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第 1 章 有理数 单元测试（提高篇）
（时间：90分钟， 分值：100分）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2022•峄城区模拟）下列各数中，与5互为相反数的是
A． B． C． D．
【解析】解：A、 与5互为倒数，故错误；
B、 与5互为相反数，故正确；
C、 ；故错误；
D、 与 互为倒数，故错误．
故选：B．
2.（3分）（2021•通辽1/26）| -2 |的倒数是（ ）
A．2 B． C．-2 D．
【解析】解：| -2 |的倒数是 ，
故选：B．
3．（3分）（2022•云岩区一模）一个数与2的和为0，则这个数是
A． B．2 C． D．0
【解析】解：因为 ，
所以与2的和为0的数是 ．
故选：C．
4．（3分）（2022•城关区一模）下面两个数互为相反数的是
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【解析】解：A、 ，所以两数相等，不合题意；
B、 ， ，所以两数相等，不合题意；
C、 ，不互为相反数，不合题意；
D、 ，所以互为相反数，符合题意．故选：D．
5．（3分）（2021春•江油市月考）在 ， ，0， ，0.4， ，2， ， 这些数
中，有理数有 个，自然数有 个，分数有 个，则 的值为
A．3 B．2 C．1 D．4
【解析】解：根据题意 ， ， ，
所以 ．
故选：A．
6.（3分）（2021•吉林1/26）化简 的结果为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解析】解： ，
故选：C．
7.（3分）长城总长约为 米，下列关于 的精确程度说法正确的是（ ）
A．精确到十分位 B．精确到个位
C．精确到十万位 D．以上说法都不对
【解析】解： ，由于7位于十万位上，所以 精确到十万位．
故选：C．
8.（3分）（2021•呼和浩特1/24）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气
【解析】解：因为-268＜-253＜-195.8＜-183，
所以其中液化温度最低的气体是氦气．
故选：A．
9.（3分）（2021•河北5/26）能与﹣（ ）相加得0的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：﹣（ ）= ，与其相加得0的是 的相反数．
的相反数为 ，
故选：C．
10.（3分）（2022•南京模拟）式子 的最小值是A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】解：当绝对值最小时，式子有最小值，
即 时，式子最小值为 ．
故选：B．
11．（3分）（2022•清镇市模拟）综合实践课上，同学们在如图所示的三阶幻方中，填写
了一些数、式子和图案（其中每个式子或图案都表示一个数），若处于每一横行、每一竖
列、两条斜对角线上的3个数之和都相等，则 的值为
A． B．2 C．16 D．64
【解析】解：根据题意得： ，
解得： ， ，
所以 ．
故选：D．
12．（3分）（2021•射阳县三模）我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代
数学名著《九章算术》里就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图 1表示的是计算
的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算
A． B． C． D．
【解析】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，
所以图2表示的过程应是在计算 ，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13.（3分）（2020•福建11/25）计算： ．【解析】解：因为 ，
所以 ．
故答案为：8．
14．（3分）（2022•南京模拟）潜水艇原停在海平面下800米处，先上浮150米，又下潜
200米，这时潜水艇在海平面下 米处．
【解析】解：规定海平面的海拔高度记为0，上浮记为正，下潜记为负，由题知：
（米），
这时潜水艇在海平面下 850米处．
故答案为：850．
15．（3分）（2021秋•耒阳市期末）已知 ， ，且 ，则 ．
【解析】解：因为 ， ，
所以 ， 或 ， ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： ．
16．（3分）（自编）若 ，则 ．
【解析】解：因为 ，
所以 ， ，
解得： ， ，
则 ．
故答案为： ．
17.（3分）（2021•新疆10/23）今年“五一”假期，新疆铁路累计发送旅客795900人次．
用科学记数法表示795900为 ．
【解析】解： ．
故答案为： ．
18.（3 分）（自编）为了求 1+2+22+23+…+2100的值，可令 S=1+2+22+23+…+2100，则
2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101
﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32022的值是 ．
【解析】解：设M=1+3+32+33+…+32022 ①，①式两边都乘以3，得
3M=3+32+33+…+32023 ②．
②﹣①得
2M=32023﹣1，
两边都除以2，得
M= ，
故答案为： ．
三、解答题（共5小题，满分48分）
19.（8分）（2021•山西16（1）/23）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（ ）2．
【解析】解：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（ ）2
＝1×8﹣8×
＝8﹣2
＝6．
20．（8分）（2021秋•峡江县期末）若 ， ，且 ，求 的值．
【解析】解：因为 ， ，
所以 或 ， ．
又 ，
所以 ， 或 ， ．
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
综上 的值为：3或11或1．
21.（8分）（2021秋•高新区校级期末）新华文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每
支6元，为了合理定价，在销售前五天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10
元的部分记为正，不足10元的部分记为负．文具店记录了这五天该钢笔的售价情况和售出
情况，如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
每支价格相对标准价格（元）
售出支数（支） 7 12 15 32 34（1）这五天中赚钱最多的是第 天，这天赚钱 元．
（2）新华文具用品店这五天出售这种钢笔一共赚了多少钱？
【解析】解：（1）第1天到第5天的每支钢笔的相对标准价格（元）分别为 ， ， ，
， ，
则每支钢笔的实际价格（元）分别为13，12，11，9，8，
第1天的利润为： （元）；
第2天的利润为： （元）；
第3天的利润为： （元）；
第4天的利润为： （元）；
第5天的利润为： （元）；
，
故这五天中赚钱最多的是第4天，这天赚钱 96元．
（2） （元）
故新华文具用品店这五天出售这种钢笔一共赚了360元钱．
22.（12分）（2019•重庆市22/26）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万
物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行
研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种
特殊的自然数﹣“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位
都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34
时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【解析】解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，
理由：当n＝2019时，n+1＝2020，n+2＝2021，
因为个位是9+0+1＝10，需要进位，
所以2019不是“纯数”；
当n＝2020时，n+1＝2021，n+2＝2022，
因为个位是0+1+2＝3，不需要进位，十位是2+2+2＝6，不需要进位，百位为0+0+0＝0，
不需要进位，千位为2+2+2＝6，不需要进位，
所以2020是“纯数”；
（2）由题意可得，
连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，
当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，
当这个数是三位自然数时，只能是100，由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+9+1＝13，
即不大于100的“纯数”的有13个．
23. （ 12 分 ） （ 2021 春 • 海 陵 区 校 级 月 考 ） 记 ， ，
， ， （其中 为正整数）．
（1）计算： ；
（2）求 的值；
（3）说明 与 互为相反数．
【解析】解：（1） ；
（ 2 ）
；
（3） ，
所以 与 互为相反数．
