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专题 03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练
专题1. 最值问题
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，
解题时能达到事半功倍的效果。
题型1. 两个绝对值的和的最值
|x−a|+|x−b|
【解题技巧】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
分类情况（x的取值范围） 图示
|x−a|+|x−b|
取值情况
当x<a时 无法确定
当
a≤x≤b
时
|x−a|+|x−b| |a−b|
的值为定值，即为
当 x>b 无法确定
|x−a|+|x−b| |a−b|
a≤x≤b
结论：式子 在 时，取得最小值为 。
例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上
的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点 ， 分别表示数 ，
，则 ， 两点之间的距离为 ．反之，可以理解式子 的几何意义是数轴上表示实数
与实数3两点之间的距离．则当 有最小值时， 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将 可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.
【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）
当x<-2时， =（-2-x）+（5-x）=3-2x；
当 时， =（x+2）+（5-x）=7；
当x>5时， =（x+2）+（x-5）=2x-3；
∴ 有最小值，最小值为7，此时 ，故选：D.
方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）
可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，
通过数轴分析反现当 时， 有最小值，最小值为7。
【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到 表示的意义，再利用
分类思想解答问题.
变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际
上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探
索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；
（2）分别讨论当x＞2时，当﹣5≤x≤2时，当x＜﹣5时去绝对值进行求解即可；
（3）同（2）利用分类讨论的思想进行求解即可．
【详解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案为：7；
（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的
整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在．
故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的
数学思想解答．
例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建
立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如：从“形”的角度看： 可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的
距离； 可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离．
从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ．
根据以上阅读材料探索下列问题：
(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是 ；
（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；
②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子 的最小值为 ．
【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4
【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；
（2）①根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；②由于所给式子表示x到－1和
3的距离之和，当x在－1和3之间时和最小，故只需求出－1和3的距离即可．
(1)解：数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是｜9－3｜=6，数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离
是｜2－（－5）｜=7，故答案为：6，7；
(2)解：①根据题意，得：｜x－(－2)｜=4，
∴｜x+2｜=4，∴x+2=－4或x+2=4，
解得：x=－6或x=2，故答案为：－6或2；
②∵ 表示x到－1和3的距离之和，
∴当x在－1和3之间时距离和最小，最小值为｜－1－3｜=4，故答案为：4．
【点睛】本题考查数轴上两点之间距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键．
变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5
与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是 ．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数
x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段
计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分
为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．
【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案为：7；
（2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2
当x＜﹣5时，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，
﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范围内不成立）
当﹣5＜x＜2时，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，
∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1
当x＞2时，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范围内不成立）
∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．
【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运
用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
题型2. 两个绝对值的差的最值
|x−a|−|x−b|
【解题技巧】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
分类情况（x的取值范
图示
|x−a|−|x−b|
围） 取值情况
当x<a时
|x−a|−|x−b| |a−b|
的值为定值，即为—
当
a≤x≤b
时
−|a−b|≤|x−a|−|x−b|≤|a−b|
当
x>b |x−a|−|x−b| |a−b|
的值为定值，即为|x−a|−|x−b| −|a−b| |a−b|
x≤a x≥b
结论：式子 在 时，取得最小值为 ；在 时，取得最大值 。
例1.（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是
（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
【答案】C
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求
出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a＝3，b＝﹣3．故选：C．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a
是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，
a的绝对值是零．注意分类思想的运用．
变式1．（2022·上海七年级期中）代数式 ，当 时，可化简为______；若代数式的最大
值为 与最小值为 ，则 的值______．
【答案】 3 -9
【分析】当 时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当 时以及当
x＞1时，根据当 时， ，求出a，b即可．
【详解】解：当 时，x-1＜0，x+2＜0，
∴ ，
当 时， ，
当x＞1时，
∵当 时， ，
∴代数式 的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．例2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣ |x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．
【答案】8.5．
【分析】先根据-1≤x≤3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可．
【详解】∵﹣1≤x≤3，
当﹣1≤x≤0时，|x﹣3|﹣ |x|+|x+2|＝3﹣x+ x+x+2＝ +5，最大值为5，最小值为4.5；
当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣ |x|+|x+2|＝3﹣x﹣ x+x+2＝﹣ +5，最大值为5，最小值为3.5，
∴最大值与最小值之和为8.5；
故答案为：8.5．
【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道， 的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，
一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意
义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求
的最大值；（3）直接写出 的
最大值为______．
【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20
【分析】（1）根据题意即可列式解答；
（2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算
整式的值即可得到答案；
（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可．
【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为 ，
数x与-1所对应的点的距离为 ，故答案为： ， ；
（2） 表示x到1之间的距离， 表示x到-1之间的距离，
①当x≤-1时， =1-x， =-1-x，∴ =（-1-x）-（1-x）=-2；②当-1≤x≤1时， =1-x， =x+1，∴ =（x+1）-（1-x）=2x≤2；
③当x≥1时， =x-1， =x+1，∴ =（x+1）-（x-1）=2，∴ 的最大值为2
（3）由（2）知： 的最大值为2，由此可得： 的最大值为4，
的最大值是6， 的最大值是8，
∴ 的最大值是2+4+6+8=20
【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式．
题型3. 多个绝对值的和的最值
【解题技巧】最小值规律：
①当有两个绝对值相加：
|x−a|+|x−b|
a<b b−a x a b
若已知 ， 的最小值为 ，且数 的点在数 ， 的点的中间；
②当有三个绝对值相加：
|x−a|+|x−b|+|x−c|
a<b<c c−a x b
若已知 ， 的最小值为 ，且数 的点与数 的点重合；
③当有
2n+1
（奇数）个绝对值相加：
|x−a |+|x−a |+……+|x−a |+|x−a | a <a <……<a <a
1 2 2n 2n+1 1 2 2n 2n+1 x
，且 ，则 取中间数，即当
x=a |x−a |+|x−a |+……+|x−a |+|x−a |
n+1 1 2 2n 2n+1
时， 取得最小值为
(a −a )+(a −a )+……+(a −a )+0
2n+1 1 2n 2 n+2 n
；
2n
④当有 （偶数）个绝对值相加：
|x−a |+|x−a |+……+|x−a |+|x−a | a <a <……<a <a
1 2 2n−1 2n 1 2 2n−1 2n x
，且 ，则 取中间段，
a ≤x≤a |x−a |+|x−a |+……+|x−a |+|x−a |
即当 n n+1时， 1 2 2n−1 2n 取得最小值为(a −a )+(a −a )+……+(a −a )+(a −a )
2n 1 2n−1 2 n−2 n−1 n+1 n 。
例1.（2022·天津初一月考）若 是有理数，则 的最小值是
________．
【答案】509040
【分析】首先判断出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的
最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2
和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x=1010之间时，算
式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，据此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．
【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，
最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）
＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040
∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．
【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，
解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．
变式1．（2022•武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为 ，此时x的取值为
．
解：原式可转化为在数轴上找一个点到1，2，3，…，2014对应的点的距离和最小，
故当1007≤x≤1008时，距离和最小，
可取x＝1007，则此时距离和为：
1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007
＝2×（1+2+3+…+1006）+1007
＝1014049，即原式的最小值为1014049；
当x＝1008时，最小值也为1014049，
故1007≤x≤1008．
例2.（2022·北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．
A，B两点间的距离可以用符号 表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离 ．例如：当a＝2，b＝5时， ＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时， ＝ ＝7；当a＝－2，b＝－5时，
＝ ＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离 ＝ （也可以表示为 ）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝ ；
（2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则 ＝
（3）代数式 的最小值是 ．
（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子
的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果）
【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）
【分析】（1）根据题意可得： ，解出即可求解；（2）根据题意可得： ，从而得到
，进而得到 ＝a＋4， ＝3－a，即可求解；（3）根据题意可得：当a＝2时，
代数式存在最小值，化简即可求解；（4）根据题意可得：原式表示 对应点到 对应的点的距
离之和，从而得到当 时， 有最小值，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得： ，
∴ 或 ，解得： 或-8；
（2）∵表示数a的点位于－4和3之间，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝a＋4， ＝3－a，∴ ＝ a＋4＋3－a＝7；
（3） 当a＝2时，代数式存在最小值，
∴ ＝1＋0＋1＝2.
所以，最小值是2；
（4）根据题意得：
，
∴原式表示 对应点到 对应的点的距离之和，
如图所示，
∴当 时， 有最小值，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键．
变式2.（2022•龙泉驿区期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数
轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点
之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．
例，若|x+5|＝2，那么x为：
①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．
文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．
②图形语言：
③答案：x为﹣7和﹣3．
请你模仿上题的①②③，完成下列各题：
（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；
①文字语言：
②图形语言：③答案：
（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
【分析】运用数形结合思想：
图一 图二
图三 图四
【解答】解：（1）文字语言：数轴上什么数到﹣4的距离等于到2的距离．
图形语言： 答案：x＝﹣1．
（2）文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点（0）的距离大2．
1
图形语言： 答案：x= ．
2
（3）文字语言：数轴上什么数到1的距离和它到3的距离大于4．
图形语言： 答案：x＞4，x＜0．
（4）文字语言：数轴上什么数到1，2，3，4，5距离之和最小值．
图形语言： 答案：6．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求解问题．课后专项训练：
1．（2022·全国·七年级）若 表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，当x取任意有理数时，代数
式 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，可知当x处于2和6中间时，|x-6|+|x-2|取得
最小值，即为数轴上2和6之间的距离．
【详解】解：∵|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，
∴|x-6|+|x-2|表示数轴上数x与6和数x与2对应的点之间的距离之和，
∴当2≤x≤6时，代数式|x-6|+|x-2|有最小值，最小值为|6-2|=4，故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离是解题
的关键．
2．（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中） 最小值为 ______．
【答案】5
【分析】先分区间确定零点，x+2=0和x-3=0，分三种情况 ， 和 分别化去绝对值符号，
合并化简，根据x的范围确定每个区间中绝对值式子的值的范围即可确定最小值．
【详解】令x+2=0，x-3=0，求得x=-2与x=3，
当 时，
，
∵ ，
∴ ，
当 时，
，
当 ，
，
的最小值为5．故答案为：5．
【点睛】本题考查利用绝对值化简求最小值问题，掌握绝对值化简得技巧，会根据绝对值的个数分区间化
去绝对值符号是解题关键．
3．（2022·陕西·西安交大阳光中学七年级阶段练习）阅读下列材料:我们知道a的几何意义是在数轴上数a
对应的点与原点的距离.数轴上数a与数0对应点之间的距离， 这 个结论可以推广为: |a- b|均表
示在数轴上数a与b对应点之间的距离，例:已知|a-1|=2， 求a的值.
解:在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和-1，即a的值为3和-1.
仿照阅读材料的解法，解决下列问题
(1)已知 ，求a的值.
(2)若数轴上表示a的点在-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值为___
(3)当a满足什么条件时，|a-1|+ |a+2|有最小值，最小值是多少?
【答案】(1) ；(2) ，
【分析】(1)根据数轴上数a与数-2之间的距离等于4即可求得答案；
(2)根据题意，可知当﹣4≤a≤2时，|a+4|+|a-2|的值为6；
(3)根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得到答案.
【详解】(1) ，得到 或a=2；
(2)根据题意，
|a+4|表示数轴上表示数a的点与表示数-4的点之间的距离，
|a-2|表示数a的点与表示数2的点之间的距离，因为﹣4≤a≤2，画图可知
∴|a+4|+|a-2|＝6；
(3) 时，|a-1|+ |a+2|有最小值，最小值是
【点睛】本题考查了数a的绝对值的意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数
形结合是解题的关键.
4．（2021·贵州六盘水·七年级阶段练习）同学们都知道，根据绝对值的几何意义，|4﹣（﹣2）|表示4与
﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|＝ ；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立，并说明理由．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，
说明理由．
【答案】（1）6；（2）符合条件的整数x为-2、-1、0、1、2、3、4；（3）3，理由见解析
【分析】（1）可先算出4与-2的差，然后再求出差的绝对值即可；
（2）设-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则有|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．然后
分X在点A的左边、X在AB之间、X在点A的右边三种情况讨论，就可解决问题；
（3）设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．借鉴（2）中的
经验可得AX+BX≥AB，即|x-3|+|x-6|≥3，当X在A、B之间时取等号．
【详解】解：（1） ，
故答案为：6；
（2）设-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，
则|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．
①X在点A的左边时，BX+AX =AX+AB+AX=2AX+6=6，
∴AX=0与X在点A的左边矛盾，不符合题意
②当X在点A、B之间时，BX+AX=AB=6与AB=6相符，
∴此时X表示的整数可以为-2、-1、0、1、2、3、4；
∴整数x的值可以为-2、-1、0、1、2、3、4；
③X在点B的右边时，BX+AX =AB+BX+BX=6+2BX=6，
∴BX=0，与X在点B的右边矛盾，不符合题意
综上所述：符合条件的整数x为-2、-1、0、1、2、3、4；
（3）对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3．
设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，
则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．
由（2）同理可知，当X在点A的左边时，BX+AX =AX+AB+AX=2AX+3，
当X在点A、B之间时，BX+AX=AB=6，
当X在点B的右边时，BX+AX =AB+BX+BX=6+2BX，
∴AX+BX≥AB，∴|x-3|+|x-6|≥3，当X在A、B之间时取等号．
∴|x-3|+|x-6|有最小值3．
【点睛】本题考查的是绝对值的概念、几何意义、数轴等知识，在解决问题的过程中用到了分类讨论及数
形结合的思想，是解决本题的关键．
5．（2021·北京市平谷区峪口中学七年级期中）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，
实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5－（－2）|＝______．
（2）若 成立，则x＝_________．
（3）请你写出 的最小值为________．并确定相应的x的取值范围是______．
【答案】（1）7；（2）5或1；（3）3，1≤x≤2
【分析】（1）根据5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；
（2）根据题意可得方程x-3=±2，再解即可；
（3）分情况讨论，去绝对值化简，从而确定x的最小值．
【详解】解：（1）|5－（－2）|＝|5+2|＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x-3|=2成立，
∴x-3=±2，
∴x=5或1，
故答案为：5或1；
（3）当x＜1时，
原式=-x+1-x+2=-2x+3＞1；
当1≤x≤2时，
原式=x-1-x+2=1；
当x＞2时，
原式=x-1+x-2=2x-3＞1，
∴|x-1|+|x-2|的最小值是1，
故答案为：3，1≤x≤2．
【点睛】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法，难度较大，去绝对值的
关键是确定绝对值里面的数的正负性．
6．（2022·山东·济南七年级期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相
聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．
已知点 ， 在数轴上分别表示有理数 ， ， ， 两点之间的距离表示为 ．例如，在数轴
上，有理数3与1对应的两点之间的距离为 ；有理数5与 对应的两点之间的距离为 ；
有理数 与 对应的两点之间的距离为 ；…
解决问题：
（1）数轴上有理数 与3对应的两点之间的距离等于_________；数轴上有理数 与 对应的两点之间
的距离用含 的式子表示为________；若数轴上有理数 与1对应的两点 、 之间的距离 ，求
的值；
联系拓广：
（2）如图，点 表示的数为4，点 表示的数为 ， 为数轴上的动点，动点 表示的数为 ．
①若点 在点 、 两点之间，则 ______；若 ，则点 表示的数 为______；
由此可得：当 取最小值时，求整数 的所有取值的和；
②当点 到点 的距离等于点 到点 的距离的2倍时，求 的值．
【答案】（1） ， ， 或 ；（2） ， 或 ， ；（3） 或
【分析】（1）理解题意，根据距离的概念求解即可；
（2）①根据点 的位置分情况讨论，利用距离求解即可，对 进行讨论，求出 的取值，然后求解即可；
②设点 表示的数为 ，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：（1）数轴上有理数 与3对应的两点之间的距离为 ，
数轴上有理数 与 对应的两点之间的距离用含 的式子表示为若数轴上有理数 与1对应的两点 、 之间的距离 ，则
即 或
解得 或
故答案为 ， ， 或
（2）设点 表示数为 ，则 ，
①若点 在点 、 两点之间，则 ， ，
若 ，即
当 时， ，解得
当 时， ，解得
即点 表示数 为 或
当 取最小值时，可得 在 和 之间（包含端点），所以
又∵ 为整数
∴ 的取值为
整数 的所有取值的和为
故答案为 ， 或 ，
②由题意可得： ，即
可得： 或
解得 或 故答案为 或
【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上的动点，数轴上两点之间的距离以及绝对值方程，解题的
关键是掌握数轴的基本知识，理解数轴上两点之间的距离．
7．（2022·重庆市铜梁区关溅初级中学校七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对
值，记作 ．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作 ，如 表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离， 表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离， 表示数轴
上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若 ，则 _______，若 ，则 _______；
（2）若 ，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若 ，则x能取到的最大值是_______；
（4）关于x的式子 的取值范围是_______．
【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围．
【详解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点
表示的数为 ，
|x-3|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等，
因此到3和-1距离相等的点表示的数为 =1，
故答案为：0，1；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x≤3，
因此x的最大值为3，最小值为-1；
故答案为：-1，3；
（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根
据数轴直观可得，
x≤-1，即x的最大值为-1，
故答案为：-1；（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x-2|
+|x+1|最小值为3，
因此|x-2|+|x+1|≥3，
故答案为：大于或等于3．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
8．（2022·云南·昆明七年级期中）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道：
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 时，
可令 和 ，分别求得 ， ，称 ， 分别为 与 的零点值在有理数范围内，
零点值 ， ，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 种情况：
① ；② ；③
从而化简代数式 时可分以下 种情况：
①当 时，原式 ；
②当 时，原式 ；
③当 时，原式 ；
综上所述：
原式 ，通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当 时， ______．
（2）化简代数式：
（3）直接写出 的最大值______．
【答案】（1） ；（2）原式 ；（3）
【分析】（1）根据绝对值的意义可得结论；（2）零点值x=2和x=4可将全体实数分为不重复不遗漏的如下三种情况： 、 、 分该
三种情况找出 的值；
（3）分 、 、 分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最
大值．
【详解】解：（1）当 时， ．
故答案为：
（2）化简代数式：
分为以下三种情况讨论：
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
综上所述：
原式
（3） 的最大值：
当 时，原式 ，
当 时，原式 ， ，
当 时，原式 ，
则 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用．
9．（2022·全国·七年级）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示
为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的
距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x为 ；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 ；
（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．【答案】（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；
（4）x=2时，y最小，最小值为4
【分析】（1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解；
（2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可；（3）根据数轴上两点间的距离的意义解答；
（4）根据数轴上两点间的距离的意义解答．
【详解】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是： ；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： ；
（2）∵A，B分别表示的数为x，﹣1，
∴数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，
解得：x＝1或﹣3；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，﹣1≤x≤2，
∴符合条件的整数x有﹣1，0，1，2；
（4）当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x＝2，
∴当x＝2时，y最小，
即最小值为：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．
故x＝2时，y最小，最小值为4．
【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．
10．（2021·福建·泉州七中七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入
微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在
联系，它是“数形结合”的基础．
例如，式子 的几何意义是数轴上 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为 ，所
以 的几何意义就是数轴上 所对应的点与-1所对应的点之间的距离．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）若 ，则 ； 的最小值是 ．（2）若 ，则 的值为 ；若 ，则 的值为 ．
（3）是否存在 使得 取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时 的取值情况；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5或-1；5；（2） 或4； 或 ；（3） 的最小值为17，此时
【分析】（1）对于 直接根据绝对值的性质进行求解即可；设A点表示的数为-2，B点表示的数为
3，P点表示的数为x，则 表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，然后
分别讨论P在AB之间，P在A点左侧和P在B点右侧 的取值即可得到答案；
（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，由（1）可知当P在AB之间（包含A、
B）时， ，当P在A点左侧时 ，当P在B点右侧时
，由此可以确定此时P点在A点左侧或在B点右侧，由此进行求解即可；分当
时，当 时，当 时，当 时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案；
（3）分当 时，当 时，当 时，当 时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即
可得到答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，
∴ 表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，
如图所示，当P在AB之间（包含A、B）时， ；当P在A点左侧时 ；
同理当P在B点右侧时 ；
∴ 的最小值为5，
故答案为：5或-1；5；
（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，
由（1）可知当当P在AB之间（包含A、B）时， ，当P在A点左侧时
，当P在B点右侧时
∵ ，
∴当P在A点左侧时 即 ，
∴ ；
同理当P在B点右侧时 即 ，
∴ ；
∴当 时， 或4；
当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 符合题意；
当 时，
∵ ，
∴ ，解得 符合题意；
当 时
∵ ，
∴ ，
解得 不符合题意；
当 时
∵ ，
∴ ，
解得 不符合题意；
∴综上所述，当 ， 或 ；
故答案为： 或4； 或 ；
（3）当 时，
∴ ，
当 时，
∴ ，
当 时
∴ ，
当 时
∴ ，
∴此时
∴综上所述， 的最小值为17，此时 ．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，绝对值方程，数轴上两点之间的距离，解题的关键在于能够
熟练掌握绝对值的几何意义．
11．（2021·广东·西关外国语学校七年级期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________，表示 和2两点之间的距离是________．
（2）一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 ．如果表示数 和 的两点之间的距离
是3，那么 ________．
（3）若数轴上表示数 的点位于 与2之间，则 的值为________；
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是 ．
（5）当 ________时， 的值最小，最小值是________．
【答案】（1）3，5；（2）2或-4；（3）6；（4）12；（5）1；7
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值进行解答即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值得到 ，解得即可；
（3）先根据表示数 的点位于 与2之间可知 ，再根据绝对值的性质把原式去掉绝对值符号求
出a的值即可；
（4）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案．
（5）根据分类讨论的数学思想可以解答本题．
【详解】解：（1）由数轴上两点之间的距离公式可知：数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；
表示 和2两点之间的距离是 ；
故答案为：3，5；
（2）若表示数 和 的两点之间的距离是3，则 ，解得 或 ，
故答案为：2或 ；
（3）∵ ，
∴ ；
故答案为：6；
（4）当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
∴使得 的所有整数为： ， ，0，1，2，3，4，5，
∵ ，
故答案为：12；
（5）当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，
由上可得，当 时， 的值最小，最小值是7，
故答案为：1，7．
【点睛】本题考查数轴、绝对值等知识点，明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答是解答
本题的关键．
12．（2022•绵阳市校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的
距离：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离，一般地，点A、点B
在数轴上分别表示有理数a、b，那么点A、点B之间的距离可表示为|a﹣b|．
（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和
可表示为 （用含绝对值的式子表示）；
（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是 ．②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值
取在不小于﹣1且不大于3的范围时，P的值是不变的，此时P取最小值是 ；|x|+|x﹣2|最小值是 ．
（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为 ，此时x的值为 ．
解：（1）点A到点B的距离：|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；
点A到点C的距离：|x﹣1|；∴距离之和为：|x+2|+|x﹣1|；
故答案为：|x+2|+|x﹣1|．
（2）①|x﹣3|+|x+1|＝6表示x到3和到﹣1的距离之和为6；
∵3和﹣1之间的距离为4，
故x一定不在3和﹣1之间，
∴当x＜﹣1时，
x﹣3＜0，x+1＜0，
∴|x﹣3|+|x+1|
＝﹣（x﹣3）+[﹣（x+1）]
＝﹣2x+2，
∴﹣2x+2＝6，
解得x＝﹣2，
当x＞3时，
x﹣3＞0，x+1＞0，
∴|x﹣3|+|x+1|
＝（x﹣3）+（x+1）
＝2x﹣2，
∴2x﹣2＝6，
解得x＝4，
综上所述，x＝﹣2或4．
故答案为：﹣2或4．
②|x﹣3|+|x+1|＝p，当﹣1≤x≤3时，
∴x﹣3＜0，x+1＞0，
|x﹣3|+|x+1|
＝﹣（x﹣3）+（x+1）
＝4，
∴p取最小值为4，即3到﹣1之间的距离．
故答案为：4．
∵|x|+|x﹣2|＝|x﹣0|+|x﹣2|，
∴|x|+|x﹣2|的最小值即0到2之间的距离．
故答案为：2．（3）由前面规律可知，当|x﹣3|+|x+1|取最小值时，x在3和﹣1之间；
∴当x＝2时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|有最小值，
即最小值为4，此时x＝2．
故答案为：4，2．
13．（2022·河南南阳·七年级期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（ ）
A．10 B．11 C．17 D．21
【答案】C
【分析】由|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|所表示的意义，得出当-1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数
的特点进行计算即可．
【详解】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，
由数轴表示数的意义可知，
当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，
最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故选：C．
【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是解决问题的关键．
14．（2022·全国·七年级课时练习）利用数轴解决下面的问题：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是 ；
（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是 ；（3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最
小值时，相应的x的取值范围或值是 ，最小值是 ．
【答案】（1）3；（2）2；（3）1010，1019090
【分析】（1）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，意思是x到﹣1的距离之和与到2的距离之和最小，那么x应在﹣1
和2之间的线段上；
（2）求|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值，x为中间点时有最小值，依此即可求解；
（3）找到中间点即可求得最小值．
【详解】（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是2﹣(﹣1)=3；
（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是4﹣2=2；
（3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值时，
相应的x的取值范围或值是： =1010，
最小值是(1009+1)×1009÷2×2=1019090．
故答案为：3；2；1010，1019090．【点睛】本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．绝对值是正数
的数有2个．找到中间点即可求得最小值．
15．（2021·福建省仙游县枫亭职业学校七年级期中）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有
理数 、 ，A、B两点间的距离表示为AB，则 ．所以 的几何意义是数轴上表示X的点与
表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
（1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．
（2）若 ，则 的值是 ．
（3）如果数轴上表示数 的点位于－4和2之间，求 的值；
（4）点 取何值时， 取最小值，最小值是多少？请说明理由；
（5）直接回答：当式子 取最小值时，相应 的取值范围是多少？最小值是多少？
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） ；（4）当 时，最小值为 ；（5）当 时，最小值
为
【分析】（1）根据题目中的方法确定出 的长即可；
（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出 的值；
（3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简 即可；
（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案；
（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案．
【详解】解：（1） ，
则 ；
（2）∵ ，
∴ ，
故 或 ，
故答案为： 或 ；
（3）∵数轴上表示数 的点位于－4和2之间，∴ ；
（4）∵ ，代表点 到 和到 之间的距离之和，
当 时，
取得最小值，最小值为 ；
（5）当 时，
有最小值，
最小值为=
=
=
=20．
【点睛】本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端
点的距离的和最小．
16．（2022·四川·安岳县李家初级中学七年级阶段练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值
的几何义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利
用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5 的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，
数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x的值为_______；
（3）当x取何值时，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+ |x－4|+|x－5|的值最小，并求出这个最小值．
【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）x=3，最小值为6
【分析】（1）根据两点间的距离的求法列式计算即可得解；
（2）根据绝对值的几何意义列式计算即可得解；
（3）根据数轴上两点间的距离公式得到式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的意义，从而分析出x=3时，式子|
x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最小．
【详解】解：（1）表示2和5 的两点之间的距离是|2-5|=3，
表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3，
表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；
（2）表示x和-1的两点A、B之间的距离是|x+1|，∵|AB|=2，
∴|x+1|=2，
∴x+1=2或x+1=-2，
解得x=1或-3；
（3）式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x到数轴上1，2，3，4，5五个数的距离之和，
∴当x与3重合时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值为6，此时x=3．
【点睛】本题主要考查了数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是掌握：在数轴
上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．解题时注意：数轴上任意两点分别表示的数是
a、b，则这两点间的距离可表示为|a-b|．
17．（2022·全国·七年级期中）唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”当
代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；
而是尚未相遇，便注定无法相聚．”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测
量，人类才能掌握世界尺度．已知P、Q在数轴上分别表示有理数p、q，P、Q两点的距离表示为
．
阅读上述材料，回答下列问题：
（1）若数轴上表示x与3的两点之间的距离是4，则 ___________．
（2）当x的取值范围是多少时，代数式 有最小值，最小值是多少？
（3）若未知数x，y满足 ，求代数式 的最大值，最小值分别是多少？
【答案】（1） 或7；（2） ，5；（3）最大8，最小值1
【分析】（1）由距离的表示方法得出 ，求解即可；
（2）根据若代数式 有最小值，表示在数轴上找一点x，使其到 与3的距离之和最小，据此
求解；
（3）由（2）分别求出 与 有最小值时x，y的取值范围，进而求解．
【详解】解：（1）由题意知， ，
解得 或 ，故答案为： 或7；
（2）若代数式 有最小值，表示在数轴上找一点x，使其到 与3的距离之和最小，显然这个
点x在 与3之间（包括 与3），
所以x的取值范围是 ，且最小值为5，
故答案为： ，5；
（3）∵ ，
由（2）知 的最小值为2，其有最小值的取值范围为 ，
的最小值为3，其有最小值的取值范围为 ，
∴ 的最大值为 ，最小值为 ，
即 的最大值为8，最小值为1．
【点睛】本题考查数轴，绝对值的几何意义，利用数形结合思想，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
专题2. 绝对值化简问题
绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它
的身影，且易错，属于必掌握类型。希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题。
题型1. 已知范围的绝对值化简
【解题技巧】已知范围的绝对值化简步骤：
①判断绝对值符号里式子的正负；
两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0.
两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；
负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；
正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.②将绝对值符号改为小括号：
若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.
③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.
④化简.
例1.（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则 的值为
（ ）．
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．
【详解】根据数轴上点的位置得： ，且 ，
则 ， ， ，
则 ．故选A．
【点睛】本题考查数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键．
变式2.（2022·河南周口·七年级期末）有理数 ， 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式
的值是( )
A．-1 B．1 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】先根据数轴求出－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，再去掉绝对值，然后根据分式的性质计算即可．
【详解】解：根据数轴可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，
∴原式 ．故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值的计算，解题的关键是注意去掉绝对值后，要保证得
数是非负数．例2.（2021·长郡集团郡维学校初一月考）如果 + + =-1，那么 + + + 的值为
（ ）
A． B． C．0 D．不确定
【答案】C
【解析】 ，所以 ， ， 中有一个正数，二个负数．
不妨设 ， ， ，则 ．故选 ．
点睛：本题考查有理数的除法，利用 得出a、b、c有一个正数，二个负数是解题关键．
变式2．（2022·内蒙古赤峰·七年级期中） 、 、 是有理数且 ，则 的值是
（ ）
A． B．3或 C．1 D． 或1
【答案】D
【分析】根据 ，则这三个数中一定有一个或三个数为负数两种情况进行讨论，得出结果即可．
【详解】∵ ，∴ｘ、y、z这三个数中有一个或三个数为负数，
当这三个数中有一个负数时，假设 ， ， ，
则 ；
当这三个数中有三个负数时，假设 ， ， ，
则 ；故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确进行分类讨论是解题的关键．
题型2. 未知范围的绝对值化简|a|=a |0|=0
【解题技巧】绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即 ； ②0的绝对值是0，即 ；③负
|a|=−a |a|≥0
数的绝对值是它的相反数，即 ；④绝对值具有非负性，即 。
例1.（2022•新都区校级月考）已知x为有理数，且|x﹣3|＝2x+3，则x的值为 ．
解：|x﹣3|＝2x+3，∴2x+3≥0，∴x≥﹣
∴x﹣3＝2x+3或x﹣3＝﹣（2x+3）
∴x﹣2x＝3+3或x﹣3＝﹣2x﹣3
﹣∴x＝6 或 x+2x＝﹣3+3
∴x＝﹣6（舍去）； 或3x＝0 ∴x＝0．
变式1．（2022·河北·七年级期中）若a、b、c是有理数，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b异号，b，c同号，
求a﹣b﹣（﹣c）的值．
解：∵|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，∴a＝±3，b＝±10，c＝±5，
∵a，b异号，b，c同号，
∴a＝3，b＝﹣10，c＝﹣5或a＝﹣3，b＝10，c＝5，
∴a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝8或﹣8．
变式2．（2021·江苏·九年级）已知 ，求 ．
【答案】1-x
【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≤0，0＜x＜1，x≥1三种情况进行分析．
【详解】解：①当x≤0时，|1-x|=1-x，1+|x|=1-x，满足题意；
②当0＜x＜1时，|1-x|=1-x，1+|x|=1+x，不满足题意；
③当x≥1时，|1-x|=x-1，1+|x|=1+x，不满足题意．
综上可得：x≤0，故|x-1|=1-x．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，注意要分情况讨论，再去绝对值化简．
例2.（2022·福建福州·七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值
的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思
路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．
【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．
根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．【答案】(1)x=2或x=
(2)x=-2或x=0
【分析】先去绝对值转化成一元一次方程求解．
(1)解：根据绝对值的意义得：3x-2=4或3x-2=-4．
解得：x=2或x= ；
(2)由绝对值的意义得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．
解得：x=-2或x=0．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．
变式3．（2022·湖北咸宁·七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要
的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两
点的距离可用式子 （表示，例如：5和 的距离可用 或 表示．
(1)【知识应用】我们解方程 时，可用把 看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上
找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为 或 所以，方程 的解为
___（直接写答案，不离过程）．
(2)【知识拓展】我们在解方 ，可以设A表示数5，B表示数 ，P表示数x，该方程可以
看作在数轴上找一点P使得 ，因为 ，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有
无数解，x的取值范围是 ．类似的，方程 的___（填“唯一”或“不唯一”），
x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）；
(3)【拓展应用】解方程
【答案】(1) 或 (2)不唯一； (3) 或
【分析】（1）将方程的解看作在数轴上找一点P与 的距离为2，进而可得方程的解；
（2）类比题干中的求解方法，进行求解即可；
（3）由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：①若P点在A，B之间，表示出 的值，然后列方
程求解；②若P点在A点的左边，表示出 的值，然后列方程求解；③若点P在B点的右边，表示出的值，然后列方程求解．
(1)解：方程 的解，可以看作在数轴上找一点P与 的距离为2
∴ 或
故答案为： 或 ．
(2)解：由题意知，设A表示数 ，B表示数6，P表示数x，
∴该方程可以看作在数轴上找一点P使得 ，
∵ ，
∴P在线段AB上都可，
∴该方程有无数解，x的取值范围是
故答案为：不唯一； ．
(3)解：由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：
①若P点在A，B之间
则 （不合题意，舍去）
②若P点在A点的左边
则∴
③若点P在B点的右边
∴
综上所述：原方程的解为 或 ．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上点的距离．解题的关键在于明确绝对值的意义．
课后专项训练：
1．（2022•肇源县期末）当2≤x＜5时，化简：|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值为 ．
解：∵2≤x＜5，∴4≤2x＜10，0≤x﹣2．
∴2x﹣10＜0，|x﹣2|＝x﹣2．
∴|2x﹣10|＝10﹣2x．
∴|2x﹣10|﹣|x﹣2|＝10﹣2x﹣（x﹣2）＝10﹣2x﹣x+2＝12﹣3x．
2．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）已知 、 两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式 的
结果是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由数轴可知b<-1<1<a<2，且 ，得到a+b>0，b+1<0，化简绝对值再合并即可．
【详解】解：由数轴可知，b<-1<1<a<2，且 ，
∴a+b>0，b+1<0，
∴
=a+b-b-1
=a-1，
故选：A．
【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，判断式子的正负，化简绝对值，正确理解数轴上数的大小关
系是解题的关键．
3．（2021·河南周口·七年级期中） 是有理数，它在数轴上的对应点的位置如图所示．则
________．
【答案】14
【分析】由数轴可知-6< x < 0，则x - 7< 0，x+7 > 0，再去掉绝对值，可解．
【详解】由数轴可知-6<x<0，
则x-7<0，x+7> 0，
∴|x- 7|+|x+7|=7-x+x+7=14
故答案为14．
【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，在去掉绝对值的时候，要特别细心．
4．（2022·四川广元·七年级期末）已知有理数 ，则化简 的结果是_______．
【答案】
【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号，合并同类项即可．
【详解】∵a < - 1，
∴a + 1< 0，1- a > 0，
∴
= (- a -1) + (1- a)
= - a -1+1- a
= -2a，
故答案为： -2a．
【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的
绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·四川眉山·七年级期末）已知，有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示，化简：
．
【答案】-2b
【分析】根据有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置可得∵3＜a＜4，0＜b＜1，−2＜c＜−1，即可得c＋
b＜0，a−c＞0，b−a＜0，再根据绝对值的性质 进行计算即可得出答案．
【详解】解：由图可知，
∵3＜a＜4，0＜b＜1，−2＜c＜−1，
∴c＋b＜0，a−c＞0，b−a＜0，
∴|c＋b|−|a−c|＋|b−a|
＝−（c＋b）−（a−c）＋[−（b−a）]
＝−c−b−a＋c−b＋a
＝−2b．
【点睛】本题主要考查数轴的应用及绝对值的性质，熟练掌握数轴的应用及绝对值的性质进行计算是解决
本题的关键．6．（2022·云南昭通·七年级期末）阅读下面一段文字：在数轴上A，B两点之间的距离可以用符号 表
示，可以利用有理数减法和绝对值计算A，B两点之间的距离．若点A，B分别用数a，b表示，则当 ，
时， ；当 ， 时， ；当 ， 时， ．
发现点A，B之间的距离 （也可以表示为 ）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：
(1)数轴上表示 和7两点之间的距离是______；
(2)如果数轴上表示a和1两点间的距离是7，那么 ______；
(3)如果数轴上表示的数a的取值范围为 ，求 的值．
【答案】(1)9
(2) 或8
(3)
【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；
（2）由题意得出方程 ，即可得出答案；
（3）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解.
(1)
解：根据题意，
；
故答案为：9；
(2)
解：由题意得： ，
解得： 或 ；
故答案为： 或8；
(3)
解：∵ ，
∴ ， ，∴ .
【点睛】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关
键．
7．（2021·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）数轴上从左到右的三个点 A ，B ，C 所对应的数
分别为 ．其中AB=2020，BC=1000，如图所示．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算 的值．
（2）若原点 O 在 A，B 两点之间，求 的值．
（3）若O是原点，且OB=20，求 的值．
【答案】（1）−1020；（2）3020；（3）−3000或−3040
【分析】（1）数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数，可表示出A、C所对应的数；
（2）原点O在A，B两点之间，|a|＋|b|＝AB，|b−c|＝BC，进而求出结果；
（3）若原点O在点B的左边；若原点O在点B的左边；分两种情况讨论可求a＋b−c的值．
【详解】解：（1）∵点B为原点，AB＝2020，BC＝1000，
∴点A表示的数为a＝−2020，点C表示的数是c＝1000，
∴a＋b＋c＝−2020＋0＋1000＝−1020；
（2）∵原点在A，B两点之间，
∴|a|＋|b|＋|b−c|＝AB＋BC＝2020＋1000＝3020．
答：|a|＋|b|＋|b−c|的值为3020；
（3）若原点O在点B的左边，则点 A，B，C所对应数分别是a＝−2000，b＝20，c＝1020，
则a＋b−c＝−2000＋17−1017＝−3000；
若原点O在点B的右边，则点A，B，C所对应数分别是a＝−2040，b＝−20，c＝980，
则a＋b−c＝−2040−20−980＝−3040，
∴ 的值为：−3000或−3040．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，用数轴表示则更容易解
决问题．
8．（2022·重庆一中七年级期中）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则化简______．
【答案】4a-b
【分析】根据数轴可以判断a、b、c的正负和它们的绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子．
【详解】解：由数轴可得，
a＜b＜c，|b|＜|c|＜|a|，
∴|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|c﹣2a|
＝b+c﹣2（b﹣a）﹣（c﹣2a）
＝b+c﹣2b+2a﹣c+2a
＝4a-b．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（2022·河北唐山·七年级期末）若有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则化简
的结果是__________．
【答案】-3a
【分析】根据数轴可判断 ，且 ，进而可判断 ， ，由此化简绝对值即可．
【详解】由数轴可知 ，且 ，
∴ ， ，
∴
．
故答案为：-3a．
【点睛】本题考查数轴上的点的特点，化简绝对值．解决本题的关键是根据数轴上点的位置，判断
和 的正负．10．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·七年级期末）在数轴上表示 三个数的点的位置如图所示，化简式子：
结果为__________．
【答案】
【分析】由数轴可知：b＞a＞0，c＜0，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题．
【详解】解：∵b＞a＞0，c＜0， ∴ ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了数轴和绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，
0的绝对值还是0．数轴原点左边的为负数，原点右边的为正数，在数轴上右边的数比左边的数大．
11．（2022·全国·七年级课时练习）已知非零有理数a，b，c，满足 ，则 等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．±1 D．1
【答案】A
【分析】根据绝对值的性质和a、b、c的正负分情况讨论化简计算即可．
【详解】解：当a、b、c同为正数时， =1+1+1=3不满足条件；
当a、b、c为两正一负时， =1+1－1=1满足条件，此时abc＜0，
∴ = =－1；
当a、b、c为两负一正时， =1－1－1=－1不满足条件；
当a、b、c同为负数时， =－1－1－1=－3不满足条件，
综上， =－1，
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
12．（2021·广西南宁·七年级期中）已知 ， ， 都是不等于0的有理数，且 的最大值是 ，最小值是 ，则 ______．
【答案】0
【分析】）当a，b，c为正数时， 有最大值3，当a，b，c为负数时， 有最小值-3，
求得m、n值，从而可求解．
【详解】解：当a，b，c为正数时， 有最大值是3,
∴m=3，
当a，b，c为负数时， 的最小值是-3，
∴n=-3．
∴m+n=3-3=0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是分两种情况讨论．
13．（2022·全国·七年级）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，当a＞0时，则 ＝______；当b＜0时，则 ＝______．
(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求 的值．
(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求 的值．
【答案】(1)1，-1
(2)-1
(3)3或﹣1或1或﹣3
【分析】（1）根据a，b的取值范围化简绝对值，再计算出结果即可；
（2）根据a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0，可得b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，进而代入原
式中可得结果；
（3）根据题意可分为四种情况分别为：①当a，b，c都是正数， ②当a，b，c有一个为正数，另两个为
负数时， ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，④当a，b，c三个数都为负数时，分别求出算式的
的结果．
(1)
解：当a＞0时，则 ，当b＜0，则 ，
故答案为：1，﹣1；
(2)
解：已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，且a，b，c中两正一负，
∴ ；
(3)
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或
三个都为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则： ；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则： ；
③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，
设a＞0，b＞0，c＜0，
则：
＝1+1﹣1
＝1；
④当a，b，c三个数都为负数时，
则：
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3；综上所述： 的值为3或﹣1或1或﹣3．
【点睛】本题考查绝对值的化简，能够掌握分类讨论思想是解决本题的关键．
14．（2022•江北区期末）设a，b，c为非零实数，且|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0．化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|
+|a﹣c|的结果是（ ）
A．b﹣2c B．b C．b﹣2a D．﹣2a
解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝﹣b﹣（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）+c﹣a＝b，故选：B．
15．（2021·江西·景德镇一中七年级期中）若关于 的方程 有唯一解，则 的取值范围是
__________.
【答案】
【分析】分别讨论当 时，当 时，当 时，方程的解的情况，然后找到符合题意的的情况进
行求解即可．
【详解】解：当 时，∵ ，∴ ，即 ，
∴此时方程有无数解，不符合题意；
当 时，∵ ，∴ ，即 ，
∴此时方程有无数解，不符合题意；
当 时，∵ ，∴ ，即 ，
∴此时方程有唯一解，符合题意；∴ ，解得 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键在于能够根据题意讨论x的取值范围进行去绝对值进行
求解．
16．（2021·四川攀枝花·七年级期中）我们知道： 表示4与 的差的绝对值，实际上也可以理解
为4与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理 也可以理解为 与3两数在数轴上所对应的两
点之间的距离．类似地， 表示5、 之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数 ，那么A、B之间的距离可以表示为 ．试探索：
（1）若 ，则 =___________；
（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为 ，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点
重合，则表示 的点与表示__________的点重合；
（3）计算： ．
【答案】（1）-4或10 （2）6；（3）-2或5
【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解；
（2）根据题意可得折叠处点对应的数为1 ，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当 时，当 时，当 时， 即可求解．
【详解】解：（1） ，
∴ ，
解得： 或-4；
（2）∵A点对应的数为 ，B点对应的数为4，折叠数轴，使得A点与B点重合，
∴折叠处点对应的数为 ，
∴表示 的点与表示6的点重合；
（3）解：①当 时，
，解得： -2 ；
②当 时，
，则 ，无解 ；
③当 时，
，则 5．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，利用数形结
合思想解答是解题的关键．
