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专题 4.1 平面图形中的计数问题
【例题精讲】
【例1】如图，以 为一个端点的线段共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【例2】济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要
印制不同的火车票
A．20种 B．42种 C．10种 D．84种
【例3】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6
个交点；那么十条直线相交交点个数最多有
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【例4】如图所示，从一点 出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三
个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引
为大于等于2的整数）条射线，则会得到多少个角？如果 时，检验你所得的结论是否
正确．【题组训练】
1．阅读：在直线上有 个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如
下表格：
图形 直线上点的个 共有线段的条 两者关系
数 数
2 1
3 3
4 6
问题：
（1）把表格补充完整；
（2）根据上述得到的信息解决下列问题：
①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校
七年级的辩论赛共要进行多少场？
②乘火车从 站出发，沿途经过10个车站方可到达 站，那么在 ， 两站之间需要安
排多少种不同的车票？2．观察图①，由点 和点 可确定 条直线；
观察图②，由不在同一直线上的三点 、 和 最多能确定 条直线；
（1）动手画一画图③中经过 、 、 、 四点的所有直线，最多共可作 条直
线；
（2）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条直线、 个点
最多能确定 条直线．
3．在一条直线上取两上点 、 ，共得几条线段在一条直线上取三个点 、 、 ，共
得几条线段在一条直线上取 、 、 、 四个点时，共得多少条线段在一条直线上
取 个点时，共可得多少条线段？4．平面内有三点 、 、 ，过其中任意两点画直线，有如下两种情况：
（1）若平面内有四个点 、 、 、 ，过其中任意两点画直线，有多少种情况？请画
图说明；
（2）若平面内有6个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？
（3）若平面内有 个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（直接写出结
果）
5．根据题意填空：（1） （2）每小问1分，（3）每小问2分，共6分）
（1） 与 是同一平面内两条相交直线，他们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三
条直线 ，那么这三条直线最多有 个交点．
（2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线 ，那么这四条直线最多可有
个交点．
（3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有 个交点，
条直线最多可有 条交点．（用含有 的代数式表示）6．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，
（1）填写下表：
点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数
1
2
3
4
（2）在直线上取 个点，可以得到几条射线？
（3）用这种方法可以得到15条线段吗？如果可以，请指出取几个点；不能，请说明理由．7．画出线段 ．
（1）如图（1）所示，在线段 上画出1个点，这时图中共有几条线段？
（2）如图（2）所示，在线段 上画出2个点，这时图中共有几条线段？
（3）如图（3）所示，在线段 上画出3个点，这时图中共有几条线段？
（4）当在线段 上画出 个点时，则共有几条线段？
8．【观察思考】如图线段 上有两个点 、 ，分别以点 、 、 、 为端点的线
段共有 条．
【模型构建】若线段上有 个点（包括端点），则该线段上共有 条线段．
【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间
都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？9．观察图形，并回答下列问题：
（1）图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；
（2）请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少
次”这个问题；
（3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？11．（1）在 内部画1条射线 ，则图1中有 个不同的角；
（2）在 内部画2条射线 ， ，则图2中有 个不同的角；
（3）在 内部画3条射线 ， ， ，则图3中有 个不同的角；
（4）在 内部画10条射线 ， ， ，则图中有 个不同的角；
（5）在 内部画 条射线 ， ， ，则图中有 个不同的角．
12．过一个角的顶点，在这个角的内部引1条射线，共形成多少个角（包括原来的角）？
如果引2条、3条这样的射线呢？由此，请猜想，过一个角的顶点，如果在这个角的内部
引 条射线，共形成多少个角？13．（1）数一数图①中共有 个角，图②中共有 个角；图③中共有
个角．
（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？
14．（1）如图①，过角的顶点在角的内部作一条射线，那么图中一共有多少个角？
（2）如图②，过角的顶点在角的内部作两条射线，那么图中一共有多少个角？
（3）如图③，过角的顶点在角的内部作 条射线，那么图中一共有多少个角？15．如图，在 的内部：
（1）画1条射线 ，则图中共有几个角？把它表示出来．
（2）画2条射线 ， ，则图中共有几个角？画3条呢？
（3）画行 条射线 ， ， ， ，图中共有几个角？
16．已知如图， 是锐角，以 为端点向 内部作一条射线，则图中有多少个角？
若作二条、三条射线有多少个角？ 条时有多少个角？画一画，你发现什么规律？17．观察下图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有 条射线，此时共有多少个角？
18．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图所示，
如果过角的顶点：
（1）在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？
（2）在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？
（3）在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？
（4）在角的内部作 条射线，那么图中一共有几个角？19．如图，在 的内部引一条射线，能组成多少个角？引两条射线能组成多少个角？
引三条射线呢？引五条射线呢？引 条射线呢？
20．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，
（1）填写下表：
点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数
1
2
3
4
（2）在直线上取 个点，可以得到几条线段，几条射线？21．（1）图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路．
（2）你能用上面的思路来解决“十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握多少
次？”这个问题吗？请解决．
（3）若改为“十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？”
22．众所周知，过两点确定一条直线，过三点中的任意两点最多能画三条直线．
（1）过四点、五点中的任意两点最多能画几条直线，请画出相应的图形；
（2）过 点中的任意两点最多能画几条直线，请说明理由；
（3）小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按
的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色颜料可供使用．23．如图，过两点可画出 条直线，过不共线的三点最多可以作出 条直线，
过无三点共线的四个点最多可作出 条直线， ，依此类推，经过平面上的 个
点，（无三点共线）最多可作出多少条直线？试说明道理．
