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2027 年一轮复习第二章 二次函数、指对幂函数以及函数应用
高三数学测试卷
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值.
【详解】函数
的对称轴为
，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，
，
当
，
，
故原函数的值域为
.
2．函数
（
且
）的图象必经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，令
，求得
，且
，即可求解.
【详解】由函数
，令
，解得
，此时
，
所以函数
且
的图象必经过点
．
3．函数
的一个零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论
【详解】
定义域为
，
，
令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
其中
，故
，
，
，
由零点存在性定理可得函数
的一个零点所在区间为
，
其他选项均错误.
4．已知函数
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二次函数即可求解.
【详解】由题意得：
，
又
在
上是增函数，所以
，即
.
5．设
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
是减函数，所以
，即
；
因为函数
是减函数，所以
，即
；
，
，所以
.
函数
是减函数，所以
，即
.
所以
.
6．已知函数
有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
有两个零点，则方程
有两个实根，
即
有两个实根，即直线
与函数
的图象有两个交点.
结合函数
的图象，可得
，
所以的取值范围是
.
7．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质
含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内
停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知
的质量
随时间（年）的指数衰减规律是：
（其中
为
的初始质量）．则当
的质量衰减为最初的
时，所经过的时间约为（参考数据：
，
）（ ）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
【答案】D
【详解】已知衰减公式
，当
的质量衰减为最初的
时，满足：
，即
，
两边取对数得：
，
则
，
即
．
8．已知函数
，若
有四个零点
，
，
，
，且满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先画图确定函数
有四个零点时m 的取值范围，再利用韦达定理及对数性质求出
和
，
最后通过换元法求取值范围.
【详解】作出函数
的图象，如图：
因为
有四个零点，所以
，
因为
，
，
所以
，即
，所以
，
则
，
因为
是方程
的根，即
的根，
所以
，
又
，所以
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
，
因为
在
上单调递减，
所以
，即
的取值范围是
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知点
在幂函数
的图象上，则函数
是（ ）
A．定义域内的减函数
B．奇函数
C．偶函数
D．
上的减函数
【答案】BD
【分析】根据幂函数的定义得出
，再结合点的坐标得出
解析式，根据解析式判断幂函数单调性及奇偶性即
可求解．
【详解】由题意
，解得
，则
，
将点
，即
代入，得
，即
，
定义域为
，有
，
故
为奇函数，故B 正确，C 错误；
又
，所以
在
和
上为减函数，故A 错误，D 正确．
10．（多选）已知函数
，则（ ）
A．
在
单调递增
B．
在
单调递减
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于点
对称
【答案】AC
【分析】
的定义域为
．由于
，从而对
的研究可转化为对二次函数
的研究．因为
，所以
在
上单调递增，在
上单调递
减，直线
是
的图象的对称轴．从而排除B，D．
【详解】
,则
，解得
.
，设
，可知
在
上单调递增，在
上单调递
减，则
在
上单调递增，在
上单调递减，故A 正确，B 错误.
因为
，
，且
，因此
的图
象关于直线
对称，故C 正确，D 错误.
11．一款运动APP 测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分
钟）之间的关系满足
，其中
为正整数，
表示不超过
的最大整数.
当
时，心率为120 次/分钟，当心率不低于90 次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率
（休息时的心率）为60 次/分钟，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为124
C．该运动员第9 分钟时恢复到静息心率
D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5 分钟
【答案】ABD
【分析】对于A，根据分段函数定义可得当
时，
，
，结合函数单调性即可判
断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将
代入函数计算函数值即可判断；对于D 根据
“运动后活跃期”定义求得满足
的值即可判断.
【详解】对于A，当
时，
，则
，其中
，
为正整数，
当
时，
，此时
，符合题意，
当
时，
，此时
，不符合题意，
因为
单调递减，且
为正整数，所以
，故A 正确；
对于B，当
且
时，
，
所以当
时，
取得最大值：
，
当
且
时，
，
，
因为
在
上单调递减，所以
，
所以当
时，
取得最大值：
，
综上，
的最大值为124，故B 正确；
对于C，当
时，
，
所以该运动员第9 分钟时没有恢复到静息心率，故C 错误；
对于D，当
且
时，
，
当
时，
取得最小值，
，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”，
当
且
时，
，
，即
，
所以
，即
，解得
，所以有
，
，
综上，当
且
时，
，
因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5 分钟，故D 正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知幂函数
在区间
上单调递增，则
___________．
【答案】2
【分析】根据幂函数的定义和性质列式求解即可.
【详解】因为幂函数
在区间
上单调递增，
则
，解得
.
13．设函数
，当
时，函数
的最小值为______；若
无最小值，则实数
的
取值范围是______．
【答案】
【分析】作出函数图像，利用数形结合即可求解.
【详解】当
时，
，
作出函数
的图像：
由图可知：
，
要使
无最小值，只需
无最小值，
即
的对称轴在直线
处或右边，即
，且
，
解得
，所以
.
14．已知函数
，其中
且
.若关于
的方程
恰有三个不相等的实数
根
，则
的取值范围为_____，且
的取值范围为_______.
【答案】
【分析】根据给定条件，按
分类作出函数
的图象，数形结合求出
的范围；再
利用方程根的意义，结合基本不等式求出范围.
【详解】当
时，函数
的图象及直线
如图：
当
时，函数
的图象及直线
如图：
当
时，函数
的图象及直线
如图：
当
时，函数
的图象及直线
如图：
观察图象知，当且仅当
且
，即
时，函数
的图象及直线
有3 个交点，
即方程
有三个不相等的实数根
，不妨令
，
则
，由
，得
，即
，
因此
，则
，所以
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．计算：
(1)
.
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别根据指数幂的运算和指数幂与根式的转化计算即可．
（2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可.
【详解】（1）
（2）
.
16．已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计
表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示
为：
.
(1)当汽车以40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【答案】(1)
(2)
；
【分析】（1）将
代入
，得
，最后得到从甲地到乙地的耗油量即可.
（2）设从甲地到乙地耗油为
，结合题意得到
，再结合导数研究该函数的单调性即
可求解.
【详解】（1）将
代入
，得
，
所以从甲地到乙地要耗油
升.
（2）设从甲地到乙地耗油为
，则
，
化简得
，
而
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
则当
时，
取得最小值，此时
，
即当汽车速度为
千米每小时时，从甲地到乙地耗油最少，最少为
升.
17．已知函数
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(3)若
，求
在
上的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当
时，得到函数
，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式
的解
集；
（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（3）根据二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）当
时，函数
，
不等式
，即
，解得
或
，
即不等式
的解集为
.
（2）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
要使得
在
上单调递增，则满足
，
所以
的取值范围为
.
（3）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
当
时，函数
在
递减，在
上递增，
所以
最小值为
，又因为区间端点
比
距离对称轴更远，故函数在
处取最大值，
在
上的值域为
.
18．已知幂函数
在
上单调递增，
(1)求函数
的解析式；
(2)如果函数
在区间
上是增函数，求
的取值范围；
(3)求关于x 的不等式
的解集（其中
）.
【答案】(1)
(2)
(3)当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
【分析】（1）由幂函数的定义求解即可；
（2）由（1）知
，再结合二次函数的性质即可求解；
（3）因式分解可得
，再分
、
、
三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）由题意可得
，解得
或
，
又因为
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
.
（2）由（1）知
，
又因为函数
在区间
上是增函数，
所以
，解得
或
，即
的取值范围为
.
（3）不等式转化为
，则
.
当
时，解得
或
，即不等式的解集为
；
当
时，解得
，即不等式的解集为
；
当
时，解得
或
，即不等式的解集为
.
综上所述：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
19．已知函数
．
(1)若
的值域为
，求实数
的取值范围．
(2)已知当
时，
恒有意义．
（Ⅰ）求
在
上的最小值；
（Ⅱ）设
，若对于任意
，存在
，使得不等式
成立，求实数
的取
值范围．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）
；（Ⅱ）
【分析】（1）对数函数的值域为
即真数可以取遍所有的正实数，因为
的真数结构比较复杂，换元后通过
分析真数的取值范围可求解.
（2）（Ⅰ）首先根据当
时，
恒有意义，结合基本不等式求出
的取值范围，对二次函数对称轴的位
置分类讨论可求得
在
上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到
，再求出
在
上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解.
【详解】（1）因为函数
的值域为
，
所以真数
需取遍所有的正实数，
令
，则
，构造函数
，
所以可将
需取遍所有的正实数问题转化为
在
时取遍所有的正实数.
对于
，图象的开口向上，对称轴方程为
，
由
在
时取遍所有的正实数知
在
上的图象与x 轴至少有一个交点，所以
在
上的最小值小于等于0，
所以
，且对称轴
（否则
在
上单调递增，
，无法取遍所有的
正实数），
由
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
（2）同（1）中的函数
，
当
时，
，
恒有意义，即
在
时恒成立，
当
时，
恒成立；
当
时，将
分离参数得
，
由基本不等式知
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
．
（Ⅰ）当对称轴
，即
时，
在
上单调递增，所以
，
因为函数
是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，
取得最小值，
所以
在
上的最小值为
（在
时取得）；
当对称轴
，即
时，
在
上的最小值在顶点处取得，
所以
，所以
在
上的最小值为
（在
时取得）.
综上，
.
（Ⅱ）对于任意
，存在
，使得不等式
成立，
即在对应区间上
.
因为
，当
时，
，
所以
，所以
在
上的最小值为
，
所以
.
由（Ⅰ）知，当
时，在
上，
，满足题意；
当
时，在
上，
，
由
，解得
.
综上，实数
的取值范围是
．
