文档内容
第 08 讲 投影 （3 个知识点+4 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物
体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面
叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投
影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
知识点2．中心投影
（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成
的影子就是中心投影．
（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的
关系．
（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影
就是中心投影．知识点3．视点、视角和盲区
（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点．
（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．
（3）盲区：视线到达不了的区域为盲区．
题型强化
题型一、平行投影
1．（2025九年级下·全国·专题练习）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）
A． B． C． D．
2．（2023·福建厦门·模拟预测）小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加
了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比
赛的照片是 （填“甲”或“乙”）．
3．（21-22九年级·全国·课后作业）树甲在阳光下的影子如图所示.
(1)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子（用线段表示并说明）；
(2)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里，那么树甲至少要多高？请画图表示并说明．题型二、中心投影
4．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，球吊在空中，当发光的手电筒由远及近向该球靠拢时，落在
竖直墙面上的球影子会（ ）
A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大
5．（2024九年级·全国·竞赛）一个士兵因犯错被罚站军姿，如图中 所示，在他的左上方有一个路灯
为他在路灯下站军姿时形成的影子 ．站了军姿后又被命令卧倒，并匍匐前进．在他向右
卧倒的过程中，设他的影子的长度的最大值为 ，最小值为 ，现有下列结论：① ；② ；③
；④影子的长度先增后减．其中正确结论的序号是 ．
6．（22-23九年级·云南文山·期中）在一直线上有几根竹竿．它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的
粗线段）．
(1)根据灯光下的影子确定光源的位置．
(2)画出竹竿 的影子（用线段表示）；
(3)画出影子为 的竹竿．（用线段表示）．题型三、正投影
7．（2023·贵州遵义·模拟预测）把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是
（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）一根长为 的木棒在平行光线上形成的正投影为 ，则 的取
值范围为 ．
9．（21-22九年级下·广东河源·期末）把下列物体与它们的投影连接起来．题型四、视点、视角和盲区
10．（九年级下·全国·单元测试）人离窗子越远，向外眺望时此人的盲区是（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
11．（九年级下·全国·单元测试）大型礼堂中的座位都呈阶梯状安放，这样安放的道理是 ．
12．（九年级下·全国·单元测试）如图，李平和张亮分别骑自行车从两条小胡同驶向马路，当他们分别行
驶到图中的A，B位置时，哪个看到的范围更大一些？为什么？你还能举出生活中类似的例子吗？
分层练习
一、单选题
1．下列投影一定不会改变 的形状和大小的是（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．正投影 D．当 平行投影面时的正投影
2．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ）A． B．
C． D．
3．矩形窗框在太阳光下的影子不可能是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．线段
4．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有记载：“今有竿不知其长，量得影长百寸，立一标
杆，长二十寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意是：现在有一根不知道长度的竹竿，（把它竖立在太阳
下）测量得它的影子长100寸，同时竖立一根长度为20寸的标杆，测量得它的影子长5寸，则竹竿的长度
是（ ）
A．25寸 B．40寸 C．200寸 D．400寸
5．如图，晚上小明在路灯下沿路从 处径直走到 处，这一过程中他在地上的影子（ ）
A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短
6．某一时刻，身高 的小丽在阳光下地面上的影长是 ，同一时刻同一地点测得某旗杆地面上的影
长是 ，那么该旗杆的高是（ ）
A．5 B．20 C．40 D．8
7．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B．C． D．
8．在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长
B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
9．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建
筑物PD的路段是( )
A．AB B．BC C．CD D．DE
10．如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为 、 ．则木杆
在 轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
二、填空题
11．两个物体映在地上的影子有时在同侧，有时在异侧，则这是 投影．(填“平行”或“中心”)
12．如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；三种情形下铁丝的正投影各是什么形
状？（1）铁丝平行于投影面；
（2）铁丝倾斜于投影面；
（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）．
通过观察，我们可以发现：
（1）当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段AB，线段与它的投影的大小关系为AB
1 1
AB；
1 1
（2）当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段AB，线段与它的投影的大小关系为AB
2 2
AB；
2 2
（3）当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个 ．
13．某一时刻，小强测得直立于地面上的1m的木杆的影长为0.6m，此刻学校20m高的教学楼的影长是
14．如图，地面A处有一盏射灯，小超在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离射灯的距
离的变大而 ．（填“变大”“变小”或“不变”）
15．教室中的矩形窗框在太阳光的照射下，在地面上的影子是 ．
16．如图，小明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子 的长为1米，继续往前走8米到达E处
时，测得影子 的长为2米，已知小明的身高是1.6米，则路灯的高度AB 为 米．
17．如图，体育兴趣小组选一名身高1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2m，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是 m．
18．如图，小丽家旁边有两棵树，一棵高11米的 和一棵高6米的 ，它们都与地面垂直．某一时刻，
在太阳光照射下，树 落在地面上的影子 的长为12米，落在小丽家墙上影子 的长为2米，另一棵
树 落在地面上的影子 的长为4米，则落在小丽家墙上的影子 的长为 米．
三、解答题
19．明明与亮亮在借助两堵残墙玩捉迷藏游戏，若明明站在如图所示位置时，亮亮在哪个范围内活动是安
全的？请在图(1)的俯视图(2)中画出亮亮的活动范围．
20．有两根木棒AB，CD在同一平面上直立着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图所示，请你在
图中画出这时木棒CD的影子．21．如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设
小丽身高为1.6m．
(1)求灯杆AB的高度；
(2)小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．22．一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是△ABC，已知AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，求圆锥的
体积和侧面积．
23．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长．
24．如图，在学校的操场上，有一棵大树和一根旗杆.(1)请根据树在阳光照射下的影子，画出旗杆的影子；（用线段表示）
(2)若此时大树的影长6m，旗杆高4m，影长5m，求大树的高度.
25．某校墙边有两根木杆．
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，你能画出乙木杆的影子吗？(用线段表示影子)
(2)当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
(3)在你所画的图中有相似三角形吗？
26．如图，正方形 的边长为 ，点 ， ， 分别为AD， ，CD的中点．现从点 观察线段
AB，当长度为 的线段 （图中的黑粗线）以每秒 个单位长的速度沿线段 从左向右运动时， 将阻挡部分观察视线，在 区域内形成盲区．设 的左端点从 点开始，运动时间为 秒 ．设
区域内的盲区面积为 （平方单位）．
求 与 之间的函数关系式；
请简单概括随的变化而变化的情况．
