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《5.5 里程碑上的数》
一．选择题
1．若甲数的 比乙数的4倍多1，设甲数为x，乙数为y，列出的二元一次方程应是（ ）
A． x﹣4y=1 B．4y﹣ =1 C． y﹣4x=1 D．4x﹣ y=1
2．一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（
）
A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：2
3．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十
位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．以上各式均不对
4．（2016春•莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如果让乙先跑
2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑x米，y米，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．一个数除以a的商是5，余数是1，则这个数为 ．
6．一个两位数，十位数字与个位数字的和为5，这样的两位数有 个．
7．一架飞机顺风飞行，每小时飞行500km，逆风飞行，每小时飞行460km，假设飞机本身的速度是
xkm/h，风速是ykm/h，依题意列出二元一次方程组 ．
第1页（共16页）三、解答题
8．有一个两位数，个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是
143．求这个两位数．
9．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡
每小时行3km，下坡每小时行5km，他到姥姥家需要行66分钟，从姥姥家回来时需要行78分钟才能
到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？
10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为888；而小亮在另一个加
数后面多写了一个0，得到和为861，求原来两个加数分别是多少？
11．某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学
生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生
和小学生人数的部分情况如下表：
七年级 八年级 九年级
捐款数额（元） 4000 4200 7400
捐助贫困中学生（名） 2 3
捐助贫困小学生（名） 4 3
（1）求a、b的值；
（2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学
生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．
12．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲
正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？
13．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，
整列火车完全在桥上的时间共40s．求火车的速度和长度．
14．两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在
静水中的速度和水的流速？
第2页（共16页）三、能力提升
15．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10 米，甲跑5秒就追上乙；如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑
4秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，列出的方程组为 ．
16．一个两位数，减去它的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是
5，余数是1．这两位数是多少？
17．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时
后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？
18．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以50千米/小时的速度行驶，会迟到24分钟；如
果以75千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？
19．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小
时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
20．甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步．相向而行，每隔2分两人相遇一次，同向而行，每隔6
分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？
21．第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40%，第二工程队承包乙工程，
晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工
作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？
四、聚沙成塔
22．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败
队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按
净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？
第3页（共16页）《5.5 里程碑上的数》
参考答案与试题解析
一．选择题
1．若甲数的 比乙数的4倍多1，设甲数为x，乙数为y，列出的二元一次方程应是（ ）
A． x﹣4y=1 B．4y﹣ =1 C． y﹣4x=1 D．4x﹣ y=1
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．
【分析】由题意可得等量关系：甲数× ﹣乙数×4倍=1．
【解答】解：根据甲数的 比乙数的4倍多1，则 x﹣4y=1．
故选A．
【点评】此题较容易，注意代数式的正确书写．
2．一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（
）
A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：2
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】行程问题．
【分析】本题依据的等量关系是：逆流速度+水流速度=顺水速度﹣水流速度．
【解答】解：设船的逆水速度为a，水流速度为x，则顺水速度为3a，那么：
a+x=3a﹣x
解得：x=a
静水速度=顺水速度﹣水流速度，
所以静水速度为：3a﹣a=2a
所以船的静水速度与水流速度之比为2：1．
故选B．
第4页（共16页）【点评】本题中虽然有多个未知数，但其间都有一定的联系，做题的时候应把握其间的联系，善于利用
转化思想，把多个未知数转化成两个或一个，进而求解．
3．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十
位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．以上各式均不对
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】关键描述语是：数字之和为11；原数加45，等于此两位数字交换位置．
等量关系：个位数字+十位数字=11；十位数字×10+个位数字+45=个位数字×10+十位数字．
根据这两个等量关系，可列方程组．
【解答】解：设原数十位数字为x，个位数字为y．
根据题意列出方程组为 ．
故选C．
【点评】本题需注意两位数的表示方法为：十位数字×10+个位数字．
4．（2016春•莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如果让乙先跑
2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑x米，y米，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】本题的等量关系：（1）乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；（2）如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒
就追上乙，可以列出方程组．
【解答】解：设甲、乙每秒分别跑x米，y米，
第5页（共16页）由题意知：
．
故选：C．
【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列
出方程组．
二、填空题
5．一个数除以a的商是5，余数是1，则这个数为 ．
【考点】列代数式．
【分析】本题的等量关系为：被除数=商×除数+余数．
【解答】解：∵被除数=商×除数+余数，
∴这个数为5a+1．
【点评】求这个数实际是求被除数，被除数与除数，商和余数的关系则是解决问题的关键．
6．一个两位数，十位数字与个位数字的和为5，这样的两位数有 个．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设十位数字为x，个位数字为y，由十位数字与个位数字之和为5建立方程求出其解即可．
【解答】解：设十位数字为x，个位数字为y，由题意，得
，
由①，得
y=5﹣x，
∴5﹣x≥0，
∴x≤5．
∴0＜x≤5．
∵x为整数，
∴x=1，2，3，4，5．
∴ ．
第6页（共16页）∴这样的两位数为：14，23，32，41，50．
∴这样的两位数共有5个．
故答案为：5．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次不定方程的解法的运用，不等式
的解法的运用，解答时运用不定方程的解法求解是关键．
7．一架飞机顺风飞行，每小时飞行500km，逆风飞行，每小时飞行460km，假设飞机本身的速度是
xkm/h，风速是ykm/h，依题意列出二元一次方程组 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】首先注意公式：顺风速度=本身的速度+风速，逆风的速度=本身的速度﹣风速．
然后根据此题中的等量关系：①顺风飞行，每小时飞行500km；②逆风飞行，每小时飞行460km．列方
程组即可．
【解答】解：根据顺风飞行，每小时飞行500km，得方程x+y=500；
根据逆风飞行，每小时飞行460km，得方程x﹣y=460．
可列方程组 ．
【点评】本题为顺风逆风问题，掌握好顺风逆风速度的求法，就可列出方程．
三、解答题
8．有一个两位数，个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是
143．求这个两位数．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设这个两位数个位数字为x，十位数字为y，根据个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置
对换，那么所得的新数与原数的和是143，列方程组求解．
【解答】解：设这个两位数个位数字为x，十位数字为y，
由题意得， ，
解得： ．
则这个两位数为49．
第7页（共16页）【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组求解．
9．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡
每小时行3km，下坡每小时行5km，他到姥姥家需要行66分钟，从姥姥家回来时需要行78分钟才能
到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】行程问题．
【分析】可设小华到姥姥家上坡路有xkm，下坡路有ykm，则小华从姥姥家回来，需要走上坡路ykm，
下坡路xkm．
已知上下坡的速度根据小华来回的用时不同可列出两个关于xy的两个方程，求解即可．
【解答】解：设小华到姥姥家上坡路有xkm，下坡路有ykm，那么小华从姥姥家回来，需要走上坡路
ykm，下坡路xkm，
根据题意得：
由①得：10x+6y=33③
由②得：10y+6x=39④
③×10得：100x+60y=330⑤
④×6得：36x+60y=234⑥
⑤﹣⑥得：x=1.5，
将x=1.5代入③得：15+6y=33，∴y=3；
∴ ，
所以，小华到姥姥家有1.5km上坡路，3km下坡路，共有4.5km．
第8页（共16页）答：姥姥家离小华家4.5km．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为888；而小亮在另一个加
数后面多写了一个0，得到和为861，求原来两个加数分别是多少？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设原来的一个加数为x，另一个加数为y，根据两个加数的和分别为888和861建立二元一次
方程组，求出其解即可．
【解答】解：设原来的一个家数为x，另一个加数为y，由题意，得
，
解得： ．
答：原来的两个加数分别是81，78．
【点评】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时根据
数字问题的数量关系建立方程组是关键．
11．某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学
生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生
和小学生人数的部分情况如下表：
七年级 八年级 九年级
捐款数额（元） 4000 4200 7400
捐助贫困中学生（名） 2 3
捐助贫困小学生（名） 4 3
（1）求a、b的值；
（2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学
生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，根据表格中提供
的七年级和八年级捐款数，和人数可求出a和b的值．
第9页（共16页）（2）根据九年级的捐款数和a，b的值可求出结果．
【解答】解：（1）资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，
，
解得： ．
所以a的值是800，b的值是600．
（2）九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是4，7．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数做为等量关系列方程组求解．第2问根
据总人数是23和总捐款数可求出解．
12．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲
正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设甲、乙两人的速度各是xm/min，ym/min，根据甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上
乙；甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇，列方程组求解．
【解答】解：设甲、乙两人的速度各是xm/min，ym/min，
由题意得， ，
解得： ．
答：甲、乙两人的速度各是80m/min，70m/min．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组求解．
13．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，
整列火车完全在桥上的时间共40s．求火车的速度和长度．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设火车的速度为x米/秒，桥的长度为y米，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方
程组求出其解即可．
第10页（共16页）【解答】解：设火车的速度为x米/秒，桥的长度为y米，由题意，得
，
解得： ．
答：火车的速度为20米/秒，桥的长度为200米．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时根据
程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组是关键．
14．两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在
静水中的速度和水的流速？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设这艘轮船在静水中的速度为x千米/小时，水的流速为y千米/小时，根据顺流航行了14小时，
逆流航行了20小时，列方程组求解．
【解答】解：设这艘轮船在静水中的速度为x千米/小时，水的流速为y千米/小时，
由题意得， ，
解得： ．
答：这艘轮船在静水中的速度为17千米/小时，水的流速为3千米/小时．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组求解．
三、能力提升
15．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10 米，甲跑5秒就追上乙；如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑
4秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，列出的方程组为 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，根据甲让乙先跑10 米，甲跑5秒就追上乙；甲让乙先跑2秒，
甲跑4秒就追上乙，列方程即可．
【解答】解：设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，
第11页（共16页）由题意得， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找
出合适的等量关系，列方程组．
16．一个两位数，减去它的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是
5，余数是1．这两位数是多少？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】这个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，则个两位数表示为10x+y，然后根据两位数减
去它的各位数之和的3倍得23可列方程10x+y﹣3（x+y）=23，由于这个两位数除以它的各位数数之
和，商是5，余数是1，根据整数的除法得到10x+y=5（x+y）+1，然后组成方程组，再解方程组即可．
【解答】解：设这个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，
根据题意得 ，
解得 ，
所以这个两位数为56．
答：这个两位数为56．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
17．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时
后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？
第12页（共16页）【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】计算题．
【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙
先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列
方程求解．
【解答】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：
，
解得：
甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出甲乙的速度，以路程做为等量关系列方程求解．
18．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以50千米/小时的速度行驶，会迟到24分钟；如
果以75千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设规定的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米，根据以50千米/小时的速度行驶，会迟到
24分钟；以75千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，列方程组求解．
【解答】解：设规定的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米，由题意得
，
解得： ．
答：甲乙两地的距离为120千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组求解．
第13页（共16页）19．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小
时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，那么可以分两种情况：
①当甲和乙还没有相遇相距3千米时，根据经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩
路程是乙到A地所剩路程的2倍可以列出方程组 解决问题；
②当甲和乙相遇了相距3千米时，根据经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程
是乙到A地所剩路程的2倍可以列出方程组 解决问题．
【解答】解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，则有两种情况：
（1）当甲和乙还没有相遇相距3千米时，
依题意得 ，
解得 ；
（2）当甲和乙相遇了相距3千米时，
依题意得 ，
解得 ．
答：甲乙两人的速度分别为4km/h、5km/h或 km/h， km/h．
【点评】此题是一个行程问题，主要考查了相遇问题中的数量关系，但解题要注意分相遇和没有相遇
两种情况解题．
第14页（共16页）20．甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步．相向而行，每隔2分两人相遇一次，同向而行，每隔6
分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】相向而行是相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=1；
同向而行是追及问题，题中说甲比乙跑得快，所以是甲路程﹣乙路程=1
【解答】解：设甲每分跑x圈，乙每分跑y圈，
则
解得
答：甲每分跑 圈，乙每分跑 圈．
【点评】相遇问题和追及问题的等量关系的不变的：甲路程+乙路程=甲乙相距路程，甲路程﹣乙路程=
甲乙相距路程，本题中甲乙相距路程是以圈为单位的，是一圈．
21．第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40%，第二工程队承包乙工程，
晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工
作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】根据题意找出两个等量关系：①第一工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量；
②第二工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量．设工程总量为1，则第一工程队晴天
工作效率为 ，雨天工作效率为 ；第一工程队晴天工作效率为 ，雨天工作效率为
，根据等量关系列出方程组求解即可．
第15页（共16页）【解答】解：设两工程队各工作了x天，在施工期间有y天有雨，
由题意得 ，
整理得 ，
解得 ．
答：设两工程队各工作了16天，在施工期间有10天有雨．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于弄清题意，找出两个合适的等量关系，列出方
程组求解．
四、聚沙成塔
22．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败
队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按
净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6
分或7分能否出线即可．
【解答】解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为
3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，
①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，
所以这个队必定出线，
②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
故一个队至少要积7分才能保证出线．
【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突
破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．
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