文档文本内容
1
结论1：过圆
2
2
2
2a
y
x
上任意点P 作圆
2
2
2
a
y
x
的两条切线，则两条切线垂直．
结论2：过圆
2
2
2
2
b
a
y
x
上任意点P 作椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
b
a
）的两条切线，
则两条切线垂直．
结论3：过圆
2
2
2
2
b
a
y
x
（
0
b
a
）上任意点P 作双曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
的两条切
线，则两条切线垂直．
结论4：过圆
2
2
2
a
y
x
上任意不同两点A ，B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，
则动点P 的轨迹为圆：
2
2
2
2a
y
x
．
结论5：过椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
b
a
）上任意不同两点A ，B 作椭圆的切线，如果切
线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆
2
2
2
2
b
a
y
x
．
结论6：过双曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
b
a
）上任意不同两点A ，B 作双曲线的切线，如
果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆
2
2
2
2
b
a
y
x
．
结论7：点M （
0x ，
0y ）在椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
b
a
）上，过点M 作椭圆的切线方
程为
1
2
0
2
0
b
y
y
a
x
x
．
结论8：点M （
0x ，
0y ）在椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
b
a
）外，过点M 作椭圆的两条切
线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为
1
2
0
2
0
b
y
y
a
x
x
．
结论8：（补充）点M （
0x ，
0y ）在椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
b
a
）内，过点M 作椭圆
的弦AB （不过椭圆中心），分别过
B
A、
作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程
为直线：
1
2
0
2
0
b
y
y
a
x
x
．
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
2
结论9：点M （
0x ，
0y ）在双曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
,0
b
a
）上，过点M 作双曲线的
切线方程为
1
2
0
2
0
b
y
y
a
x
x
．
结论10：点M （
0x ，
0y ）在双曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
,0
b
a
）外，过点M 作双曲线
的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为
1
2
0
2
0
b
y
y
a
x
x
．
结论10：（补充）点M （
0x ，
0y ）在双曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
,0
b
a
）内，过点M 作
双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过
B
A、
作双曲线的切线，则两条切线的交点P
的轨迹方程为直线：
1
2
0
2
0
b
y
y
a
x
x
．
结论11：点M （
0x ，
0y ）在抛物线
px
y
2
2
（
0
p
）上，过点M 作抛物线的切线方
程为
)
(
0
0
x
x
p
y
y
．
结论12：点M （
0x ，
0y ）在抛物线
px
y
2
2
（
0
p
）外，过点M 作抛物线的两条切
线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为
)
(
0
0
x
x
p
y
y
．
结论12：（补充）点M （
0x ，
0y ）在抛物线
px
y
2
2
（
0
p
）内，过点M 作抛物线的
弦AB ，分别过
B
A、
作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：
)
(
0
0
x
x
p
y
y
．
结论13：点M （
0x ，
0y ）在椭圆
1
2
2
2
2
b
n
y
a
m
x
上，过点M 作椭圆的切线方程
为
1
)
)(
(
)
)(
(
2
0
2
0
b
n
y
n
y
a
m
x
m
x
．
结论14：点M （
0x ，
0y ）在双曲线
1
2
2
2
2
b
n
y
a
m
x
上，过点M 作双曲线的切线
方程为
1
2
0
2
0
b
n
y
n
y
a
m
x
m
x
．
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
3
结论15：点M （
0x ，
0y ）在抛物线
m
x
p
n
y
2
2
上，过点M 作抛物线的切线方
程为
m
x
x
p
n
y
n
y
2
0
0
．
结论16：点M （
0x ，
0y ）在椭圆
1
2
2
2
2
b
n
y
a
m
x
外，过点M 作椭圆的两条切线，
切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为
1
)
)(
(
)
)(
(
2
0
2
0
b
n
y
n
y
a
m
x
m
x
．
结论17：点M （
0x ，
0y ）在双曲线
1
2
2
2
2
b
n
y
a
m
x
外，过点M 作双曲线的两条
切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为
1
2
0
2
0
b
n
y
n
y
a
m
x
m
x
．
结论18：点M （
0x ，
0y ）在抛物线
m
x
p
n
y
2
2
外，过点M 作抛物线的两条切
线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为
m
x
x
p
n
y
n
y
2
0
0
．
结论16：（补充）点M （
0x ，
0y ）在椭圆
1
2
2
2
2
b
n
y
a
m
x
内，过点M 作椭圆的
弦AB （不过椭圆中心），分别过
B
A、
作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为
直线：
1
)
)(
(
)
)(
(
2
0
2
0
b
n
y
n
y
a
m
x
m
x
．
结论17：（补充）点M （
0x ，
0y ）在双曲线
1
2
2
2
2
b
n
y
a
m
x
内，过点M 作双曲
线的弦AB （不过双曲线中心），分别过
B
A、
作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨
迹方程为直线：
1
2
0
2
0
b
n
y
n
y
a
m
x
m
x
．
结论18：（补充）点M （
0x ，
0y ）在抛物线
m
x
p
n
y
2
2
内，过点M 作抛物线
的弦AB ，分别过
B
A、
作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：
m
x
x
p
n
y
n
y
2
0
0
．
结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直
线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．
结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
4
的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．
结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB
的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．
结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上．
结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上．
结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．
结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，
则切点弦AB 就是通径．
结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，
B ，则切点弦AB 就是通径．
结论27: M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为
A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．
结论28：过抛物线
px
y
2
2
（
0
p
）的对称轴上任意一点
)
0,
( m
M
（
0
m
）作抛物
线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点
)
0,
(m
N
．
结论29：过椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
b
a
）的对称轴上任意一点
)
,
(
n
m
M
作椭圆的两条切
线，切点分别为A ，B ．
（1）当
0
n
，
a
m
时，则切点弦AB 所在的直线必过点
)
0,
(
2
m
a
P
；
（2）当
0
m
，
b
n
时，则切点弦AB 所在的直线必过点
)
,0
(
2
n
b
Q
．
结论30：过双曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
,0
b
a
）的实轴上任意一点
)
0,
(m
M
（
a
m
）作
双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点
)
0,
(
2
m
a
P
．
结论31：过抛物线
px
y
2
2
（
0
p
）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，
B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．
结论32：若椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
b
a
）与双曲线
1
2
2
2
2
n
y
m
x
（
0
m
，
0
n
）共
焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．
结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足
BP
AQ
BQ
AP
的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足
BP
AQ
BQ
AP
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
5
的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足
BP
AQ
BQ
AP
的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线
相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交
于点Q，则动点Q的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线
相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论39：从椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
b
a
）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨
迹为圆：
2
2
2
a
y
x
．
结论40：从
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
0
b
a
，
）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的
轨迹为圆：
2
2
2
a
y
x
．
结论41：
是椭圆
（
）的一个焦点，
是椭圆上任意一点，则焦
半径
．
结论42：
是双曲线
（
）的右焦点，
是双曲线上任意一点．
（1）当点
在双曲线右支上，则焦半径
；
（2）当点
在双曲线左支上，则焦半径
．
结论43：
是抛物线
（
）的焦点，
是抛物线上任意一点，则焦半径
=
．
结论44：椭圆上任一点
处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说
处的切线
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
6
平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质．
结论45：双曲线上任一点
处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说
处的法
线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质．
结论46：抛物线上任一点
处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，
亦即抛物线的光学性质．
结论47：椭圆的准线上任一点
处的切点弦
过其相应的焦点
，且
⊥
．
结论48：双曲线的准线上任一点
处的切点弦
过其相应的焦点
，且
⊥
．
结论49：抛物线的准线上任一点
处的切点弦
过其焦点
，且
⊥
．
结论50：椭圆上任一点
处的切线交准线于
，
与相应的焦点
的连线交椭圆于
，
则
必与该椭圆相切，且
⊥
．
结论51：双曲线上任一点
处的切线交准线于
，
与相应的焦点
的连线交双曲线于
，则
必与该双曲线相切，且
⊥
．
结论52：抛物线上任一点
处的切线交准线于
，
与焦点
的连线交抛物线于
，则
必与该抛物线相切，且
⊥
．
结论53：焦点在
轴上的椭圆（或焦点在
轴）上三点
，
，
的焦半径成等差数列
的充要条件为
，
，
的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论54：焦点在
轴上的双曲线（或焦点在
轴）上三点
，
，
的焦半径成等差数
列的充要条件为
，
，
的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论55：焦点在
轴上的抛物线（或焦点在
轴）上三点
，
，
的焦半径成等差数
列的充要条件为
，
，
的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论56：椭圆上一个焦点
关于椭圆上任一点
处的切线的对称点为
，则直线
必过
该椭圆的另一个焦点
．
结论57：双曲线上一个焦点
关于双曲线上任一点
处的切线的对称点为
，则直线
必过该双曲线的另一个焦点
．
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
7
结论58：椭圆上任一点
（非顶点），过
的切线和法线分别与短轴相交于
，，则有
，
，
及两个焦点共于一圆上．
结论59：双曲线上任一点
（非顶点），过
的切线和法线分别与短轴相交于
，
，则
有
，
，
及两个焦点共于一圆上．
结论60：椭圆上任一点
（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点
，
的切线相交于
，
，则必得到以
为直径的圆经过该椭圆的两个焦点．
结论61：双曲线上任一点（非顶点）处的切线与过实轴两个顶点
，
的切线相交于
，
，则必得到以
为直径的圆经过该双曲线的两个焦点．
结论62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆．
结论63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆．
结论64：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．
结论65：焦点在
轴上的椭圆（或焦点在
轴上）上任一点
（非短轴顶点）与短轴的两
个顶点
，
的连线分别交
轴（或
轴）于
，
，则
（或
）．
结论66：焦点在
轴上的双曲线（或焦点在
轴上）上任一点
（非顶点）与实轴的两个
顶点
，
的连线分别交
轴（或
轴）于
，
，则
（或
）．
结论67：
为焦点在
轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则
与边
（或
）
相切的旁切圆与
轴相切于右顶点
（或左顶点
）．
结论68：
为焦点在
轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则
的内切圆与
轴
相切于右顶点
（或左顶点
）．
结论69：
是过椭圆
（
）的焦点
的一条弦（非通径），弦
的
中垂线交
轴于
，则
=
．
结论70：
是过双曲线
（
）的焦点
的一条弦（非通径，且为
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
8
单支弦），弦
的中垂线交
轴于
，则
=
．
结论71：
是过抛物线
（
）的焦点
的一条弦（非通径），弦
的中
垂线交
轴于
，则
=
．
结论72：
为抛物线的焦点弦，分别过
，
作抛物线的切线，则两条切线的交点
在
其准线上．
结论73：
为椭圆的焦点弦，分别过
，
作椭圆的切线，则两条切线的交点
在其相
应的准线上．
结论74：
为双曲线的焦点弦，分别过
，
作双曲线的切线，则两条切线的交点
在
其相应的准线上．
结论75：
为过抛物线焦点
的焦点弦，以
为直径的圆必与其准线相切．
结论76：
为过椭圆焦点
的焦点弦，以
为直径的圆必与其相应的准线相离（当然
与另一条准线更相离）．
结论77：
为过双曲线焦点
的焦点弦，以
为直径的圆必与其相应的准线相交，截
得的圆弧度数为定值，且为
．
结论78：以圆锥曲线的焦点弦
为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必
为抛物线．
结论79：以圆锥曲线的焦点弦
为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必
为椭圆．
结论80：以圆锥曲线的焦点弦
为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必
为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为
．
结论81：
为过抛物线
（
）焦点
的焦点弦，
（
，
），
（
，
），则
=
．
结论82：
为过椭圆
（
）焦点
的焦点弦，（
，
），（
，
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
9
），则
=
．
结论83：
为过双曲线
（
）焦点
的焦点弦，
（
，
），
（
，
）．若
为单支弦，则
=
；若
为双支弦，则
=
结论84：
为抛物线的焦点，
，
是抛物线上不同的两点，直线
交其准线于
，
则
平分
的外角．
结论85：
为椭圆的一个焦点，
，
是椭圆上不同的两点，直线
交其相应的准线于
，则
平分
的外角．
结论86：
为双曲线的一个焦点，
，
是双曲线上不同的两点（同一支上），直线
交
其相应的准线于
，则
平分
的外角．
结论87：
为双曲线的一个焦点，，是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线
交其相应的准线于
，则
平分
．
结论88：
是椭圆
（
）过焦点
的弦，点
是椭圆上异于
的任一点，直线
、
分别交相应于焦点
的准线于
、
，则点
与点
的纵
坐标之积为定值，且为
．
结论89：
是双曲线
（
）过焦点
的弦，点
是双曲线上异
于
的任一点，直线
、
分别交相应于焦点
的准线于
、
，则点
与
点
的纵坐标之积为定值，且为
．
结论90：
是抛物线
（
）过焦点
的弦，点
是抛物线上异于
的
任一点，直线
、
分别交准线于
、
，则点
与点
的纵坐标之积为定值，
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
10
且为
．
结论91：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
为椭圆任一点（非长
轴顶点），若直线
，
分别交直线
（
）于
，
，则
为
定值，且有
．
结论92：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
，
，
（
），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论93：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
，
，
（
），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论94：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
，
，
（
），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论95：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
，
，
（
），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
11
，则
为定值，且有
=
．
结论96：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
，
，
（
），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论97：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
，
，
（
），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论98：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
，
，
（
），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论99：
，
为双曲线
（
）的顶点，
，
，
（
），
为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
．
结论100：
，
为双曲线
（
）的顶点，
，
，
（
），
为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
12
，
，则
为定值，且有
=
．
结论101：
，
为双曲线
（
）的顶点，
，
，
（
），
为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论102：
，
为双曲线
（
）的顶点，
，
，
（
），
为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论103：
，
为双曲线
（
）的顶点，
，
，
（
），
为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论104：
，
为双曲线
（
）的顶点，
，
，
（
），
为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论105：
，
为双曲线
（
）的顶点，
，
，
（
），
为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
13
，
，则
为定值，且有
=
．
结论106：
，
为双曲线
（
）的顶点，
，
，
（
），
为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论107：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
为椭圆任一点（非长
轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
=
．
结论108：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
为椭圆任一点（非长
轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
=
．
结论109：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
为椭圆任一点（非长
轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论110：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
为椭圆任一点（非长
轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
14
=
．
结论111：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
，
，
（
），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论112：
，
为椭圆
（
）的长轴顶点，
，
，
（
），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论113：
，
为椭圆
（
）的任一直径（中心弦），
为椭圆上任
一点（不与
，
点重合），则
为定值，且有
=
=
．
结论114：
，
为椭圆
（
）的任一弦（不过原点且不与对称轴平
行），
为弦
的中点，若
与
均存在，则
为定值，且有
=
=
．
结论115：
为椭圆
（
）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于
的弦的中点的轨迹为直线
，则有
=
=
．
结论116：过椭圆
（
）上任意一点
(不是其顶点)作椭圆的切线
，
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
15
则有
=
=
．
结论117：椭圆
（
）及定点
，（
），过
的弦的
端点为
，
，过点
，
分别作直线
的垂线，垂足分别为
，
，直线
与
轴相交于
，则直线
与
恒过
的中点，且有
．
结论118：椭圆
（
）及定点
，（
±
），过
任作一条
弦
，
为椭圆上任一点，连接
，
，且分别与准线
相交于
，
，则有
=
．
结论119：椭圆
（
）及定点
，（
，
），过
任作一条弦
，
为椭圆上任一点，连接
，
，且分别与直线
相交于
，
，则有
=
．
结论120：
，
为双曲线
（
）的顶点，
为双曲线上任一点（非
实轴顶点），若直线
，
分别交直线
（
）于
，
，则
为定
值，且有
=
=
．
结论121：
，
为双曲线
（
）的顶点，
为双曲线上任一点（非
实轴顶点），若直线
，
分别交直线
（
）于
，
，则
为定
值，且有
=
．
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
16
结论122：
，
为双曲线
（
）的顶点，
为双曲线上任一点（非
实轴顶点），若直线
，
分别交直线
（
）于
，
，则
为定
值，且有
=
．
结论123：
，
为双曲线
（
）的顶点，
为双曲线上任一点（非
实轴顶点），若直线
，
分别交直线
（
）于
，
，则
为定
值，且有
=
．
结论124：
，
为双曲线
（
）的顶点，
，
，
（
），
为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论125：
，
为双曲线
（
）的顶点，
，
，
（
），
为双曲线上任一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则
为定值，且有
=
．
结论126：
为双曲线
（
）的任一直径，
为双曲线上任一点
（不与
，
点重合），则
为定值，且有
=
=
．
结论127：
为双曲线
（
）的任一弦（不过原点且不与对称轴
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
17
平行），
为弦
的中点，若
与
均存在，则
为定值，且有
=
．
结论128：
为双曲线
（
）的任一弦（不与对称轴平行），若平
行于
的弦的中点的轨迹为直线
，则有
=
=
．
结论129：过双曲线
（
）上任意一点
(不是其顶点)作双曲线的切
线
，则有
=
=
．
结论130：双曲线
（
）及定点
，（
或
），过
的弦的端点为
，，过
，分别作直线
的垂线，垂足分别为
，，直线
与
轴相交于
，则直线
与
恒过
的中点，且有
．
结论131：双曲线
（
）及定点
，（
±
），过
任作一
条弦
，
为双曲线上任一点，连接
，
，且分别与准线
相交于
，
，
则有
=
．
结论132：双曲线
（
）及定点
，（
或
），过
任作一条弦
，
为双曲线上任一点，连接
，
，且分别与直线
相交于
，
，则有
=
．
结论133：抛物线
（
）及定点
，（
），过
的弦的端点为
，
，过
，
分别作直线
的垂线，垂足分别为
，
，直线
与
轴相交
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
18
于
，则直线
与
恒过
的中点，且有
．
结论134：抛物线
（
）及定点
，（
），过
任作一条弦
，
为抛物线上任一点，连接
，
，分别与准线
相交
，
，则
=
．
结论135：抛物线
（
）及定点
，（
），过
任作一条弦
，
为抛物线上任一点，连
，
，分别与直线
相交
，
，则
=
．
结论136：过抛物线
（
）的焦点
（
，0）的弦（焦点弦）与抛物线相
交于
，
，过
作直线
与
轴平行，且交准线于
，则直线
必过原点（即其准
线与
轴交点
与焦点
的线段的中点）．
结论137：
为椭圆
（
）的焦点
的弦，其相应的准线与
轴交
点为
，过
，
作
轴的平行线与其相应的准线分别相交于
，
，则直线
，
均过线段
的中点．
结论138：
为双曲线
（
）的焦点
的弦，其相应的准线与
轴交点为
，过
，
作
轴的平行线与其相应的准线分别相交于
，
，则直线
，
均过线段
的中点．
结论139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，
垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点．
结论140：AB 为垂直于椭圆
长轴上的动弦，其准线与
轴
相交于
，则直线AF 与BQ（或直线BF 与AQ）的交点M 必在该椭圆上．
结论141：AB 为垂直于双曲线
实轴的动弦，其准线与
轴相交于
，
则直线AF 与BQ（直线BF 与AQ）的交点M 也恒在该双曲线上．
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
19
结论142：AB 为垂直于抛物线
对称轴的动弦，其准线与
轴相
交于
，则直线AF 与BQ（直线BF 与AQ）的交点M 也恒在该抛物线上．
结论143：AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线））
的动弦，其准线与
轴相交于
，则直线AF 与BQ（直线BF 与AQ）的交点M 也恒在该
圆锥曲线上．
结论144：圆锥曲线的焦点弦AM（不为通径，若双曲线则为单支弦），则在x 轴上有且只
有一点Q 使
．
结论145：过F 任作圆锥曲线的一条弦AB（若是双曲线则为单支弦），分别过A B 作准线
l 的垂线（
是其相应准线与
轴的交点），垂足为
，则直线
与直线
都经过
QF 的中点K，即
及
三点共线．
结论146：若AM、BM 是圆锥曲线过点F 且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双
曲线）或对称轴（抛物线）)，如图5，则四线
共点于K．
结论147：
，
分别为椭圆
（
）的右顶点和左顶点，
为椭圆任
一点（非长轴顶点），若直线
，
分别交直线
于
，
，则以线段
为直
径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为
（
，0）及椭圆内定点为
（
，0）．
结论148：
，
分别为双曲线
（
）的右顶点和左顶点，
为双
曲线上任一点（非实轴顶点），若直线
，
分别交直线
（
）于
，
，
则以线段
为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为
（
，0）及
双曲线外定点为
（
，0）．
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
20
结论149：过直线
（
）上但在椭圆
（
）外一点
向椭
圆引两条切线，切点分别为
，
，则直线
必过定点
，且有
．
结论150：过直线
（
）上但在双曲线
（
）外（即双曲
线中心所在区域）一点
向双曲线引两条切线，切点分别为
，
，则直线
必过定点
，且有
．
结论151：过直线
（
）上但在抛物线
（
）外（即抛物线准线
所在区域）一点
向抛物线引两条切线，切点分别为
，
，则直线
必过定点
，且有
．
结论152：设点
是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点
向圆锥曲
线引两条切线，切点分别为
，
，则直线
必过准线对应的焦点
，且
⊥
．
结论153：过直线
上但在椭圆
（
）外一点
向椭圆引
两条切线，切点分别为
，
，则直线
必过定点
．
结论154：过直线
上但在双曲线
（
）外（即双曲线中
心所在区域）一点
向双曲线引两条切线，切点分别为
，
，则直线
必过定点
．
结论155：过直线
（
）上但在抛物线
（
）外（即抛物线
准线所在区域）一点
向抛物线引两条切线，切点分别为
，
，则直线
必过定点
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
21
．
结论156：
，是椭圆
（
）的左右顶点，点
是直线
（
，
）上的一个动点（
不在椭圆上），直线
及
分别与椭圆相交于
，
，则直
线
必与
轴相交于定点
．
结论157：，是在双曲线
（
）的顶点，点
是直线
（
，
）上的一个动点（
不在双曲线上），直线
及
分别与双曲线相交于
，
，
则直线
必与
轴相交于定点
．
结论158：
，
是抛物线
（
）上异于顶点
的两个动点，若直线
过
定点
（
，0），则
⊥
，且
，
的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．
结论159：
，
是抛物线
（
）上异于顶点
的两个动点，若
⊥
，
则直线
必过定点
（
，0），且
，
的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．
结论160：
，
是抛物线
（
）上异于顶点
的两个动点，若
⊥
，
过
作
⊥
，则动点
的轨迹方程为
（
）．
结论161：
，
是抛物线
（
）上异于顶点
的两个动点，若
⊥
，
则
=
．
结论162：过抛物线
（
）上任一点
（
，
）作两条弦
，
，
则
⊥
的充要条件是直线
过定点
（
，
）．
结论163：过抛物线
（
）上任一点
（
，
）作两条弦
，
，
则
=
（
）的充要条件是直线
过定点
（
，
）．
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
22
结论164：过椭圆
（
）上任一点
（
，
）作两条弦
，
，
则
⊥
的充要条件是直线
过定点
（
，
）．
特别地，（1）当
为左、右顶点时，即
=
，
=0 时，
⊥
的充要条件是
直线
过定点
（
，
）．
（2）当
为上、下顶点时，即
=0，
=
时，
⊥
的充要条件是直线
过定点
（0，
）．
结论165：过双曲线
（
，
）上任一点
（
，
）作两条弦
，
，则
⊥
的充要条件是直线
过定点
（
，
）．
特别地，当
为左、右顶点时，即
=
，
=0 时，
⊥
的充要条件是直线
过定点
（
，0）．
结论166：过二次曲线：
（
，，，
，为常数，
）
上任一点
（
，
）作两条弦
，
，若
⊥
，则直线
恒过定点
．
值得注意的是：在结论166 中
（1）令
，
，
，
就是结论159；
（2）令
，
，
就是结论162；
（3）令
，
，
就得到结论164；
（4）令
，
，
就得到结论165．
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
23
结论167：
，
是椭圆
（
）上不同的两个动点，若
⊥
，
则
+
=
．
结论168：
，
是椭圆
（
）上不同的两个动点，若
⊥
，
则有
+
=
，
+
=
．
结论169：
，
是双曲线
（
）上不同的两个动点（在同一支上），
若
⊥
，则有
+
=
．
结论170：在抛物线
（
）的对称轴上存在一个定点
，使得过该点
的任意弦
恒有
．
结论171：在椭圆
（
）的长轴上存在定点
，使得
过该点的任意弦
恒有
=
．
结论172：在双曲线
（
）的实轴上存在定点
，使
得过该点的任意弦
恒有
=
．
结论173：过椭圆
（
）的焦点
作一条直线与椭圆相交于
，
，
与
轴相交于
，若
，
，则
为定值，且
．
结论174：过双曲线
（
）的焦点
作一条直线与双曲线相交于
，
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
24
，与
轴相交于
，若
，
，则
为定值，且
．
结论175：过抛物线
（
）的焦点
作一条直线与抛物线相交于
，
，
与
轴相交于
，若
，
，则
为定值，且
．
结论176：过椭圆
（
）的焦点
作一条直线与椭圆相交于
，
，
与相应准线相交于
，若
，
，则
为定值，且
．
结论177：过双曲线
（
）的焦点
作一条直线与双曲线相交于
，
，与相应准线相交于
，若
，
，则
为定值，且
．
结论178：过抛物线
（
）的焦点
作一条直线与抛物线相交于
，
，
与准线相交于
，若
，
，则
为定值，且
．
结论179：
是垂直椭圆
（
）长轴的动弦，
是椭圆上异于顶点
的动点，直线
，
分别交
轴于
，
，若
，
，则
为定值，且
．
结论180：
是垂直双曲线
（
）实轴的动弦，
是双曲线上
异于顶点的动点，直线
，
分别交
轴于
，
，若
，
，
则
为定值，且
．
结论181：
是垂直抛物线
（
）对称轴的动弦，
是抛物线上异于顶点
的动点，直线
，
分别交
轴于
，
，若
，
，则
为定值，且
．
结论182：
是垂直椭圆
（
）长轴的动弦，
是椭圆上异于顶点
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
25
的动点，直线
，
分别交
轴于
，
，为长轴顶点，若
，
，
则
为定值，且
．
结论183：
是垂直双曲线
（
）实轴的动弦，
是双曲线上
异于顶点的动点，直线
，
分别交
轴于
，
，
为实轴顶点，若
，
，则
为定值，且
．
结论184：
是垂直抛物线
（
）对称轴的动弦，
是抛物线上异于顶点
的动点，直线
，
分别交
轴于
，
，
为抛物线焦点，若
，
，则
为定值，且
．
结论185（补充）：点
是椭圆
（
）上任意一点，弦
、
分别
过定点
、
，（
），且
，
，则
为
定值，且
．
结论186（补充）：点
是双曲线
（
，
）上任意一点，弦
、
分别过定点
、
，（
），且
，
，则
为定值，且
．
结论187：（补充）：
、
是圆
：
（
）上任意两点，点
关于
轴
对称点为
，若直线
、
与
轴分别相交于点
、
，则
为定值，
且
．
结论188：（补充）：
、
是椭圆
：
（
）上任意两点，点
关
于
轴对称点为
，若直线
、
与
轴分别相交于点
、
，则
为
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
26
定值，且
．
结论189：（补充）：
、
是双曲线
：
（
，
）上任意两点，点
关于
轴对称点为
，若直线
、
与
轴分别相交于点
、
，则
为定值，且
．
结论190（补充）：
、
是椭圆
：
（
）上关于
轴对称的任意
两个不同的点，点
是
轴上的定点，直线
交椭圆
于另一点
，则直线
恒
过
轴上的定点，且定点为
．
结论191（补充）：
、
是双曲线
：
（
，
）上关于
轴对称
的任意两个不同的点，点
是
轴上的定点，直线
交双曲线一点
，则直线
恒过
轴上的定点，且定点为
．
结论192（补充）：
、
是抛物线
：
（
）上关于
轴对称的任意两个
不同的点，点
是
轴上的定点，直线
交抛物线一点
，则直线
恒过
轴上
的定点，且定点为
．
{#{QQABQIA04AqYkNTACCZKRQ2YCkoQsIKjJaoMRUCAKAQCCANIFIA=}#}
