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专题04 指（对）数函数及其综合应用
目录
一、考查含指（对）数（型）函数的性质................................1
二、与指（对）数函数有关的比较大小问题..............................2
三、指（对）数函数与实际应用问题....................................3
四、指（对）数函数与数学文化........................................5
五、反函数的应用....................................................7
一、考查含指（对）数（型）函数的性质
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知函数
是
上的单调函数，且
，则
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数
，若
，不等式
恒成立，则正实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数
是奇函数，则
.
1
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5．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知函数
为偶函数，则
．
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数
是
上的奇函数，则实数
．
7．（2023·云南·校联考模拟预测）已知
，设
，则函数
的最大值为 .
二、与指（对）数函数有关的比较大小问题
1．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知
，试比较
的
大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·河北·统考模拟预测）已知
,
,
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知
，
，
，则
2
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（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数
及其导数
的定义域均为
，
在
上单调递增，
为奇函数，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·山东潍坊·三模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、指（对）数函数与实际应用问题
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是
经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污
染物的残留数量
（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为
，其
中
为常数，
为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9 个小时废气中的污染物恰好被过滤
掉80%，那么再继续过滤3 小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）参考数据：
．
A．
B．
C．
D．
2．（2023·山东潍坊·统考二模）某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10 万元且少于
1000 万元时，员工奖金总额y（单位：万元）随利润x（单位：万元）的增加而增加，且奖金总额不超过5
万元，则y 关于x 的函数可以为（ ）（参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
3
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3．（2023·四川·校联考一模）据实验检测可知，海面上的大气压强为760mmHg，海面500m 高空处的大气
压强为700mmHg，研究表明，大气压强p（单位：mmHg）与高度h（单位：m）之间的关系式为
（k 为常数）.由此预测海面上1000m 高空处的大气压强大约是（保留整数部分）（ ）
A．645mmHg
B．646mmHg
C．647mmHg
D．648mmHg
4．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚
战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐
减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为
，首次改良工艺后排放的废水中含有的
污染物数量为
，第
次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量
满足函数模型
，其中
为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，
为首次
改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，
为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超
过
时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）
(参考数据：
)
A．14 次
B．15 次
C．16 次
D．17 次
5．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）苂光定量PCR 是一种通过化学物质的苂光信号，
对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 进行实时监测的方法.在PCR 扩增的指数时期，苂光信号强
度达到阀值时，DNA 的数量
与扩增次数
满足
，其中
为DNA 的初始数量，
为扩增效率.已知某被测标本DNA 扩增6 次后，数量变为原来的100 倍，则扩增效率
约为（ ）（参考
数据：
）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·浙江·统考模拟预测）我们的数学课本《人教A 版必修第一册》第121 页的《阅读与思考》中介
绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t 后，该物质所剩的质量
，其中
是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350 年（每经过1350 年，该元素的存量为原来的
一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为
.据此推测该生物距今约为
（ ）（参考数据：
）
A．2452 年
B．2750 年
C．3150 年
D．3856 年
7．（2023·北京密云·统考三模）某科技研发公司2021 年全年投入的研发资金为300 万元，在此基础上，计
划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600 万元的年份是（
）（参考数据：
，
，
，
）
A．2027 年
B．2028 年
C．2029 年
D．2030 年
8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得
这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精
4
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确到0.1）
A．7.6 年
B．7.8 年
C．6.2 年
D．6.6 年
9．（2023·云南·校联考模拟预测）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转
变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间
（月）近似地满足关系
（其中
为正常数），经过5 个月，这种垃圾的分解率为
，经过10 个
月，这种垃圾的分解率为
，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：
）
A．20
B．27
C．32
D．40
10．（2023·四川成都·校联考模拟预测）某程序研发员开发的小程序在发布时已有1000 名初始用户，经过
t 天后，用户人数
，其中k 和m 均为常数．已知小程序发布经过10 天后有4000 名用户，则用户
超过2 万名至少经过的天数为（ ）（天数按整数算，取
）.
A．20
B．21
C．22
D．23
四、指（对）数函数与数学文化
1．（2023·江西·校联考二模）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”
我们可以把
看作是每天的“进步”率都是1
，一年后是
；而把
看作是每天“退步”率都是1
，一年后是
．若经过200 天，则“进步”的值大约是
“退步”的值的（ ）（参考数据：
，
，
）
A．40 倍
B．45 倍
C．50 倍
D．55 倍
2．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶
段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成
熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人
口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮
尔曲线”的函数解析式为
，
，该函数也可以简化为
的形式.已知
描述的是一种果树的高度随着时间
（单
位：年）的变化规律，若刚栽种时该果树的高为
，经过一年，该果树的高为
，则该果树的高度超
过
，至少需要（ ）
A．4 年
B．3 年
C．5 年
D．2 年
3．（2023·福建三明·统考三模）17 世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得费马等人研究的基础上，对
､
（
为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在
的素数中，当
5
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，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257 时，
是素数，其它都是合数.除了
和
两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在
型素数研究中所做的开
创性工作，就把
型的素数称为“梅森素数”，记为
.几个年来，人类仅发现51 个梅森素
数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7 个梅森素数
，第8 个
梅森素数
，则
约等于（参考数据：
）（ ）
A．17.1
B．8.4
C．6.6
D．3.6
4．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研
究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.
其中科赫（Koch）曲线是几何中最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中
间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1 级科赫曲线“
”，将1 级科赫曲线上每一线段重
复上述步骤得到2 级科赫曲线，同理可得3 级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由
个与它的上
一级图形相似，且相似比为的部分组成，则称
为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是
（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．（2023·北京海淀·校考三模）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具
有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中
表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，
表示衰减系数，
表示训练
迭代轮数，
表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
，衰减速度为
，且当训
练迭代轮数为
时，学习率为
，则学习率衰减到
以下（不含
）所需的训练迭代轮数至少为（参
考数据：
）（ ）
A．75
B．74
C．73
D．72
6．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把
茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文
化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是
，
空气的温度是
，经过t 分钟后物体的温度为θ℃，满足公式
．现有一壶水温为
6
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92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约
需要（ ）分钟饮用口感最佳．（参考数据；
，
）
A．2.57
B．2.77
C．2.89
D．3.26
7．（2023·广东·校联考模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三
分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间
均分为三段，
去掉中间的区间段
，记为第一次操作；再将剩下的两个区间
分别均分为三段，并各自
去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分
别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是
“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于
，则需要操作的次数
的最小值为 .（参考数
据：
）
五、反函数的应用
1．（2022 秋·浙江台州·高一台州一中校考期中）设方程
的根为
，方程
的根
为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知
，
分别是方程
和
的根，若
，实数a，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．（2023 秋·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考期末）若
，
分别是方程
，
的根，则
（ ）
A．2022
B．2023
C．
D．
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
的零点为
，函数
的零点为
，
则下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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