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专题02 函数概念、基本性质与指对幂函数
百强名校-核心考点突破
例题1．已知函数
是奇函数，则实数
．
【答案】1
【来源】山东省济宁市2025 届高考模拟考试（一模）数学试题
【分析】根据奇函数性质
求实数
的值，并根据奇函数的定义求解.
【详解】因为
，可知函数
的定义域为
，
且函数
是奇函数，则
，
解得
，则
，
又因为
，
即
，可知函数
是奇函数，
所以
符合题意.
故答案为：1.
例题2．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【来源】浙江省金华市十校2025 届高三下学期4 月模拟考试数学试题
【分析】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】由题意可知，
.
1
则
，所以
.
则
，所以
.
所以
.
故选：D.
例题3．函数
与函数
的图象交点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【来源】河南省郑州市2024-2025 学年高三下学期第二次质量预测数学试题
【分析】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数.
【详解】
通过五点法
作出周期函数
的图象，
再通过两点法
作出单调函数
的图象，
因为
，所以通过图象可判断它们有个交点，
故选：A.
例题4．已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026 学年高三上学期第三次摸底考试数学试题
【分析】根据给定条件，利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性及真数恒正列式求解.
2
【详解】函数
在
上单调递增，由函数
在
上单调递增，
得函数
在
上单调递增，且
，
恒成立，
因此
，解得
，所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
例题5．已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．方程
有解
C．
D．
【答案】C
【来源】福建省泉州市2025 届高三毕业班考前模拟（一）数学练习卷（一）
【分析】根据抽象函数式，一般考虑赋值法，利用函数的单调性，奇偶性，累加法、累乘法推理计算即可.
【详解】因
和
，
对于A，令
，则
，即
，故A 错误；
对于B，令
，则
，可得
，
令
，当
时，则
，
即
，
，
，
，
则
，
其中
也符合，因
，故方程
无实数解，即B 错误；
对于C，令
，则
，得到
，
由
，则C 正确；
对于D，
与
不能恒相等，故D 错误.
故选：C.
例题6．（多选）已知函数
，则（ ）
3
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
单调递增
D．函数
有两个零点
【答案】ACD
【来源】2025 届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷
【分析】先求出函数
的定义域，然后将函数
利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的
判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C 即可；分析函数
与函数
的单调性结合图象的
交点，即可判断函数
零点个数，从而判断D.
【详解】函数
定义域为
，又
，
令
，
，
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增， 所以
在
上单调递增，故选项C 正确；
因为
，
所以函数
的对称中心为
对称，故选项B 错误，选项A 正确；
因为
，所以
函数
，
函数
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，又函数
在
上为增函数，
则函数
与函数
在平面直角坐标系中的图象如下图所示：
4
故函数
与函数
在区间
上有两个交点，即函数
有两个零点，故D 正确.
故选：ACD．
例题7．已知函数
在区间
上的最大值为
，则当
取到最小值时，
（ ）
A．7
B．
C．9
D．
【答案】B
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下学期模拟（一）数学试卷
【分析】将函数
看作是两个函数的函数值之差的绝对值，结合图象分析当
取到最小值时，直线
所在位置，从而得出
的值.
【详解】函数
在区间
上的最大值，
可看作是函数
与
在区间
上函数值之差的绝对值的最大值.
函数
在区间
上的两个端点
,
直线
的方程为
.
设与直线
平行且与函数
图象相切的直线方程为
，
，令
，解得
或
（舍去），
切点坐标为
，代入直线方程
，可得
，
所以切线方程为
.
5
由图像可知，直线
在函数
图象上方或下方时的
值大于直线
与函
数图象相交时的
值，
所以要使
取到最小值，直线
在直线
和直线
的中间，即直线
，
此时，
，所以
.
故选：B.
例题8（多选）．已知函数
满足：对任意
，且当
时，
.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．当
时，
D．
在
上单调递减
【答案】ACD
【来源】江苏省南京市、盐城市2024-2025 学年高三下学期第一次模拟考试数学试题
【分析】由关系
取
，
可求
，取
，
可求
，再求
，判断A，取
，可得
，
的关系，再将
替换为
，求
，由此判断函数
6
的奇偶性，判断B，将
中的
用
替换可得
，结合条件证明当
时，
，再结合函数的奇偶性判断C，结合单调性定义证明函数
在
上单调递减，再利
用导数证明函数
在
上单调递减，判断D.
【详解】因为
，
令
，
，可得
，
所以
，
令
，
，可得
，
所以
，
所以
，A 正确；
由
，
令
可得，
，
再将
中的
替换为
，可得
，
所以
，
所以
，所以函数
为奇函数，B 错误；
当
时，将
中的
用
替换，
可得
，即
，
当
时，
，由已知可得
，
所以
，
，
7
又函数
为奇函数，所以当
时，
，
，
所以当
时，
，C 正确；
因为
，
所以若
，则
，
任取
，且
，
则
，
因为
，所以
，
，
,
所以
，所以
，
所以函数
在
上单调递减，
设
，
当
时，
，
因为
，所以
，
因为函数
在
上单调递减，所以
，
所以
，
所以
在
上单调递减.
故选：ACD.
8
例题9．已知函数
，若函数
恰有4 个零点，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【来源】辽宁省实验中学2026 届高三第二次模拟考试数学试卷
【分析】由
，结合已知，将问题转化为
与
有个不同交点，分
三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到
，所以要使
恰有4 个零点，
只需方程
恰有3 个实根即可，
令
，即
与
的图象有个不同交点.
而
，
恒过
，
当
时，此时
，如图1，
与
有个不同交点，不满足题意；
当
时，如图2，此时
与
恒有个不同交点，满足题意；
当
时，如图3，当
与
相切时，联立方程得
，
令
得
，解得
（负值舍去），所以
.
综上，
的取值范围为
.
故选：D.
9
例题10．（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为非常数函数，
，
为奇函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【来源】辽宁省实验中学2026 届高三第二次模拟考试数学试卷
【分析】由奇函数的性质判断出
的图象关于点
对称后可判断A，对
后得出
的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D．
【详解】对A，因为
为奇函数，所以
，即
，即
，所以
的图象关于点
对称，所以
，A 正确；
对B，由
，两边求导得
，即
，又
的图象关于
点
对称，得
，所以
，B 正确；
对C，因为
，即
，所以
，令
可得
,
，所以
的图象关于直线
对称，
10
所以
，又
，所以
，所以
的图象关于点
成中心
对称，
由
得
，所以
，
所以
是周期函数，4 是它的一个周期，C 错误；
对D，由
得
，
，所以
，
又
，所以
，D 正确．
故选：ABD．
百强名校-必刷真题精练
一、单选题
1．设
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【来源】北京市第十一中学2025-2026 学年高三上学期10 月月考数学试题
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.
【详解】依题意，
，由
，得
，而
，
所以a，b，c 的大小关系是
.
故选：D
2．已知幂函数
的定义域为
，则
（ ）
A．
B．1
C．4
D．8
11
【答案】C
【来源】东三省精准教学联盟2025-2026 学年高三上学期10 联考数学试题
【分析】由幂函数的定义可求出
或
，结合幂函数的定义域为
，即可选出正确答案.
【详解】由幂函数的概念可得
，解得
或
.
当
时，
，定义域为
，不符合题意，舍去；
当
时，
，定义域为
，符合题意，所以
，
所以
.
故选：C
3．已知集合
，
是
的函数，且满足
，则这样的函数
的个数为
（ ）
A．31
B．33
C．41
D．133
【答案】C
【来源】浙江省宁波市镇海中学2025 届高三高考模拟数学试卷
【分析】由
知
，且不能只
，
中至少还要有1 个函数
值等于1，然后进行分类列举即可.
【详解】因为
，若
，则
，所以
，
若仅
，设
，则
，
所以函数不能仅有
，在
中至少还要有1 个函数值等于1，具体分类如下：
1、若5 个函数值都为1，此时共有1 种情况；
2、若仅有4 个函数值为1,又
，4 个中取3 个函数值为1 有
种，另一个的取值有3 种情况，
此时共有
种；
3、若仅有3 个函数值为1，4 个中取2 个函数值为1 有
种，另外2 个的取值有
种，此时共有
种；
12
4、若仅有2 个函数值为1，4 个中取1 个函数值为1 有
种，另3 个的取值有1 种，此时有
种情况；
综上共有
，
故选：C.
4．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，
指数衰减的学习率模型为
，其中M 表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，E
表示衰减系数，
表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16 时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2 以下（不含
0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：
）
A．75
B．77
C．79
D．81
【答案】C
【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025 届高三下学期二模数学试题
【分析】根据已知模型结合指对数转化计算求解.
【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为
，
当
时，
，代入得
，解得
，
当学习率衰减到0.2 以下（不含0.2）时，
，
则
，即
，
则
，
所以所需的训练迭代轮数至少为79．
故选：C.
5．已知函数
的定义域为
，且满足下列性质：
①
；②
则下列说法一定正确的为（ ）
A．
在
上无最小值
B．
在
上单调递减
13
C．
在
上有最小值
D．
在
上单调递增
【答案】C
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年高三下学期5 月适应性检测数学试题
【分析】利用题给条件构造函数
，结合二次函数的性质，即可得到
在
上不
一定单调递增或单调递减，
在
上有最小值.
【详解】由于函数
的定义域为
，且
，
令
，则
，
得
，抛物线对称轴为
由
可得
，
解之得
，则
，
故
在
上不一定单调递增或单调递减，选项
不确定，
由于
表示开口向上的抛物线，
故函数
在
取得最小值，即
在
上有最小值.
故选项C 正确，选项A 错误．
故选：C
6．已知函数
（
，
）．若存在
使得
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025 届高三下学期第二次模拟考试数学试题
【分析】根据题意化简整理，将问题转化成讨论一元二次方程有正根，利用根的判别式以及韦达定理讨论
根的情况即可求出
的取值范围.
14
【详解】由题意，
，即
，
则
，整理可得
.
根据函数定义域可知，
，且
，所以一元二次方程
至少有一个正根.
因为
，所以方程有两个不相等的实数根，设为
，
则
当
时，
则
一正一负，满足题意；
当
时，
则
都是负数，不满足题意.
所以
.
故选：C.
7．已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【来源】河南省周口市扶沟县2024-2025 学年高三上学期期末数学试题
【分析】令
判断A；令
得到
即可判断B、C；进而有当
且
时，
，两边求和判断D.
【详解】令
，则
且
，可得
，A 错；
令
，则
，可得
，即
，B 错；
由上分析
，
，
，则
，
15
所以
，C 对；
当
且
时，
，所以
，D 错.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据递推式得到
为关键.
8．已知可导函数
的定义域为
，
是
的导函数，且
为偶函数
为奇函数，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【来源】江西省重点中学盟校2025 届高三下学期第一次联考数学试卷
【分析】由题意可得
，由函数奇偶性的定义得出
，求导得出
，进而可推出函数
是周期为
的周期函数，以及函数
的对称中心为
，
求出
、
的值，结合函数周期性可求得
的值.
【详解】因为函数
为奇函数，则
，
即
，令
，则
，
所以，函数
的对称中心为
，且
，①
在等式①中，令
可得
，解得
，
在等式①中，令
可得
,
因为函数
为偶函数，则
，
令
，可得
，求导得
，
16
则
，②
由①②可得
，令
，则
，
所以，函数
是周期为
的周期函数，
所以，
.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数
的图象关于直线
和
对称，则函数
的周期为
；
（2）若函数
的图象关于点
和点
对称，则函数
的周期为
；
（3）若函数
的图象关于直线
和点
对称，则函数
的周期为
.
9．已知定义在
上的奇函数
满足
，且
，当
时，
，则方程
在区间
上的根的个数为（ ）
A．9
B．10
C．17
D．12
【答案】C
【来源】山东省实验中学2025 届高三一模考试数学试题
【分析】根据函数的奇偶性、对称性，得出函数
是周期函数，再根据当
时，
，结合其单调性、对称性、周期性作出函数
在区间
上的图象，利用函数
与函数
的图象，由交点的个数可得出方程根的个数.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
由
可知，函数
的图象关于直线
对称，
17
则有
，则
，则
，
所以
，故
是周期函数，周期
.
又因为
，所以
，且有
，则
.
当
时，
是增函数，
且
时，
，
时，
，所以
在
上有且仅有一个零点.
函数
与函数
的图象如图，
由图可知，方程
在区间
上有10 个根，去除
后，还有9 个根，
方程
的根，即函数
的图象与函数
的图象的交点，有8 个，
所以，方程
在区间
上的根的个数为
.
故选：C.
二、多选题
10．已知定义域为
的函数
满足以下性质：（1）
，均有
；（2）
；（3）当
时，
.则下列说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
18
B．
的解集为
C．当
时，
D．
【答案】ABD
【来源】辽宁省鞍山市部分高中（百师联盟）2024-2025 学年高三上学期一轮复习联考（五）数学试卷
【分析】利用赋值法并根据函数奇偶性定义可判断A 正确，结合奇函数性质可得B 正确，结合已有分析可
得当
时，
，即C 错误；将表达式化简计算可判断D 正确.
【详解】对于A，令
，由性质（1）得
，
再令
，得
，
结合性质（2）得
，所以
，
所以函数
是奇函数，A 正确.
对于B，令
，由性质（1）得
，
又
，所以
.
当
时，
，结合性质（3）得
.
因为
是奇函数，所以
的解集是
，B 正确.
对于C，令
，由性质（1）得
，
由B 选项的分析，得
，
当
时，
，当
时，
，C 错误.
19
对于D，在性质（1）中，令
，得
，
再令
，得
，分别代入
的表达式，
得
.D 正确.
故选：ABD.
11．函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年高三下学期5 月适应性检测数学试题
【分析】求导，分
四种情况讨论求解即可.
【详解】
，
当
时，若
，得
，即函数
在
上单调递减，
若
，得
，即函数
在
上单调递增，
此时函数
有最小值为
，且
，故B 符合题意，A 不符合题意；
20
当
时，若
，得
，即函数
在
上单调递减，
若
，得
，即函数
在
上单调递增，
此时函数
有最小值为
，故C 符合题意；
当
时，若
，得
，即函数
在
上单调递减，
若
，得
，即函数
在
上单调递增，
此时函数
有最小值为
，且
，故D 符合题意；
当
时，
恒成立，则函数
在
上单调递增.
故选：BCD
12．已知定义在
上的函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数
的值域为
【答案】ABD
【来源】2025 届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题
【分析】利用分段函数的赋值思想不断求值和递推求值，再结合复合函数单调性求值域，从而可判断各选
项.
【详解】对于A，根据题意，由
，故A 正确；
对于B，根据题意，由
，故B 正确；
对于C，根据题意，由
21
，故C 错误；
对于D，由于当
时，函数
，
满足
，
所以
图象关于直线
对称，
当
时，
，
所以
，
，即
；
当
时，
，故
，
；
当
时，由于
，所以此时
；
当
时，由于
，所以此时
，
以此类推，根据定义域为
，所以可得函数
的值域为
，故D 正确.
故选：ABD.
13．已知函数
的图象关于点
对称，函数
的图象关于直线
对称，则下列
说法正确的为（ ）
A．4 是
的一个周期
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】ABD
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025 学年高三第一次模拟考试数学试卷
22
【分析】由已知可得
关于点
对称，关于直线
对称，结合对称轴和对称中心可得周期，即可
判断
；根据函数奇偶性的定义即可判断
；由
，令
为
即可判断
；结合函数的
周期性即可判断
.
【详解】因为函数
的图象关于点
对称，
所以
，即
，
用
代换上式中的
可得
，所以
关于点
对称，
因为函数
的图象关于直线
对称，
所以函数
的图象关于直线
对称，即
，
又
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以函数
的周期为
，故
正确；
因为
，所以
，
因为函数
的图象关于直线
对称，所以
，
所以
，所以
是偶函数，故
正确；
因为
，所以
，
即
，故
正确；
因为
关于点
对称，
，
因为
，令
可得
，
23
又
关于直线
对称，所以
，
所以
，
所以
，故
不正确.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是得到
关于点
对称，关于直线
对称，结合对称轴和
对称中心推导函数的周期，过程中注意等价条件的转化.
14．双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数
和双曲余弦
函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
B．
C．函数
的值域为
D．
【答案】ACD
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下学期模拟（一）数学试卷
【分析】由函数的奇偶性即可验证A；结合指数运算计算化简即可判断B；化简指数运算及指数函数值域
即可判断C.首先判断函数
的单调性，再设
，判断出
在
的单调递增，且
，得出
，即可判断D；
【详解】对于A，
，定义域为
，
，
所以
为奇函数，
，定义域为
，
，
24
所以
为偶函数，故A 正确；
对于B：
，故B 错误；
对于C：
，
，
，所以
，
，
所以
，C 选项正确；
对于D：因为
，
所以
在
上单调递增，
设
，
，
则
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，
，故D 正确；
故选：ACD.
15．已知定义在R 上且不恒为0 的函数
，对任意的
，都有
，则（ ）
A．
B．
为周期函数
C．
是奇函数
D．若
，则
【答案】AC
【来源】山东省实验中学2025 届高三一模考试数学试题
25
【分析】令
得
，由
即可判断A；令
，得
，再求得
，根据奇偶性定义判断B；由递推式得
，进而有
，应用错位相减法求
判断D；由
，假设
为
的最小正周期，而
不能恒成立判断B.
【详解】令
，则
，而
，
所以
，A 对；
令
，则
，令
，则
，
令
，则
，故
，故
是奇函数，C 对；
由
，
由
，则
，故
，
所以
，
所以
，
所以
，D 错.
26
假设
为
的最小正周期，
由
，则
，故
，
显然，对于
，
，
，
不能恒成立，
即
不能恒成立，与前提矛盾，B 错.
故选：AC
16．已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．若
，
为偶函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026 学年高三上学期第三次摸底考试数学试题
【分析】对
进行变形可判断A，分析
的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到
和
的两个方程并联立可判断C，先计算得到
的值，由
的周期性及
和
的值计算可判断D.
【详解】对于A，由
，可得
，
两式相减可得
，故A 正确；
对于B，由
为偶函数，可得
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，
27
由
，两边求导得
，即
，
所以
是以4 为周期的周期函数，
则有
，无法推出
，故B 错误；
对于C，由
，两边求导得
，
即
，令
，可得
，
又
，令
，可得
，
联立
，解得
，故C 正确；
对于D，由
，当
时，
，又
，可得
，
当
时，可得
，
由
，即
，
所以
，令
，可得
，
所以
，令
，可得
，
，
，
由B 知
的周期为4，则
，所以
，
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
17．若指数函数
满足
，则
．
【答案】27
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下学期模拟（一）数学试卷
28
【分析】令
且
，根据题设得
，即可求解.
【详解】令
且
，因为
，
则
，即
，解得
或
（舍），
所以
，则
，
故答案为：
.
18．已知
为奇函数，则实数a 的值是 ．
【答案】4
【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025 学年高三下学期数学模拟试卷（一）
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出
，再检验即可求解．
【详解】由题意知
，得
，
令
，解得
或
，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以
，解得
，即
，
令
，其定义域为
，
，满足题意，
故答案为：4．
19．已知函数
的定义域为R，
，若对任意
，都有
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【来源】黑龙江省实验中学2025-2026 学年高三上学期第一次阶段考试数学试题
【分析】通过构造函数得到单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】
，
，
29
，
的每一项都除以
不等号方向不变，即
，
，设
，则
，
，
，
，
为R 上的减函数，
，
等价于
，
为R 上的减函数，
的解为
，
等价于
，
的解集为
.
故答案为：
20．已知函数
，若函数
所有零点的乘积为1，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【来源】内蒙古包头市多校联考2025 届高三下学期4 月模拟数学试题
【分析】根据函数
的零点可得
，再结合指、对数性质分析可知方程
有根，方程
无根，结合图象即可得结果.
【详解】当
时，可得
；
当
时，可得
，当且仅当
时，等号成立，
即函数
有且仅有1 个零点1，
若函数
有零点，则
，
显然
，可得
，
30
假设方程
有根，可知方程
有两个不相等根，
设为
，且
，
则
，可得
，即
，
假设方程
有根，可知方程
有且仅有1 个根，设为
，
结合题意可知：方程
有根，方程
无根，
即
与
无交点，与
有2 个交点，
结合图象可知：
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
31
