，都有
；（2）存在
，使得
结论
为最大值
（1）对于任意的
，都有
；（2）存在
，使得
结论
为最小值
例．若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设函数
，
则函数
是由二次函数
与指数函数
复合而成的.
当
时，由于函数
单调递减，
而二次函数
的图象开口向上，
在区间
上不可能单调递减，
则函数
在区间
上不可能单调递增，故不满足题意；
当
时，函数
单调递增，
要使函数
在区间
上单调递增，
则二次函数
在区间
上单调递增，
又其对称轴为
，故
，所以
.故选：C.
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变式1．下列函数中，满足“对任意的
，使得
”成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意，“对任意的
，使得
”，则函数
在
上为减函
数.
对于选项A，
，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在
上递减，符合题意；
对于选项B，
，其导数
，所以
在
上递增，不符合题意；
对于选项C，
为一次函数，所以
在
上递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，
在
上单调递增，不符合题意.故
选：A.
变式2．若定义在
上的函数
同时满足：①
为奇函数；②对任意的
，
且
，都有
，则称函数
具有性质
．已知函数
具有性质
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为对任意的
，且
，都有
，
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即对任意两个不相等的正实数
不妨设
，都有
，
所以有
，
所以函数
是
上的减函数，
又因为
为奇函数，即有
，有
，
所以有
，
所以
为偶函数，所以
在
上单调递增．
当
，即
时，有
,由
，得
，
所以
，解得
，此时无解；
当
，即
时，由
，得
，
所以
，解得
或
．
综上所述，不等式
的解集为
．
故选：C.
变式3．定义在
上的函数
满足：对
，且
都有
，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【详解】根据题意：当
时，
，
当
时,
可得函数
在
单调递增.
则
，
在同一坐标系中画出
与
图象.
得
，则不等式的解集为
，
故选：B.
1．已知函数
，若对于一切的实数
，不等式
恒成立，则
的取值
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范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】易知函数
的定义域为
，
则
，
因为
，
，
所以
，
又因为
，所以
，即
恒成立，
故函数
是
上的单调递增函数，
因为
，所以
，即
，
当
时，左边
成立，故
符合题意；
当
时，有
，解得：
，
综上所述：
的取值范围为：
.
故选：D.
2．已知函数
是定义在
上的奇函数，且对任意的
，都有
，且
，则
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【详解】因为对任意的
，都有
，此时
，则
，
所以
在
单调递减，
因为函数
是定义在
上的奇函数，所以
在
单调递减，
，
所以当
和
时，
；当
和
时，
.
由
，即
，
所以
或
或
或
，
所以
或
或
或
无解，
所以原不等式解集为
故选：D
3．已知函数
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
，则
，即
，解得
，
所以
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，
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又函数
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，则
在
上单调递减，
所以不等式
，即
，
等价于
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：D
4．已知函数
的定义域为
，
的图象关于点
对称，
，且对任意的
，
，满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
的图象关于点
对称，
的图象关于点
对称，
是定义在
上的奇函
数，
对任意的
，
，
，满足
，
在
上单调递减，所以
在
上也单调递减，
又
所以
，且
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以由
可得
或
或
，
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解得
或
，即不等式
的解集为
．
故选：C.
5．已知函数
，关于
的不等式
在
上恒成立，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
．
因为
的定义域为R，
，
所以
为奇函数，
因此
．
又
，
所以
．
当
时，
单调递增，而
为奇函数，
所以
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，解得
，
故
的取值范围为
．
故选：D.
6．
为定义在
上的偶函数，对任意的
，都有
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【详解】对任意的
，都有
，则
，
令
，则
在
上单调递增，
因为
为定义在
上的偶函数，
所以
，即
为偶函数，
又
，
由
，可得
，即
，
所以
，
所以
的解集为
，
故选：A.
7．函数
，其中
，则满足
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，当
时，
，
则
，
所以，函数
在
上单调递减，故
，
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当
时，
，显然函数
在
上为减函数，
此时，
.
因为
，
令
，其中
，
则
，
所以，函数
在
上单调递减，故
，
综上可知，函数
在
上为减函数，
令
，则函数
在
上单调递减，
又因为
，所以，
等价于
，
结合函数
的单调性可得
，故原不等式的解集为
.
故选：A.
8．已知函数
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，则
，
同理，当
时，
，则
，
且
，可知函数
为奇函数；
当
时，
，则
，
20
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令
，则
，
所以
在
单调递增，即
，即
，
所以
在
单调递增，且
为奇函数，所以
在
上单调递增.
则
，
即
，即
，
可得
，且
，所以
，解得
，
所以解集为
.
故选:A
9．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认
识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，
这也正是导数的几何意义．设
是函数
的导函数，若
，对
，
，且
，
总有
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】A 选项，根据
可得，
在R 上单调递增，
因为
，所以
，A 正确；
B 选项，因为
，
，且
，总有
，
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所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，
表示函数图象上的各点处的切线斜率，
显然随着
的增大，切线斜率变小，且恒为正，
因为
，所以
，B 正确；
C 选项，
，结合函数图象可知
，C 错误，D 正
确.
故选：ABD
10．设函数
，则（ ）
A．
的一个周期为
B．
在
上单调递增
C．
在
上有最大值
D．
图象的一条对称轴为直线
【答案】BD
【详解】对A：
，故
不是
的
周期，A 错误；
对B：令
，则
，
则
，
∵
，则
，
22
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∴
在
上单调递增，且
，
又∵
在
上单调递增，故
在
上单调递增，B 正确；
对C：∵
，则
，
∴
，则
，
又∵
在
上单调递增，且
，
∴
在
上最大值为
，
即
在
上有最大值
，C 错误；
对D：
，故
图象的一条对称轴
为直线
，D 正确.
故选：BD.
11．已知函数
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．当
时，
或1
C．若函数
有且仅有一个零点，则实数
的取值范围为
D．若函数
在区间
上的值域为
，则实数
的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于选项
，由
，可知函数
为奇函数，故
选项正确；
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对于选项
，由
，解得
或
，故B 选项正确；
对于选项
，由
，有
，当
时，函数
仅有一个零点0，当
时，必
有
，有
，可得
，故C 选项错误；
对于选项D，由
，可知满足题意只需
当
时，
，有
，即
，
所以
，由
，有
，
则
，可知当
时，
和
恒成立，
，有
.故D 选项正确.
故选：ABD.
易错点三：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别（函数的奇偶性、
周期性、对称性）
1.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数
是偶函数
函数
的图象关于
轴对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
.
24
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(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
(5)若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
，
，则
.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如
.
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.
(7)复合函数
的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
2.周期性技巧
结论1：若对于非零常数m 和任意实数x ，等式f (x+m)=−f (x)恒成立，则f (x)是周期函数，且2m 是
它的一个周期.
证明：f (x+2m)=f (x+m+m)=−f (x+m)=f (x)∴T=2m
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也可理解为：平移m 个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的
距离为2m ，∴T=2m
结论2：定义在
上的函数
，对任意的
，若有
(其中
为常数，
)，
则函数
是周期函数，
是函数的一个周期.
证明：f (x−a+a)=f (x−a+b)⇒f (x)=f (x+b−a)∴T=|b−a|
口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x 前的正负.
结论3：定义在
上的函数
，对任意的
，若有
(其中
为常数，
)，则函数
是周期函数，
是函数的一个周期.
证明：
先向左平移a 个单位得f (x−a+a)=−f (x−a+b)
⇒f (x)=−f (x+b−a)令b−a=m' ⇒f (x)=−f (x+m
')如同结论1
结论4：定义在
上的函数
，对任意的
，若有
，(或
)(其中
为常数，
)，则函数
是周期函数，
是函数的一个周期.
证明：
f (x+a)=± 1
f (x) ，
f (x+2a)=f (x+a+a)=±
1
f (x+a)=f (x)∴T=2|a|
结论5:定义在
上的函数
，对任意的
，有f (a+x)=f (a−x)且f (b+x)=f (b−x)，
(其中a,b 是常数，a≠b )则函数y=f (x)是周期函数，2|a−b|是函数的一个周期.
另一种题干出现的信息：①若
的图象关于直线x=a, x=b 都对称，则等价于
f (a+x)=f (a−x)且f (b+x)=f (b−x)，则
为周期函数且T=2|a−b|.
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②若
为偶函数且图象关于直线x=a 对称，则
为周期函数且T=2|a|
证明：f (a+x)=f (a−x)向左平移a 个单位，得f (x−a+a)=f (a−[x−a])
⇒f (x)=f (2a−x)，同理⇒f (x)=f (2b−x)，⇒f (2a−x)=f (2b−x)
利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x 前的正负.秒出周期
结论6:若定义在
上的函数
对任意实数
，恒有f (x)=f (a+x)+f (x−a)成立(a≠0 )，
则
是周期函数，且6|a|是它的一个周期.
证明：由函数f (x)=f (a+x)+f (x−a)⇒f (x+a)=f (x+2a)+f (x)
⇒f (x)=f (x+2a)+f (x)+f (x−a)⇒f (x−a)=−f (x+2a)，向右平移a 个单位得
f (x)=−f (x+3a)⇒f (x+3a+3a)=−f (x+3a)=f (x)∴T=6|a|
口诀：内同号，外异号，内部只差需2 倍，出现周期很easy .
结论7:若对于非零常数m 和任意实数x ，等式
成立，则
是周期函数，且4 m是
它的一个周期.
证明：
f (x+2m)=−1
f (x) 如同结论4，
f (x+2m+2m)=−
1
f (x+2m)=f (x)
∴T=4 m
结论8:若对于非零常数m 和任意实数x ，等式
成立，则
是周期函数，且2m 是
它的一个周期.
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证明：
∴T=2m
结论9:若对于非零常数m 和任意实数x ，等式
成立，则
是周期函数，
且3m是它的一个周期.
证明：
得
∴T=3m
结论10:①若定义在
上的函数
的图象关于两点A(a, y0),B(b, y0)都对称，则
是周期函数，
且2|b−a|是它的一个周期.
②若奇函数
的图象关于点A (a,0)对称，则
是周期函数，且2|a|是它的一个周期.
证明：函数y=f (x)满足f (a+x)+f (a−x)=2 y0 且f (b+x)+f (b−x)=2 y0，
则f (x)=2 y0−f (2a−x)=2 y0−f (2b−x)⇒f (2a−x)=f (2b−x)
利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x 前的正负.秒出周期
结论11:①若定义在
上的函数
的图象关于点A(a, y0)和直线x=b 都对称，则
是周期函数，
且4|b−a|是它的一个周期.
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②若奇函数
的图象关于直线x=a 对称，则
是周期函数，且4|a|是它的一个周期.
证明：函数y=f (x)满足f (a+x)+f (a−x)=2 y0 且f (b+x)=f (b−x)，
则f (x)=2 y0−f (2a−x)=f (2b−x)⇒f (x)=2 y0−f (2b−2a+x)=2 y0−f (2a−x)
∴f (2b+x)=2 y0−f (2a+x)⇒f (x)=2 y0−f (2b−2a+x)
∴f (x)=2 y0−f (2b−2a+x)=2 y0+f (4 b−4 a+x)−2 y0∴T=4|b−a|
3.对称性技巧
（1）若函数
关于直线
对称，则
．
（2）若函数
关于点
对称，则
．
（3）函数
与
关于
轴对称，函数
与
关于原点对称．
结论：
1.(1)如果一个奇函数
在原点处有定义，即
有意义，那么一定有
.
(2)如果函数
是偶函数，那么
.
2.函数周期性常用结论
对
定义域内任一自变量的值
:
(1)若
，则
.
(2)若
，则
.
(3)若
，则
.
3.对称性的三个常用结论
(1)若函数
是偶函数，则函数
的图象关于直线
对称.
(2)若对于
上的任意
都有
或
，则
的图象关于直线
对
称.
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(3)若函数
是奇函数，则函数
的图象关于点
中心对称.
易错提醒：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别
1．函数的奇偶性
由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个
，
也在
定义域内(即定义域关于原点对称)．
2．函数的对称性
(1)若函数
为偶函数，则函数
关于
对称．
(2)若函数
为奇函数，则函数
关于点
对称．
(3)若
，则函数
关于
对称．
(4)若
，则函数
关于点
对称．
例 ．设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
是奇函数，所以
，则
．
又
是偶函数，所以
，所以
．
故选：C.
变式1．已知函数
是定义域为
的偶函数，
是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
是以4 为周期的函数
D．
的图象关于
对称
【答案】B
【详解】因为函数
是定义域为
的偶函数，所以
，
因为
是奇函数，所以
，
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将
换成
，则有
，
A：令
，所以
，因此本选项正确；
B：因为
，所以函数
关于点
对称，
由
，可得
，
的值不确定，
因此不能确定
的值，所以本选项不正确；
C：因为
，
所以
，
所以
，因此
是以4 为周期的函数，因此本选项正确；
D：因为
，
所以
，
因此有
，
所以函数
的图象关于
对称，
由上可知
是以4 为周期的函数，
所以
的图象也关于
对称，因此本选项正确，
故选：B.
变式2．已知函数
，下列结论中：①当
时，
的最小值为3；②函数
是奇函数；③函数
的图象关于点
对称 ；④
是
图象的一条切线，
正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
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【详解】①当
时，
,
,当且仅当
即
时
等号成立，所以
最小值是3，正确；
②函数
，记
，其定义域是
，
，因此
是奇函数，正确；
③
的图象关于原点对称，把它向右平移一个单位，再向上平移一个单位得
的图象，因此
的图
象关于点
对称，正确；
④
，由
得
或
，
，
，
因此直线
和
都是函数
图象的切线，④正确，
故选：D．
变式3．已知定义域为
的函数
满足
，
，当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【详解】因为
，
，
所以
，
所以
，所以4 为函数
的周期，
所以
．故选：C．
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1．已知函数
的定义域为
，
，当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【详解】由
可得函数
为奇函数，
又
可知
，
所以
，可得
，
即
，因此
是周期为
的奇函数，
则
，代入计算可得
.
故选：B
2．定义在R 上的奇函数
满足
是偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】C
【详解】根据题意，函数
是定义在
上的奇函数，则
，且
，
又函数
是偶函数，则
，变形可得
，
则有
，进而可得
，
所以函数
是周期为4 的周期函数，
则
.
故选：C.
3．已知函数
与
的定义域均为
，
，
，且
，
为偶函数，下列结论正确的是（ ）
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A．
的周期为4
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由于
为偶函数，图象关于
轴对称，
所以
图象关于
对称，
所以
，
所以
①，
而
②，
两式相加得
，则
③，
所以
，
所以
是
的一个周期，A 选项正确.
由③令
得
，
由①令
得
，
由②令
得
，则
，
所以
，
所以
，C 选项正确.
由①令
得
，
由
，
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得
，
两式相减得
，即
，
且
关于
对称，
，
所以
④，
所以
，
所以
是周期为
的周期函数，所以
，所以B 选项错误.
由④令
得
，所以
，
所以
，所以D 选项正确.
故选：ACD.
4．已知函数
和其导函数
的定义域都是
，若
与
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
关于点
对称
C．
D．
【答案】BD
【详解】假设
，则
，
都为偶函数，则所设函数
符合题意，此
时
，所以A 错误；
因为
为偶函数，所以
，即
，
令
，则
，所以
关于点
对称，故B 正确；
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因为
均为偶函数，所以
，所以函数
的图象关于直线
对称，即
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
，又
，
，
所以
，所以无法确定
的值，所以C 错误；
又
，
，所以
，又
，所以
，
由
知函数
周期为4，则
的周期也为4，则
，所以 D 正确.
故选：BD
5．已知非常数函数
及其导函数
的定义域均为
，若
为奇函数，
为偶函数，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】因为非常数函数
及其导函数
的定义域均为
，
若
为奇函数，则
，则
的图象关于点
对称，且
，故A 错误；
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因为
为偶函数，所以
，即
，
则
，又
，所以
，
所以
，即
，所以
，
故
的周期为8，所以
，
，在
中，令
，得
，所以
，故B 正确；
对
两边同时求导，得
，
所以导函数
的周期为8，所以
，故C 正确；
由
周期
，得
，
，对
两边同时求导，得
，令
，得
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
6．已知函数
的定义域为
，并且对
，都有
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的图象关于
对称
B．函数
为偶函数
C．
D．若
时，
，则
时，
【答案】ACD
【详解】由
可知函数关于直线
轴对称，故A 正确；
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由
可得
，又
，
所以
，故函数
为奇函数，故B 错误；
因为
，所以
，故
为函数周期，
又
，
所以
，故C 正确；
由
知函数关于
成中心对称，
当
时，设
为函数
图象上任意一点，
则
在函数
图象上，且
，
所以
，即
，故D 正确.
故选：ACD
7．已知函数
的定义域为
，函数
的图象关于点
对称，且满足
，则下列
结论正确的是（ ）
A．函数
是奇函数
B．函数
的图象关于
轴对称
C．函数
是最小正周期为2 的周期函数
D．若函数
满足
，则
【答案】ABD
【详解】因为函数
的图象关于点
对称，所以
，所以函数
是奇函数，故
A 正确；
因为
，所以
，又
，
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所以
，所以
，所以
，所以
为偶函数.故B 正确；
因为
，所以
是最小正周期为4 的周期函数，故C 错误；
因为
，所以
，那么
，
所以
也是周期为4 的函数，
，
因为
，所以
，
，
所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
8．已知定义在
上的偶函数满足
，且当
时，
是减函数，则下列四个命题
中正确的是（ ）
A．
B．直线
为函数
图象的一条对称轴
C．函数
在区间
上存在3 个零点
D．若
在区间
上的根为
，则
【答案】AB
【详解】对于A，因为
，所以周期
，故A 正确；
对于B，因为
为偶函数，所以
，又
，
所以
，所以
的图象关于直线
对称，故B 正确；
对于C，若当
时，
无零点，则根据周期性和对称性可推出
无零点，故C 错误；
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对于D，因为
的图象关于直线
对称，且
的周期
，
又
在区间
上的根为
，所以
，故D 错误.
故选：AB.
易错点四： 遗漏幂函数的特征及二次函数弦长公式（幂函数与二次函数）
1、根据图象高低判断幂指数大小的方法
幂函数的幂指数的大小，大都可通过幂函数的图象与直线
的交点纵坐标的大小反映.一般地，
在区间
上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近
轴(简记为“指大、图低”)，在区间
上，
幂函数中指数越大，图象越远离
轴(不包括幂函数
，在区间
上，幂函数中指数越大，函数图
象越靠近
轴(简记为“指大图低")，在区间
上，幂函数中指数越大，函数图象越远离
轴.
2、对于函数
，若是二次函数，就隐含
，当题目未说明是二次函数时，就要分
和
两种情况讨论.在二次函数
中，
的正负决定抛物线开口的方向
的
大小决定开口大小)
确定抛物线在
轴上的截距，
与
确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).
3、根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函
数在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非
端点），
4、二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比
较大小，最后确定最值.
结论：
1.幂函数
在第一象限内图象的画法如下：
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①当
时，其图象可类似
画出；
②当
时，其图象可类似
画出；
③当
时，其图象可类似
画出．
2．实系数一元二次方程
的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
⇔
（2）方程有两个不等负根
⇔
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
⇔
3.一元二次方程
的根的分布问题
一般情况下需要从以下4 个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴
与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正
负.
设
为实系数方程
的两根，则一元二次
的根的分布
与其限定条件如下所示.
①
，
限定条件
41
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②
限定条件
③
限定条件
在区间
内没有实根
O
n
m
y
x
限定条件
O
n
m
y
x
42
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限定条件
O
n
m
y
x
限定条件
O
n
m
y
x
限定条件
43
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O
n
m
y
x
限定条件
在区间
内有且只有一个实根
O
n
m
y
x
限定条件
O
n
m
y
x
限定条件
在区间
内有两个不等实根
44
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O
n
m
y
x
限定条件
4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区
间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意
对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；
③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数
值正负.
易错提醒：幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①
的系数为1；
②
的底数是自变量；
③指数为常数.
掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种）
（1）一般式：
；
（2）顶点式：
；其中，
为抛物线顶点坐标，
为对称轴方程.
（3）两点式：
，其中，
是抛物线与
轴交点的横坐标.
与
轴相交的弦长
当
时，二次函数
的图像与
轴有两个交点
和
45
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，
.
例 1 若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设函数
，
则函数
是由二次函数
与指数函数
复合而成的.
当
时，由于函数
单调递减，
而二次函数
的图象开口向上，
在区间
上不可能单调递减，
则函数
在区间
上不可能单调递增，故不满足题意；
当
时，函数
单调递增，
要使函数
在区间
上单调递增，
则二次函数
在区间
上单调递增，
又其对称轴为
，故
，
所以
.
故选：C.
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变式1．若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
为开口方向向上，对称轴为
的抛物线，
又
在
上单调递减，
，解得：
.
故选：B.
变式2．已知函数
，若
在
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
在
上单调递增；
∴
，
解得
；
所以实数a 的取值范围为
．
故选：A．
变式3．已知
是定义域为
的函数，且
是奇函数，
是偶函数，满足
，若对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围是
（ ）
47
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题可得
，
因为
是奇函数，
是偶函数，
所以
，
联立
解得
，
又因为对任意的
，都有
成立，
所以
，所以
成立，
构造
，
所以由上述过程可得
在
单调递增，
(i)若
，则对称轴
，解得
；
(ii) 若
，
在
单调递增，满足题意；
(iii) 若
，则对称轴
恒成立；
综上，
，
故选：B.
48
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1．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因
为开口向下的二次函数，对称轴为
，故函数在
上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为
，故函数在
上单调递减，且
，因此函数
在R 上单调递减，则
，即
，
解得
或
，
所以实数
的取值范围是
。
故选：D
2．若幂函数
在
上单调递减，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．-2
【答案】C
【详解】由幂函数的定义可知，
，即
，解得
或
.
当
时，
，在
上单调递增，不合题意;
当
时，
，在
上单调递减，符合题意，故
.
故选：C.
3．已知函数
在
上为奇函数，则不等式
的解集满足（ ）
49
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
在
上为奇函数,
所以，解得
，又
，
，解得
，解得
，
所以
，
，
由
与
在定义域
上单调递增，所以
在定义域
上单调递增，
则不等式
，即
，等价于
，
所以
，解得
，即不等式的解集为
.
故选：C
4．已知
为奇函数，当
时，
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增.
50
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且
，所以
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增.
因为
，
，
则
所以
.
故选：A
5．已知
的解集是
，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式
的解集是
B．
的最小值是
C．若
有解，则m 的取值范围是
或
D．当
时，
，
的值域是
，则
的取值范围是
【答案】ABD
【详解】因
的解集是
，则
是关于x 的方程
的二根，且
，
于是得
，即
，
对于A，不等式
化为：
，解得
，A 正确；
对于B，
，
，
51
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当且仅当
，即
时取“=”，B 正确；
对于C，
，令
，则
在
上单调递增，
即有
，因
有解，则
，解得
或
，
C 不正确；
对于D，当
时，
，则
，
，
依题意，
，由
得，
或
，因
在
上的最小值为-3，
从而得
或
，因此
，D 正确.
故选：ABD
6．已知函数
，函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
有3 个不同的零点，则a 的取值范围是
B．若
有4 个不同的零点，则a 的取值范围是
C．若
有4 个不同的零点
，则
D．若
有4 个不同的零点
，则
的取值范围是
【答案】BCD
【详解】解：令
得
，即
所以
零点个数为函数
与
图像交点个数，
故，作出函数
图像如图，
52
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由图可知，
有3 个不同的零点，则a 的取值范围是
，故A 选项错误；
有4 个不同的零点，则a 的取值范围是
，故B 选项正确；
有4 个不同的零点
，此时
关于直线
对称，所以
，故C
选项正确；
由C 选项可知
，所以
，由于
有4 个不同的零点，a 的取值范围是
，故
，所以
，故D 选项正确.
故选：BCD
7．已知函数
(即
，
)则（ ）
A．当
时，
是偶函数
B．
在区间
上是增函数
C．设
最小值为
，则
D．方程
可能有2 个解
【答案】ABD
【详解】
：当
时，
，即
，
53
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所以
，所以
是偶函数，故正确；
：当
时，
，
的对称轴为
，开口向上，
此时
在
上是增函数，
当
时，
，
的对称轴为
，开口向上，
此时
在
上是增函数，
综上，
在
上是增函数，故
正确；
：当
时，
，
当
时，
，
因为不能确定
的大小，所以最小值
无法判断，故
错误；
：令
，
当
时，
，
有2 个解，故
正确.
故选：ABD
8．已知函数
，若
的最小值为
，则实数a 的值可以是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】BCD
【详解】当
,
，
当且仅当
时,等号成立，
当
时,
为二次函数，要想在
处取最小，
则对称轴要满足
,且
,
即
，解得
,
54
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故选：BCD.
9．设
，函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】由题意，函数
，令
，
可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为
，
当
时，即
时，可得
，
此时函数
在
单调递减，在
上单调递增，且
可得
在
递减，在
上递增，且
；
当
时，即
时，可得
，
此时函数
在
单调递减，在
上单调递增，
由复合函数的单调性，可得
在
递减，在
上递增，且
，
此时选项B 符合题意；
当当
时，即
时，此时函数
有两个零点，
55
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不妨设另个零点分别为
且
，
此时函数
在
单调递减，在
上单调递增，
可得
在
递减，在
上递增，且
，
则
在
递减，在
上递增，且
，
此时选项D 符合题意.
综上可得，函数的图象可能是选项BD.
故选：BD.
10．关于
的方程
，下列命题正确的有（ ）
A．存在实数
，使得方程无实根
B．存在实数
，使得方程恰有2 个不同的实根
C．存在实数
，使得方程恰有3 个不同的实根
D．存在实数
，使得方程恰有4 个不同的实根
【答案】AB
方程化为关于的二次方程
.
当
时，方程
无实根，故原方程无实根.
当
时，可得
，则
，原方程有两个相等的实根
.
当
时，方程
有两个实根
，由
可知，
，
.
因为
，所以
无实根，
有两个不同的实根.
综上可知：A，B 项正确，C，D 项错误.
故选：AB
易错点五： 根式奇偶讨论（指对数函数考点）
56
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指数
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底
数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
4.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1 与图象的交点进行判断．
5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用
函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调
性转化为一般不等式求解；
7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
对数：
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然
后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.|
3.
，且
是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
4.识别对数函数图象时，要注意底数
以1 为分界：当
时，是增函数；当
时，是减函数.注意
对数函数图象恒过定点
，且以
轴为渐近线.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.比较对数值的大小
(1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
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(2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
(3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:
第一步：求出函数的定义域；
第二步：判断对数函数的底数与1 的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及
其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
结论：
1.画指数函数
，且
的图象，应抓住三个关键点:
2.在第一象限内，指数函数
且
的图象越高，底数越大.
3.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域与值域
形如
的函数的定义域就是
的定义域.
求形如
的函数的值域，应先求出
的值域，再由单调性求出
的值域.若
的范围不确定，
则需对
进行讨论.
求形如
的函数的值域，要先求出
的值域，再结合
的性质确定出
的值域.
(2)判断复合函数
的单调性
令
，如果复合的两个函数
与
的单调性相同，那么复合后的函数
在
上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数
在
上是减函数.
换底公式的两个重要结论
(1)
(2)
.其中
，且
，且
.
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对数函数
，且
的图象过定点
，且过点
，函数图象只在第一、四象限.
易错提醒：根式的性质：当
为奇数时，正数的
次方根是一个正数，负数的
次方根是一个负数.当
为偶数时，正数的
次方根有两个，它们互为相反数.
例 ．设函数
的定义域为
，其图象关于直线
对称，且
.当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
在区间
上单调递减
【答案】AC
【详解】因为函数
的定义域为
，且
，
所以
，
所以函数
是以
为周期的周期函数，
又因函数
的图象关于直线
对称，
所以
，即
，
又
，所以
，
所以
，
所以
为偶函数，故A 正确；
当
时，
，
59
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，故B 错误；
因为
为偶函数且
的图象关于直线
对称，
所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
因为当
时，
，
而函数
在
都是减函数，
所以函数
在
是减函数，
又因
为偶函数，
所以
在区间
上单调递增，故D 错误.
故选：AC.
变式1、设偶函数
在
上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】因为函数
为偶函数，所以
；
又因为偶函数
在
上单调递增，则
，
所以
，
，
且由函数
为偶函数知
在
上单调递减，故
对于选项A 和B，∵
，
在
上单调递减，
∴
，故A 错误，B 正确；
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对于选项C 和D，∵
，
，函数
为偶函数，
在
上单调递减，
∴
，故C 正确，D 错误.
故选：BC.
变式2、已知函数
，则（ ）
A．
的最小值为1
B．
，
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
，当且仅当
时，
取得最小值1，A 正确．
因为当且仅当
时，
取得最小值，且最小值为1，所以
，所以
，B 错误．
因为
，所以
，又
，且
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，C 正确．
因为
，所以
，所以，D 正确．
故选：ACD
变式3、已知
，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
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【详解】由
可知，若
，则
，则
不成立，
又
时，
，故
，
又
，则
可看作
的图象与直线
交点的横坐标，
作出
与
的图象如图，
结合图象可知
，故A 错误，B 正确；
由
，
，得
，
故
，C 正确；
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
由于
，故
，即
，
故
，D 正确，
故选：BCD
1．下列说法正确的是（ ）
A．函数
的图像恒过定点
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B．“
”的必要不充分条件是“
”
C．函数
的最小正周期为2
D．函数
的最小值为2
【答案】AB
【详解】对于A，令
，则
，即
，
所以函数
的图像恒过定点
，故A 正确；
对于B，
不能推出
，而
能推出
，
所以“
”的必要不充分条件是“
”，故B 正确；
对于C，因为
，令
等价于
，
所以
①，令
等价于
，
所以
②，由①②可得：
，
所以函数
的最小正周期为4，故C 错误；
对于D，函数
，令
，
则
，由双勾函数的性质知
在
上单调递增，
故
，故函数
的最小值为2 错误，故D 错误.
故选：AB.
2．某数学课外兴趣小组对函数
的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中
正确的命题有（ ）
A．函数
的图象关于
轴对称
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B．当
时，
是增函数，当
时，
是减函数
C．函数
的最小值是
D．函数
与
有四个交点
【答案】AC
【详解】
的定义域为
，关于原点对称，
且满足
，所以函数
是偶函数，其图象关于
轴对称，故A 正确；
当
时，
，由
的性质可知其在
上是减函数，
在
上是增函数，所以由复合函数单调性可知，
在
上是减函数，
在
上是增函数，又
是偶函数，图像关于
轴对称，故B 不正确；
当
时，
（当且仅当
时取等号），又
是偶函数，
所以函数
的最小值是
，故C 正确；
由函数定义可得，函数
与
不可能有四个交点，故D 不正确.
故选：AC.
3．给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数
在定义域上为奇函数，则
B．已知
的值域为
，则
的取值范围是
C．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
D．已知函数
，则函数
的值域为
【答案】ABD
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【详解】选项A：函数
在定义域上为奇函数，
则
，即
，即
，
即
，整理得
，即
，
所以
，解得
，
当
时，
，该函数定义域为
，满足
，符合题意，
当
时，
，由
可得
，此时函数定义域为
，满足
，符合题意，
综上所述
，选项A 说法错误；
选项B：因为
的值域为
，
所以函数
的值域
满足
，
所以
，解得
，所以B 说法错误；
选项C：由
得
，所以
的定义域为
，选项C 说法正确；
选项D：因为函数
，
所以
，
，
当
时，
，
令
，
，则
，
即函数
的值域为
，选项D 说法错误；
故选：ABD
4．给出下列说法，错误的有（ ）
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A．若函数
在定义域上为奇函数，则
B．已知
的值域为
，则a 的取值范围是
C．已知函数
满足
，且
，则
D．已知函数
，则函数
的值域为
【答案】ABD
【详解】对于A，函数
为奇函数，
所以，
，即
，即
，
即
，整理可得
，即
，
所以，
，解得
，
当
时，
，该函数的定义域为
，满足
，合乎题意，
当
时，
，
由
可得
，此时函数
的定义域为
，满足
，合乎题意.
综上所述，
，故A 错误；
对于B，因为
的值域为
，
则函数
的值域
满足
，
则
，解得
，故B 错误；
对于C，函数
满足
，则
，
故
的周期为
，因为
，则
，故C 正确；
对于D，因为
，
，
66
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由
，得
，解得
，
即函数
的定义域为
．则
，
又
，
故函数
的值域为
，故D 错误：
故选：ABD.
5．已知定义域为
的函数
满足
，
的部分解析式为
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递减
B．若函数
在
内满足
恒成立，则
C．存在实数
，使得
的图象与直线
有7 个交点
D．已知方程
的解为
，则
【答案】BCD
【详解】因为
，所以函数
为奇函数，
函数
的图象如图所示，
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对于选项A，函数在
上不单调，故A 错误；
对于选项B，
，结合图象可知
，故B 正确：
对于选项C，令
，即
，
由
，解得
或
，
将
代入
中，得到
，
分析可得，当
时，
的图象与直线
有7 个交点，故C 正确；
对于选项D，当方程
的解为4 个时，
，不妨设
，根据对称性可得
.
分析图象可知，当
时，方程
的解为3 个，
，
又因为
，
，所以
，故D 正确.
故选：BCD.
6．下列选项正确的是（ ）
A．
B．若正实数a，b 满足
，则
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C．
的最小值为
D．已知正实数a、b，若
，则
的最小值为9
【答案】BD
【详解】当
时，
,A 选项错误;
,
,
,B 选项正确;
,当
即
,C 选项错误;
正实数a、b，若
，则
,
,
即
时取等号，D 选项正确.
故选:BD.
7．已知函数
，实数
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】∵
，∴
，
∴
或
，
又∵
，∴
，∴
，故A 不正确，B 正确；
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又由
有意义知
，从而
，
于是
.
所以
.
从而
.
又
，所以
，
故
.
解得
或
（舍去）.
把
代入
解得
.
所以
，
，故C 正确，D 不正确.
故选：BC.
8．已知函数
，则（ ）
A．当
时，
的定义域为R
B．
一定存在最小值
C．
的图象关于直线
对称
D．当
时，
的值域为R
【答案】AC
【详解】对于A：若
，则
，则二次函数
的图象恒在
轴的上方，
即
恒成立，所以
的定义域为R，故A 正确；
对于B：若
，则
的定义域为
，值域为R，没有最小值，故B 错误；
70
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对于C：由于函数
为偶函数，其图象关于y 轴对称，
将该函数的图象向左平移
个单位长度即可得到函数
的图象，
此时对称轴为直线
，故C 正确；
对于D：若
，则
，故
的值域不是R，故D 错误.
故选：AC.
71
