重难点04 指、对、幂数比较大小问题【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 利用单调性比较大小】..............................................................................................................................2
【题型2 中间值法比较大小】..................................................................................................................................4
【题型3 作差法、作商法比较大小】......................................................................................................................5
【题型4 构造函数法比较大小】..............................................................................................................................7
【题型5 数形结合比较大小】..................................................................................................................................8
【题型6 含变量问题比较大小】............................................................................................................................12
【题型7 放缩法比较大小】....................................................................................................................................14
从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，是高考的热点
问题，主要以选择题的形式考查，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序
比较大小.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】
1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数
值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如
和
，利用指数函数
的单调性；
②指数相同，底数不同时，如
和
，利用幂函数
单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如
和
，利用指数函数
单调性比较大小.
2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1 或者其
它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判
定．
3.作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4.估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5.构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6、放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用单调性比较大小】
【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知a=0.9
1.1,b=log1
2
1
3 ,c =log1
3
2，则（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．b>a>c
【解题思路】根据指数函数的单调性判断a 的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断b,c的范
围，即可得答案.
【解答过程】因为y =0.9
x为R 上的单调减函数，y = log2 x , y = log3 x为(0,+∞)上的单调增函数，
故0<0.9
1.1<0.9
0=1,log1
2
1
3 =log23>1,log 1
3
2=-log32<0，
所以b>a>c,
故选:D.
【变式1-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知a=(
2
5)
2
5 ,b=(
3
5)
2
5 ,c =log 2
5
2，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
【解题思路】由y = x
2
5在(0,+ ∞)上递增比较a，b，再由y =log 2
5
x在(0,+∞)上递减，得到c<0比较即可.
【解答过程】因为y = x
2
5在(0,+ ∞)上递增，且2
5 < 3
5，
所以(
2
5)
2
5 <(
3
5)
2
5，即0<a<b，
又y =log 2
5
x在(0,+ ∞)上递减，
所以c =log 2
5
2<log 2
5
1=0，
所以c<a<b.
故选：D.
【变式1-2】（2023·广东广州·统考二模）已知a=3
2
3，b=2
3
4，c = 4
1
3，则（ ）
A．c<a<b
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<b<a
【解题思路】根据指数函数，幂函数的性质即可判断b<a，c<a，再对b，c进行取对数，结合对数函数的
性质即可判断c<b，进而即可得到答案．
【解答过程】由a=3
2
3 =9
1
3，b=2
3
4 =8
1
4，c = 4
1
3，
则b=8
1
4 <8
1
3 <9
1
3 <a，c<a，
又log2b= log28
1
4 = 3
4
，log2c = log24
1
3 = 2
3
，
则log2c<log2b，即c<b，
所以c<b<a．
故选：D．
【变式1-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知a=ln π ,b=log3 π ,c =√π ln2，则a,b,c的大小关系是
（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【解答过程】∵e<3<π，∴a= logeπ >log3 π =b>log33=1，即a>b>1，
∵a=ln π = ln(√π )
2, c =√π ln2=ln2√π，
下面比较(√π )
2与2√π的大小，构造函数y = x
2与y =2
x，
由指数函数y =2
x与幂函数y = x
2的图像与单调性可知，
当x∈(0,2)时，x
2<2
x；当x∈(2,4)时，x
2>2
x
由x =√π ∈(0,2)，故(√π )
2 <2√π，故ln π <ln2√π，即a< c，
所以b<a<c，
故选：A.
【题型2 中间值法比较大小】
【例2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知a=6
log23.4，b=6
log43.6，c =(
1
6)
log30.3
，则（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>a>b
【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】因为log23.4>log22=1= log4 4>log43.6，log30.3
-1= log3 10
3 >log33=1，
又因为log23.4>log22√2= 3
2 = log33
3
2 = log33√3>log3
10
3 =- log30.3，
所以，log23.4>- log30.3>log43.6，
所以，6
log23.4>6
- log30.3=(
1
6)
log30.3
>6
log43.6，即a>c>b.
故选：C.
【变式2-1】（2023 上·天津河东·高三校考阶段练习）已知a=2- log23，b=2- log34，c = log23+ log34，
则（ ）
A．c<a<b
B．b<a<c
C．a<b<c
D．c<b<a
【解题思路】利用对数的性质求得log23> 3
2、1<log34< 3
2，即可判断大小关系.
【解答过程】由log23= log2(2× 3
2 )=1+ log2 3
2 >1+ log2√2= 3
2，
由log34 = log3(3× 4
3 )=1+ log3 4
3 <1+ log3√3= 3
2，则1<log34< 3
2，
所以a=2- log23< 1
2 <b=2- log34<1< 5
2 <c = log23+ log34，即a<b<c.
故选：C.
【变式2-2】（2023 上·河南开封·高一校考阶段练习）已知a= log 1
3
2023,b= log20232024 ,c =2023
-2024
，
则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a>b>c
B．b>c>a
C．b>a>c
D．c>a>b
【解题思路】利用函数单调性和中间值比较出大小.
【解答过程】a= log 1
3
2023<0,b= log20232024>log20232023=1,c =2023
-2024∈(0,1)，
故b>c>a.
故选：B.
【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a=1.1
1.2,b=1.2
1.3,c =1.3
1.1，则（ ）
A．c<b<a
B．a<b<c
C．c<a<b
D．a<c<b
【解题思路】利用中间值1.2
1.2比较a,b 的大小，再让b，c 与中间值1.3
1比较，判断b,c 的大小，即可得解.
【解答过程】a=1.1
1.2<1.2
1.2<1.2
1.3=b，又因为通过计算知1.2
4<1.3
3，所以(1.2
4)
0.3<(1.3
3)
0.3，即
1.2
1.2<1.3
0.9，
又1.2
0.1<1.3
0.1，所以1.2
1.3<1.3
1<1.3
1.1=c，所以a<b<c.
故选：B.
【题型3 作差法、作商法比较大小】
【例3】（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知x = log32，y = log43，z =(
3
4)
2
3，则x、y、z的大小关系为
（ ）
A．x> y > z
B．y > x> z
C．z> y > x
D．y > z> x
【解题思路】利用作差法结合基本不等式可得出x、y的大小关系，利用中间值4
5 结合指数函数、对数函数
的单调性可得出y、z的大小关系，综合可得出x、y、z的大小关系.
【解答过程】因为3
5=243<256= 4
4，所以，3<4
4
5，则y = log43<log4 4
4
5 = 4
5
，
因为(
3
4)
2
-(
4
5)
3
= 9
16 - 64
125 = 9×125-16×64
16×125
= 1125-1024
16×125
>0，
所以，(
3
4)
2
>(
4
5)
3
，则z =(
3
4)
2
3 > 4
5 ，所以z> y
因为y - x = log43- log32= ln3
ln 4 - ln 2
ln3 = (ln3)
2- ln 2ln 4
ln3ln 4
>
(ln3)
2-(
ln 2+ ln 4
2
)
2
ln3ln 4
= (ln3)
2-(ln√8)
2
ln3 ln 4
>0，即y > x，因此，z> y > x.
故选：C.
【变式3-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知a=log169,b=log2516,c =e
-2，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
【解题思路】a= log43，b= log54，作商a
b = log43
log54 = log43⋅log45，利用基本不等式可得a
b <1，得a<b，
根据对数函数的单调性可得a>c.
【解答过程】a= log169= log4
23
2= log43>0，b= log2516= log5
24
2= log54>0，
a
b = log43
log54 = log43⋅log45 <(
log43+ log45
2
)
2
=(
log415
2 )
2
<(
log416
2 )
2
=(
log4 4
2
2 )
2
=1，
所以a<b，
a= log43>log42= log2
22= 1
2 >e
-2=c，
所以b>a>c.
故选：A.
【变式3-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若a= ln 2
2 ，b= ln3
3 ，c = ln5
5 ，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y = ln x的单调性分别判断a,b和a,c的大小关系，即可判断出
a,b,c的大小关系.
【解答过程】因为b-a= ln3
3 - ln2
2 = 2ln3-3ln2
6
= ln 9- ln 8
6
>0，所以b>a；
又因为c -a= ln5
5 - ln2
2 = 2ln5-5ln2
10
= ln25- ln32
10
<0，所以a>c；
综上所述：c<a<b.
故选：C.
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知a= log8.14，b= log3.1e，c = ln2.1,，则（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．c<a<b
D．b<c<a
【解题思路】先证明b>0,c>0，利用比商法结合基本不等式证明c<b，再根据对数运算性质，结合对数
函数性质证明a<c即可得结论.
【解答过程】因为b= log3.1e>0，c = ln 2.1>0，
所以c
b = ln 2.1
log3.1e = ln 2.1×ln3.1<(
ln 2.1+ ln3.1
2
)
2
=(
ln 6.51
2 )
2
=(ln√6.51)
2
，
又e
2≈7.389，所以√6.51<e，所以ln√6.51<lne =1，
所以c
b <1，故c<b，
因为a= log8.14 = ln 4
ln 8.1 = 2ln 2
ln 8.1 =
ln 2
ln√8.1，
又e
2≈7.389，所以8.1>e
2，所以ln√8.1>1，
所以a<ln 2，又ln 2<ln 2.1=c，
所以a<c，
所以a<c<b，
故选：A.
【题型4 构造函数法比较大小】
【例4】（2023·福建宁德·校考模拟预测）记a=e√π，b=√π +1，c = 1
e ln π +2，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<c<a
D．a<c<b
【解题思路】构造函数f (x)=e
x - x -1，利用导数单调性即可比较a,b，通过放缩法即可比较b,c大小.
【解答过程】设f (x)=e
x - x -1，x∈(0,+ ∞)，则f
' (x)=e
x -1>e
0-1=0，
则f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，f (x)>f (0)=0，
则f (√π )=e√π -√π -1>0，即e√π >√π +1，即a>b，
b=√π +1>1.7+1=2.7，
c = lnπ
e +2< lne√e
e
+2= 3
2e +2< 3
5 +2=2.6，则b>c.
则c<b<a.
故选：B.
【变式4-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c满足
a
2+ log2a=0,2023
-b= log2023b,c = log7√6，则（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．c<b<a
【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.
【解答过程】设f ( x)= x
2+ log2 x， f ( x)在(0,+∞)上单调递增，
又f(
1
2)=- 3
4 <0,f (1)=1>0，所以1
2 <a<1；
设g( x) =(
1
2023)
x
- log2023 x， g( x)在(0,+∞)上单调递减，
又g(1)=
1
2023 >0,g(2023)=(
1
2023)
2023
-1<0，所以1< b<2023，
因为c = log7√6<log7√7= 1
2，所以c< 1
2.
综上可知，c<a<b.
故选：B.
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知a= log0.090.18，b=√6.2-√4.2，c = ln 8
9 + 9
8 ，则（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<a<c
D．a<c<b
【解题思路】利用对数函数的性质判断得1>a> 1
2，利用分母有理化判断得b< 1
2，利用构造函数法与导数
判断得c>1，从而得解.
【解答过程】由0.09<0.18<0.3，可得log0.090.09>log0.090.18>log0.090.3，即1>a> 1
2，
而b=√6.2-√4.2=
2
√6.2+√4.2 < 2
4 = 1
2，
设f ( x)= ln x + 1
x (0< x<1)，则f
'( x)= x -1
x
2 <0，
所以f ( x)在(0,1)上是减函数，所以f(
8
9)>f (1)=1，即c>1，
所以b<a<c．
故选：C．
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）设a=0.2ln10，b=0.99，c =0.9e
0.1，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【解题思路】构造f ( x)= x - 1
x -2ln x(0< x<1)、g( x)=e
x - x -1(0< x<1)利用导数研究单调性，即可
比较各数的大小.
【解答过程】a=0.2ln10=0.2ln 1
0.1 =-2×0.1×ln 0.1，b=1-0.1
2，c =(1-0.1)e
0.1．
取x =0.1，则a=-2 x ln x，b=1- x
2，c =(1- x)e
x．
设f ( x)= x - 1
x -2ln x(0< x<1)，则f
'( x)=1+ 1
x
2 - 2
x =(1- 1
x)
2
>0，
所以f ( x)在(0,1)上单调递增，则x - 1
x -2ln x<0，即-2 x ln x<1- x
2，所以a<b．
令g( x)=e
x - x -1(0< x <1)，则g
'( x)=e
x -1>0，
所以g( x)在(0,1)上单调递增，则g( x)> g(0)⇒e
x - x -1>0⇒e
x> x +1，
所以(1- x)e
x>1- x
2，即b<c，
所以a<b<c．
故选：A.
【题型5 数形结合比较大小】
【例5】（2022·广东茂名·统考一模）已知x , y , z均为大于0 的实数，且2
x =3
y = log5 z，则x , y , z大小关
系正确的是（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．z> x> y
D．z> y > x
【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y =2
x , y =3
x , y = log5 x与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，
再作出图像，数形结合求解即可.
【解答过程】解：因为x , y , z均为大于0 的实数，
所以2
x =3
y = log5 z =t >1，
进而将问题转化为函数y =2
x , y =3
x , y = log5 x与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，
故作出函数图像，如图，
由图可知z> x> y
故选：C.
【变式5-1】（2023 上·四川·高三校联考阶段练习）已知a+log2a= 4 ,b+log3b=c +log4c =3，则
（ ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．b>c>a
D．c>a>b
【解题思路】a,c的比较利用零点存在性定理求解零点所在区间，b,c的比较则转化为两函数图象交点的
横坐标大小比较，数形结合由图可知.
【解答过程】由题意知，a是函数f ( x)= x + log2 x - 4的零点，
因为f(
5
2)= log2
5
2 - 3
2 = log2
5
2 - log22
3
2，
由(
5
2)
2
= 25
4 <(2
3
2)
2
=8，则f(
5
2)<0，
且f (3)= log23-1= log2
3
2 >0，
由零点存在性定理知，a∈(
5
2 ,3)；
由题意知，c是函数g( x)= x + log4 x -3的零点，
因为g(
5
2)= log4
5
2 - 1
2 = log4
5
2 - log42= log4
5
4 >0，
且g(2)= log42-1= log42- log4 4 = log4 1
2 <0，
由零点存在性定理知，c∈(2, 5
2)，
故a>c，
由b+log3b=c +log4c =3，
得log3b=3-b,log4c =3-c，
作出函数y =3- x , y =log3 x , y =log4 x的大致图象，
如图所示，数形结合由图可知c>b．
综上，a>c>b.
故选：A.
【变式5-2】（2023 上·广东江门·高一统考期末）已知f (x)=(
1
2)
x
- x -2，g(x)= log 1
2
x - x -2，
h(x)= x
3- x -2的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．b>a>c
【解题思路】将函数的零点，转化为函数y = x +2的图象分别与函数y =(
1
2)
x
、y = log 1
2
x、y = x
3的图象交
点的横坐标，利用数形结合法求解．
【解答过程】解：函数f (x)=(
1
2)
x
- x -2，g(x)= log 1
2
x - x -2，h(x)= x
3- x -2的零点，
即为函数y = x +2分别与函数y =(
1
2)
x
、y = log 1
2
x、y = x
3的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得a<b<c.
故选：B.
【变式5-3】（2022·河南·统考一模）已知a=e
π,b=π
e,c =(√2)
eπ，则这三个数的大小关系为（ ）
A．c<b<a
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【解题思路】构造函数f (x)= ln x
x ,(x>0)，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较a,b，在同一坐
标系中作出y =(√2)
x与y = x的图象，结合图象与幂函数的性质可比较b,c，即可求解
【解答过程】令f (x)= ln x
x ,(x>0)，则f
' (x)= 1- ln x
x
2
,(x>0)，
由f
' (x)>0，解得0< x<e，由f
' (x)<0，解得x>e，
所以f (x)= ln x
x ,(x>0)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减；
因为π>e，
所以f (π)<f (e)，即lnπ
π < lne
e
，
所以elnπ<πlne，所以lnπ
e<lne
π，
又y = ln x递增，
所以π
e<e
π，即b<a；
(√2)
eπ=[(√2)
π]
e
，
在同一坐标系中作出y =(√2)
x与y = x的图象，如图：
由图象可知在(2,4)中恒有x>(√2)
x，
又2<π<4，所以π>(√2)
π，
又y = x
e在(0,+ ∞)上单调递增，且π>(√2)
π
所以π
e>[(√2)
π]
e
=(√2)
eπ，即b>c；
综上可知：c<b<a，
故选：A.
【题型6 含变量问题比较大小】
【例6】（2022 上·江西吉安·高三统考期末）已知实数a，b，c，满足ln b=e
a=c，则a，b，c 的大小关系
为（ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．a>c>b
【解题思路】构造函数f ( x)=e
x - x，利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答
案.
【解答过程】解：设f ( x)=e
x - x，则f
'( x)=e
x -1，
当x<0时，f
' (x)<0，当x>0时，f
' (x)>0，
所以f ( x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以f ( x)min= f (0)=1>0，故e
x> x，
所以c =e
a>a，又ln b=c，
所以b=e
c>c，
所以b>c>a.
故选：C．
【变式6-1】（2022 上·湖北·高三校联考开学考试）已知a,b,c均为不等于1 的正实数，且
lnc =alnb,lna=blnc，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．c>a>b
B．b>c>a
C．a>b>c
D．a>c>b
【解题思路】分析可知，ln a、ln b、ln c同号，分a、b、c∈(0,1)和a、b、c∈(1,+ ∞)两种情况讨论，
结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】∵lnc =alnb,lna=blnc且a、b、c均为不等于1的正实数，
则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.
①若a、b、c∈(0,1)，则ln a、ln b、ln c均为负数，
ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c =a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；
②若a、b、c∈(1,+ ∞)，则ln a、ln b、ln c均为正数，
ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c =a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.
综上所述，a>c>b.
故选：D.
【变式6-2】（2022 上·江苏南通·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足e
c+e
-2a=e
a+e
-c，
b= log23+ log86，c + log2c =2，则a，b，c 的大小关系为( )
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．c<b<a
【解题思路】根据e
c+e
-2a=e
a+e
-c可得e
c -e
-c =e
a-e
-2a，由此可构造函数f (x)=e
x -e
- x，根据f(x)的单
调性即可判断a 和c 的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b 与2 的大小关系；c + log2c =2变形
为log2c =2-c，利用函数y =log2 x与函数y =2- x的图象可判断两个函数的交点的横坐标c 的范围，从
而判断b 与c 的大小.由此即可得到答案．
【解答过程】e
c+e
-2a=e
a+e
-c⇒e
c -e
-c =e
a-e
-2a，
故令f (x)=e
x-e
- x，则f (c)=e
c-e
-c，f (a)=e
a-e
-a．
易知y =-e
- x =- 1
e
x 和y =e
x均为(0,+ ∞)上的增函数，故f (x)在(0,+∞)为增函数．
∵e
-2a<e
-a，故由题可知，e
c -e
-c =e
a-e
-2a>e
a-e
-a，即f (c)>f (a)，则c>a>0．
易知b= log23+ log2
3√6= log23
3√6>2，log2c =2-c，
作出函数y =log2 x与函数y =2- x的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在(1,2)内，即1<c<2，
∴c<b，
∴a<c<b．
故选：B．
【变式6-3】（2023 上·辽宁丹东·高三统考期末）设m>1，logma=m
b=c，若a，b，c 互不相等，则
（ ）
A．a>1
B．c≠e
C．b<c<a
D．(c -b)(c -a)<0
【解题思路】由logma>0，可解得a>1，可判断A；当c =e时，取m=e
1
e >1，可得a=b=c，不满足a，
b，c 互不相等，可判断B；将a,b,c看成函数y = logm x , y =m
x , y = x与y =c图象的交点，可判断C，D.
【解答过程】由m
b=c>0，可得logma>0，因为m>1，所以a>1，故A 正确；
当c =e时，logma=m
b=c =e，若m=e
1
e >1，则a=m
e=e,c =e,b= logme=e，
故a=b=c，不满足a，b，c 互不相等，所以c≠e，故B 正确，
因为m>1，logma=m
b=c，
可将a,b,c看成函数y = logm x , y =m
x , y = x与y =c图象的交点横坐标，
当m=1.1时，图象如下图，
可得：a<c<b，此时(c -b)(c -a)<0.
当m=3时，图象如下图，
可得：b<c<a，此时(c -b)(c -a)<0，所以C 不正确，D 正确；
故选：ABD.
【题型7 放缩法比较大小】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知a= log2π，b= ln 4，c =0.6
-1.5，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【解题思路】应用对数函数的单调性及放缩法对a,b,c进行估值即可判断.
【解答过程】a=log2π<log24=2，且a=log2π>log22√2=1.5，故a∈(1.5,2)，
b=ln 4 =1+ln 4
e <1+ln 4
2.5 =1+ln1.6=1+ln√2.56<1+ln√e=1.5，即b<1.5.
由c =0.6
-1.5可得c
2=0.6
-3=
1
0.216 >4，又c>0，故c>2.则b<a<c.
故选：C.
【变式7-1】（2023 上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a=√19-√17 ,b=6
- 3
4 ,c =log53- 2
9 log35，则
（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a<b<c.
【解答过程】因为a=√19-√17=
2
√19+√17 <
2
√16+√16 = 1
4 ，
b=6
- 3
4 =
1
4√216
>
1
4√256
= 1
4 ,
1
4√216
< 1
4√81
= 1
3，故b∈(
1
4 , 1
3)，
c = log53- 2
9 log35= 1
3 log527- 1
9 log325> 1
3 log525- 1
9 log327= 2
3 - 1
3 = 1
3，
所以a<b<c.
故选：A.
【变式7-2】（2023 上·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）已知三个互不相等的正数a,b,c满足
a=e
2
3 ,b=log23+log96,c =log√5(2
a+1)，（其中e=2.71828⋯是一个无理数），则a,b,c的大小关系
为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．c<b<a
【解题思路】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
【解答过程】因为a=e
2
3，所以a
3=e
2=2.7
2<2
3
所以根据幂函数的性质可得e
2
3 <2，
因为a,b,c都是正数，
b=log23+log96=log23+log3
26=log23+log3√6≥2√log23⋅log3√6=2√log2√6>2√log22=2
c =log√5(2
a+1)=2log5(2
e
2
3+1)<2log5(2
2+1)=2log55=2，
c
a =log√5(2
a+1)
a
=log(√5)
a(2
a+1)= ln(2
a+1)
ln(√5)
a ，
因为f (x)= ln x是递增函数，又因为a∈(0,2)，
作出y = ln(2
a+1)和y = ln(√5)
a的图像，如图可得，当a=2时，两函数值相等；a<2时，y = ln(2
a+1)图
像一直在y = ln(√5)
a的上方，所以a<c
故a<c<b，
故选：B.
【变式7-3】（2023 上·福建漳州·高一校考期中）设a=0.7
1
2023，b=(
1
2023)
0.7
，c =a+ 1
4 a，则（ ）
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>c>a
【解题思路】由ln a=
1
2023 ln 0.7，ln b=0.7 ln
1
2023，构造y = ln x
x 研究单调性比较大小即可，结合指数
函数、基本不等式确定a,b,c大小.
【解答过程】由ln a=
1
2023 ln 0.7，ln b=0.7 ln
1
2023，要比较a,b大小，只需比较ln a,ln b大小，
故只需比较ln 0.7
0.7 ,
ln
1
2023
1
2023
大小，令y = ln x
x 且0< x<1，故y
' = 1- ln x
x
2
>0，
所以y = ln x
x 在(0,1)上递增，而7
10 >
1
2023，即0> ln 0.7
0.7 >
ln
1
2023
1
2023
，
所以ln a=
1
2023 ln 0.7> ln b=0.7 ln
1
2023，故a>b，
又a=0.7
1
2023 ∈(0,1)，则c =a+ 1
4 a >2√a⋅1
4 a =1（等号不能成立），
所以c>1>a>b.
故选：A.
1．（2023·天津·统考高考真题）若a=1.01
0.5,b=1.01
0.6,c =0.6
0.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>b>c
D．b>a>c
【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【解答过程】由y =1.01
x在R 上递增，则a=1.01
0.5<b=1.01
0.6，
由y = x
0.5在[0,+ ∞)上递增，则a=1.01
0.5>c =0.6
0.5.
所以b>a>c.
故选：D.
2．（2022·天津·统考高考真题）已知a=2
0.7，b=( 1
3 )
0.7
，c = log2 1
3，则（ ）
A．a>c>b
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>a>b
【解题思路】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】因为2
0.7>( 1
3 )
0.7
>0= log21>log2
1
3，故a>b>c.
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =- ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【解题思路】构造函数f ( x)= ln(1+ x)- x， 导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.
【解答过程】方法一：构造法
设f ( x)= ln(1+ x)- x( x>-1)，因为f
'( x)=
1
1+ x -1=-
x
1+ x ，
当x∈(-1,0)时，f
'( x)>0，当x∈(0,+∞)时f
'( x)<0，
所以函数f ( x)= ln(1+ x)- x在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增，
所以f ( 1
9 )<f (0)=0，所以ln 10
9 - 1
9 <0，故1
9 >ln 10
9 =- ln 0.9，即b>c，
所以f (- 1
10 )<f (0)=0，所以ln 9
10 + 1
10 <0，故9
10 <e
- 1
10，所以1
10 e
1
10 < 1
9
，
故a<b，
设g( x)= x e
x+ ln(1- x)(0< x <1)，则g
'( x)=(x +1)e
x+
1
x -1 = (x
2-1)e
x+1
x -1
,
令h( x)=e
x( x
2-1)+1，h
'( x)=e
x( x
2+2 x -1)，
当0< x<√2-1时，h
'( x)<0，函数h( x)=e
x( x
2-1)+1单调递减，
当√2-1< x<1时，h
'( x)>0，函数h( x)=e
x( x
2-1)+1单调递增，
又h(0)=0，
所以当0< x<√2-1时，h( x)<0，
所以当0< x<√2-1时，g
'( x)>0，函数g( x)= x e
x+ ln(1- x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e
0.1>- ln 0.9，所以a>c
故选：C.
方法二：比较法
解： a=0.1e
0.1 ， b=
0.1
1-0.1 ， c =- ln(1-0.1) ，
① ln a- ln b=0.1+ ln(1-0.1) ，
令 f ( x)= x + ln(1- x), x∈(0,0.1],
则 f '( x)=1-
1
1- x =- x
1- x <0 ，
故 f ( x) 在 (0,0.1] 上单调递减，
可得 f (0.1)<f (0)=0 ，即 ln a- ln b<0 ，所以 a<b ；
② a-c =0.1e
0.1+ ln(1-0.1) ，
令 g( x)= x e
x+ ln(1- x), x∈(0,0.1],
则 g'( x)= x e
x+e
x -
1
1- x = (1+ x)(1- x)e
x -1
1- x
，
令 k( x)=(1+ x)(1- x)e
x -1 ，所以 k '( x)=(1- x
2-2 x)e
x>0 ，
所以 k( x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 k( x)>k(0)>0 ，即 g'( x)>0 ，
所以 g( x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a-c>0 ，所以 a>c .
故 c<a<b.
故选：C.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=e
-( x -1)
2
．记a= f(
√2
2 ),b= f(
√3
2 ),c = f(
√6
2 )，则（ ）
A．b>c>a
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【解答过程】令g( x)=-( x -1)
2，则g( x)开口向下，对称轴为x =1，
因为√6
2 -1-(1- √3
2 )= √6+√3
2
- 4
2 ，而(√6+√3)
2- 4
2=9+6√2-16=6√2-7>0，
所以√6
2 -1-(1- √3
2 )= √6+√3
2
- 4
2 >0，即√6
2 -1>1- √3
2
由二次函数性质知g( √6
2 )<g( √3
2 )，
因为√6
2 -1-(1- √2
2 )= √6+√2
2
- 4
2 ，而(√6+√2)
2- 4
2=8+ 4√3-16= 4√3-8= 4(√3-2)<0，
即√6
2 -1<1- √2
2 ，所以g( √6
2 )>g( √2
2 )，
综上，g( √2
2 )< g( √6
2 )< g( √3
2 )，
又y =e
x为增函数，故a<c<b，即b>c>a.
故选：A.
5．（2021·天津·统考高考真题）设a= log20.3,b= log 1
2
0.4 ,c =0.4
0.3
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．a<c<b
【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质求出a,b,c的范围即可求解.
【解答过程】∵log20.3<log21=0，∴a<0，
∵log 1
2
0.4 =- log20.4 = log2 5
2 >log22=1，∴b>1，
∵0<0.4
0.3<0.4
0=1，∴0<c<1，
∴a<c<b.
故选：D.
6．（2021·全国·统考高考真题）已知a= log52，b= log83，c = 1
2，则下列判断正确的是（ ）
A．c<b<a
B．b<a<c
C．a<c<b
D．a<b<c
【解题思路】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
【解答过程】a= log52<log5√5= 1
2 = log82√2<log83=b，即a<c<b.
故选：C.
7．（2021·全国·统考高考真题）设a=2ln1.01，b= ln1.02，c =√1.04 -1．则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【解题思路】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b 的大小作出判定，对于a 与c，b 与c 的大小
关系，将0.01 换成x,分别构造函数f (x)=2ln (1+ x)-√1+ 4 x +1,g(x)= ln (1+2 x)-√1+ 4 x +1，利用导
数分析其在0 的右侧包括0.01 的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0 即可得出a 与c，b 与c 的大小关
系.
【解答过程】[方法一]：
a=2ln1.01 = ln1.01
2 = ln (1+0.01)
2 = ln(1+2×0.01+0.01
2) >ln1.02=b，
所以b<a；
下面比较c与a,b的大小关系.
记f (x)=2ln (1+ x)-√1+ 4 x +1，则f (0)=0，f
' (x)=
2
1+ x -
2
√1+ 4 x = 2(√1+ 4 x -1- x)
(1+ x)√1+ 4 x
，
由于1+ 4 x -(1+ x)
2=2 x - x
2= x (2- x)
所以当0<x<2 时，1+ 4 x -(1+ x)
2>0，即√1+ 4 x>(1+ x)，f
' (x)>0，
所以f (x)在[0,2]上单调递增，
所以f (0.01)>f (0)=0，即2ln1.01>√1.04 -1，即a>c；
令g(x)= ln (1+2 x)-√1+ 4 x +1，则g(0)=0，g
' (x)=
2
1+2 x -
2
√1+ 4 x = 2(√1+ 4 x -1-2 x)
(1+ x)√1+ 4 x
，
由于1+ 4 x -(1+2 x)
2=- 4 x
2，在x>0 时，1+ 4 x -(1+2 x)
2<0，
所以g
' (x)<0，即函数g(x)在[0，+∞)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0，即ln1.02<√1.04 -1，即
b<c；
综上，b<c<a，
故选：B.
[方法二]：
令f (x)=ln(
x
2+1
2 )- x -1( x>1)
f
' (x)=- (x -1)
2
x
2+1
<0，即函数f ( x)在（1，+∞)上单调递减
f (√1+0.04)<f (1)=0,∴b<c
令g(x)=2ln(
x
2+3
4 )- x +1(1< x<3)
g
' (x)= (x -1)(3- x)
x
2+3
>0，即函数g( x)在（1，3)上单调递增
g(√1+0.04)⟨g(1)=0,∴a⟩c
综上，b<c<a，
故选：B.
8．（2022·全国·统考高考真题）已知9
m=10,a=10
m-11,b=8
m-9，则（ ）
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
【解题思路】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m= log910>1，再利用基本不等式，换底
公式可得m>lg11，log89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
【解答过程】［方法一］：（指对数函数性质）
由9
m=10可得m= log910= lg10
lg9 >1，而lg9lg11<(
lg9+lg11
2
)
2
=(
lg99
2 )
2
<1=(lg10)
2，所以
lg10
lg9 > lg11
lg10，即m>lg11，所以a=10
m-11>10
lg11-11=0.
又lg8lg10<(
lg8+lg10
2
)
2
=(
lg80
2 )
2
<(lg9)
2，所以lg9
lg8 > lg10
lg9 ，即log89>m，
所以b=8
m-9<8
log89-9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9
m=10，可得m= log910∈(1,1.5)．
根据a,b的形式构造函数f ( x)= x
m- x -1( x >1) ，则f
'( x)=m x
m-1-1，
令f
'( x)=0，解得x0=m
1
1-m ，由m= log910∈(1,1.5) 知x0∈(0,1) .
f ( x) 在 (1,+ ∞) 上单调递增，所以f (10)>f (8) ，即 a>b ，
又因为f (9)=9
log910-10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
