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专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................6
题型一：直接利用单调性
6
题型二：引入媒介值
7
题型三：含变量问题
8
题型四：构造函数
9
题型五：数形结合
10
题型六：特殊值法、估算法
11
题型七：放缩法
12
题型八：同构法
13
1
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重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法
14
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以
选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
指对幂比较大小
掌握指对幂大小
比较的方法与技
巧
2024 年北京卷第9 题，5 分
2024 年天津卷第5 题，5 分
2022 年新高考I 卷第7 题，5 分
2022 年天津卷第5 题，5 分
2022 年甲卷第12 题，5 分
2021 年II 卷第7 题，5 分
2021 年天津卷第5 题，5 分
预测2025 年高考趋
势，指对幂比较大小或以
小题压轴，预计：
（1）以选择、填空题型
呈现，侧重综合推理。
（2）构造灵活函数比较
大小将成为考查热点。
2
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3
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（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c 的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如a
x1和a
x2，利用指数函数y =a
x的单调性；
②指数相同，底数不同，如x1
a和x2
a利用幂函数y = x
a单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如lo ga x1和lo ga x2利用指数函数lo ga x单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1 或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小
关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①e
x =1+ x + x
2
2! +⋯+ x
n
n! +
e
θx
(n+1)! x
n+1
②sin x = x−x
3
3! + x
5
5! −⋯+(−1)
n
x
2n+1
(2n+1)! +o( x
2n+2)
③cos x =1−x
2
2! + x
4
4! −x
6
6! +⋯+(−1)
n
x
2n
(2n)! +o( x
2n)
④ln(1+ x)= x−x
2
2 + x
3
3 −⋯+(−1)
n x
n+1
n+1 +o( x
n+1)
⑤
1
1−x =1+ x + x
2+⋯+ x
n+o( x
n)
⑥(1+ x)
n=1+nx + n(n−1)
2!
x
2+o( x
2)
4
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5
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1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数f ( x)的定义域为R，f ( x)>f ( x−1)+ f ( x−2)，且当
x<3时f ( x)= x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f (10)>100
B．f (20)>1000
C．f (10)<1000
D．f (20)<10000
2．（2024 年天津高考数学真题）设a= 4.2
−0.2，b= 4.2
0.2，c =log4.20.2，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
3．（2024 年北京高考数学真题）已知(x1, y1)，(x2, y2)是函数y =2
x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
D．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
4．（2023 年天津高考数学真题）设a=1.01
0.5,b=1.01
0.6,c =0.6
0.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
5．（2022 年新高考天津数学高考真题）设a=2
0.7，b=(
1
3)
0.7，c = log2
1
3
，则a,b,c的大小关系为
（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．c<b<a
6．（2022 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知9
m=10,a=10
m−11,b=8
m−9，则（ ）
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
7．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，则（ ）
6
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A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
8．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
9．（2021 年天津高考数学试题）设a= log20.3,b= log 1
2
0.4 ,c =0.4
0.3
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．a<c<b
10．（2021 年全国新高考II 卷数学试题）已知a= log52，b= log83，c = 1
2，则下列判断正确的是（ ）
A．c<b<a
B．b<a<c
C．a<c<b
D．a<b<c
11．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）设a=2ln1.01，b= ln1.02，c =√1.04−1．则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
题型一：直接利用单调性
【典例1-1】设a=2
1.2,b=lg3,c =ln 1
3，则a、b、c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．c>a>b
【典例1-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数f (x)=2
x+ x，g(x)= log2 x + x，h(x)= x
3+ x的零点
分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．b>a>c
利用指对幂函数的单调性判断
【变式1-1】已知a= log56,b= log0.52,c =e
−2，比较a，b，c 的大小为（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．a>c>b
D．a>b>c
【变式1-2】已知a=0.33
π，b=(
1
e)
e（e为自然对数的底数）c =tan1，比较a，b，c的大小（ ）
7
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A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．c>b>a
1．（2024·江西新余·一模）故a=(
5
7)
−5
7，b=(
7
5)
3
5，c = log3 14
5
，则a，b，c 的大小顺序是（ ）
A．b<a<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．c<b<a
2．已知实数a，b 满足2
a+a=2,b= log163，则（ ）
A．a>b
B．a<b
C．a=b
D．a，b 的大小无法判断
题型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·高三·江西·期中）已知a= ln 2,b=cos2,c =(
1
2)
−2，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．c>a>b
B．a>c>b
C．b>c>a
D．b>a>c
【典例2-2】三个数a=sin 3
2，b=2
1
3，c = ln3−ln 2的大小顺序是（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．a<c<b
D．b<c<a
寻找中间变量0，1 或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
【变式2-1】已知a= log23，b=(
3
2)
2
3，c =cos(−5
3 π)−sin(−π
2 )
，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
【变式2-2】已知a= ln 4，b=lg 4，c =(
1
4)
2
3，则（ ）
8
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A．c<b<a
B．b<a<c
C．b<c<a
D．a<c<b
1．已知a= log0.48，b= log0.60.5，c = log23，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
2．已知a= 2
ln 4 ，b= ln3
ln 2 ，c = 3
2，则（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．b>c>a
3．已知a=log1.40.7，b=1.4
0.7，c =0.7
1.4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．c<b<a
题型三：含变量问题
【典例3-1】[新考法]若0<2a<b<1，x1=a
b，x2=(2a)
b，x3=b
2a，x4=(2b)
2a，则（ ）
A．x4< x3< x1< x2
B．x1< x2< x3< x4
C．x2< x1< x4< x3
D．x3< x4< x1< x2
【典例3-2】（2024·高三·河北邢台·期中）已知1<m<n<2, a=n
m, b=m
n, c = lognm，则a, b, c的大小
关系是（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．c>b>a
对变量取特殊值代入或者构造函数
【变式3-1】（多选题）已知正数a,b满足e
a(1−lnb)=1，则（ ）
9
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A．e<b<e
2
B．e
a+ 1
e
a >2
C．e
a>b
D．e
a−lnb>1
【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）设a>b>0,a+b=1且x =−(
1
a)
b
, y =lo g 1
b
a, z =lo g
(
1
a + 1
b)
ab，则
x , y , z的大小关系是（ ）
A．x< z< y
B．z< y < x
C．y < z< x
D．x< y < z
1．（多选题）若0<a<b<c，且lga+lgb+lgc =0，则下列各式一定成立的是（ ）
A．2
a+2
b>4
B．ab<1
C．a+c
2>2
D．a
2+c>2
2．（多选题）若0<a<b<1，则（ ）
A．a
b<b
a
B．ab+1<a+b
C．a
1−b<b
1−a
D．lo ga(1+b)>lo gb(1+a)
题型四：构造函数
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知a=ln√2
2
,b=ln3
6
,c = 1
2e
，则a,b,c的大小为（ ）
A．b>c>a
B．a>b>c
C．b>a>c
D．c>b>a
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）若a= 2−ln2
e
2
，b= 1
2e
，c = ln2
4
，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a<c<b
B．c<a<b
C．a<b<c
D．b<a<c
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构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。
“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根
据“ 若函数
单调递增，则
；若函数
单调递减，
”判断．
“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数．
【变式4-1】[新考法]设函数f (x)= x + ln x，g(x)= x ln x−1，h( x)=1−1
x + x
2 + x
2
3
在(0,+∞)上的零点分
别为a,b,c，则a,b,c的大小顺序为（ ）
A．c<b<a
B．b>c>a
C．c>a>b
D．b>a>c
【变式4-2】已知a=√5，b= ln(√5+1)，c = 5−√5
4
，试比较a，b，c的大小（ ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．b>a>c
D．c>b>a
1．已知a= ln (sin1.02)，b= √1.02
51
，c = ln1.02，则（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．a<c<b
D．b<a<c
2．若a= 1
3，b=cos( 1
3 −π
2 )，c = 1
π ，则a、b、c 满足的大小关系式是（ ）.
A．a>b>c
B．a<b<c
C．a>c>b
D．b>c>a
3．设a=√e−1,b= 1
2 ,c =1−ln 3
2，则（ ）
A．c>a>b
B．a>c>b
C．b>a>c
D．b>c>a
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题型五：数形结合
【典例5-1】函数f (x)=2
x+ x，g(x)= log2 x + x，h(x)=√x + x的零点分别为a，b，c，则a，b，c，的大
小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．b>c>a
D．c>a>b
【典例5-2】实数a,b,c∈R满足a−4 =ln a
4 <0，b−3=ln b
3 <0，c−2=ln c
2 <0，则a，b，c的大小为
（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>b>a
转化为两函数图象交点的横坐标
【变式5-1】[新考法]已知函数f (x)=
3
x
1+3
x
.设a+b+c =0,abc<0，则（ ）
A．f (a)+ f (b)+ f (c)< 3
2
B．f (a)+ f (b)+ f (c)≤3
2
C．f (a)+ f (b)+ f (c)> 3
2
D．f (a)+ f (b)+ f (c)≥3
2
【变式5-2】已知a=0.8
0.5+0.8
0.7+0.8
0.9，b=0.6
0.8+0.7
0.8+0.8
0.8，c =e
−8
15 +e
−12
35 +e
−1
5，则
（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．b>c>a
1．若实数a，b，c 满足a2
b=a3
c =6，则下列不等关系中不可能成立的是（ ）
A．c<a<b
B．b<c<a
C．a<c<b
D．a<b<c
2．已知(x1, y1),(x2, y2)是函数y =log2 x图象上两个不同的点，则下列4 个式子中正确的是（ ）
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①x1+ x2
2
<2
y1+ y2
2
；②x1+ x2
2
>2
y1+ y2
2 ；③log2
2
x1+ x2
<−y1+ y2
2
；④log2
2
x1+ x2
>−y1+ y2
2
.
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
题型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】（2024·高三·四川·期中）已知(x1, y1)、(x2, y2)是函数y = log2 x图象上不同的两点，则（ ）
A．y1+ y2
2
<log2
x1+ x2
2
B．y1+ y2
2
>log2
x1+ x2
2
C．y1+ y2<log2
x1+ x2
2
D．y1+ y2>log2
x1+ x2
2
【典例6-2】已知x , y ∈R，且x + y >0，则（ ）
A．1
x + 1
y >0
B．x
3+ y
3>0
C．lg(x + y)>0
D．sin (x + y)>0
估算要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系。
【变式6-1】设a=3e
−0.2，b=2e
0.2，c =2.4，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
【变式6-2】（多选题）已知正数x , y满足x−y +1= 1
x −1
y ，则（ ）
A．lg( y −x +1)>0
B．cos y >cos x
C．2025
y −x>1
D．|y −2|>|x−2|
1．已知a=sin1.01，b=
1
1.02，c = ln1.04，则a，b，c的大小关系是（ ）
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A．b>a>c
B．a>b>c
C．a>c>b
D．b>c>a
2．已知a= log20.05，b=0.5
1.002，c =2
0.05，则下列判断正确的是（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<b<a
D．b<a<c
3．已知a= 5
3
，b=√3，c = 3+ log32
2
，则（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>b>a
题型七：放缩法
【典例7-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知a=log32，b=log43，c =0.5
1.2，比较a，b，c 的大
小为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．b>a>c
【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知a=e
1
19 ,b= 19
18 ,c =1+ln 37
35
，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的
形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保
比较结果的准确性。
【变式7-1】（2024·浙江杭州·一模）对∀x∈[1,+∞），不等式((lnax)
2−1)(e
x−b)≥0恒成立，则
（ ）
A．若a∈(0, 1
e)
，则b≤e
B．若a∈(0, 1
e)
，则b>e
C．若a∈[
1
e ,e)
，则a
b=e
e
D．若a∈[
1
e ,e)
，则b
a=e
e
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【变式7-2】已知a=√e−1，b=sin 1
2，c = ln 3
2，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
1．已知a=log23+log94，3
a+ 4
a=5
b，则（ ）
A．a>b>2
B．b>a>2
C．a>2>b
D．b>2>a
2．已知a=log57，b=log68，c =log810，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．c>b>a
3．设a= tan 0.21，b= ln1.21,c = 21
22，则下列大小关系正确的是 （ ）
A．b<c<a
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
题型八：同构法
【典例8-1】[新考法]已知α , β ∈(0,π
2 )
，且e
α−2cos2α =e
β−sin2 β −1=0，则（ ）
A．α > β
B．α = β
C．α < β
D．无法确定α，β的大小
【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知0<a<b,loga x +logb y <loga y +logb x，则下列说法正
确的是（ ）
A．当logab>0时，x> y
B．当logab>0时，x< y
C．当logab<0时，x< y
D．当logab<0时，x , y大小不确定
同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利
用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。
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【变式8-1】（2024·高三·江西·期中）已知a>0,b>0,e
1
a =ab(1+lnb)，则（ ）
A．lnb>a
B．alnb>1
C．e>b
a
D．a(1+lnb)<1
【变式8-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b 满足lo g3a+lo gb3=lo g3b+lo ga4，则下
列关系式中可能正确的是（ ）
A．∃a,b∈(0,+ ∞)，使|a−b|>1
B．∃a,b∈(0,+∞)，使ab=1
C．∀a,b∈(1,+ ∞)，有b<a<b
2
D．∀a,b∈(0,1)，有b<a<√b
1．若正数a，b，c满足e
a+2a=e
b+3b=e
c+c（e为自然对数底数），则（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
2．已知正数a，b，c满足alnb=be
c =ca，则（ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>a>c
D．b>c>a
3．（多选题）已知a>0，b>0且满足ab−2b+b ln (ab)=e，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ab>e
B．ab<e
C．ab>e
2
D．ab<e
2
重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法
【典例9-1】[新考法]若a= 1
3 ,b=sin 1
3 ,c = 1
π ，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）
A．a>b>c
B．a<b<c
C．a>c>b
D．b>c>a
【典例9-2】已知a=e
0.2−1，b= ln1.2，c = 1
6，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
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帕德逼近估算法比较指对幂大小，即通过构造有理函数逼近原函数，利用逼近函数的性质来估计原函
数值的大小，从而比较指对幂的大小。关键在于选择合适的逼近阶数，以确保逼近的精度和有效性。
【变式9-1】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，则（ ）
【变式9-2】已知a=e
0.3，b= ln1.5
2
+1，c =√1.5，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．a<c<b
1．设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ,c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
2．a=2ln1.01,b= ln1.02,c =√1.04−1，则（ ）
A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b
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