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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
房山区中学 2023-2024 学年度第一学期期中学业水平调研
九年级数学
本调研卷共8页，共100分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在调研卷
上作答无效．调研结束后，将答题卡交回，调研卷自行保存．
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 已知 ，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，故A不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，故B符合题意；
C、∵ ，
∴ ，故C不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
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2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如 的顶点坐标为 是解题的关键．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故选C．
3. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割比可进行求解．
【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数；
故选A．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
4. 如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握其判定
及性质是解题的关键．
【详解】解： ，
，
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，即： ，
解得： ，
，
故选B．
5. 把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达
式是（ ）
A. y＝3（x+2）2+1 B. y＝3（x+2）2﹣1
.
C y＝3（x﹣2）2﹣1 D. y＝3（x﹣2）2+1
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．
【详解】解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴y＝3（x﹣2）2﹣1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，准确计算是解题的关键．
6. 已知蓄电池两端电压 为定值，电流 与 的函数关系为 ．当 时， ，则当
时， 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出 的值，由此即可得．
【详解】解：由题意得： ，
∵当 时， ，
，
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解得 ，
，
则当 时， ，
故选：A．
7. 若点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对
称轴，根据点 ， ， 到对称轴的距离大小求解．
【详解】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
，
．
故选：D．
8. 已知：在四边形 中， ， ，点 是线段 上一点，且 平分 ，
平分 ，给出下面四个结论：
① ；② ；③ ；④
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
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A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据 和 平分 ， 平分 推出 即可证明
，可证明①正确；根据 推出 ，根据 推出
，从而推出 ，即可推出 ，可证明②正确；根据两角分
别相等的两个三角形相似判定 后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出
可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案．
【详解】∵ ，
∴
∵ 平分 ， 平分
，
∴ ，
∴ ；
故①正确；
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
∵
，
，
，故③正确；
故④不正确；
正确的有①②③.
故选: C.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相
等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键.
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在函数y= 中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】 .
【解析】
【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使
在实数范围内有意义，必须 .
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10. 已知 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得x、y的关系，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键．
11. 请写出一个图象的顶点为 的二次函数的表达式：___________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式“ （k为常数，
）”，是解题的关键．
【详解】解： 二次函数的顶点式为： （k为常数， ），
图象的顶点为 的二次函数的表达式可以为： ，
故答案为： （答案不唯一）．
12. 若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比是________．
【答案】1：2
【解析】
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【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求得．
【详解】解：∵两相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的周长比是1：2，
为
故答案 ：1：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．
13. 如图，点 ， 分别在△ 的 ， 边上．只需添加一个条件即可证明△ ∽△ ，
这个条件可以是_____．(写出一个即可)
【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【解析】
【分析】由已知得到∠A是公共角，只需添加另一组角相等过夹角A的两条边成比例即可．
【详解】∵∠A=∠A，
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时， ∽△ ；
当 时， ∽△ ；
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 ．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
14. 如图，已知反比例函数 的图象经过点A，且 ． 的面积为2，则k的值为______
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【答案】4
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质可以得到 的面积等于 的一半，由此可以得到它们的关系．
【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得 面积等于 ，
解得： ，
∵反比例函数 （k为常数， ）的图象在第一和第三象限，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，
与坐标轴围成的矩形面积就等于 是解题的关键．
15. 如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园 ，其中一边 靠墙，其余的三边 ，
， 用总长为40米的栅栏围成．设矩形 的边 米，面积为S平方米．
（1）活动区面积S与 之间的关系式为____________；
（2）菜园 最大面积是____________平方米．
【答案】 ①. ②. 200
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，
（1）表示出 ，由矩形面积公式可得函数关系式；
（2）把面积S配成顶点式，由二次函数性质可得答案．
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【详解】解：（1）由题意得： ，
∴ ，
∵ ，解得 ，
∴活动区面积S与 之间的关系式为 ；
的
解：（2）由（1）得：活动区面积S与 之间 关系式为 ，
∵ ，
∴当 时，S取最大值200，
∴菜园 最大面积是200平方米；
16. 二次函数 的图象经过 ， ， 三点．
下面四个结论：
①抛物线开口向下；
②当 时， 取最小值 ；
③当 时，一元二次方程 必有两个不相等实根；
④直线 经过点 ， ，当 时， 的取值范围是 ．
所有正确结论的序号是___________．
【答案】②④
【解析】
【分析】将点 的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为 画出函数图象
进而求解.
【详解】将点 的坐标代入抛物线表达式得
，解得 ，
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故抛物线的表达式为 函数图象如下：
，故抛物线开口向上，故①错误，不符合题意；
②抛物线开口向上，顶点为
∴当 时，y取最小值 ，故②正确，符合题意；
③∵函数的最小值为 ，
故 时, 直线 和 有一个或没有交点，
故一元二次方程 无解或有两个相等实根，故③错误，不符合题意；
④观察函数图象，直线 经过点 ,
当 时， 的取值范围是 故④正确，符合题意；
故答案为: ②④.
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式(组) 和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数
图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解.
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 如图， ， 相交于点 ， ．
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求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握运用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法是解题的
关键．
【详解】解：∵ ，
∴
∵
∴△ ∽△
18. 若 ，求 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，分式方程的解法，一元二次方程方程的解法，先将比例式方程化为分式方
程，再按分式方程的解法求解即可．
【详解】解：化为分式方程得： ，
化为整式方程得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
因式分解得： ，
解得： ， ，
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经检验： ， 都是原方程的解．
19. 已知二次函数 ．
（1）求出二次函数图象的对称轴和与 轴的交点坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出 时， 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴；令 ，可得代入抛物线解
析式，解方程即可得出与 轴交点坐标；
（2）根据图象与 轴的交点坐标，可确定 时， 的取值范围．
【小问1详解】
解： ，
二次函数图象的对称轴为： ，
当 时， ，
与 轴的交点坐标为 ；
【小问2详解】
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二次函数 图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
当 时， ，
解得： ， ，
二次函数图象与 轴交点坐标为 或 ；
图象如下：
时，自变量 的取值范围： ．
【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：
，顶点坐标为 ，对称轴 ，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．
20. 如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点． 和 的顶点都在边长为1
的小正方形的格点上．
（1）则 __________°， __________；
（2）判断 与 是否相似．若相似，请说明理由．
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【答案】（1） ，
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形对角线的性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定．
（1）根据正方形对角线性质，每条对角线平分一组对角，得到 的度数，再根据邻补角定义即可得
到 的度数；利用勾股定理，即可求出 的值，构造 利用勾股定理，是解题关键；
（2）方法一：根据正方形对角线长度等于正方形边长的 倍，可求出对角线 ， 的值，然后通过
构造 ，利用勾股定理可求出 的值，由此即可得到 和 三边的值，根据相似三角
形的判定“三边对应成比例，两三角形相似”，即可证得结论；方法二：同方法一先求出 ， 的值，
由（1）可得到 的值，同理可求出 的值，已知 ， 的值，然后根据相似三角形判定
“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，即可证得结论，熟练掌握以上相似三角形的判定是解题
关键．
【小问1详解】
解：如图，令 的正方形顶点分别为 ， ， ， ，
由题意得 为边长为1的小正方形的对角线，
，
，
由图可知， 是 的斜边， ，
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．
【小问2详解】
解：判断： ，
解法一：
证明： 为边长为2的小正方形的对角线， 为边长为1的小正方形的对角线，
， ，
由图可得 是 的斜边， ，
，
又∵ ， ，
，
，
．
解法二：
证明： 为边长为2的小正方形的对角线， 为边长为1的小正方形的对角线，
， ，
又 ， ，
，
，
， 都是正方形的对角线，
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，
，
．
21. 已知二次函数 图象上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：
0 1 2 3 4
5 0 0
求这个二次函数的表达式及 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据选取的点设合适的二次函数解析式
的形式．
【详解】解：解法一：由题意，设二次函数的表达式为
∵二次函数经过点
∴
解得
∴二次函数的表达式为 ．
当 时，
解法二：由题意，设二次函数的表达式为 ．
∵二次函数经过点 ，
∴ ．
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∴ ．
∴二次函数的表达式为 ．
即 ．
当 时，
解法三：由题意，设二次函数的表达式为
∵二次函数经过点 ，
∴ ．
∴ ．
∴二次函数的表达式为 ．
即 ．
当 时，
22. 同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比
例”．下面是小明同学思考出的两种不同的证明方法，请选择其中一种完成证明．
已知：如图， 中， 是角平分线．
求证： ．
方法一 方法二
证明：如图，过点 作 ，与 证明：如图，过点 作 于 ，过
的延长线交于点 ． 点 作 于 ．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】方法一，过 作 ．交 的延长线于 ，利用平行线分线段成比例定理得到
，可得结论；
方法二：过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N，过点A作AP⊥BC于P，那么它们面积的比就
等于底的比即可得出结论．
【详解】解：方法一：证明：如图，过点C作CE∥AD与BA得延长线交于点E．
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
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∴
∵
∴
方法二：证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N，过点A作AP⊥BC于P．
∵
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，掌握相似三角形的性质和角平分线的性质是
解题的关键．
23. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点
．
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（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出 时， 的取值范围是____________．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，由函数图像求不等式解集．
（1）把点 代入 求得 的值，求出 点坐标，然后根据待定系数法即可求出反比例函数
解析式；
（2）先求出一次函数与反比例函数的另一个交点，再根据函数图像即可求得．
【小问1详解】
解： 一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，
当 时， ，
，
，
反比例函数的表达式为 ；
【小问2详解】
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当 时， ， ，
一次函数与反比例函数的另一个交点为 ，
由图象可知，当 时， 的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
24. 小宇在学习过程中遇到了一个函数 ．
下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：
（1）对于函数 ，当 时， 随 的增大而减小，
对于函数 ，当 时， 随 的增大
而结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 ，当 时， 随 的增大而____________；
（2）当 时，对于函数 与 的几组对应值如下表：
1 2
2
在平面直角坐标系 中，画出当 时函数 的图象．
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（3）过点 作平行于 轴的直线 ，结合（1）（2）的分析，解决问题：
若直线 与函数 的图象有两个交点，则 ___________．
【答案】（1）减小；减小
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象和性质，解题的关键是：
（1）首先判断出当 时， 的变化，根据两部分的函数增减性一致即可分析；
（2）利用表格中的数据，描点，连线即可；
（3）根据（1）中结论判断出直线l在y轴左侧必定与函数 有一个交点，再找到直线l在y轴右侧有一个
交点时的m值即可．
【小问1详解】
解：对于函数 ，当 时， ，
则 随 的增大而减小，
∴对于函数 ，当 时， 随 的增大而减小，
故答案为：减小，减小；
【小问2详解】
如图所示：
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【小问3详解】
由（1）可得：对于函数 ，当 时， 随 的增大而减小，
而 中，y值可以无限大，也可以无限小，
故直线l在y轴左侧必定与函数 有一个交点，
则只需在y轴右侧与函数 有一个交点即可，
如图，当 时满足题意，
综上： ．
25. 如图，在平行四边形 中，延长 至点 ，使 ，连接 交 于点 ．
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（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边行的性质可得 ，再证 ，即可求证；
（2）可证 ，可得 ，结合平行四边形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
．
【小问2详解】
解： 四边形 是平行四边形
， ， ，
， ，
，
，
， ，
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，
，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握三角形相似的模
型：“ ”字形和“ ”字形的判定方法是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ，若 ， 为抛物线上
两个不同的点，设抛物线的对称轴为 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若对于 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得抛物线的对称轴为 ，再利用抛物线的对称轴公式 可得
的值；
（2）对于任意的 ， 随 的增大而减小，分类讨论 和 时 的取值范围，当 时不能
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满足 ，都有 ，当 时可以满足对于 ，都有 的条件，使得对称
轴 ，从而可求出 的取值范围．
【小问1详解】
抛物线的对称轴为 ，且 ，
对称轴为： ，
即 ，
解得 ．
【小问2详解】
由题意可得，对于任意的 ， 随 的增大而减小，
①当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，在对称轴的左侧满足题意，而在
对称轴的右侧 都有 ，故不符合题意；
②当 时，对于任意的 ， 随 的增大而减小，
从而 ，
解得： ．
【点睛】此题考查了抛物线的对称轴，解一元一次方程，抛物线的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列
不等式，掌握抛物线的性质和对称轴公式是解题关键．
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27. 如图，在 中， ， ，过点 的射线与斜边 交于点 ， 于
点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若满足 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余角和互余的性质，即可证明结论；
（2）过点B作 ，交AD延长线与点F，先证明 ，得到 ，
，再证明 ，得到 ，进而得出 ，最后利用勾股
定理，即可求出 的值．．
【小问1详解】
证明：
【小问2详解】
解：如图，过点B作 ，交AD延长线与点F，
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， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的特征，
垂线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
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28. 定义：在平面直角坐标系 中，当点 在图形 的内部，或在图形 上，且点 的横坐标和纵
坐标相等时，则称点 为图形 的“和谐点”．
（1）如图，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ，
， 中，是矩形 “和谐点”的是____________；
（2）点 是反比例函数 图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”
的坐标是__________，直线 的表达式是 _____________；
（3）已知点 ， 是抛物线 上的“和谐点”，点 在点 的左侧，点 是抛物线的
顶点，连接 ， ， ，求点 ， 的坐标，并直接写出 的面积．
【答案】（1）
（2） ，
（3） ， ，面积是12
【解析】
【分析】（1）通过观察图形和题中给的定义即可解答；
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（2）联立 ，可得H点的坐标，根据待定系数法即可求出 的解析式；
（3）根据“和谐点”横坐标和纵坐标相等，可得“和谐点”都在 上，和抛物线解析式联立可求A，B两
点坐标，从而求出 ，即可求解．
【
小问1详解】
解：由图可得： ， 分别在矩形 的内部和边上，
∴ 是矩形 “和谐点”；
【小问2详解】
解： 把 代入 得： ，
∵“和谐点”横坐标和纵坐标相等，
∴“和谐点”都在 上，
联立 ，解得： ，
∴H点的坐标是 ，
∴ 的解析式是 ；
【小问3详解】
解：如图，
∵“和谐点”横坐标和纵坐标相等，
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∴“和谐点”都在 上，
联立得： ，解得： ，
∵点 在点 的左侧，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、一次函数等知
识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．
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