文档内容
6.2.2 线段的比较与运算
教学目标
课题 6.1.2线段的比较与运算 授课人
1.能用尺规作图，会画一条线段等于已知线段.
2.会用度量法与叠合法来比较线段的长短.理解两条线段的长短比较所隐含的意义，能从
“量”与“形”上进行转化.
3.掌握线段的基本事实：两点之间，线段最短.理解两点间距离的意义，能度量和表达两
素养目标
点间的距离.
4.理解线段的和、差及线段中点的意义，了解三等分点、四等分点的意义.会画两条线段
的和、差，体会数形结合思想，并能进行简单的应用.
1.线段长短的比较.
教学重点 2.关于线段的基本事实.
3.线段的中点.
教学难点 线段的中点、三等分点、四等分点的表示方法及运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情 【问题引入】
境，导入新课 观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段 a和b的长短
【教学建议】
设计意图 吗？
这里可先让学
由几何中线段视觉
错觉问题作为引 生通过直观观察说
入，激发学生的学 出线段的长短，再
习兴趣和解决问题 结合学生的回答引
的热情.
三组图形中，线段a和b的长度均相等.
出本节课的内容.
很多时候，眼见未必为实.准确比较线段的长短还需要更加严
谨的方法.如何找到更为严谨的方法呢？这就是本节课要解决的问
题.
活动二：实践探 探究点1尺规作图、线段长短的比较 【教学建议】
究，获取新知 Ⅰ.尺规作图 对于问题 2，
问题1 如图，老师手里的纸上有一条线段，你能在你的本子 这是学生首次接触
设计意图
上作出一条同样长短的线段吗？ 尺规作图，学生能
尺规作图的概念和
完成作图即可，不
“作一条线段等于
可用刻度尺直接测量后画出.
已知线段”是为后 要求说出作法，教
问题2 除了常用的用刻度尺度量的方法，是否还有其他方
面线段的运算做铺 师也可以鼓励学生
法？
垫. 用自己的语言表述
可用圆规和无刻度的直尺作图.
作图过程.
注 意 提 醒 学
生：尺规作图一般
要求作出图形 ， 说
明结果 ， 并保留作
图痕迹.
概念引入：
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.教学步骤 师生活动
问题3想一想，两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥 【教学建议】
了什么作用？ 这里学生类比
刻度尺可以量出长度和画出相应线段.直尺只能用来画线，不 后会用到下面的方
能测量线段的长度，圆规可测量线段的长度. 法：
①用刻度尺分
Ⅱ.线段的长短比较
设计意图 别测量出两位同学
如何进行更为严谨的线段长短比较，我们可从身高比较中找
的身高，将所得的
让学生从身高比较 一找方法.
数值进行比较.
引出比较线段长短 问题1 下面两人要比较身高，类比上面尺规作图中的方法，
的两种方法：度量 说一说你是如何比较的？ ②让两人并排
法和叠合法.并通 站在同一块平地
过尺规作图，让学 上，脚底平齐，观
生进一步理解线段
看两人的头顶，直
比较的实质，渗透
接比出高矮.
数形结合思想，培
可通过这两种
养学生几何直观.
方法的介绍，引出
线段比较中的度量
法和叠合法.
可按直接测量的方法或脚底平齐再看两人头顶高度的方法进
行比较. 另外教师可用
两根长短不一的粉
问题2 （1）类似地，我们如何比较两条线段的长短呢？ 笔再举下例子.
①度量法： 【教学建议】
在两条线段长
短的比较中，度量
法比较好理解.这个
叠合法就是将其中
②叠合法：使用圆规按【教学建议】中的方法进行“叠合”. 一条线段“移”到
另一条线 段上 ，使
其一端点与另一线
段的一端点重合，
然后观察 两条线段
另外两个端点的位
注意事项：叠合线段时要注意两条线段的一个端点对齐（重 置作比较.教师注意
向学生解释，并提
合），另一个端点落在同一侧.
（2）你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能 醒学生注意：这里
虽然线段的位置改
变了，但线段的长
短保持不变.
性？
【对应训练】
教材P166练习第1题.教学步骤 师生活动
探究点2 关于线段的基本事实 【教学建议】
设计意图
问题1 （教材P165探究） 如图，从A地到B地有四条道 “两点之间，线
通过设置的问题， 路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能， 段最短”是学生容
让学生经历观察、
请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路. 易接受的结论，对
猜想、验证新知的
此基本事实是让学
过程，强化对线段
生通过观察、思考
基本事实的理解，
并在探究中培养学 得到的，这种经过
生独立思考、合作 实验比较得到结论
交流、口头表达的 的方法是科学的方
能力.
法，有广泛的应用
从图②可以看出线段AB最短.
价值.在此基础上，
概念引入：
可以让学生举出一
①关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.
些实际应用以认识
简单说成：两点之间，线段最短.
此性质的实际价值.
②距离的概念：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距
离.
问题2如上图②中，线段AB的长度就是点A与点B之间的距
离.想一想，我们能说A，B两点间的距离是线段AB吗？
不能，两点间的距离是一个具体的数量，而线段是图形，因
此不能把A，B两点间的距离说成线段AB.
问题3你能举出线段的基本事实在生活中的一些应用吗？
应用举例1 河道改直问题
如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的
河道长度有什么变化？
河道的长度变短了.
应用举例2 九曲桥问题
如图，公园里修建了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面
风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游
人在桥上行走的路程？说出其中的道理.
由于“两点之间，线段最短”，这
样做增加了桥的长度，一方面能容纳更
多的游人来观光，另一方面也增加了游
人在桥上行走的路程，有利于游人更好
地观赏湖面风光.
【对应训练】
如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公
路工程改造计划时，为使 A，B 两地行程最
短，应如何设计道路？请在图中画出，并说明
理由.
解：设计道路如图中线段 AB.理由：两点
之间，线段最短.
探究点3 线段的运算
设计意图
Ⅰ.线段和、差的意义及作图
由判断线段的长短 问题1 （1）如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？
引出线段的运算，
让学生掌握线段
和、差的作图方
AB＜AC.
法；将用图形表示
（2）上图中AB，BC，AC有怎样的和、差关系？
和、差与用符号表
AC＝AB＋BC，AB＝AC－BC，BC＝AC－AB.
示和、差结合起
来.教学步骤 师生活动
问题2 如图，已知线段a和线段b，怎样通 【教学建议】
过作图得到a与b的和、a与b的差呢？ 教师引导学生思
考并总结：几何中
线段的和、差与代
数中数的和、差有
联系也有区别，在
数量上是线段长度
的和、差，在图形
上作线段的和、差
得到的图形是一条
线段.
例 （教材P165例1） 如图，已知线段a，b，作一条线段，使
【教学建议】
它等于2a－b.
对于线段的和、
差、中点，应以图
解：如图，在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作 形认识为主，让学
线段BC＝a，则线段AC＝2a.在线段AC上作线段CD＝b，则线段AD 生看到相应图形的
＝2a－b.
形成，培养识图能
教师总结：
力，进一步可要求
作线段的和、差时，按“右加左减”的方法作图.线段的倍数也
学生能在图形和相
可转化为线段的和进行作图.
应数量关系之间建
Ⅱ.线段的中点、三等分点、四等分点及倍、分
立起联系，并与有
问题1 在一张透明的纸上画一条线段，
关的符号表示联系
折叠纸片，使线段的端点重合.折痕与线段的
起来，如由点M是
交点是线段的什么位置？
中点位置. 线段AB的中点，
问题2 如图，已知线段a，求作线段AB 就有AB＝2AM＝
＝2a. 2BM，AM＝BM＝
AB（反过来，如果
点M在线段AB
上，且有这样的数
如图，线段AB即为所求.
量关系，那么点M
知识引入：
是线段AB的中
如问题2图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，
点），这对于以后
点M叫作线段AB的中点.
的学习（用符号表
教师总结：
示推理）很有帮助.教学步骤 师生活动
问题3那么什么叫做三等分点？四等分点呢？ 【教学建议】
教师提醒学生注
意：线段的中点只
有一个，且一定在
线段上，类似地，
线段的三等分点有
两个，线段的四等
分点有三个，且这
些点都在线段上.
【对应训练】
教材P166练习第2，3题.
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是尺规作图？如何用尺规作一条线段等于已知线段？
2.比较线段的长短有哪些方法？
3.线段的基本事实是什么？
4.什么是两点间的距离？
5.如何作线段的和，线段的差？
6.什么是线段的中点、三等分点、四等分点？
【知识结构】
活动三：随堂训
练，课堂总结
【作业布置】
1.教材P167习题6.2第4，5题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
本节课通过比较线段视觉错觉问题，引导学生思考严谨的比较线段长短的方法，从
而引出课题，极大地激发了学生的学习兴趣；并通过动手操作，亲身体验用叠合法比较
教学反思
线段的长短.教师要尝试让学生自主学习，优化课堂教学中的反馈与评价.通过评价，激
发学生的求知欲，坚定学生学习的自信心.解题大招一 线段的长短比较
实际做题时，线段的长短比较主要是用叠合法，比较时关键要注意两条线段的一个端
点要重合.
例1 为了比较线段AB与CD的长短，李明将点A与点C重合使两条线段在一条直线
上，结果点B在线段CD的延长线上，则（ B ）
A. ABCD C. AB＝CD D.以上都
不对
例2 体育课上，刘伟在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落
在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的是（ C ）
A.点M B.点N C.点P D.点Q
解题大招二 与线段有关的作图
（1）到两点的距离之和最小就是求作连接两点的线段.
（2）线段和、差的作图方法：
例3 如图，要在铁路l旁建一仓库P，使P到铁路两旁的
A，B的距离之和最短，请在l上标出点P的位置，并说明理由.
解：如图，点P为所求.理由：两点之间，线段最短.
例4 已知线段a，b.求作：线段AC，使AC＝a－2b.
解：如图，线段AC即为所求.
解题大招三 与线段中点有关的计算
表达方式：（1）点 M在线段 AB 上，且AM＝
BM；
M为线段AB的中点 （2）AB＝2AM＝2BM；（3）AM＝BM＝ＡAB
1.直接计算
例5 如图，AC＝8 cm，CB＝6 cm，O是线段AB的中点，求线段OC的长度.
思路分析
解：因为AB＝AC＋CB＝8＋6＝14（cm），O是线段AB的中点，所以OB＝AB＝×14＝7（cm），所以OC＝OB－CB＝7－6＝1（cm）.
2.用方程思想解决线段中点计算问题
有关线段长的计算问题，若直接求解无法计算，则可考虑借助未知数，特别是条件有
连比的情况，通过相关线段之间的数量关系构建方程求解.
例6 如图，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，E，F分别是AB，
CD的中点，且EF＝24，求线段AB，BC，CD的长.
分析：根据已知条件AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，不妨设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x，然
后运用线段的和、差、倍、分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元
一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.
解：设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x. 因为E，F分别是AB，CD的中点，所以BE＝AB
＝x，CF＝CD＝x，所以EF＝BE＋BC＋CF＝x＋2x＋x＝6x.因为EF＝24，所以6x＝24，解
得x＝4.所以AB＝3x＝12，BC＝2x＝8，CD＝5x＝20.
