重难点04 指、对、幂数比较大小问题【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 利用单调性比较大小】..............................................................................................................................2
【题型2 中间值法比较大小】..................................................................................................................................2
【题型3 作差法、作商法比较大小】......................................................................................................................3
【题型4 构造函数法比较大小】..............................................................................................................................3
【题型5 数形结合比较大小】..................................................................................................................................3
【题型6 含变量问题比较大小】..............................................................................................................................4
【题型7 放缩法比较大小】......................................................................................................................................4
从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，是高考的热点
问题，主要以选择题的形式考查，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序
比较大小.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】
1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数
值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如
和
，利用指数函数
的单调性；
②指数相同，底数不同时，如
和
，利用幂函数
单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如
和
，利用指数函数
单调性比较大小.
2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1 或者其
它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判
定．
3.作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4.估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5.构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6、放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用单调性比较大小】
【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知a=0.9
1.1,b=log1
2
1
3 ,c =log1
3
2，则（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．b>a>c
【变式1-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知a=(
2
5)
2
5 ,b=(
3
5)
2
5 ,c =log2
5
2，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
【变式1-2】（2023·广东广州·统考二模）已知a=3
2
3，b=2
3
4，c = 4
1
3，则（ ）
A．c<a<b
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<b<a
【变式1-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知a=ln π ,b=log3 π ,c =√π ln2，则a,b,c的大小关系是
（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【题型2 中间值法比较大小】
【例2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知a=6
log23.4，b=6
log43.6，c =(
1
6)
log30.3
，则（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>a>b
【变式2-1】（2023 上·天津河东·高三校考阶段练习）已知a=2- log23，b=2- log34，c = log23+ log34，
则（ ）
A．c<a<b
B．b<a<c
C．a<b<c
D．c<b<a
【变式2-2】（2023 上·河南开封·高一校考阶段练习）已知a= log 1
3
2023,b= log20232024 ,c =2023
-2024，
则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a>b>c
B．b>c>a
C．b>a>c
D．c>a>b
【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a=1.1
1.2,b=1.2
1.3,c =1.3
1.1，则（ ）
A．c<b<a
B．a<b<c
C．c<a<b
D．a<c<b
【题型3 作差法、作商法比较大小】
【例3】（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知x = log32，y = log43，z =(
3
4)
2
3，则x、y、z的大小关系为
（ ）
A．x> y > z
B．y > x> z
C．z> y > x
D．y > z> x
【变式3-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知a=log169,b=log2516,c =e
-2，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
【变式3-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若a= ln2
2
，b= ln3
3
，c = ln5
5
，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知a= log8.14，b= log3.1e，c = ln2.1,，则（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．c<a<b
D．b<c<a
【题型4 构造函数法比较大小】
【例4】（2023·福建宁德·校考模拟预测）记a=e√π，b=√π +1，c = 1
e ln π +2，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<c<a
D．a<c<b
【变式4-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c满足
a
2+ log2a=0,2023
-b= log2023b,c = log7√6，则（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．c<b<a
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知a= log0.090.18，b=√6.2-√4.2，c = ln 8
9 + 9
8
，则（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<a<c
D．a<c<b
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）设a=0.2ln10，b=0.99，c =0.9e
0.1，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【题型5 数形结合比较大小】
【例5】（2022·广东茂名·统考一模）已知x , y , z均为大于0 的实数，且2
x =3
y = log5 z，则x , y , z大小关
系正确的是（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．z> x> y
D．z> y > x
【变式5-1】（2023 上·四川·高三校联考阶段练习）已知a+log2a= 4 ,b+log3b=c +log4c =3，则
（ ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．b>c>a
D．c>a>b
【变式5-2】（2023 上·广东江门·高一统考期末）已知f (x)=(
1
2)
x
- x -2，g(x)= log 1
2
x - x -2，
h(x)= x
3- x -2的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．b>a>c
【变式5-3】（2022·河南·统考一模）已知a=e
π,b=π
e,c =(√2)
eπ，则这三个数的大小关系为（ ）
A．c<b<a
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【题型6 含变量问题比较大小】
【例6】（2022 上·江西吉安·高三统考期末）已知实数a，b，c，满足ln b=e
a=c，则a，b，c 的大小关系
为（ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．a>c>b
【变式6-1】（2022 上·湖北·高三校联考开学考试）已知a,b,c均为不等于1 的正实数，且
lnc =alnb,lna=blnc，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．c>a>b
B．b>c>a
C．a>b>c
D．a>c>b
【变式6-2】（2022 上·江苏南通·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足e
c+e
-2a=e
a+e
-c，
b= log23+ log86，c + log2c =2，则a，b，c 的大小关系为( )
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．c<b<a
【变式6-3】（2023 上·辽宁丹东·高三统考期末）设m>1，logma=m
b=c，若a，b，c 互不相等，则
（ ）
A．a>1
B．c≠e
C．b<c<a
D．(c -b)(c -a)<0
【题型7 放缩法比较大小】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知a= log2π，b= ln 4，c =0.6
-1.5，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【变式7-1】（2023 上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a=√19-√17 ,b=6
- 3
4 ,c =log53- 2
9 log35，则
（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【变式7-2】（2023 上·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）已知三个互不相等的正数a,b,c满足
a=e
2
3 ,b=log23+log96,c =log√5(2
a+1)，（其中e=2.71828⋯是一个无理数），则a,b,c的大小关系
为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．c<b<a
【变式7-3】（2023 上·福建漳州·高一校考期中）设a=0.7
1
2023，b=(
1
2023)
0.7
，c =a+ 1
4 a，则（ ）
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>c>a
1．（2023·天津·统考高考真题）若a=1.01
0.5,b=1.01
0.6,c =0.6
0.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>b>c
D．b>a>c
2．（2022·天津·统考高考真题）已知a=2
0.7，b=( 1
3 )
0.7
，c = log2 1
3，则（ ）
A．a>c>b
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>a>b
3．（2022·全国·统考高考真题）设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =- ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=e
-( x -1)
2．记a= f(
√2
2 ),b= f(
√3
2 ),c = f(
√6
2 )
，则（ ）
A．b>c>a
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
5．（2021·天津·统考高考真题）设a= log20.3,b= log 1
2
0.4 ,c =0.4
0.3，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．a<c<b
6．（2021·全国·统考高考真题）已知a= log52，b= log83，c = 1
2
，则下列判断正确的是（ ）
A．c<b<a
B．b<a<c
C．a<c<b
D．a<b<c
7．（2021·全国·统考高考真题）设a=2ln1.01，b= ln1.02，c =√1.04 -1．则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
8．（2022·全国·统考高考真题）已知9
m=10,a=10
m-11,b=8
m-9，则（ ）
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
