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使用原则：二级结论用于心算定位、压缩计算；解答题中除课本定理外，不直接写“由某结论知”，须用联立、韦达、判别式等初等过程书写。

一、直线与圆（1—18）

1. 点到直线距离 到 ：

条件：直线先化为一般式， 不同时为0。

2. 两平行线距离 与 ：

易错：两直线  系数必须完全统一后才能作差。

3. 过交点的直线系过  交点：

求定点：含  项与不含  项分别令零。易错：点斜式漏掉斜率不存在的竖直线。

4. 圆的一般方程条件

表示圆需

圆心 ，半径

易错： 系数必须为1。

5. 圆上一点切线圆  上点 ：

一般圆用“代一半”。条件：点必须在圆上。

6. 圆外一点切点弦圆  外点 ：

形式同切线，但点在圆外时表示切点弦，不是切线。

7. 切线长与圆幂圆  外点 ：

标准圆：。条件：点在圆外。

8. 切割线定理过  的割线交圆于 ：

有向线段形式可去绝对值。易错：圆内点与圆外点符号不同。

9. 圆的弦长半径 ，弦心距 ：

条件：，即直线与圆相交。

10. 垂径与中点弦弦中点  与圆心连线垂直弦。若 ：

易错： 时弦为竖直线，斜率不存在，需单独讨论。

11. 圆内定点最短最长弦过圆内定点 ：最短弦垂直 ，长

最长弦为过  的直径 。

12. 圆上点到定点/直线最值到定点 ：最大 ，最小 。到定直线：最大 ，最小 。易错：直线与圆相交时最小距离为0，不是 。

13. 两圆位置与公切线圆心距 ，半径 ：外离 、外切 、相交 、内切 、内含 。公切线条数对应：4、3、2、1、0。

14. 公共弦与根轴两圆方程相减得公共弦所在直线；公共弦垂直连心线。公共弦长：

条件：两圆相交。

15. 圆系方程过两圆交点：

过直线与圆交点：

易错： 时可能退化为公共弦，不是圆。

16. 阿波罗尼斯圆到两定点距离之比为  的点轨迹是圆； 时为两定点连线的垂直平分线。内、外分点为该圆直径端点。

17. 直线与圆位置参数圆心到直线距离 ：

切线问题转 ，弦长用 。

18. 圆内接四边形与切线圆上四点 ，若  交于 ：

圆外点两切线长相等；切点弦垂直该点与圆心连线。大李老师点拨：圆这一章高频的是“圆幂—切点弦—公共弦”三件套，很多题本质是根轴。

二、椭圆（19—40）

19. 椭圆定义与焦点三角形周长

条件： 在椭圆上。

20. 基本关系

21. 焦点三角形面积：

条件： 在椭圆上， 为两焦半径夹角。

22. 焦半径，：

焦点在  轴时对应换 。

23. 通径过焦点且垂直长轴的弦长：

24. 中点弦点差法弦中点 ，：

易错：点差法给出的是“若弦存在”的必要斜率，必须回代检验弦真实存在。

25. 椭圆上一点切线

条件：点在椭圆上。

26. 椭圆外一点切点弦同式

条件：点在椭圆外，且两切线存在；此时表示切点弦。

27. 椭圆焦点弦倾斜角长过焦点、倾斜角 ：

 时得通径 。

28. 椭圆焦点弦倒数和过焦点弦 ：

条件： 为该焦点的弦。

29. 椭圆焦点弦中点轨迹过右焦点  的弦中点 ：

左焦点对称。注意轨迹范围，不是整条曲线。

30. 参数方程

用于最值、距离、面积。条件：。

31. 到焦点距离范围椭圆上点到任一焦点距离：

32. 到定直线距离最值设 ，距离

辅助角求最值。易错：绝对值需分段看。

33. 离心率与最大顶角短轴端点处  最大。最大角  满足

34. 共焦点椭圆系与  共焦点：

因为 。

35. 椭圆联立与硬解定理椭圆  与 ，令

则

大李老师点拨：硬解定理用于心算锁韦达，答题卡仍要写联立方程； 时直线竖直，单独讨论。硬解定理本质是联立后代数结构的封装，不是新定理。

36. 内接矩形最大面积椭圆内接矩形最大面积[2ab.]边平行坐标轴时取得。

37. 内接三角形最大面积

可由仿射化圆得到。

38. 蒙日圆两条互相垂直切线的交点轨迹：

大李老师点拨：看到“两条垂直切线”立刻想蒙日圆；但答题要写判别式推导。蒙日圆是椭圆切线结构的一个“几何封装”。

39. 光学性质椭圆上一点切线平分该点与两焦点连线的外角。用于反射路径、最短路径。

40. 椭圆第三定义关于原点对称的  与椭圆上 ：

条件：定点必须关于原点对称；非原点对称要先平移或齐次化。大李老师点拨：这是斜率积定值的母结论，但“关于原点对称”是硬条件，不能对任意对称点套用。

三、双曲线（41—59）

41. 双曲线定义

右支：；左支相反。

42. 基本关系

43. 渐近线

若方程为 ，渐近线为 。易错：不要混用两种标准形式的斜率。

44. 焦点三角形面积：

条件： 在双曲线上。

45. 焦半径右支：

左支取相应绝对值。记忆：先判左右支，再定符号。

46. 通径

47. 中点弦斜率弦中点 ，：

易错：必须判同支/异支及弦是否存在；点差法结果只是必要条件。

48. 双曲线上一点切线

条件：点在双曲线上。

49. 双曲线外一点切点弦同式

条件：两条切线存在。

50. 双曲线焦点弦倾斜角长过焦点、倾斜角 ：

易错：分同支、异支；分母为0对应平行渐近线方向，单独讨论。

51. 双曲线焦点弦倒数和/差同支：

异支：

大李老师点拨：双曲线焦点弦第一件事不是套公式，是判同支异支；同支为“和”，异支为“差”。

52. 等轴双曲线

53. 共渐近线双曲线系与  共渐近线：

 焦点在  轴， 焦点在  轴。

54. 离心率与渐近线斜率渐近线斜率绝对值 ：

 越大开口越开阔。

55. 直线与双曲线交点个数联立后先看二次项系数：不为0用 ；为0时直线平行于渐近线，通常1个交点；与渐近线重合无交点。大李老师点拨：双曲线联立先判二次项系数，不能只看 ；这是双曲线与椭圆联立的本质区别。

56. 右支点到焦点距离范围右支点：

左支对称。

57. 光学性质双曲线上一点切线平分该点与两焦点连线的内角。用于反射、路径差。

58. 到两渐近线距离积 上点到  的距离积：

59. 双曲线第三定义关于原点对称的  与双曲线上 ：

条件：定点关于原点对称。大李老师点拨：椭圆为负、双曲线为正，统一记 ；但对称条件同样是硬条件。

四、抛物线（60—77）

60. 定义与焦准距

 焦点到准线距离为 。

61. 四种标准方程

62. 焦半径 上点 ：

其他开口换对应坐标。

63. 通径[2p.]

64. 焦点弦长 焦点弦 ：

65. 焦点弦倾斜角长倾斜角 ：

 得通径 。条件：。

66. 焦点弦纵坐标积

67. 焦点弦横坐标积

68. 焦点弦焦半径倒数和

69. 抛物线上一点切线 上点 ：

其他标准方程“代一半”。条件：点在抛物线上。

70. 抛物线外一点切点弦同式

点在抛物线外时表示切点弦。

71. 参数方程

用于设点、求斜率、最值。

72. 定义距离转化

最值题把“到焦点距离”转“到准线距离”。

73. 焦点弦中点轨迹 过焦点弦中点 ：

注意范围。

74. 阿基米德三角形 焦点弦 ，过  作切线交于 ：①  在准线  上；② ；③ 。大李老师点拨：记几何结论，不记坐标系数；不同参数化可能差一个系数，考场用  现推最稳。阿基米德三角形的三条性质在抛物线焦点弦情形下是标准结论。

75. 抛物线焦点弦三角形面积过焦点倾斜角  的弦 ，原点 ：

最小值 ，当  时取得。这与“弦长 ，面积 ”的面积模型一致。

76. 切点弦与准线焦点弦抛物线外点  在准线上时，其切点弦为焦点弦；否则切点弦为极点极线的特例。条件：两条切线存在。

77. 抛物线光学性质抛物线上一点切线平分该点与焦点连线及对称轴平行线的夹角；反射后平行对称轴。

五、圆锥曲线综合（78—100）

78. 硬解定理考场用法椭圆、双曲线联立先算 ，用韦达定理心算 ；答题卡仍写联立方程。大李老师点拨：硬解定理是草稿纸加速器，不是答题卡定理；现行高考中联立步骤仍是标准答案的必要组成。

79. 齐次化求斜率和/积过定点  的直线交曲线于 ，求  或 ：平移  到原点，用直线  将方程齐次化，令 ，斜率  为二次方程两根。大李老师点拨：看到“过定点两直线、斜率和/积定值”，第一反应齐次化；直线  不能经过 ，否则齐次化前提被破坏。

80. 极点极线代一半二次曲线 ，点  的极线：

 在曲线上为切线，外为切点弦，内为无实切点极线。

81. 配极原则 在  上等价于  的极点在  的极线上。大量“动点在定直线”“直线过定点”压轴题本质是极点极线。大李老师点拨：用极线30秒定位答案，再用韦达或齐次化写合规过程；解答题不能直接写“由极点极线知”。

82. 定比点差法 在曲线上， 满足

则

代入曲线作差消平方项，得一次关系。大李老师点拨：普通点差法只会中点，定比点差法处理任意比例分点；看到“定比、共线比例、定直线”优先想它。

83. 焦点弦定比分点椭圆焦点弦 ， 分比 ，弦与焦点轴夹角 ：

双曲线分同支异支；抛物线  退化为

注意： 是与焦点所在轴的夹角，不是直线倾斜角；焦点弦定比分点公式在椭圆、双曲线中均涉及斜率/倾斜角、离心率、定比分值三者关系。

84. 焦半径倒数和统一过焦点弦 ：椭圆

抛物线

双曲线同支和、异支差。大李老师点拨：统一由极坐标  推出，不要死背三套；椭圆中 ，抛物线中 ，双曲线异支需处理分母符号。

85. 仿射变换椭圆化圆令

椭圆化为单位圆。原面积  变换后面积；斜率 。用于面积比、共线、中点等仿射不变性。

86. 共轭直径斜率积椭圆中心弦共轭直径：

双曲线：

条件：中心在原点，斜率存在。

87. 统一极坐标方程以焦点为极点：

椭圆 ，抛物线 ，双曲线  取相应支。取向不同符号相应调整。

88. 参数方程与三角换元椭圆 ；抛物线 。把距离、面积、斜率化为三角函数或二次函数。注意参数范围和绝对值。

89. 向量点积转化

垂直点积为0；夹角用点积除以模长；共线用叉积为0或坐标成比例。

90. 斜率和积的齐次化模型若  在曲线上，求

通分后用韦达；若  为定点且直线过另一定点，优先齐次化。易错：分母为0时单独讨论。

91. 三点共线判定 共线：

（分母非0）；或

或面积行列式为0。

92. 三角形面积坐标公式

解析几何常优先

93. 面积分割与底高转化焦点弦、原点三角形：

弦过定点时拆成两个小三角形面积和或差。易错：距离取绝对值。

94. 弦中点轨迹设中点 ，点差法得斜率与  关系，结合弦条件消参；最后写轨迹范围，去杂补缺。

95. 轨迹方程五步法建系设点；列几何条件；坐标代换；化简；检验。检验斜率不存在、端点、定义域、漏点增点。

96. 存在性探究模板假设存在；设参数或点；列方程/不等式；用判别式、范围、同支异支、斜率存在性检验；下结论。结论写“存在，且……；不存在，理由……”。

97. 设线技巧斜率存在且不为0：设 ；竖直或斜率可能不存在：设 ；过  轴定点优先 ；过  轴定点优先 。大李老师点拨：设线选错，计算量翻倍；先看定点在哪个轴。

98. 联立前检查清单斜率是否存在；二次项系数是否为0；判别式；双曲线同支异支；抛物线开口；点是否在曲线上；切线/切点弦条件；参数范围。

99. 二级结论适用边界点差法 ；切线点在曲线上；切点弦点在曲线外；焦点弦必须过焦点；抛物线倾斜角 ；双曲线分同支异支；联立先看二次项系数；斜率不存在单独讨论；面积距离取绝对值。

100. 总复习思维导图定义→标准方程→ 关系→焦点、准线、渐近线→焦半径、通径→切线、切点弦→中点弦点差法→焦点弦定值→联立韦达弦长→齐次化→极点极线→定比点差→定点定值最值→轨迹与存在性→适用边界与易错清单。

结尾

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