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专题04 指对幂函数及函数与方程
【考点1 指数幂与对数式化简求值】
【考点2 指对幂函数定义与解析式】
【考点3 求指对幂函数的定义域】
【考点4 求指对幂函数的值域】
【考点5 指对幂函数的图象问题】
【考点6 指对幂函数过定点问题】
【考点7 指对幂函数的单调性问题】
【考点8 指对幂函数比较大小】
【考点9 指对幂函数解不等式】
【考点10 指对幂复合函数综合问题】
【考点11 函数零点所在的区间 】
【考点12 函数零点个数的判断】
【考点13 已知函数零点个数求参数】
【考点14 复合函数的零点问题】
【考点15 二分法及其应用】
【考点16 函数与方程的应用】
知识点1：幂函数
（1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
（2）常见的五种幂函数的图象．
1
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知识点2：对数
（1）对数：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
（2）对数的性质：①aloga
N＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
（3）对数的运算性质：如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
（4）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
知识点3：指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，y>1；
当x<0 时，0<y<1
当x<0 时，y>1；
当x>0 时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y 轴对称
知识点4：对数函数的图象与性质．
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1 时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
知识点5：函数的零点
2
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（1）函数的零点、函数的图象与x 轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)
在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝
0 的解.
知识点6：二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，通过不断
地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零
点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度
，用二分法求函数
零点
的近似值的步骤
①确定零点
的初始区间
，验证
②求区间
的中点
③计算
，进一步确定零点所在的区间：
若
（此时
），则
就是函数的零点；
若
（此时
），则令
；
若
（此时
），则令
.
④判断是否达到精确度
：若
，则得到零点近似值
（或
）；否则重复（2）~
（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
【考点1 指数幂与对数式化简求值】
【典例1】（2023·吉林长春·模拟预测）（1）求值：
3
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(
3√2×√3)
6+(√2√2)
4
3 −4×(
16
49)
−1
2 −
4√2×8
0.25−(−2023)
0；
（2）已知lg x +lg y =2lg( x−2 y)，求log√2(
x
y)
的值.
【典例2】（22-23 高二下·湖南长沙·期末）化简与计算：
(−3 3
8)
−2
3 ×log5[3
log95−(3√3)
2
3 +7
log73]．
【典例3】（2023 高三·全国·专题练习）求值：
(1)(log32+ log92)⋅(log23+ log43)+ ln 1
e
2 −lg1；
(2)(lg5)
2+lg2lg5+ 1
2 lg 4−log34×log23；
(3)log315−log310+ 1
2 log34；
(4)log32⋅log2(log28)⋅e
ln2.
(5)2log32－log332
9
＋log38－5
log❑53；
(6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).
(7)1
2
lg25＋lg2＋lg√10＋lg(0.01)－1；
(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)；
(10)2log32－log332
9
＋log38－3log55；
4
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【考点2 指对幂函数定义与解析式】
【典例1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数f (x)=¿，则f(log3
1
16)= ．
【考点3 求指对幂函数的定义域】
【典例1】（2022 高三·全国·专题练习）设函数f (x)=√4−2
x，则函数f(
x
2)
的定义域为
（ ）
A．[2,+∞)
B．[4 ,+∞)
C．(−∞,2]
D．(−∞,4]
【典例2】（2024·上海·模拟预测）若集合A =¿，B =¿，则A ∩B = ．
【考点4 求指对幂函数的值域】
【典例1】（2024·安徽·三模）已知集合A ={x|y = log3(x−2)}，集合
B ={ y ∈Z|0≤y ≤5}，则A ∩B =（ ）
A．∅
B．(2,5)
C．[2,5]
D．{3,4,5}
【典例2】（2024·河北承德·二模）已知集合
A ={x∣y =lg(x
2−3 x +2)},B ={y ∣y = x
2+1, x∈R}，则A ∩B =（ ）
A．(2,+∞)
B．(−∞,1)∪(2,+∞)
C．(0,1)∪(2,+∞)
D．(1,+∞)
【典例3】（2024·湖南·模拟预测）函数y = log2(x−2)在区间[3,4]上的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【典例4】（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知集合A ={0,1,2,3}，
B ={y ∣y =lg(−x
2+20 x)}，则A ∩B =（ ）
A．{0,1,2}
B．{1,2,3}
C．{0}
D．{0,1}
5
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【典例5】（2024·湖南长沙·二模）已知集合
A ={x|log2(−x
2+2 x + 4)>0},B ={y | y =2
x , x>1}，则A ∩B =（ ）
A．(2,3)
B．(0,2)
C．(−1,2)
D．(−∞,3)
【典例6】（2024·青海西宁·模拟预测）已知集合A =¿，B =¿，则A ∪B =（ ）
A．(−1,+∞)
B．(0,5)
C．(1,+∞)
D．(−1,0)∪(0,+ ∞)
【典例7】（2024·河南·二模）集合M =¿，则M ∩N =（ ）
A．(0,3)
B．(0,3]
C．(3,+ ∞)
D．[3,+ ∞)
【考点5 指对幂函数的图象问题】
【典例1】（2024·河北保定·二模）函数f ( x)= 1−e
x
1+e
x cos2 x的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2024·天津·二模）已知函数y = f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可
能为（ ）．
A．f (x)=e
x+1
e
x−1
B．f (x)=e
x−1
e
x+1
C．f (x)=
x
2
3√x
4−1
D．f (x)=
x
3√x
4−1
6
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【典例3】（2024·山东·一模）函数f (x)= (e
x−1)sin x
e
x+1
，则y = f (x)的部分图象大致形状是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】（2024·湖北·模拟预测）函数f (x)=e
x−e
1
x −ln x
2的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5】（2024·广东深圳·二模）已知a>0，且a≠1，则函数y = loga(x + 1
a)
的图象一定
经过（ ）
A．一、二象限
B．一、三象限
C．二、四象限
D．三、四象限
【考点6 指对幂函数过定点问题】
【典例1】（2024·上海·三模）已知函数f ( x)=1+ loga(2 x−3) (a>0,a≠1)恒过定点
(m,n)，则m+n=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【典例2】（2024·陕西西安·模拟预测）函数y = loga x +a
x−1+2（a>0且a≠1）的图象恒
7
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过定点(k ,b)，若m+n=b−k且m>0，n>0，则9
m + 1
n
的最小值为 ．
【考点7 指对幂函数的单调性问题】
【典例1】（2024·北京平谷·模拟预测）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是
（ ）
A．f ( x)=−log 1
2
x
B．f ( x)=−| x−1|
C．f ( x)=2
−x
D．f ( x)=−x
2+ x
【典例2】（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在(0,+∞)上单调递减的是
（ ）
A．f (x)=2|x|
B．f (x)= x
3
C．f (x)= 1
x −x
D．f (x)=¿
【典例3】（2024·河北·三模）函数f (x)= log0.2(1−x
2)的递增区间为（ ）
A．(−1,0]
B．(−1,1)
C．[0,1)
D．[0,+ ∞)
【典例4】（2024·贵州毕节·三模）已知函数f ( x)=e
x−a
e
x+a
是奇函数，若
f (2023)>f (2024)，则实数a 的值为（ ）
A．1
B．−1
C．±1
D．0
【考点8 指对幂函数比较大小】
【典例1】（2024·云南·二模）若a=2
π −2,b=6
−1,c =2
1
3，则（ ）
A．b>a>c
B．c>a>b
C．a>b>c
D．a>c>b
【典例2】（2024·陕西商洛·模拟预测）设a= log0.50.6，b=0.49
−0.3，c =0.6
−0.6，则a，b，
c的大小关系是（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．b>c>a
D．c>a>b
【典例3】（2024·宁夏银川·三模）设a=9
0.2，b=3
0.31，c =3
ln1.3，则（ ）
A．c<b<a
B．b<c<a
C．a<c<b
D．a<b<c
8
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【典例4】（2024·山东聊城·三模）设a=log49,b=log25,c =3
1−log34，则a,b,c的大小关
系为（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>b>a
【典例5】（2024·全国·模拟预测）设a= log23，b= log35，c = log58，则（ ）．
A．a<b<c
B．c<b<a
C．a<c<b
D．c<a<b
【考点9 指对幂函数解不等式】
【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)=¿，则不等式f (a
2−1)>f (3)的解集
为（ ）
A．(−2,2)
B．(0,+∞)
C．(−∞,0)
D．(−∞,−2)∪(2,+∞)
【典例2】（23-24 高三下·上海浦东新·期中）已知f (x)=2
x+ x，则不等式f (|2 x−3|)<3的
解集为 .
【考点10 指对幂复合函数综合问题】
【典例1】（2024·河南·三模）函数f ( x)=√ln(1−x)的定义域为（ ）
A．(−∞,0]
B．(−∞,1)
C．[0,1)
D．[0,+∞)
【典例2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知f (x)= x
2 g(x)为定义在R 上的偶函数，则函数
g(x)的解析式可以为（ ）
A．g(x)=ln 1+ x
2
1−x
2
B．g(x)=1−
2
2
x+1
C．g(x)=¿
D．g( x)=| x−2|−| x +2|
【典例3】（2024·辽宁·一模）若函数f (x)=3
−2 x
2+ax在区间(1,4)内单调递减，则a的取值范
围是（ ）
A．(−∞,4]
B．[4,16]
C．(16,+∞)
D．[16,+∞)
【典例4】多选题（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)=
2
x
2
x−1+1
，则下列说法正确
的是（ ）
9
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A．函数f (x)单调递增
B．函数f (x)值域为(0,2)
C．函数f (x)的图象关于(0,1)对称
D．函数f (x)的图象关于(1,1)对称
【典例5】多选题（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=¿的图象与直线y =a的交点的横
坐标分别为x1, x2, x3, x4(x1< x2< x3< x4)，则（ ）
A．a>4
B．x1 x2= 4
C．x3 x4= 4
D．a(
x3
x4
+1)
的最小值为32√3
9
【考点11 函数零点所在的区间 】
【典例1】（23-24 高一上·河北邢台·阶段练习）函数f (x)=ln x + x−8的零点所在的区间
为（ ）
A．(4,5)
B．(5,6)
C．(6,7)
D．(7,8)
【典例2】（2024·四川巴中·一模）若函数f (x)=2a x
2+3 x−1在区间(−1,1)内恰有一个零
点，则实数a 的取值集合为（ ）
A．{a|−1<a<2}
B．{a|a=−9
8
或−1<a<2}.
C．{a|−1≤a≤2}
D．{a|a=−9
8
或−1≤a≤2}.
【考点12 函数零点个数的判断】
【典例1】（2024·全国·高考真题）当x∈[0,2π ]时，曲线y =sin x与y =2sin(3 x−π
6)
的
交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【典例2】（2024·浙江温州·三模）已知函数f (x)=¿，则关于x方程f (x)=ax +2的根个数
不可能是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
10
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【典例3】（2024·浙江金华·三模）若函数f (x)= x + 1
|x|，则方程f [f (x)]=3的实数根个数
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【典例4】（2024·河北邢台·一模）函数f ( x)=√11cosπ x−2 x +1零点的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【典例5】（2024·全国·模拟预测）函数f (x)=2sin(2 x +φ)(−π
2 <φ<π
2 )的图像关于点
(
π
3 ,0)中心对称，将函数f (x)的图像向右平移π
3 个单位长度得到函数g(x)的图像，则函
数g(x)在区间[−π,π]内的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点13 已知函数零点个数求参数】
【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=2sin(2 x +φ)(|φ|<π
2 )，若关于x的方
程f (x)=1在(0,π)上恰有一个实数根m，则f (2m)（ ）
A．−2
B．−√3
C．√3
D．2
【典例2】（2024·四川内江·三模）若函数f ( x)= ln x
x −x
m
有两个零点，则实数m的取值范
围为（ ）
A．(0,e)
B．(e,+∞)
C．(0,2e)
D．(2e,+∞)
【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数f (x)=sin x的图象向左平移π
6
个单位长度，
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的1
ω (ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)
的图象，若函数φ(x)=¿在(−∞,3π]上有5 个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．[
17
18 , 23
18)
B．(
17
18 , 23
18]
C．[
11
18 , 17
18)
D．(
11
18 , 17
18]
【典例4】（23-24 高一上·广东汕尾·期末）若函数f (x)=¿，恰有3 个零点，则实数a 的取
值范围为（ ）
A．(−3,−2]
B．(−3,−2)
11
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C．(−4 ,−3]
D．(−4 ,−3)
【考点14 复合函数的零点问题】
【典例1】（2023·全国·模拟预测）若函数 f (x)=¿恰有2 个零点，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．(−∞,0)∪(1,+ ∞)
B．(0,1)
C．(−∞,1)
D．
(0,+∞)
【考点15 二分法及其应用】
【典例1】（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程log4 x−1
2 x =0近似解时，所取的第一
个区间可以是（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
【考点16 函数与方程应用】
【典例1】（2024·湖南长沙·三模）已知函数f (x)=2sin x +2√3|cos x|，若f (x)= λ在
[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根，则λ的取值范围为（ ）
A．(2√3,4)
B．(2,2√3)
C．(2,4)
D．
(2,2√3)∪(2√3,4)
【典例2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程2
x+ x +3=0和方程log2 x + x +3=0的根分
别为p,q，设函数f (x)=(x + p)(x +q)，则（ ）
A．f (2)= f (0)<f (3)
B．f (0)= f (3)>f (2)
C．f (3)<f (2)= f (0)
D．f (0)<f (3)<f (2)
【典例3】多选题（2024·湖南怀化·二模）已知函数y = x +e
x的零点为x1, y = x +ln x的零
点为x2，则（ ）
A．x1+ x2>0
B．x1 x2<0
C．e
x1+ln x2=0
D．x1 x2−x1+ x2>1
12
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一、单选题
1．（2024·湖南长沙·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点
，则函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数
在
上单调递增，则
实数
的值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
4．（2024·贵州贵阳·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，
为实数，
的导函数为
，
在同一直角坐标系中，
与
的大致图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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6．（2024·辽宁·三模）若全集
，
，
，则下列关系正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·山东泰安·模拟预测）已知
，
，
，则
的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·全国·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数
与可见叶片数
进行分
析研究，其关系可以用函数
（
为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7
片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5 时，可见叶片数约为（
）（参考数据：
，
）
A．15
B．16
C．17
D．18
9．（2024·新疆喀什·二模）已知函数
，满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数
，若函数
的图象
关于点
对称，则
（ ）
A．-3
B．-2
C．
D．
11．（2024·山东·模拟预测）已知函数
，则使
有零点的一个充
分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
14
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12．（2024·四川·模拟预测）已知函数
（
）在区间
上只有
1 个零点，且当
时，
单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·云南曲靖·模拟预测）函数
定义域为
，函数
的定义
域为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2024·湖南·模拟预测）已知函数
满足
，
，当
时，
，则函数
在
内的零点个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
15．（2024·山东滨州·二模）已知函数
在
上有且仅有4 个零
点，直线
为函数
图象的一条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
16．（2024·河北石家庄·三模）函数
的部分图象
如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
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A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
D．若方程
在
上有且只有5 个根，则
17．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是
上的增函数
B．函数
有且仅有一个零点
C．函数
的最小值为
D．
存在唯一个极值点
18．（2024·广东广州·二模）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
的图像在
处的切线斜率为
C．
D．
有两个零点
，且
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