清单04 高考数学考前二级结论归纳
（含225 个二级结论）
结论01 集合（3 个结论）
结论02 复数（8 个结论）
结论03 平面向量（14 个结论）
结论04 不等式与基本不等式（13 个结论）
结论05 三角函数与三角恒等变换（10 个结论）
结论06 解三角形（15 个结论）
结论07 函数的基本性质（10 个结论）
结论08 指数对数幂函数（4 个结论）
结论10 三次函数（7 个结论）
结论10 导数及其应用（25 个结论）
结论11 数列（21 个结论）
结论12 立体几何（15 个结论）
结论13 直线与圆（13 个结论）
结论14 圆锥曲线（17 个结论）
结论15 排列组合、二项式定理（6 个结论）
结论16 概率统计（14 个结论）
结论17 高等数学在高中的应用（30 个结论）
结论01 集合
1. 子集与真子集个数
设集合 A 有 n 个元素，则子集个数：2
n，真子集个数：2
n-1，非空真子集个数：2
n-2
应用：若已知 A⊆B 且 B 有 m 个元素，则满足条件的 A 有 2
m 个（含空集）。
2. 容斥定理之集合中元素个数
card ( A∪B)=card ( A)+card (B)−card ( A∩B)
card ( A∪B∪C)=card ( A)+card (B)+card (C)−card ( A∩B)−card ( A∩C)
−card (B∩C)+card ( A∩B∩C)
3. 德摩根公式
CU ( A∩B)=(CU A)∪(CU B)
CU ( A∪B)=(CU A)∩(CU B)
结论02 复数
1. 常见复数的幂运算结论（速算）
i
4 k =1,i
4 k +1=i,i
4 k +2=−1,i
4 k +3=−i，1
i =−i，(1±i)
2=±2i，1+i
1−i =i，1−i
1+i =−i
2. 共轭与模的核心关系
z⋅z=|z|
2=|z|
2
应用：将复数等式两边取模或乘共轭，转化为实数方程。
3. 模的运算性质
|z1z2|=|z1|⋅|z2|,|
z1
z2|=|z1|
|z2|
(z2≠0)三角不等式：||z1|−|z2||≤|z1± z2|≤|z1|+|z2|
4. 复数相等的充要条件
设 z1=a+ bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R），则z1=z2⇔a =c且b=d
5. 实系数方程虚根成对定理
若实系数多项式 f (x) 有虚根 z=a+ bi(b≠0)，则其共轭 z=a - bi 也是根，且
(x-z)(x-z)=x
2-2ax+(a
2+ b
2)
应用：已知一个虚根，可直接设出另一根，利用韦达定理求参数。
6. 模的最值——圆上的点
若 |z-z0|=r，则 |z-z1| 的最大值为 |z1-z0|+r，最小值为 ||z1-z0|-r|。
应用：求形如 |z- (a+ bi)|=r 条件下 |z- (c+di)| 的最值，直接几何法。
拓展：|z−z0|=r :以点Z0为 圆心，r为半径的圆。
|z−z1|=|z−z2|:线段Z1Z2的垂直平分线。
|z−z1|+|z−z2|=2a(2a>|Z1Z2|):以Z1,Z2为焦点，长轴为2a的椭圆。
‖z−z1|−|z−z2|∣=2a(2a<|Z1Z2|):以Z1,Z2为焦点，实轴为2a的双曲线。
7. 模的平方恒等式（平行四边形法则）
|z1+z2|
2+|z1-z2|
2=2(|z1|
2+|z2|
2)
应用：已知 |z1|、|z2| 及 |z1+z2|，可快速求 |z1-z2|。
8. 单位根（高考常用特例）
设 ω=-1
2 +
❑√3
2
i，则ω
2+ω+1=0,ω
3=1,ω=ω
2=ω
-1
应用：在复数乘法、旋转 120
∘、或解 z
3=1 时直接使用。
结论03 平面向量
1. 向量加减法的平行四边形法则
对于任意向量 ⃗a,⃗b，有
|⃗a+⃗b|
2=|⃗a|
2+|⃗b|
2+2⃗a⋅⃗b，|⃗a -⃗b|
2=|⃗a|
2+|⃗b|
2-2⃗a⋅⃗b相加得平行四边形恒等式：
|⃗a+⃗b|
2+|⃗a -⃗b|
2=2(|⃗a|
2+|⃗b|
2)
2. 向量共线定理⃗
a 与 ⃗b 共线 ⇔ 存在唯一实数 λ 使 ⃗a =λ⃗b（⃗b≠⃗0）。
推论：A,B,C 三点共线 ⇔⃗AB=λ⃗AC。
坐标形式：(x1,y1) 与 (x2,y2) 共线 ⇔x1y2-x2y1=0。
3. 三点共线的向量表示（重要）
设 P 在直线 AB 上，则存在实数 t 使得⃗OP= (1-t)⃗OA+t⃗OB
特别地，当 P 为 AB 中点时，t=1
2 ，即⃗OP=⃗OA+⃗OB
2
4. 等和线（共线定理的推广）
若 P 在直线 AB 上，且 ⃗OP=x⃗OA+y⃗OB，则 x+y=1。
逆用：若 x+y=1，则 P,A,B 共线。
应用：已知系数和求点位置，或已知点位置求系数和。
如图，
为
所在平面上一点，过
作直线
，由平面向量基本定理知：
存在
，使得
下面根据点
的位置分几种情况来考虑系数和
的值
①若
时，则射线
与无交点，由
知，存在实数
，使得
而
，所以
，于是
②若
时，
（i）如图1，当
在右侧时，过
作
，交射线
于
两点，则
，不妨设
与
的相似比为
由
三点共线可知：存在
使得：
所以
（ii）当
在左侧时，射线
的反向延长线与
有交点，如图1 作
关于
的对称点
，由
（i）的分析知：存在存在
使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中
用
线性表示时，其系数和
只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过
作
边的垂线
，
设点
在
上的射影为
，直线
交直线
于点
，则
(
的符号由点
的位置确定)，因
此只需求出
的范围便知
的范围
5. 极化恒等式（数量积与中线长）
对于任意向量 ⃗a,⃗b，有⃗a⋅⃗b=1
4 [|⃗a+⃗b|
2-|⃗a -⃗b|
2]
几何背景：在 △ABC 中，设 M 为 BC 中点，则⃗AB⋅⃗AC=|⃗AM|
2-1
4 |⃗BC|
2
应用：已知两边和中线，求数量积；或已知数量积求中线长。
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形
中,
则
在上述图形中设平行四边形
对角线交于
点, 则对于三角形来说:
6. 数量积的最值（几何法）
若 |⃗a| 固定，⃗b 的终点在圆上运动，则 ⃗a⋅⃗b 的最值出现在投影最大/最小时，通常与圆心到直线的距离
有关。
投影法
如图，
对于
，其中
是
在
上的投影，
在Rt△PBH 中
，故
，
考虑到
可能为钝角，故写成
.
7. 重心
G 为 △ABC 的重心 ⇔⃗GA+⃗GB+⃗GC=⃗0。
坐标公式：G(
xA+xB+xC
3
,yA+yB+yC
3
)。
性质：⃗AG =1
3
(⃗AB+⃗AC)。
8. 垂心
H 为 △ABC 的垂心 ⇔⃗HA⋅⃗HB=⃗HB⋅⃗HC=⃗HC⋅⃗HA。
常用：⃗HA⋅⃗HB=⃗HB⋅⃗HC 等价于 HB⟂AC，即 H 在对应高线上。
9. 外心
O 为 △ABC 的外心 ⇔|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|。
外心与重心、垂心的关系：⃗OH =⃗OA+⃗OB+⃗OC（欧拉线）。
10. 内心
I 为 △ABC 的内心 ⇔a⃗IA+ b⃗IB+c⃗IC=⃗0，其中 a = BC,b=CA,c= AB。
坐标公式：I(
a xA+ bxB+cxC
a+ b+c
,ayA+ byB+cyC
a+ b+c
)。
11. 奔驰定理（三角形内点向量关系）
设 P 为 △ABC 内一点，记 S△PBC=α,S△PCA=β,S△PAB=γ，则
α⃗PA+β⃗PB+γ⃗PC=⃗0
特例：当 P 为重心时，α=β=γ，得 ⃗PA+⃗PB+⃗PC=⃗0。
应用：快速求三角形内点对应的系数比。
奔驰定理
如图，已知P 为
内一点，则有
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
（1）奔驰定理的证明
如图：延长
与
边相交于点
则
（2）奔驰定理的推论及四心问题
推论
是
内的一点,且
,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的
距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的
内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，
它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，
有着决定性的基石作用.
已知点
在
内部，有以下四个推论：
①若
为
的重心，则
；
②若
为
的外心，则
；或
③若
为
的内心，则
；备注：若
为
的内心，则
也对.
④若
为
的垂心，则
，或
12. 向量矩形法
如图，在矩形
中，若对角线
和
交于点
，
为平面内任意一点，有以下
两个重要的向量关系：①
；②
.
证明：①连接
，根据极化恒等式
，
可得
；
②根据极化恒等式
，可得
.
推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积相等.
13. 定比分点公式
设 P 分有向线段 ⃗AB 的比为 λ（即 ⃗AP=λ⃗PB），则P(
xA+λxB
1+λ
,yA+λyB
1+λ
)
当 λ=1 时，P 为中点。
14. 三角形面积公式（坐标法）
已知 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则S△ABC=1
2 |x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)|
也可表示为 1
2 |⃗AB×⃗AC|（叉积的模）。
结论04 不等式与基本不等式
1. 基本不等式常见变形
对于任意正实数 a,b，有a+ b
2
≥❑√ab，当且仅当 a = b 时取等。
变形有
a+ b≥2❑√ab，ab≤(
a+ b
2
)
2
，a
2+ b
2≥2ab，a
2+ b
2≥
(a+ b)2
2
，a
b + b
a ≥2(a,b>0)，a+1
a ≥2(a>0)
2. 三元基本不等式
对于正实数 a,b,c，有a+ b+c
3
≥
3√abc当且仅当 a = b=c 时取等。
3. 平方平均 ≥ 算术平均 ≥ 几何平均 ≥ 调和平均（均值不等式链）
❑√
a
2+ b
2
2
≥a+ b
2
≥❑√ab≥2
1
a +1
b
拓展. m>n 时，
em+en
2
> em−en
m−n >e
m+n
2
推广至 n 元：
❑√
∑ai
2
n
≥∑ai
n
≥n√∏ai≥n
∑1
ai
4. 柯西不等式
二维形式(a
2+ b
2)(c
2+d
2)≥(ac+ bd)2当且仅当 a
c =b
d （即向量共线）时取等。
三维形式(a1
2+a2
2+a3
2)(b1
2+ b2
2+ b3
2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)
2
一般形式
(∑
i=1
n
ai
2)(∑
i=1
n
bi
2)≥(∑
i=1
n
aibi)
2
柯西不等式的变式（权方和形式）
5. 权方和不等式（赫尔德不等式的特例）
对于正实数 xi,yi，有x1
2
y1
+x2
2
y2
+
+
⋯xn
2
yn
≥(x1+x2+
+
⋯xn)
2
y1+y2+
+
⋯yn
当且仅当 x1
y1
=x2
y2
=
=
⋯xn
yn
时取等。
推广形式（指数 p>1）∑xi
p
yi
p-1 ≥(∑xi)
p
(∑yi)
p-1
应用：形如 a
b +c
d 求最值，可考虑化为分子平方分母一次的形式。
6. 糖水不等式定理
若
, 则一定有
通俗的理解: 就是
克的不饱和糖水里含有
克糖, 往糖水里面加入
克糖,则糖水更甜;
7. 糖水不等式的倒数形式:
设
, 则有:
8. 对数型糖水不等式
（1） 设
, 且
, 则有
（2）设
, 则有
（3）上式的倒数形式：设
, 则有
9. 换元法
分式型 ax+ by
cx+dy ，可令 t=x
y 。
根号型 ❑√a -x+ ❑√x- b，可三角换元。
10. 排序不等式
若 a1≤a2≤
≤
⋯
an，b1≤b2≤
≤
⋯
bn，则
a1bn+a2bn-1+
+
⋯anb1≤1
n ∑aibi≤a1b1+a2b2+
+
⋯anbn（顺序和 ≥ 乱序和 ≥ 逆序和）
12. 切比雪夫不等式
若 a1≤
≤
⋯
an，b1≤
≤
⋯
bn，则
1
n ∑aibi≥(
1
n ∑ai)(
1
n ∑bi)（同序时平均乘积 ≥ 乘积平均）
13. 伯努利不等式
对于 x≥-1，n∈N，有 (1+x)n≥1+nx（等号在 x=0 或 n=1 时成立）。
结论05 三角函数与三角恒等变换
1. 常见非特殊角的三角函数值
角度
正弦
余弦
正切
2. 常见三角不等式
（1）若
(0,
)
2
x
，则sin
tan
x
x
x
.
（2）若
(0,
)
2
x
，则1
sin
cos
2
x
x
.
（3）| sin
|
| cos
| 1
x
x
.
3. 重要恒等式（用于化简）
(sinα±cosα)2=1±sin2α
sin
4α+cos
4α=1-1
2 sin
22α=3+cos4α
4
sin
6α+cos
6α=1-3sin
2αcos
2α=5+3cos4α
8
4. 辅助角公式（合一变形）
asinx+ bcosx=
❑√a
2+ b
2sin (x+φ)其中 φ 满足 cosφ=a
❑√a
2+ b
2，sinφ= b
❑√a
2+ b
2，tanφ= b
a
（φ 所在象限由 a,b 符号决定）。
辅助角公式的另一种形式
asinx+ bcosx=
❑√a
2+ b
2cos(x-θ), 其中tanθ=a
b 视题目需求选择正弦或余弦形式。
5. 降幂公式
sin
2α=1-cos2α
2
,cos
2α=1+cos2α
2
tan
2α=1-cos2α
1+cos2α
6. 半角公式（符号由半角所在象限决定）
sinα
2
=±❑√
1-cosα
2
, cosα
2
=±❑√
1+cosα
2
tanα
2
=1-cosα
sinα
=sinα
1+cosα
7. 万能公式
8. 三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin
3α, cos3α=4cos
3α-3cosα
9. 和积互化（积化和差与和差化积）
sinαcosβ=1
2 [sin (α+β)+sin (α-β)]cosαsinβ=1
2 [sin (α+β)-sin (α-β)]
cosαcosβ=1
2 [cos(α+β)+cos(α-β)]sinαsinβ=-1
2 [cos(α+β)-cos(α-β)]
sin A+sin B=2sin A+ B
2
cosA - B
2
sin A -sin B=2cosA+ B
2
sin A - B
2
cosA+cosB=2cosA+ B
2
cosA - B
2
cosA -cosB=-2sin A+ B
2
sin A - B
2
10. 三角函数最值常见模型
型如 y=asin x+ bcosx
用辅助角公式，值域 [-
❑√a
2+ b
2,
❑√a
2+ b
2]。
型如 y=asin
2x+ bsinxcosx+ccos
2x
降幂后化为 y=a+c
2
+a -c
2
cos2x+ b
2 sin2x，再辅助角。
型如 y=asinx+ b
csinx+d 或 y=acosx+ b
ccosx+d
利用有界性（sinx∈[-1,1]），可化为关于 sin x 的分式函数，或利用几何意义（斜率）。
型如 y=asin x+ bcosx+csin xcosx
换元 t=sin x+cosx，则 sinxcosx=t
2-1
2
，转化为二次函数。
结论06 解三角形
1. 正弦定理
在 △ABC 中，角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c，外接圆半径为 R，则a
sin A =b
sin B =c
sinC =2R
常用变形
边化角：a =2Rsin A，b=2Rsin B，c=2RsinC
角化边：sin A =a
2R ，sin B= b
2R ，sinC=c
2R
比例形式：a:b:c=sin A:sin B:sinC
和差形式：a+ b
sin A+sin B =2R，a - b
sin A -sin B =2R
边角互化的应用
出现边的一次齐次式（如 a+ b、a -b），可化为角的正弦和差。
出现边的平方，常考虑余弦定理。
出现 sin2A =sin2B，则 2A =2B 或 2A+2B=π，即 A = B 或 A+ B=π
2
。
2. 余弦定理
a
2= b
2+c
2-2bccosA、b
2=c
2+a
2-2cacosB、c
2=a
2+ b
2-2abcosC
推论（角的余弦）
cosA =b
2+c
2-a
2
2bc
, cosB=c
2+a
2-b
2
2ca
, cosC=a
2+ b
2-c
2
2ab
判断三角形形状（c 为最大边）
若 a
2+ b
2>c
2，则 ∠C<90
∘（锐角）
若 a
2+ b
2=c
2，则 ∠C=90
∘（直角）
若 a
2+ b
2<c
2，则 ∠C>90
∘（钝角）
3. 三角形面积公式
S=1
2 absinC=1
2 bcsin A =1
2 casin B
外接圆半径表示S=abc
4R 、海伦公式S= ❑√p(p-a)(p- b)(p-c)
坐
标
法
面
积
公
式
已
知
顶
点
坐
标
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，
则
S=1
2 |x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)|
4. 内角和关系
A+ B+C=π
sin (A+ B)=sinC、cos(A+ B)=-cosC、tan (A+ B)=-tanC
sin A+ B
2
=cosC
2 、cosA+ B
2
=sinC
2
5. 正切恒等式（在非直角三角形中）
tan A+tan B+tanC=tan Atan BtanC
推论：在△ABC 内，若tanA+tanB+tanC<0，则△ABC 为钝角三角形
6. 射影定理
a = bcosC+ccosB、b=ccosA+acosC、c=acosB+ bcosA
7. 角平分线定理
（1）在Δ ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，则有
AB
BD = AC
CD
（2）
（3）
（库斯顿定理）
（4）
（5）la
2 =bc(1-a
2
(b+c)2)= bc⋅
(b+c)2-a
2
(b+c)2
=4 bc
(b+c)2 ⋅p(p-a)，其中 p 为半周长
8. 张角定理
sin β
AB +sinα
AC =sin(α+β)
AD
9. 倍角定理
在
中,三个内角
的对边分别为
,
(1)如果
,则有:
(2)如果
,则有:
(3)如果
,则有:
倍角定理的逆运用
在
中,三个内角A、B、C 的对边分别为
,
(1)如果
,则有:
。
(2)如果
,则有:
。
(3)如果
,则有:
。
10. 中线长定理
为
的中线,则中线定理:
证明:
在
和
中,用余弦定理有:
ma
2=2b
2+2c
2-a
2
4
11. 高线长公式
ha=2S
a
=bcsin A
a
=bc
2R ⋅1
a
12. 三角恒等式
在
中，
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
；
⑥
；
⑦
；
⑧
；
⑨
；
13. 三角形中的最值问题（高频）
已知一边及其对角，求面积或周长的最值
若已知 a 及 A，则 2R =a
sin A 固定，面积 S=1
2 bcsin A =2R
2sin BsinCsin A。
当 B=C 时，面积最大；周长最大值也常在等腰时取得。
已知一边及另两边之和，求面积最大值
设 b+c= m 固定，a 固定，则 S=1
2 bcsin A，由余弦定理 a
2= b
2+c
2-2bccosA，结合 b+c 可求 bc
的范围，进而求最值。
三角形中的三角恒等最值
形如 y=sin A+sin B，利用和差化积及 C 固定可转化为单变量函数。
利用正弦定理边角互化后求最值
将边的关系转化为角的关系，结合辅助角公式求值域。
14. 解三角形与几何综合应用
与圆结合
三角形外接圆半径 R =a
2sin A 、内切圆半径 r=2S
a+ b+c 、旁切圆半径 ra=S
p-a ，rb=S
p-b ，rc=S
p-c
与向量结合
重心 G 满足 ⃗GA+⃗GB+⃗GC=⃗0
垂心 H 满足 ⃗HA⋅⃗HB=⃗HB⋅⃗HC=⃗HC⋅⃗HA
外心 O 满足 |⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|
内心 I 满足 a⃗IA+ b⃗IB+c⃗IC=⃗0
15. 极化恒等式在解三角形中的应用⃗
AB⋅⃗AC=|⃗AM|
2-1
4 |⃗BC|
2
其中 M 为 BC 中点，可快速求数量积或中线长。
结论07 函数的基本性质
1. 复合函数单调性（同增异减）
设 y=f (u)，u=g (x)，则 y=f(g (x)) 的单调性：
若 f 与 g 单调性相同，则复合函数为增函数；
若 f 与 g 单调性相反，则复合函数为减函数。
2. 函数奇偶性运算性质
奇 ± 奇 = 奇，偶 ± 偶 = 偶
奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇
复合函数：内偶则偶，内奇同外
3. 周期性（差为常数有周期）
①若f (x+a)=f (x)，则f (x) 的周期为：T=|a|
②若f (x+a)=f (x+b)，则f (x)的周期为：T=|a−b|
③若f (x+a)=−f (x)，则f (x) 的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题）
④若
f (x+a)=± 1
f (x) ，则f (x)的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题）
4. 对称性（和为常数有对称轴）
（1）轴对称
①若f (x+a)=f (−x)，则f (x) 的对称轴为
x=a
2
②若f (x+a)=f (−x+b)，则f (x) 的对称轴为
x=a+b
2
（2）点对称
①若f (x+a)=−f (−x)，则f (x)的对称中心为(
a
2 , 0)
②若
f (x+a)+f (−x+b)=c ，则f (x)的对称中心为(
a+b
2
, c
2)
5. 周期性对称性综合问题
①若f (a+x)=f (a−x)，f (b+x)=f (b−x)，其中a≠b ，则f (x)的周期为：T=2|a−b|
②若f (a+x)=−f (a−x)，f (b+x)=−f (b−x)，其中a≠b ，则f (x)的周期为：
T=2|a−b|
③若f (a+x)=f (a−x)，f (b+x)=−f (b−x)，其中a≠b ，则f (x) 的周期为：
T=4|a−b|
6. 奇偶性对称性综合问题
①已知f (x)为偶函数，f (x+a)为奇函数，则f (x)的周期为：T=4|a|
②已知
f (x)为奇函数，f (x+a)为偶函数，则f (x)的周期为：T=4|a|
7. 常见抽象函数模型
f (x+y)=f (x)+f (y)：正比例函数（一次函数）
f (x+y)=f (x)f (y)：指数函数
f (xy)=f (x)+f (y)：对数函数
f (xy)=f (x)f (y)：幂函数
f (x+T)=f (x)：周期函数
赋值法技巧
令 x=y=0 求 f (0)
令 y=−x 求奇偶性
令 y=1 或 x=1 求特殊值
利用已知恒等式推导单调性、对称性
8. 奇函数+常函数
在定义域内，若F (x)=f (x)+ A ，其中f (x)为奇函数，A 为常数，有f (a)+f (−a)=2 A
即f (a)+f (−a)=2倍常数
9. F 型函数不等式
单调性定义的等价形式：
（1）函数
在区间
上是增函数:
任取
，且
，都有
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
.
（2）函数
在区间
上是减函数:
任取
，且
，都有
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
.
利用单调性、奇偶性解不等式原理
（1）解
型不等式
①利用函数的单调性，去掉函数符号“
”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；
②若不等式一边没有函数符号“
”，而是常数（如
），那么我们应该将常数转化带有函数符号
“
”的函数值再解.
（1）
为奇函数，形如
的不等式的解法：
第一步：将
移到不等式的右边，得到
；
第二步：根据
为奇函数，得到
；
第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“
”，列出不等式求解.
单调性和奇偶性综合求不等式范围问题
①奇函数单调性不改变，当
为定义在R 上的奇函数时，若
时，
单调递增，则
时，
也单调递增，即
；同理，若
时，
单调递减，则
时，
也单调递减，即
；
②偶函数单调性改变，当
为定义在R 上的偶函数时，若
时，
单调递增，则
时，
单调递减，即
；
；同理，若
时，
单调递
减，则
时，
单调递增，即
；
．
10. 平口单峰函数
平口函数就是在区间的左右端点同时取最大值（最小值）的一类函数总称．
1.所有的平口函数
一定满足一个共性：
出现求
时，一定为平口函数；若
有一个极值点，也叫平口单峰函数，若
，此为平口单峰函数的万能招数．
关于平口单峰函数的处理策略：
（1）构造平口单峰函数：
若题目给的基本函数为非平口单峰，则我们需要构造平口单峰，构造平口单峰函数的后边应为一次函数．
（2）三点（多点）控制法：
在这类求最大值的最小值问题中，多点控制也是一个非常好用的处理手段，这里给到大家一些总结，怎么
取点控制：
①对于二次函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和区间中点；
②对于平口打勾函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和极值点，对于一般的打勾函数，这
三点分别是区间的两个端点和打勾函数两区间端点连线平行且与打勾函数相切的直线与打勾函数的切点，
③对于一般的三次函数，一般需要四点控制，这四点分别是区间的两个端点和分别靠近两端点的两个四等
分点．
注意：对于缺少常数项的二次函数和缺项的三次函数，选取点的原则可能会发生改变，视情况而定．
结论08 指数对数幂函数
1. 指对同构（压轴题常用）
形式一：xe
x=ye
y⇒f (x)=xe
x 单调性判断
形式二：x+lnx=y+lny⇒g (x)=x+lnx 单调性判断
形式三：xe
x=a 可构造 f (x)=xe
x 研究零点
常用变形：e
lnx=x，lne
x=x，e
xlna=a
x，lna
x=xlna
2. 指对不等式（切线放缩）
e
x≥x+1, lnx≤x
1
−(x>0),e
x≥ex, lnx≤x
e
应用：证明不等式、求最值、估值
3. 与指数函数相关的奇函数和偶函数
f ( x)=ax+a−x ，（
，且
）为偶函数，
，（
，且
）为奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
为偶函数
4. 与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（
且
）为奇函数，
，（
且
）为奇函数
结论09 三次函数
1. 三次函数的一般形式与图像特征
设三次函数 f (x)=a x
3+ bx
2+cx+d（a≠0）。
定义域：ℝ，值域：ℝ
图像特征：
当 a>0 时，图像从左向右呈“增→减→增”或“增→增→增”（无极值）
当 a<0 时，图像从左向右呈“减→增→减”或“减→减→减”（无极值）
与 x 轴至少有一个交点，至多有三个交点。
2. 导数与极值
f′(x)=3a x
2+2bx+c
Δ=4 b
2
12
−
ac=4(b
2
3
−ac)
极值存在性
若 b
2
3
−ac>0，则 f′(x)=0 有两个不等实根 x1,x2（x1<x2），f (x) 在 x1 处取极大值，x2 处取极
小值（a>0 时左极大右极小；a<0 时相反）。
若 b
2
3
−ac=0，则 f′(x)=0 有重根，f (x) 无极值（图像为“平缓”单调）。
若 b
2
3
−ac<0，则 f′(x) 恒正或恒负，f (x) 在 ℝ 上单调。
极值点与对称中心的关系
极值点横坐标 x1,x2 关于对称中心横坐标 x0 对称，且 x0=x1+x2
2
=−b
3a 。
3. 零点分布（根的性质）
设三次方程 a x
3+ bx
2+cx+d =0（a≠0），记 x1,x2,x3 为根（实或复），Δ 为判别式（高次判别式
较复杂，常用以下结论）。
根的个数
若 f (x) 无极值（Δf′≤0），则 f (x) 单调，有且仅有一个实根。
若 f (x) 有两个极值，设极大值为 M，极小值为 m：
当 M⋅m >0 时，一个实根；
当 M⋅m =0 时，两个实根（一个重根）；
当 M⋅m <0 时，三个不同实根。
韦达定理
x1+x2+x3=−b
a ,x1x2+x2x3+x3x1=c
a ,x1x2x3=−d
a
对称中心处函数值
对称中心为 (−b
3a ,f(−b
3a ))，该点也是三次函数的拐点。
重要性质：若 f (x) 有三个零点 x1,x2,x3，则对称中心横坐标为 x1+x2+x3
3
，且纵坐标
f(
x1+x2+x3
3
)=0（当对称中心在 x 轴上时）。
4. 对称中心
三次函数 f (x)=a x
3+ bx
2+cx+d 的图像关于点 (−b
3a ,f(−b
3a )) 中心对称。
推论：f(x0+t)+f(x0−t)=2f(x0) 恒成立，其中 x0=−b
3a 。
该性质可用于快速求对称点函数值或证明对称性。
5. 切线问题
在点 (x0,f(x0)) 处的切线、y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
过点 (m ,n) 作切线
设切点 (t,f (t))，则切线方程为 y=f′(t)(x−t)+f (t)，代入点 (m ,n) 得关于 t 的三次方程：
n=f′(t)(m −t)+f (t)
解的个数即为切线条数。
过三次函数上一点作切线的条数
若该点为对称中心，则只有一条切线（即该点处的切线）。
若该点不是对称中心，则过该点可作两条不同的切线（其中一个切点即为该点本身，另一个为其他点）。
6. 三次函数与导数综合
恒成立问题
若 f (x)≥0 恒成立，则 f (x) 的最小值 ≥0。由于三次函数无界，恒成立要求 a>0 且 f (x) 的极小值
≥0；若 a<0 则不可能恒成立。
方程 f (x)=k 的根的个数
将 f (x) 图像上下平移，根据极值与 k 的关系判断：
若 k 在极大值与极小值之间（不包括端点），三个不同实根；
若 k 等于极大值或极小值，两个实根（一重根）；
若 k 大于极大值或小于极小值，一个实根。
参数范围问题（已知零点个数求参数）
常转化为直线 y=k 与曲线 y=f (x) 的交点问题，或分离参数后研究新函数的值域。
三次函数与二次函数（导数）的关联
导函数 f′(x) 是二次函数，其判别式 Δ 决定原函数的单调性与极值。
若已知 f (x) 的极值点，可快速写出 f′(x)=3a(x−x1)(x−x2)，积分得
f (x)=a(x−x1)(x−x2)(x−x3)+C 形式。
7. 常见模型与技巧
三次函数因式分解（已知一根）
若已知 x=x0 是 f (x)=0 的根，则可分解为 (x−x0)(a x
2+px+q)，其中 p,q 由多项式除法或待定系
数法确定。
三次函数对称性应用
若 f (x) 是奇函数，则 b=d=0，形式为 f (x)=a x
3+cx。
若 f (x) 是偶函数，则 a =c=0，但此时退化为二次函数（三次函数不可能为偶函数，除非 a =0）。
极值点与拐点的关系
三次函数的极值点与拐点（对称中心）横坐标满足等差数列：设极值点 x1,x2，拐点 x0，则 x0=x1+x2
2
。
三次函数与韦达定理联用
在涉及三个实根的和、积、倒数和等问题时，直接套用韦达定理。
结论10 导数及其应用
1.几个常用极限
（1）
，
（
）；
（2）
，
.
2.两个重要的极限
（1）
；
（2）
(e=2.718281845…).
3.函数极限的四则运算法则
若
，
，则
(1)
；
(2)
;
(3)
.
4.常用的近似计算公式
（当|x|足够小时）
(1)√1+x≈1+ 1
2 x
;
n√1+x≈1+ 1
n x
；
(2)
；
1
1+x ≈1−x
；
(3)ex≈1+x ；
(4)ln(1+x)≈x ；
(5)sin x≈x （x 为弧度）；
(6)tan x≈x （x 为弧度）；
5.二阶导的定义
定义 1 : 若函数
的导函数
在点
处可导, 则称
在点
的导数为
在点
的二阶导数, 记作
, 同时称
在点
为二阶可导.
定义 2: 若
在区间
上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在
上的二阶可导函数, 记作
6.函数极值的第二判定定理
若
在
附近有连续的导函数
, 且
（1）若
, 则
在点
处取极大值;
（2）若
, 则
在点
处取极小值
7.曲线的凹凸性
设函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在
(a,b) 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 (a,b) 内是凸的。从图象
上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数
在
内具有二阶导数, 如果在
内
, 那么对应的曲线在
内是凹的, 如果在
内
, 那么对 应的曲线在
内是凸的 设
在区间
上连续, 如果对
上任意两点
, 恒有
则称
在
上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称
在
上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
8.曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使
的点, 但是使
的点
不一定都是拐点。
9.利用曲线的切线进行放缩证明不等式
设
上任一点
的横坐标为
，则过该点的切线方程为
，即
，由此可得与
有关的不等式：
，其中
，
，等号当且
仅当
时成立．特别地，当
时，有
；当
时，有
．
设
上任一点
的横坐标为
，则过该点的切线方程为
，即
，
由此可得与
有关的不等式：
，其中
，
，等号当且仅当
时成立．特别
地，当
时，有
；当
时，有
．
利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．
10.利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式
由图可得
；由图
可得
；由图
可得，
（
），
（
）；由图
可得，
（
），
（
）．
综合上述两种生成，我们可得到下列与
、
有关的常用不等式：
与
有关的常用不等式：
（1）
（
）；
（2）
（
）．
与
有关的常用不等式：
（1）
（
）；
（2）
（
）；
（3）
（
），
（
）；
（4）
（
），
（
）．
用
取代
的位置，相应的可得到与
有关的常用不等式．
11.恒成立问题常见类型
假设
为自变量，其范围设为
，
为函数；
为参数，
为其表达式，
（1）
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
（2）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
②
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
12.能成立（有解）问题常见类型
假设
为自变量，其范围设为
，
为函数；
为参数，
为其表达式，
（1）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
（2）若
的值域为
①
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
②
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
13.端点效应的类型
1.如果函数
在区间
上,
恒成立,则
或
.
2.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
),则
或
.
3.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
,
则
或
.
14.洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
15.常见的指对放缩
ex≥x+1，ex≥ex ，
1−1
x ≤ln x≤x−1
，
ln x≤x
e
16.常见的三角函数放缩
sin x<x<tan x , x∈(0, π
2)
17.其他放缩
ln x<√x−1
√x ( x>1)
，
ln x>√x−1
√x (0<x<1)
，
ln x< 1
2 ( x−1
x )( x>1)
，
ln x> 1
2 ( x−1
x )(0<x<1)
，
ln x>−1
2 x2+2 x−3
2 ( x>1)
，
ln x<−1
2 x2+2 x−3
2 (0<x<1)
ln x> 2( x−1)
x+1
( x>1)
，
ln x< 2( x−1)
x+1
(0<x<1)
18.放缩程度综合
1−1
x < 1
2 ( x−1
x )<√x−1
√x <ln x< 2( x−1)
x+1
<−1
2 x2+2 x−3
2 <x−1(0<x<1)
1−1
x <−1
2 x2+2 x−3
2 < 2( x−1)
x+1
<ln x<√x−1
√x < 1
2 ( x−1
x )<x−1(1<x<2)
−1
2 x2+2 x−3
2 <1−1
x < 2( x−1)
x+1
<ln x<√x−1
√x < 1
2 ( x−1
x )<x−1( x>2)
x+1<ex<
1
1−x ( x<1)
，
1
1−x <x+1<ex( x>1)
19.常见函数的泰勒展开式
（1）
，其中
；
（2）
，其中
；
（3）
，其中
；
（4）
，其中
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
20.常见函数的泰勒展开式的结论
结论1
．
结论2
．
结论3
（
）．
结论4
．
结论5
；
；
．
结论6
；
结论7
结论8
．
结论9
．
21.极值点偏移的含义
众所周知，函数
f ( x)
满足定义域内任意自变量x
都有
f ( x)=f (2m−x)
，则函数
f ( x)
关于直线
x=m
对称；可以理解为函数
f ( x)
在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若
f ( x)
为单峰函数，则
x=m
必为
f ( x)
的极值点. 如二次函数
f ( x)
的顶点就是极值点
x0
，若
f ( x)=c
的两根的中点为
x1+x2
2
，
则刚好有
x1+x2
2
=x0
，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数
f ( x)
的极值点为m
，且函数
f ( x)
满足定义域内
x=m
左侧的任意自变量x
都有
f ( x)>f (2m−x)
或
f ( x)<f (2m−x)
，则函数f ( x)
极值点m
左右侧
变化快慢不同. 故单峰函数f ( x)
定义域内任意不同的实数
x1, x2
满足
f ( x1)=f ( x2)
，则
x1+x2
2
与极值点
m 必有确定的大小关系：
若
m< x1+x2
2
，则称为极值点左偏；若
m> x1+x2
2
，则称为极值点右偏.
如函数
g( x)= x
ex
的极值点
x0=1
刚好在方程
g( x)=c
的两根中点
x1+x2
2
的左边，我们称之为极值点左
偏.
22.极值点偏移问题的一般题设形式
1. 若函数f ( x)
存在两个零点
x1, x2且
x1≠x2，求证：
x1+x2>2 x0 （
x0 为函数f ( x)
的极值点）；
2. 若函数f ( x)
中存在
x1, x2且
x1≠x2满足
f ( x1)=f ( x2)
，求证：
x1+x2>2 x0 （
x0 为函数f ( x)
的极
值点）；
3. 若函数f ( x)
存在两个零点
x1, x2
且
x1≠x2
，令
x0= x1+x2
2
，求证：
f '( x0)>0
；
4. 若函数f ( x)
中存在
x1, x2
且
x1≠x2
满足
f ( x1)=f ( x2)
，令
x0= x1+x2
2
，求证：
f '( x0)>0
.
23.极值点偏移的判定定理
对于可导函数y=f ( x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，方程f ( x)=0 的解分别为
x1, x2，且a<x1<x2<b ，
（1）若f ( x1)<f (2 x0−x2)，则
x1+x2
2
<(>)x0 ，即函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极（小）大值
点x0右（左）偏；
（2）若f ( x1)>f (2 x0−x2)，则
x1+x2
2
>(<)x0 ，即函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极（小）大值
点x0右（左）偏.
证明：（1）因为对于可导函数y=f ( x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，则函数f ( x)
的单调递增（减）区间为(a,x0)，单调递减（增）区间为(x0,b)，由于a<x1<x2<b ，有x1<x0 ，且
2 x0−x2<x0 ，又f ( x1)<f (2 x0−x2)，故x1<(>)2 x0−x2，所以
x1+x2
2
<(>)x0，即函数极（小）大
值点x0右（左）偏；
（2）证明略.
左快右慢（极值点左偏
⇔m< x1+x2
2
） 左慢右快（极值点右偏
⇔m> x1+x2
2
）
左快右慢（极值点左偏
⇔m< x1+x2
2
） 左慢右快（极值点右偏
⇔m> x1+x2
2
）
24.对数平均不等式
两个正数
和
的对数平均定义：
对数平均与算术平均几何平均的大小关系：
､
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当
时，等号成立．
只证：当
时，
．不失一般性，可设
．
证明如下：
（I）先证：
……①
不等式①
（其中
）
构造函数
，则
．
因为
时，
，所以函数
在
上单调递减，
故
，从而不等式①成立；
（II）再证：
……②
不等式②
（其中
）
构造函数
，则
．
因为
时，
，所以函数
在
上单调递增，
故
，从而不等式成立；
综合（I）（II）知，对
，都有对数平均不等式
成立，
当且仅当
时，等号成立．
运用判定定理判定极值点偏移的方法
（1）求出函数f ( x)的极值点x0；
（2）构造一元差函数F( x)=f ( x0+x)−f ( x0−x)；
（3）确定函数F(x)的单调性；
（4）结合F(0)=0，判断F(x)的符号，从而确定f ( x0+x)、f ( x0−x)的大小关系.
25.拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得
．
拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线
上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行
于曲线两端的连线．
需要注意的地方（逆命题不成立）
拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于
切线斜率,如f (x)= x
3在x =0处的切线斜率为0,但f (x)不存在割线使割线斜率等于0
拉格朗日公式还有下面几种等价形式
，
，
．
注：拉格朗日公式无论对于
还是
都成立，而ξ 则是介于a 与b 之间的某一常数．显然，当
时，
．
结论11 数列
1. 等差数列通项公式与基本性质
设 {an} 为等差数列，首项 a1，公差 d，则
an=a1+ (n
1
−)d =am+ (n−m )d
性质1：若 m +n=p+q，则 am+an=ap+aq。
性质2：下标成等差数列的项仍成等差数列，即 ak,ak+ m,ak+2m,… 公差为 md。
性质3：数列 {an} 为等差数列 ⇔ 其通项为 an=pn+q（一次函数）。
性质4：若 {an} 等差，则 {c
an}（c>0）为等比数列。
2. 等差数列前 n 项和公式
Sn=n(a1+an)
2
=na1+n (n
1
−)
2
d
性质1：Sn 是 n 的二次函数且无常数项：Sn= A n
2+ Bn，其中 A =d
2 ,B=a1−d
2 。
性质2：S2n
1
−= (2n
1
−)an（奇数列和与中间项关系）。
性质3：Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,… 成等差数列，公差为 n
2d。
性质4：等差数列前 n 项和 Sn 的图象是过原点的抛物线上的点列，对称轴 n=1
2 −a1
d ，可用于求 Sn 的
最值。
3. 等差数列的判定方法
定义法：an+1−an=d（常数）。
中项法：2an+1=an+an+2。
通项法：an=pn+q（一次函数）。
求和法：Sn= A n
2+ Bn（无常数项的二次函数）。
4. 等比数列通项公式与基本性质
设 {an} 为等比数列，首项 a1≠0，公比 q≠0，则
an=a1q
n
1
−=amq
n−m
性质1：若 m +n=p+q，则 aman=apaq。
性质2：下标成等差数列的项仍成等比数列，即 ak,ak+ m,ak+2m,… 公比为 q
m。
性质3：数列 {an} 为等比数列 ⇔ 其通项为 an=c⋅q
n
1
−（指数型）。
性质4：若 {an} 等比（an>0），则 {logcan} 为等差数列。
5. 等比数列前 n 项和公式
Sn={
na1,
q=1
a1(1−q
n)
1−q
=a1−anq
1−q
,
q≠1)
性质1：若 q≠1，则 Sn= A−Aq
n，其中 A =a1
1−q 。
性质2：Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,… 成等比数列，公比为 q
n（需 q≠1
− 或 n 为偶数时注意符号）。
性质3：当 |q)<1 且 n→∞ 时，无穷递缩等比数列所有项和 S=a1
1−q 。
6. 等比数列的判定方法
定义法：an+1
an
=q（常数，an≠0）。
中项法：an+1
2
=anan+2（非零数列）。
通项法：an=c⋅q
n
1
−。
求和法：Sn= A−Aq
n（q≠1）。
7. 累加法
适用于 an+1=an+f (n)，其中 f (n) 可求和。
an=a1+∑
k=1
n
1
−
f (k)
8. 累乘法
适用于 an+1=an⋅f (n)，其中 f (n)≠0。
an=a1∏
k=1
n
1
−
f (k)
9. 构造法（待定系数）
型如 an+1=pan+q（p≠1）
设 an+1+λ=p(an+λ)，解得 λ=q
p
1
−
，则 {an+λ} 为等比数列。
型如 an+1=pan+qn+r
设 an+1+α(n+1)+β=p(an+αn+β)，比较系数求 α,β。
型如 an+1=pan+q
n（p≠q）
方法一：两边同除以 p
n+1 得 an+1
p
n+1 =an
p
n +1
p(
q
p)
n
，累加法。
方法二：设 an+1+λq
n+1=p(an+λq
n)，比较系数求 λ。
10. 取倒数法
适用于 an+1=an
kan+ b （an≠0），取倒数得
1
an+1
=k
b +1
b ⋅1
an
转化为等差数列。
11. 取对数法
适用于 an+1=an
m（an>0），取对数得 lnan+1= m lnan，转化为等比数列。
12. 特征根法（二阶线性递推）
递推式 an+2=pan+1+qan（q≠0），特征方程 x
2=px+q。
若两根 α≠β，则 an= Aα
n
1
−+ Bβ
n
1
−。
若重根 α，则 an= (A+ Bn)α
n
1
−。
系数 A,B 由 a1,a2 确定。
13. 不动点法（分式递推）
对于 an+1= m an+t
kan+s （k≠0），解不动点方程 x= mx+t
kx+s 。
若有两个不同不动点 α,β，则 an−α
an−β 为等比数列。
若只有一个不动点 α，则 1
an−α 为等差数列。
14. 裂项相消求和
常见裂项公式：
1
n (n+1) =1
n −1
n+1 ,1
n (n+k) =1
k (
1
n −1
n+k)
1
4n
2
1
−
=1
2(
1
2n
1
−
−1
2n+1),1
❑√n+ ❑√n+1 = ❑√n+1−❑√n
2n
1
−
2
n
=2n
1
−
2
n
, 有时需构造差
1
n (n+1)(n+2) =1
2[
1
n (n+1) −1
(n+1)(n+2))
15. 错位相减法求和
适用于 {anbn}，其中 {an} 为等差数列，{bn} 为等比数列。
设 Tn=a1b1+a2b2+
+
⋯anbn，计算 q Tn 并相减，化为等比数列求和。
{an}为公差为d 的等差数列，{bn}为公比为q 的等比数列，若数列{cn}满足cn=an⋅bn ，则数列{cn}的前
n 项和Sn 为
Sn=cn+1−q2cn+c1
(q−1)2
16. 倒序相加法求和
适用于与首末等距两项和相等的数列（如等差数列）。
Sn=a1+a2+
+
⋯an
Sn=an+an
1
−+
+
⋯a1
两式相加得 2Sn=n(a1+an)。
17. 并项求和法
将相邻两项或几项合并，产生规律（如周期数列、正负相间）。
18. 周期数列求和
先求数列的周期，计算一个周期的和，再乘以周期数加上剩余项。
19. 单调性与最值
等差数列单调性由公差 d 决定；求 Sn 最值时，可用二次函数顶点或解不等式 an≥0（或 ≤0）。
等比数列单调性由 a1 与 q 决定，需注意 q<0 时摆动。
一般数列单调性可用 an+1−an 或 an+1
an
判断。
20. 数列与不等式
放缩法：
裂项放缩：1
n
2 <1
n (n
1
−) 等。
等比放缩：2
n
1<
−
2
n，1
2
n
1
−
<1
2
n
1
− 等。
利用函数放缩：e
x≥x+1，lnx≤x
1
− 等。
证明数列不等式：常用数学归纳法、构造函数法（将数列视为函数值）。
数列中的恒成立问题：转化为最值或分离参数。
数列不等式的放缩
1．分组放缩
先将数列
的前n 项和
分成若干组，再对每组单独确定放缩或不放缩．
2．等比放缩
如果数列
满足
，则有
，
因此数列
的前n 项和
满足
．
3．裂项放缩
（1）分式裂项放缩：若数列
的通项是一个分式，譬如
，
，…，
则可将
放缩成一个可以分式裂项相消求和的式子，
如
，
，
等．
（2）根式裂项放缩：若数列
的通项是含根式的，譬如
，
，…，
则可将
放缩成一个可以根式裂项相消求和的式子．下面就是根式裂项放缩中比较常用的两个放缩式．
①
．
②
．
（3）指分结构裂项放缩：若数列
的通项公式为
，则
．
证明: 因为
，
，所以
，
所以
，即
．
4．基本不等式放缩
如果数列
的某些项的和符合基本不等式的形式，可以直接利用基本不等式来进行放缩，这种放缩方式
称为基本不等式放缩．
5．递推放缩
如果题目只给了递推关系式
，而根据这个递推关系式没办法直接求出
的通项，然而又需要
我们证明一个不等式，此时就需要直接利用递推关系式
，构建一个放缩式．这种利用题目中给
出的递推关系式直接进行放缩的放缩方式称为递推放缩．
一般来说我们采用以下两种思路处理这类问题：
①写出递推关系式
，然后通过恒等变形得到放缩式．
②写出
，
，然后将
与
这两个关系式进行加减乘除（更多的
是相减和相除），再恒等变形得到放缩式．
21. 数列与数学归纳法
在证明一些数列相关问题时，如果直接证明不太好证明，可以考虑使用数学归纳法证明，这是证明数列相
关问题的一种独特的方法，具体步骤如下：
第一步（归纳奠基）：证明当
时命题成立．
第二步（归纳递推）：假设当
时命题成立，推出当
时命题也成立．
第三步：综合前两步可得，命题对所有从
开始的正整数
都成立．
注：
1．在第二步证明当
时命题也成立的过程中，需要用到假设当
时命题成立得到的结论．
2．数学归纳法的本质就是通过第一步进行归纳奠基之后，再通过第二步进行归纳递推，进而证明命题．
结论12 立体几何
1.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外
接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
的正四面体的内切球的半径为
,外接球的半径为
.
2.内切球体积
任意的简单n 面体内切球半径为
3V
S表(V 是简单n 面体的体积，S表是简单n 面体的表面积)
3.外接球问题之双外心模型
如图所示，点O 为四面体ABCD 的外接球球心，点
为
的外接圆圆心，点
为
的外接圆圆
心，点E 为AB 的中点，则四面体ABCD 的外接球半径R 满足以下关系：
．
有了双外心模型，我们只要能找到三棱锥的相邻两个面的外接圆圆心，就能通过连接公共边的中点与外心，
求出该三棱锥的外接球半径．
4.叉乘法快速求法向量
向量
＝（x ，y ，z ），
＝（x ，y ，z ）是平面
内的两个不共线向量，则向量
＝（y z －y z
，－（x z －x z ），x y －x y ）是平面
的一个法向量.
如果用二阶行列式表示，则
＝（
，－
，
） ，这更便于记忆和计算.
结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证
一定满足
；
∵
、
不共线，∴
一定不是
.
5.三垂线法求二面角
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
6.垂面法求二面角
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可
知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
7.射影面积法求二面角
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公
式（cosθ = S射
S斜
=
S△A
' B
'C
'
S△ABC
,如图)求出二面角的大小
8.三余弦定理
设AC 是α 内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO 与AB 所成的角为
，AB 与AC 所成的角为
，AO 与AC 所成的角为
．则
.
9.三射线定理
若夹在平面角为
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是
,
,与二面角的棱所成的
角是θ，则有
;
(当且仅当
时等号成立).
长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
，夹角分别为
,则有
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
10.空间两点间的距离公式
若A
，B
，则
=
.
11.点
到直线距离
(点
在直线上，直线的方向向量a=
，向量b=
).
12.异面直线间的距离
(
是两异面直线，其公垂向量为
，
分别是
上任一点，
为
间的距
离).
13.点
到平面
的距离
（
为平面
的法向量，
是经过面
的一条斜线，
）.
14.异面直线上两点距离公式
.
.
（
）.
(两条异面直线a、b 所成的角为θ，其公垂线段
的长度为h.在直线a、b 上分别取两点E、F，
,
,
).
15.欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E 和面数F).
（1）
=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：
；
（2）若每个顶点引出的棱数为
，则顶点数V 与棱数E 的关系：
.
结论13 直线与圆
1. 两平行线距离
Ax+ By+C1=0 与 Ax+ By+C2=0 的距离
d=|C1−C2)
❑√A
2+ B
2
2. 对称问题
点关于点对称：P (x,y) 关于 Q (a,b) 的对称点为 P′(2a−x,2b−y)。
点关于直线对称：
设直线 l:Ax+ By+C=0，点 P(x0,y0) 关于 l 的对称点 P′(x′,y′) 满足：
{
x′−x0
A
=y′−y0
B
A x0+x′
2
+ By0+y′
2
+C=0)
点(x,y)关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标为
直线关于点对称：直线 l 关于点 P 对称的直线与 l 平行，且到 P 距离相等。
设原直线
, 对称中心
则对称直线
方程为：
或
推导：由轨迹法，将
代入
整理即得。
公式2：斜截式速算
若
, 对称中心
则
方程为：
结论：斜率不变（因平行），仅截距变化。
直线关于直线对称：利用角平分线或距离相等求解。
对于任意直线
和对称轴
, 对称直线
的方程可由对称点性质推导，
公式如下：
3. 过圆上一点的切线方程
圆 x
2+y
2=r
2 上一点 P(x0,y0) 的切线：x0x+y0y=r
2。
圆 (x−a)2+ (y−b)2=r
2 上一点 P(x0,y0) 的切线：(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r
2。
4 过圆外一点的切线方程
设圆外一点 P(x0,y0)，切线斜率 k，则切线方程为 y−y0=k(x−x0)，由圆心到直线距离等于半径求 k，
注意斜率不存在的情况。
5. 切线长公式
从圆外一点 P(x0,y0) 引圆的切线，切点为 T，则切线长
|PT)= ❑√(x0−a)
2+(y0−b)
2−r
2
6. 切点弦方程
从圆外一点 P(x0,y0) 引圆的两条切线，切点弦所在直线方程：
圆 x
2+y
2=r
2：x0x+y0y=r
2。
圆 (x−a)2+ (y−b)2=r
2：(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r
2。
7. 以弦为直径的圆方程
若直线 Ax+ By+C=0 与圆 x
2+y
2+ Dx+ Ey+ F =0 相交于两点，则以弦为直径的圆方程为
x
2+y
2+ Dx+ Ey+ F+λ(Ax+ By+C)=0
（该方程表示过两交点的圆系，当 λ 取适当值时可得到直径圆，通常利用圆心在弦的中垂线上确定 λ
。）
8. 中点弦问题
若直线与圆相交，且已知弦的中点坐标，可利用“点差法”求直线斜率：
设圆 x
2+y
2=r
2，弦中点 M (x0,y0)，则弦所在直线斜率 k=−x0
y0
（y0≠0）。
一般圆 (x−a)2+ (y−b)2=r
2，弦中点 M (x0,y0)，则直线斜率 k=−x0−a
y0−b （y0≠b）。
9. 过两圆交点的圆系：
设两圆 C1:x
2+y
2+ D1x+E1y+ F1=0，C2:x
2+y
2+ D2x+E2y+ F2=0，则过它们交点的圆系方程为
C1+λC2=0(λ≠1
−
)
当 λ= 1
− 时，得到两圆公共弦所在直线方程 (D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0。
10. 过直线与圆交点的圆系：
直线 l:Ax+ By+C=0 与圆 C:x
2+y
2+ Dx+ Ey+ F =0 相交，则过交点的圆系方程为
x
2+y
2+ Dx+ Ey+ F+λ(Ax+ By+C)=0
11. 圆上点到定点距离的最值：
圆 (x−a)2+ (y−b)2=r
2 上一点 P 到定点 Q(x0,y0) 的距离的最值：
max=|CQ)+r, min=||CQ)−r|
12. 圆上点到定直线距离的最值：
圆上点到直线 l 的距离的最值：圆心到直线距离 d，则 max=d+r，min=|d−r)。
1.
切线长最值：从圆外一点到圆的切线长，当点在圆外运动时，利用几何关系求最值。
2.
弦长最值：过圆内一定点的弦，最短弦垂直于该点与圆心连线，最长弦为直径。
13. 两圆的公共弦与公切线
公共弦方程：两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程（若相交）。
公切线：
外离时，有 4 条公切线；
外切时，有 3 条公切线；
相交时，有 2 条公切线；
内切时，有 1 条公切线；
内含时，有 0 条公切线。
结论14 圆锥曲线
1.解析几何中的切线方程
①过圆( x−a)2+( y−b)2=r2
上任意一点P(x0, y0)的切线方程为( x0−a)( x−a)+( y0−b)( y−b)=r2
②过椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>0,b>0)
上任意一点P(x0, y0)的切线方程为
xx 0
a2 +
yy 0
b2
=1
③过双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)
上任意一点P(x0, y0)的切线方程为
xx 0
a2 −
yy 0
b2
=1
④设 P(x0, y0) 为抛物 线 y
2=2 px 上的点, 则过该点的切线方程为y y0= p(x + x0)
2.解析结合中的切点弦方程
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①圆x2+ y2+Dx +Ey +F=0 的切点弦方程为
x0 x+ y0 y+ x0+x
2
D+ y0+ y
2
E+F=0
②椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>0,b>0)
的切点弦方程为
x0 x
a2 + y0 y
b2 =1
③双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)
的切点弦方程为
x0 x
a2 −y0 y
b2 =1
④抛物线y2=2 px ( p>0)的切点弦方程为y0 y=p( x0+x)
⑤二次曲线的切点弦方程为
Ax 0 x+B x0 y+ y0 x
2
+Cy 0 y+D x0+x
2
+E y0+ y
2
+F=0
3.相切的条件
①椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>0,b>0)
与直线Ax +By +C=0( A·B≠0)相切的条件是A2a2+B2b2=C2
②双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)
与直线Ax +By +C=0( A·B≠0)相切的条件是A2a2−B2b2=C2
4.斜率关系
若A、B、C、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线
AC、BD 的斜率存在且不等于零,并有kAC +kBD =0 ,(kAC ,kBD 分别表示AC 和BD 的斜率)
5.常见不等式
已知椭圆方程为
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
，两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF 1F2中∠PF 1F2=θ ，
则cosθ≥1−2e2
(cosθmax=1−2e2
)
6.椭球体积
椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为
V =4
3 πab
7.纵坐标之和
y=kx+m 与椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
相交于两点，则纵坐标之和为
2mb 2
a2k2+b2
8.渐近线围成的四边形面积
过双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)
上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为
ab
2
9.帕斯卡定理
如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上
10.斜率定值
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
−a2
b2 (a>b>0)
推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
−a2
b2 (a>b>0)
推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B 两点，则直线AB 的斜率为定值
11.椭圆和双曲线的结论汇总
椭圆
双曲线
标准方程
焦点
焦点
焦半径
为离心率，
为点
的横坐标.
为离心率，
为点
的横坐标.
焦半径范围
为椭圆上一点，
为焦点.
为双曲线上一点，
为焦点.
通径
过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径长为
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为
如图，直线过焦点
与椭圆相交于
两点.则
的周长为
.
（即
）
如图，直线过焦点
与双曲线相交于
两点.则
.
焦点弦
倾斜角为
的直线过焦点
与椭圆相交
于
两点.
焦点弦长
.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
倾斜角为
的直线过焦点
与双曲线相
交于
两点.
焦点弦长
.
与
数量关系
直线过焦点
与椭圆相交于
两点，
则
.
直线过焦点
与双曲线相交于
两
点，则
.
已知点
是椭圆上一点，
坐标原点，
则
.
已知点
是双曲线上一点，
坐标原点，
则
.
焦点三角形
如图，
是椭圆上异于长轴端点的一点，
已知
，
，
，则
（1）
；
（2）离心率
.
如图，
是双曲线上异于实轴端点的一
点，已知
，
，
，则
（1）
；
（2）离心率
.
垂径定理
如图，已知直线
与椭圆相交于
两
点，点
为
的中点，
为原点，则
.
如图，已知直线与双曲线相交于
两
点，点
为
的中点，
为原点，则
.
（注：直线与双曲线的渐近线相交于
两点，其他条件不变，结论依然成
立）
周角定理
如图，已知点
椭圆长轴端点（短轴端
点），
是椭圆上异于
的一点，
则
.
推广：如图，已知点
是椭圆上关于原
点对称的两点，
是椭圆上异于
的一
点，若直线
的斜率存在且不为
零，
如图，已知点
双曲线实轴端点，
是
双曲线上异于
的一点，
则
.
推广：如图，已知点
是双曲线上关于
原点对称的两点，
是双曲线上异于
的一点，若直线
的斜率存在且不
为零，
.
直线过焦点
与椭圆相交于
两点，点
，
则
（即
）.
直线
过焦点
与双曲线相交于
两点，点
，
则
（即
）.
切线方程
已知点
是椭圆上一点，则椭圆
在点
处的切线方程为
.
已知点
是双曲线上一点，则双
曲线在点
处的切线方程为
.
12.补充结论1
1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：
设斜率为
的直线过定点
，双曲线方程为
，过点
与双曲线相
切时的斜率为
.
（1）当
时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；
（2）当
时，直线与双曲线只有一个交点；
（3）当
时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；
（4）当
时，直线与双曲线只有一个交点；
（5）当
时，直线与双曲线没有交点.
2．如图，
是双曲线
的焦点，过点
作
垂直双曲线的其中一条渐近
线，垂足为
，
为原点，则
.
3．点
是双曲线
上任意一点，则点
到双曲线的渐近线的距离之积为定值
.
4．点
是双曲线
上任意一点，过点
作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线
相交于
两点，
为原点，则平行四边形
的面积为定值
.
13.抛物线的结论
如图，抛物线方程为
，准线
与
轴相交于点
，过焦点
的直线与抛
物线相交于
，
两点，
为原点，直线的倾斜角为
.
1．
2．焦半径：
，
，
.
3．焦点弦：
.
4．
的数量关系：
，
.
5．三角形
的面积
.
6．以焦点弦
为直径的圆与准线相切；以焦半径
为直径的圆与
轴相切.
7．直线
的斜率之和为零（
），即
.
8．点
三点共线；点
三点共线.
9．如图，点
是抛物线
，
为原点，若
，则直线
过定点
.
14.补充结论2
1.已知椭圆
（a＞b＞0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且
.则
（1）
;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为
;
（3）
的最小值是
.
2.与
共轭的双曲线方程为
，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆
心，C 为半径的圆上；③
。
3.与
有相同焦点的双曲线方程为
4.与
有相同焦点的椭圆方程为：
5.与
有相同焦点的双曲线方程为：
6.与
有相同离心率的双曲线方程为：
①焦点在
轴上时：
②焦点在
轴上时：
7.与
有相同的渐近线方程为：
；
15.阿波罗尼斯圆
平面内到两个定点A，B 的距离之比为定值
的点M 的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．
特别的，当
时，点M 的轨迹是线段AB 的中垂线.
证明 以直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，并设
，
，
．
因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，所以点M 的轨迹是圆．
2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似
当把点A，B 的坐标分别记为
，
时，其阿波罗尼斯圆的方程为
，
即
，则阿波罗尼斯圆圆心为
，半径为
，
此时有
，于是
与
相似．
若取
，
，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M 为阿波罗尼斯
圆上一点，且M 不与O，A，B 三点所在直线共线时，
相似于
．
16.蒙日圆
与曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相切的两条动直线交于一点，求离心率、曲线方程、点到直线的距
离等问题．
1.蒙日圆的相关定理：
（1）与椭圆
相切的两条垂直切线的交点在圆
上．
（2）与双曲线
相切的两条垂直切线的交点在圆
上，此时双曲线的离心
率满足
．
（3）与抛物线
相切的两条垂直切线交点的轨迹，就是该抛物线的准线．
（4）与圆
相切的两条垂直切线的交点在圆
上．
蒙日圆的证明（以椭圆为例）：
①当平面中两条互相垂直的切线的斜率不存在或斜率为0 时，可得
的坐标为
．
②当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为
，交点为
，则过
的切线方程为
．由
消去
得
．
令
，整理得
．
∵
是关于
的一元二次方程的两个根，
∴
．
由
，得
，
即
．命题得证．
双曲线，抛物线的定理均可按照这种方式证明．
2.蒙日圆的性质：
性质1：过圆
上的动点
作椭圆
的两条切线
，切点为
，则
，且
平分弦
．
性质2：
为圆
上任一点，过
作椭圆
的两条切线
，切点分别
为
，延长
交圆
于
两点，则
（1）
三点共线；
（2）
；
（3）
；
（4）当
位于
轴上时，弦
取得最大值．
17.硬解定理
椭圆&双曲线的硬解定理
如果直线
与曲线
（m ，n 至少一个为正数）有两个交点
，
．
先将直线方程
与曲线方程
进行联立，得到
，
于是判别式
，
再根据韦达定理得到
于是有
，
从而
．
特别地，对于最常见的斜截式
来说，可令
，
，
，
则有以下结论：
①判别式
．
②
③
．
④
．
抛物线
的硬解定理
如果
与抛物线
有两个交点
，
．先将直线
与抛物线
进行联立，
得到
，于是判别式
，
再根据韦达定理得到
于是有
，
从而
．
抛物线
的硬解定理
如果直线
与抛物线
有两个交点
，
．先将直线
与抛物线
进行联立，
得到
，于是判别式
，
再根据韦达定理得
于是有
，
从而
．
（实际上与抛物线
的硬解定理的区别就是把A，B 对调了一下）
结论15 排列组合、二项式定理
1.二项式系数的性质
性质
内容
对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cn
m=Cn
n−m
增减性
当k＜时，二项式系数逐渐增大；
当k＞时，二项式系数逐渐减小
最大值
当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn
n
2
；
当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn
n−1
2
或Cn
n+1
2
2.二项式系数和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…
＝2n−1.
3.单条件排列
以下各条的大前提是从
个元素中取
个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有An−1
m−1
种；②某（特）元不在某位有An
m−An−1
m−1
（补集思想）=An−1
1
An−1
m−1
（着
眼位置）=An−1
m + Am−1
1
An−1
m−1
（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k(k≤m≤n)个元在固定位的排列有Ak
k An−k
m−k
种.
②浮动紧贴：
个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有An−k+1
n−k+1 Ak
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h 个（k≤h+1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近
的所有排列数有Ah
h Ah+1
k
种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n>m+1时，无解；当n≤m+1时，有
Am+1
n
An
n =Cm+1
n
种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为Cm+n
n
.
4.分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
、
个物件等分给
个人，各得
件，其分配方法数共有
N=Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
⋅⋯⋅C2n
n ⋅Cn
n=(mn )!
(n!)m
.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
·
个物体等分为无记号或无顺序的
堆，其分配方法数共有
N=
Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
...⋅C2n
n ⋅Cn
n
m!
= (mn )!
m!(n!)m
.
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的p( p=n1+n2+⋯+nm)个物体分给
个人，物件必须被分完，
分别得到
，
，…，
件，且
，
，…，
这
个数彼此不相等，则其分配方法数共有
N=C p
n1⋅C p−n1
n2
...Cnm
nm¿m!=
p!m!
n1!n2!...nm! .
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的p( p=n1+n2+⋯+nm)个物体分给
个人，物件必须被
分完，分别得到
，
，…，
件，且
，
，…，
这
个数中分别有a、b、c、…个相等，则其
分配方法数有
N=
C p
n1⋅C p−n1
n2
...Cnm
nm¿m!
a!b!c!...
.
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的p( p=n1+n2+⋯+nm)个物体分为任意的
，
，…，
件无记号的
堆，且
，
，…，
这
个数彼此不相等，则其分配方法数有
N=
p!
n1!n2!...nm! .
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的p( p=n1+n2+⋯+nm)个物体分为任意的
，
，…，
件无记号的
堆，且
，
，…，
这
个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有
N=
p!
n1!n2!...nm!(a!b!c!...) .
（7）(限定分组有归属问题)将相异的
（p( p=n1+n2+⋯+nm)）个物体分给甲、乙、丙，……等
个人，物体必须被分完，如果指定甲得
件，乙得
件，丙得
件，…时，则无论
，
，…，
等
个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
N=C p
n1⋅C p−n1
n2
...Cnm
nm=
p!
n1!n2!...nm! .
5.“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信
封信与
个信封全部错位的组合数为
.
推广:
个元素与
个位置,其中至少有
个元素错位的不同组合总数为
.
6.不定方程的解的个数
不定方程
的解的个数
(1)方程
（
）的正整数解有
个.
(2) 方程
（
）的非负整数解有
个.
(3) 方程
（
）满足条件
(
,
)的非负整数解有
个.
(4) 方程
（
）满足条件
(
,
)的正整数解有
个.
结论16 概率统计
1. 期望与方差
期望：E (X)=∑
i
xipi
方差：D (X)=E[(X−E (X))
2)=∑
i
(xi−E (X))
2pi=E(X
2)−[E (X))
2
标准差：σ(X)= ❑√D (X)
2. 期望与方差的性质
线性：E (aX+ b)=aE (X)+ b，D (aX+ b)=a
2D (X)
可加性：E (X+ Y)=E (X)+E (Y)
若 X,Y 独立，则 E (XY)=E (X)E (Y)，D (X±Y)= D (X)+ D (Y)
3. 两点分布（0-1 分布）
参数 p∈(0,1)，分布列：
P (X =1)=p,P (X =0)=1−p
E (X)=p，D (X)=p(1−p)。
4. 二项分布 X∼B (n,p)
背景：n 次独立伯努利试验，每次成功概率 p，X 为成功次数。
分布列：P (X =k)=Cn
kp
k (1−p)n−k,k=0,1,…,n
期望：E (X)=np
方差：D (X)=np(1−p)
可加性：若 X∼B(n1,p)，Y∼B(n2,p) 独立，则 X+ Y∼B(n1+n2,p)
最可能值：当 (n+1)p 为整数时，有两个最可能值；否则为 ⌊(n+1)p⌋。
5. 超几何分布
背景：总体 N 个元素，其中 M 个特殊，不放回抽取 n 个，X 为特殊元素个数。
分布列：P (X =k)=CM
k CN−M
n−k
CN
n
,k=0,1,…,min (n,M)
期望：E (X)=n M
N
方差：D (X)=n M
N (1−M
N )
N−n
N
1
−
与二项分布关系：当 N 很大时，超几何分布近似为二项分布 B(n,M
N )。
6. 几何分布
背景：独立伯努利试验，首次成功所需的试验次数 X。
分布列：P (X =k)= (1−p)k
1
−p,k=1,2,…
期望：E (X)=1
p
方差：D (X)=1−p
p
2
无记忆性：P (X>m +n∣X>m )= P (X>n)，即 P (X>n)= (1−p)n。
7. 泊松分布 X∼P (λ)
背景：稀有事件发生的次数，常用于计数过程。
分布列：P (X =k)=λ
ke
−λ
k!
,k=0,1,2,…
期望：E (X)=λ
方差：D (X)=λ
可加性：若 X∼P(λ1)，Y∼P(λ2) 独立，则 X+ Y∼P(λ1+λ2)
二项分布近似：当 n 很大，p 很小，np=λ 时，二项分布近似于泊松分布。
8. 负二项分布（帕斯卡分布）
背景：第 r 次成功所需的试验次数 X。
分布列：P (X =k)=Ck
1
−
r
1
−p
r(1−p)k−r,k=r,r+1,…
期望：E (X)=r
p ，方差 D (X)=r(1−p)
p
2
。
当 r=1 时退化为几何分布。
9. 随机变量函数的期望
离散型
若 Y =g (X)，则 E (Y)=∑
i
g(xi)pi。
常用公式
E(X
2)= D (X)+[E (X))
2
E[(X−c)2)= D (X)+(E (X)−c)
2
对于二项分布：E(X
2)=np(1−p)+n
2p
2，E(X
3)=np(1−p)(1 2
−p)+3n
2p
2(1−p)+n
3p
3 等。
10. 样本数字特征
样本平均数：´x=1
n ∑
i=1
n
xi
样本方差（无偏估计）：s
2=1
n
1
−∑
i=1
n
(xi−´x)
2
样本标准差：s=
❑√s
2
中位数：排序后中间的数（或中间两数的平均）
众数：出现次数最多的数
频率分布直方图：各矩形面积 = 频率，面积和为 1；平均数估计为各区间中点乘以频率之和；中位数
为左右面积相等的分界点。
11. 正态分布
密度函数：f (x)=1
❑√2πσ e
−
(x−μ)2
2σ
2
X∼N (μ,σ
2)，则 E (X)=μ，D (X)=σ
2
标准化：Z=X−μ
σ
∼N (0,1)
3σ 原则：
P (μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827,P (μ
2
−σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P (μ
3
−σ<X<μ+3σ)≈0.9973
若 X∼N (μ,σ
2)，则 aX+ b∼N (aμ+ b,a
2σ
2)
若 X1,…,Xn 独立同分布于 N (μ,σ
2)，则 ´X∼N(μ,σ
2
n )。
12. 赛制问题
（1）比赛胜负模型
n 局 m 胜制：比赛进行到一方先赢 m 局为止。
结论：若每局甲胜概率为 p，乙胜概率为 q=1−p，则甲最终获胜的概率为：
Pwin=∑
k= m
n
(
n
k)p
kq
n−k
其中 n 为理论最大总局数（如 5 局 3 胜，n=5），实际比赛可能提前结束，但该公式仍成立（因
(
n
k) 包含所有可能的胜负序列，且包含提前结束的情况）。
简化公式（2 局 1 胜制）：P=p。
3 局 2 胜制：P=p
2+2p
2q（前两局胜 + 前三局中胜两局且第三局胜） = p
2(3 2
−p)。
5 局 3 胜制：P=p
3+3p
3q+6p
3q
2 等，可通式为 P=∑
k=3
5
(
5
k)p
kq
5−k。
通用公式（m 局 n 胜制，n≤m）：
设比赛最多进行 m 局（如 m =2n
1
− 时即为 n 胜制），则甲获胜概率：
P=∑
k=n
m
(
m
k )p
k (1−p)m −k
但需注意，实际比赛中若提前达到 n 胜，后续局不再进行，但此公式仍正确，因为它包含了所有可能胜
负序列的概率，且提前结束的序列正好对应了“恰好第 m 局结束”的情况。
常用变形：利用负二项分布。若甲在恰好第 n+r 局获胜（0≤r≤n
1
−），则前 n+r
1
− 局中甲胜
n
1
− 局，乙胜 r 局，且最后一局甲胜，概率为 (
n+r
1
−
n
1
−
)p
nq
r。总概率为 ∑
r=0
n
1
−
(
n+r
1
−
n
1
−
)p
nq
r。
（2）连胜概率与连败概率
k 连胜：在 n 次独立试验中，至少出现一次 k 连胜的概率，常用递推或马尔科夫链求解。
状态转移：设 fi 表示当前已有 i 连胜时最终达成 k 连胜的概率，可得递推 fi=pfi+1+qf0，边界
fk=1。
13. 决策问题
（1）期望值决策
原则：选择期望收益最大的方案。
应用：购买彩票、投资选择、抽奖策略等。
（2）风险决策（方差与期望的结合）
均值-方差准则：在期望相同的情况下，选择方差小的方案；或通过效用函数 U =E (X)−λD (X) 进行
权衡。
风险厌恶系数：λ>0 表示风险厌恶，λ=0 表示风险中性，λ<0 表示风险偏好。
（3）贝叶斯决策
先验分布：对未知状态 θ 的初始概率分布 P (θ)。
试验：获得观测数据 x，得到似然 P (x|θ)。
后验分布：P (θ|x)∝P (θ)P (x|θ)。
决策：在给定后验分布下，选择使期望损失最小（或期望收益最大）的行动。
（4）最优停止问题（秘书问题、最优选择）
经典问题：依次观察 n 个对象，每个对象有独立随机评分，只能选一个且不能返回，何时停止？
最优策略：跳过前 k 个，然后选择第一个比前面所有都好的对象。最优 k≈n/e，成功概率约 1/e。
（5）动态规划在决策中的应用
如“打靶问题”：每次射击命中概率 p，可选择继续或停止，获得与命中次数相关的奖励，求最优策
略。通常用动态规划递推值函数。
14. 马尔科夫链
（1）基本概念
状态空间：离散状态 S={1,2,…}。
转移概率：pij=P(Xn+1=j∣Xn=i)，满足 ∑
j
❑
pij=1。
一步转移矩阵：P=(pij)。
n 步转移概率：pij
(n)=P(Xn=j∣X0=i)，满足 P
(n)=P
n。
（2）状态分类
吸收状态：pii=1，一旦进入就不再离开。
常返状态：从状态 i 出发，无限次返回的概率为 1。
非常返状态：返回概率 < 1。
周期性：若从 i 出发返回的步数有最大公约数 d>1，则周期为 d。
（3）常见马尔科夫链模型
赌徒破产问题：初始资金 a，目标 N，每次赢概率 p，输概率 q=1−p，资金变化为 ±1。
破产概率：
Pa={
(q/p)a−(q/p)N
1−(q/p)N
,
p≠q
1−a
N ,
p=q=1
2)
随机游走：一维无限制随机游走，常返性取决于步长分布。
分支过程：每个个体产生随机个后代，种群灭绝概率是生成函数的最小不动点。
（4）马尔科夫链在概率统计中的应用
用于描述比赛进程（如网球比分、连败状态）。
用于排队论、库存模型。
结论17 高等数学在高中的应用
1. 重要极限
lim
x→0
sinx
x
=1,lim
x→0
1 cos
−
x
x
2
=1
2 ,lim
x→0
ln (1+x)
x
=1,lim
x→0
e
x
1
−
x
=1
2. 等价无穷小代换（x→0）
sinx∼x, tanx∼x, arcsinx∼x, arctanx∼x, 1 cos
−
x∼x
2
2
ln (1+x)∼x,e
x
1
−∼x,a
x
1
−∼xlna,(1+x)α
1
−∼αx
洛必达法则
若 limx→af (x)=limx→ag (x)=0 或 ∞，且 limx→af′(x)
g′(x) 存在，则
limx→af (x)
g (x) =limx→af′(x)
g′(x)
应用：求解高中难以处理的极限，如 limx→0x
sin
−
x
x
3
。
3. 高阶导数公式
(sinx)
(n)=sin(x+nπ
2 )
(cosx)
(n)=cos(x+nπ
2 )
(e
x)
(n)=e
x
(x
α)
(n)=α(α
1
−)⋯(α−n+1)x
α−n
[ln (1+x))
(n)= (
1
−)n
1
−(n
1
−)!
(1+x)n
4. 莱布尼茨公式（乘积的高阶导数）
(uv)
(n)=∑
k=0
n
Cn
ku
(k)v
(n−k)
5. 隐函数求导
由方程 F (x,y)=0 确定的隐函数 y=y (x)，有
dy
dx =−Fx
Fy
,d
2y
dx
2 =−FxxFy
2
2
−FxyFxFy+ FyyFx
2
Fy
3
6. 参数方程求导
dy
dx =y′(t)
x′(t) ,d
2y
dx
2 =x′(t)y″(t)−y′(t)x″(t)
[x′(t))
3
7. 极值充分条件（高阶导数）
若 f′(x0)=0，且 f
(k)(x0)=0（k=2,…,n
1
−），f
(n)(x0)≠0，则：
当 n 为偶数时，x0 为极值点（f
(n)(x0)>0 极小，<0 极大）；
当 n 为奇数时，x0 为拐点。
8. 不定积分基本公式（补充）
∫tanx dx= ln
−
|cosx)+C, ∫cotx dx=ln|sinx)+C, ∫secx dx=ln|secx+tanx)+C
∫cscx dx=ln|cscx
cot
−
x)+C, ∫dx
x
2+a
2 =1
a arctanx
a +C
∫dx
❑√a
2−x
2 =arcsinx
a +C, ∫dx
❑√x
2±a
2 =ln|x+
❑√x
2±a
2)+C
2. 定积分性质与计算
对称性：若 f (x) 为奇函数，∫
−a
a
f (x)dx=0；若为偶函数，∫
−a
a
f (x)dx=2∫
0
a
f (x)dx
周期函数：若 f (x+ T)=f (x)，则 ∫
a
a+ T
f (x)dx=∫
0
T
f (x)dx
分部积分：∫
a
b
udv= [uv)a
b−∫
a
b
vdu
9. 积分中值定理
若 f 在 [a,b) 连续，则存在 ξ∈[a,b) 使
∫
a
b
f (x)dx=f (ξ)(b−a)
10. 曲边梯形面积与旋转体体积
直角坐标：S=∫
a
b
|f (x))dx
旋转体体积：绕 x 轴 V=π∫
a
b
[f (x))
2dx；绕 y 轴 V=2π∫
a
b
x|f (x))dx（柱壳法）
11. 定积分在数列求和中的应用（积分放缩）
∫
1
n+1
f (x)dx≤∑
k=1
n
f (k)≤f (1)+∫
1
n
f (x)dx（对单调递减函数）
用于估计调和级数、证明数列不等式。
12. 反常积分与 Γ 函数（强基）
Γ(n)=∫
0
+∞
x
n
1
−e
−xdx= (n
1
−)!,n∈ℕ
∗
∫
0
+∞
e
−x
2dx=
❑√π
2
13. 一阶线性微分方程
y′+ P (x)y=Q (x)⇒y=e
∫
−
Pdx(∫Qe
∫Pdxdx+C)
应用：物理问题、几何问题中的导数关系。
14. 可分离变量方程
dy
dx =f (x)g (y)
∫
⇒
dy
g (y) =∫f (x)dx+C
15. 二阶常系数齐次线性微分方程
y″+ py′+qy=0
特征方程 r
2+ pr+q=0：
两根 r1≠r2：y=C1e
r1x+C2e
r2x
重根 r：y=(C1+C2x)e
rx
共轭复根 r=α±βi：y=e
αx(C1cosβx+C2sinβx)
16. 行列式
二阶行列式：∣a
b
c
d¿¿=ad−bc
三阶行列式可用对角线法则或展开法。
17. 矩阵乘法与变换
平面线性变换：(
x′
y′)=(
a
b
c
d)(
x
y)，对应旋转、伸缩、剪切等。
旋转变换矩阵：(
cosθ
sin
−
θ
sinθ
cosθ )
18. 特征值与特征向量
若 A⃗v=λ⃗v，则 λ 为特征值，⃗v 为特征向量。用于微分方程求解、递推数列通项。
19. 矩阵在递推数列中的应用
对于线性递推 an+1=pan+qan
1
−，可写成 (
an+1
an )=(
p
q
1
0)(
an
an
1
−)，进而利用矩阵幂求通项。
20. 曲线的曲率
曲线 y=f (x) 的曲率公式：
K =
|y″)
(1+y′
2)
3/2
应用：求曲线弯曲程度，或与物理中的加速度结合。
21. 参数方程表示的曲线曲率
K =|x′y″−y′x″)
(x′
2+y′
2)
3/2
22. 隐函数求导与切线
由 F (x,y)=0 确定的曲线，在点 (x0,y0) 处的切线方程为
Fx(x0,y0)(x−x0)+ Fy(x0,y0)(y−y0)=0
23. 极坐标下的曲率半径
ρ=
(r
2+r′
2)
3/2
|r
2+2r′
2−rr″)
24. 积分估值（定积分放缩）
若 m ≤f (x)≤M 在 [a,b) 上，则
m (b−a)≤∫
a
b
f (x)dx≤M (b−a)
25. 柯西-施瓦茨不等式（积分形式）
(∫
a
b
f (x)g (x)dx)
2
≤∫
a
b
f
2(x)dx⋅∫
a
b
g
2(x)dx
26. 詹森不等式（离散与连续）
离散：见凸函数部分。
连续：若 φ 凸，则 φ(
1
b−a ∫
a
b
f (x)dx)≤1
b−a ∫
a
b
φ(f (x))dx。
27. 二元函数的泰勒公式（强基）
f (x,y)=f (a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)+1
2 [fxx(a,b)(x−a)2+2fxy(a,b)(x−a)(y−b)+fyy(a,b)(y−b
用于判断多元函数的极值。
27. 空间直线与平面方程
平面方程：A(x−x0)+ B(y−y0)+C(z−z0)=0，法向量 ⃗n= (A,B,C)
空间直线对称式：x−x0
m
=y−y0
n
=z−z0
p
，方向向量 ⃗s= (m ,n,p)
28. 点到直线距离（空间）
点 P 到过点 A、方向向量 ⃗s 的直线的距离：
d=|⃗AP×⃗s)
|⃗s)
29. 异面直线距离（空间向量法）
直线 L1 过点 A1，方向 ⃗s1；直线 L2 过点 A2，方向 ⃗s2，公垂线段长度：
d=|⃗A1A2⋅(⃗s1×⃗s2))
|⃗s1×⃗s2)
30. 混合积与体积
平行六面体体积：V =|⃗a⋅(⃗b×⃗c))
四面体体积：V=1
6 |⃗AB⋅(⃗AC×⃗AD))
