2022 年福建省初中学业水平考试
一、选择题(本题共10 小题,每小题4 分,共40 分)
1.(2022 福建,1,4 分)-11 的相反数是
( )
A.-11
B.- 1
11
C. 1
11
D.11
2.(2022 福建,2,4 分)如图所示的圆柱,其俯视图是
( )
A
B
C
D
3.(2022 福建,3,4 分)5G 应用在福建省全面铺开,助力千行百业迎“智”变.截至
2021 年底,全省5G 终端用户达1 397.6 万户.数据13 976 000 用科学记数法表示
为( )
A.13 976×103
B.1 397.6×104
C.1.397 6×107
D.0.139 76×108
4.(2022 福建,4,4 分)美术老师布置同学们设计窗花,下列作品为轴对称图形的
是( )
A
B
C
D
5.(2022 福建,5,4 分)如图,数轴上的点P 表示下列四个无理数中的一个,这个无
理数是( )
A.-√2
B.√2
C.√5
D.π
6.(2022 福建,6,4 分)不等式组{
x -1>0,
x -3≤0 的解集是 ( )
A.x>1
B.1<x<3
C.1<x≤3
D.x≤3
7.(2022 福建,7,4 分)化简(3a2)2的结果是
( )
A.9a2
B.6a2
C.9a4
D.3a4
8.(2022 福建,8,4 分)2021 年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列.下
图是福建省10 个地区环境空气质量综合指数统计图.
综合指数越小,表示环境空气质量越好.依据综合指数,从图中可知环境空气质量
最好的地区是
( )
A.F1B.F6 C.F7
D.F10
9.(2022 福建,9,4 分)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中
AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD 约为
(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51) ( )
A.9.90 cm
B.11.22 cm
C.19.58 cm D.22.44 cm
10.(2022 福建,10,4 分)如图,现有一把直尺和一块三角尺,其中
∠ABC=90°,∠CAB=60°,AB=8,点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺
边缘平移,使得△ABC 移动到△A'B'C',点A'对应直尺的刻度为0,则四边形
ACC'A'的面积是( )
A.96
B.96√3 C.192
D.160√3
二、填空题(每小题4 分,共24 分)
11.(2022 福建,11,4 分)四边形的外角和度数是 .
12.(2022 福建,12,4 分)如图,在△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 的中点.若BC=12,
则DE 的长为 .
13.(2022 福建,13,4 分)一个不透明的袋中装有3 个红球和2 个白球,这些球除
颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球,这个球是红球的概率是 .
14.(2022 福建,14,4 分)已知反比例函数y=k
x 的图象分别位于第二、第四象限,
则实数k 的值可以是 .(只需写出一个符合条件的实数)
15.(2022 福建,15,4 分)推理是数学的基本思维方式,若推理过程不严谨,则推理
结果可能产生错误.
例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下:
设任意一个实数为x,令x=m,
等式两边都乘x,得x2=mx.
①
等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2. ②
等式两边分别分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m).
③
等式两边都除以x-m,得x+m=m.
④
等式两边都减m,得x=0.
⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是 .
16.(2022 福建,16,4 分)已知抛物线y=x2+2x-n 与x 轴交于A,B 两点,抛物线
y=x2-2x-n 与x 轴交于C,D 两点,其中n>0.若AD=2BC,则n 的值为 .
三、解答题(本大题共9 个小题,共86 分)
17.(2022 福建,17,8 分)计算:√4+|√3-1|-2 0220.
18.(2022 福建,18,8 分)如图,点B,F,C,E 在同一条直线上,
BF=EC,AB=DE,∠B=∠E.
求证:∠A=∠D.
19.(2022 福建,19,8 分)先化简,再求值:(1+ 1
a)
÷a
2-1
a
,其中a=√2+1.
20.(2022 福建,20,8 分)学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动,同学
们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理,组成调查组、采购组、规划组
等多个研究小组.
调查组设计了一份问卷,并实施两次调查.活动前,调查组随机抽取50 名同学,调
查他们一周的课外劳动时间t(单位:h),并分组整理,制成如下条形统计图.活动
结束一个月后,调查组再次随机抽取50 名同学,调查他们一周的课外劳动时间
t(单位:h),按同样的分组方法制成如下扇形统计图.其中A 组为0≤t<1,B 组为
1≤t<2,C 组为2≤t<3,D 组为3≤t<4,E 组为4≤t<5,F 组为t≥5.
(1)判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组;
(2)该校共有2 000 名学生,请根据活动后的调查结果,估计该校学生一周的课外
劳动时间不小于3 h 的人数.
21.(2022 福建,21,8 分)如图,△ABC 内接于☉O,AD∥BC 交☉O 于点D,DF∥AB
交BC 于点E,交☉O 于点F,连接AF,CF.
(1)求证:AC=AF;
(2)若☉O 的半径为3,∠CAF=30°,求´AC的长(结果保留π).
22.(2022 福建,22,10 分)在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中,八年
级(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植,
计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46 盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2 倍.已知
绿萝每盆9 元,吊兰每盆6 元.
(1)采购组计划将预算经费390 元全部用于购买绿萝和吊兰,可购买绿萝和吊兰
各多少盆?
(2)规划组认为有比390 元更省钱的购买方案,请求出购买两种绿植总费用的最
小值.
23.(2022 福建,23,10 分)如图,BD 是矩形ABCD 的对角线.
(1)求作☉A,使得☉A 与BD 相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,设BD 与☉A 相切于点E,CF⊥BD,垂足为F.若直线CF 与☉A
相切于点G,求tan∠ADB 的值.
24.(2022 福建,24,12 分)已知△ABC≌△DEC,AB=AC,AB>BC.
(1)如图1,CB 平分∠ACD,求证:四边形ABDC 是菱形;
(2)如图2,将(1)中的△CDE 绕点C 逆时针旋转(旋转角小于∠BAC),BC,DE 的
延长线相交于点F,用等式表示∠ACE 与∠EFC 之间的数量关系,并证明;
(3)如图3,将(1)中的△CDE 绕点C 顺时针旋转(旋转角小于∠ABC),若
∠BAD=∠BCD,求∠ADB 的度数.
图1
图2
图3
25.(2022 福建,25,14 分)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y=ax2+bx 经过
A(4,0),B(1,4)两点.P 是抛物线上一点,且在直线AB 的上方.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若△OAB 的面积是△PAB 面积的2 倍,求点P 的坐标;
(3)如图,OP 交AB 于点C,PD∥BO 交AB 于点D.记△CDP,△CPB,△CBO 的面积
分别为S1,S2,S3.判断S1
S2
+S2
S3
是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,请说
明理由.
2022 年福建省初中学业水平考试
1.D 只有符号不同的两个数互为相反数,∴-11 的相反数是11.故选D.
2.A 俯视图是从上往下看得到的图形,圆柱的俯视图是圆.故选A.
3.C 13 976 000=1.397 6×107.故选C.
4.A 轴对称图形是沿着对称轴折叠两边会重合的图形.故选A.
5.B 设点P 表示的数为a.由题图可知a 的范围是1<a<2.故选B.
6.C 由x-1>0,解得x>1,
由x-3≤0,解得x≤3.
∴原不等式组的解集为1<x≤3,故选C.
7.C (3a2)2=3a2·3a2=9a4,故选C.
8.D 由题图可知F10的综合指数最小,故选D.
9.B ∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=1
2
BC=22(cm).
在Rt△ABD 中,tan∠ABC= AD
BD
.
∴AD=BD·tan∠ABC=22·tan 27°≈22×0.51=11.22(cm).故选B.
10.B 在△ABC 中,∠ABC=90°,∠CAB=60°,
∴∠ACB=30°,
∴AC=2AB=16.
如图,过A 作AD⊥A'C'于点D.
由平移的性质得∠AA'C'=60°,ACA'C',∴四边形ACC'A'是平行四边形,
由题意知A'A=12.
在Rt△AA'D 中,sin∠AA'C'= AD
A ' A
,
∴AD=A'A·sin∠AA'C'=12×√3
2
=6√3,
∴S▱ACC'A'=AD·AC=6√3×16=96√3.故选B.
11.答案 360°
解析 多边形的外角和为360°,故四边形外角和为360°.
12.答案 6
解析 ∵D、E 分别是AB、AC 的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线,
∴DE=1
2
BC=6.
13.答案 3
5
解析 P(红球)=红球个数
总数
=3
5
.
14.答案 -1(答案不唯一,只要k<0 即可)
解析 ∵反比例函数y=k
x
的图象位于第二、第四象限,∴k<0.
15.答案 ④
解析 根据等式的性质2:等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0 的数,结果仍相等,可
知第④步等式两边都除以x-m 时,必须满足x-m≠0,故④错误.
16.答案 8
解析 解法一:易知抛物线y=x2+2x-n 的对称轴为直线x=-1,
抛物线y=x2-2x-n 的对称轴为直线x=1.
∵n>0,∴-n<0,∴两条抛物线如图所示,
由题意可得A(-1-√1+n,0),B(-1+√1+n,0),C(1-√1+n,0),D(1+√1+n,0),
∴AD=2+2√1+n,BC=-2+2√1+n,
∵AD=2BC,
∴2+2√1+n=2(-2+2√1+n),解得n=8.
解法二:易知抛物线y=x2+2x-n 的对称轴为直线x=-1,
抛物线y=x2-2x-n 的对称轴为直线x=1.
∵n>0,∴-n<0.
∴两条抛物线如图所示.
由题意可知AC=BD=2.
设BC=x,则AD=4+x.
∵AD=2BC,
∴4+x=2x,解得x=4,
∴AB=AC+BC=2+x=2+4=6.
设x2+2x-n=0 的两个解为x1,x2,则x1+x2=-2,x1x2=-n,|x2-x1|=6,
∴(x2-x1)2=36,
∴(x1+x2)2-4x1x2=36,
∴4+4n=36,
∴n=8.
17.解析 原式=2+√3-1-1=√3.
18.证明 ∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF.
在△ABC 和△DEF 中,
{
AB = DE ,
∠B =∠E ,
BC = EF ,
∴△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠D.
19.解析 原式=a+1
a
÷(a+1)(a-1)
a
=a+1
a
·
a
(a+1)(a-1)
= 1
a-1
.
当a=√2+1 时,
原式=
1
√2+1-1
=√2
2
.
20.解析 (1)50 个数据的中位数是第25,26 个数据的平均数.
由条形统计图知,第25,26 个数据均落在C 组.故活动前调查数据的中位数落在C 组.
由扇形统计图知,第25,26 个数据均落在D 组,故活动后调查数据的中位数落在D 组.
(2)活动后一周的课外劳动时间不小于3 h 的百分比为30%+24%+16%=70%,
∴2 000×70%=1 400(人).
答:根据活动后的调查结果,估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3 h 的人数为1 400.
21.解析 (1)证明:∵AD∥BC,DF∥AB,
∴四边形ABED 是平行四边形,
∴∠B=∠D.
又∠AFC=∠B,∠ACF=∠D,
∴∠AFC=∠ACF,
∴AC=AF.
(2)连接AO,CO.
由(1)得∠AFC=∠ACF,
又∵∠CAF=30°,
∴∠AFC=180° -30°
2
=75°,
∴∠AOC=2∠AFC=150°.
∴´AC的长l=150×π ×3
180
=5 π
2
.
22.解析 (1)设购买绿萝x 盆,吊兰y 盆.
根据题意,得{
x + y = 46,
9 x +6 y =390,
解得{
x =38,
y =8.
因为38>2×8,所以x=38,y=8 符合题意.
答:可购买绿萝38 盆,吊兰8 盆.
(2)设购买绿萝m 盆,吊兰(46-m)盆,购买两种绿植的总费用为W 元,
则W=9m+6(46-m)=3m+276,
所以W 是关于m 的一次函数,W 随m 的增大而增大.
根据题意,得m≥2(46-m),解得m≥92
3
.
又m 为整数,所以m 取最小值31 时,W 的值最小.
当m=31 时,W=3×31+276=369.
答:购买两种绿植总费用的最小值为369 元.
23.解析 (1)解法一:如图所示,☉A 即为所求作的图形.
解法二:如图所示,☉A 即为所求作的图形.
解法三:如图所示,☉A 即为所求作的图形.
(2)解法一:设∠ADB=α,☉A 的半径为r.
∵BD 与☉A 相切于点E,CF 与☉A 相切于点G,
∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°.
∵CF⊥BD,
∴∠EFG=90°,
∴四边形AEFG 是矩形.
又AE=AG=r,
∴四边形AEFG 是正方形.
∴EF=AE=r.
在Rt△AEB 和Rt△DAB 中,∠BAE+∠ABD=90°,∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BAE=∠ADB=α.
在Rt△ABE 中,tan∠BAE= BE
AE
,
∴BE=rtan α.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF.
又∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF=rtan α,
∴DE=DF+EF=rtan α+r.
在Rt△ADE 中,tan∠ADE= AE
DE
,即DE·tan α=AE,
∴(rtan α+r)tan α=r,
即tan2α+tan α-1=0.
∵tan α>0,
∴tan α=√5-1
2
,
即tan∠ADB 的值为√5-1
2
.
解法二:∵BD 与☉A 相切于点E,CF 与☉A 相切于点G,
∴∠AED=∠AGF=90°.
∵CF⊥BD,∴∠EFG=90°,
∴四边形AEFG 是矩形.
∵AE=AG,
∴矩形AEFG 是正方形,∴EF=AE.
在矩形ABCD 中,ABCD,
∴∠1=∠2,
∵∠CFD=∠AEB=90°,
∴△CDF≌△ABE,
∴DF=BE.
设☉A 的半径为r,BE=x,则AE=EF=r,DE=r+x.
∵∠DAB=∠AEB=90°,
∴∠2+∠3=90°,∠2+∠4=90°,
∴∠3=∠4,
∴tan∠3=tan∠4,
即BE
AE
= AE
DE
,∴x
r
= r
r + x
,
解得x=-r +√5r
2
(舍去负值),
∴tan∠3= BE
AE
=
-r +√5r
2
r
=-1+√5
2
,
即tan∠ADB=-1+√5
2
.
24.解析 (1)∵△ABC≌△DEC,
∴AC=DC.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,AB=DC.
∵CB 平分∠ACD,
∴∠ACB=∠DCB,
∴∠ABC=∠DCB,
∴AB∥CD,
∴四边形ABDC 是平行四边形.
又AB=AC,
∴四边形ABDC 是菱形.
(2)结论:∠ACE+∠EFC=180°.
证明:∵△ABC≌△DEC,
∴∠ABC=∠DEC.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ACB=∠DEC.
∵∠ACB+∠ACF=∠DEC+∠CEF=180°,
∴∠ACF=∠CEF.
∵∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°,
∴∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°,
∴∠ACE+∠EFC=180°.
(3)解法一:在AD 上取一点M,使得AM=CB,连接BM.
由题意得AB=CD,又∠BAD=∠BCD,
∴△ABM≌△CDB,
∴BM=BD,∠MBA=∠BDC,
∴∠ADB=∠BMD.
∵∠BMD=∠BAD+∠MBA,
∴∠ADB=∠BCD+∠BDC.
设∠BCD=∠BAD=α,∠BDC=β,则∠ADB=α+β.
由题意得CA=CD,
∴∠CAD=∠CDA=α+2β,
∴∠BAC=∠CAD-∠BAD=2β,
∴∠ACB=1
2
(180°-∠BAC)=90°-β,
∴∠ACD=(90°-β)+α.
∵∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°,
∴(90°-β)+α+2(α+2β)=180°,
∴α+β=30°,即∠ADB=30°.
解法二:延长CB 交AD 于点M,延长CM 至点N,使得DM=MN,连接DN.
设∠CAB=2α,∠BAD=∠BCD=β.
∵AC=AB,
∴∠ACB=180° -∠CAB
2
=90°-α.
由题意得AC=CD.
∴∠CAD=∠CDA=2α+β.
在△ACD 中,∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°,
∴2(2α+β)+90°-α+β=180°,
化简得β=30°-α.
∴∠CAD=2α+β=2α+30°-α=α+30°,
∴∠CAD+∠ACB=α+30°+90°-α=120°.
在△ACM 中,∠CAD+∠ACB+∠AMC=180°,
∴∠AMC=60°,∴∠DMN=60°.
∵DM=MN,
∴△DMN 是等边三角形,
∴DN=DM,∠N=60°=∠AMB.
∵AC=AB,AC=CD,
∴AB=CD.
∵∠BAD=∠BCD,
∴△ABM≌△CDN,∴BM=DN.
∵DN=DM,∴BM=DM,
∴∠MBD=∠MDB.
∵∠AMB=∠MBD+∠MDB=2∠MDB=60°,
∴∠MDB=30°,即∠ADB=30°.
25.解析 (1)将A(4,0),B(1,4)代入y=ax2+bx,
得{
16a+ 4 b=0,
a+b= 4 ,
解得{
a=- 4
3 ,
b= 16
3 .
∴抛物线的解析式为y=-4
3
x2+16
3
x.
(2)解法一:设直线AB 的解析式为y=kx+t(k≠0),
将A(4,0),B(1,4)代入y=kx+t,
得{
4 k +t =0,
k +t = 4 ,
解得{
k =- 4
3 ,
t = 16
3 .
∴直线AB 的解析式为y=-4
3
x+16
3
.
过点P 作PM⊥x 轴,垂足为M,PM 交AB 于点N,
过点B 作BE⊥PM,垂足为E.
∴S△PAB=S△PNB+S△PNA
=1
2
PN×BE+1
2
PN×AM
=1
2
PN×(BE+AM)=3
2
PN.
∵A(4,0),B(1,4),∴S△OAB=1
2
×4×4=8.
∵△OAB 的面积是△PAB 面积的2 倍,
∴2×3
2
PN=8,∴PN=8
3
.
设P(m,- 4
3 m
2+ 16
3 m)
(1<m<4),则N(m,- 4
3 m+ 16
3 )
.
∴PN=(- 4
3 m
2+ 16
3 m)
-(- 4
3 m+ 16
3 )
=8
3
,
即-4
3
m2+20
3
m-16
3
=8
3
,
解得m1=2,m2=3.
∴点P 的坐标为(2, 16
3 )
或(3,4).
解法二:设直线AB 的解析式为y=kx+p(k≠0).
∵直线AB 过A(4,0),B(1,4),
∴{
4 k + p=0,
k + p= 4 ,
解得{
k =- 4
3 ,
p= 16
3 ,
∴直线AB 的解析式为y=-4
3
x+16
3
,
过P 作直线PL∥AB 交y 轴于点L,
延长AB 交y 轴于点I,则OI=16
3
.
过点O 作OS⊥AB,分别交AB、PL 于点K、S.
由题意易知AB=5.
∵S△AOB=1
2
OA·yB=1
2
AB·OK,
∴1
2
×4×4=1
2
×5×OK,
∴OK=16
5
.
∵S△AOB=2S△ABP,
∴1
2
AB·OK=2×1
2
AB·KS,
∴KS=1
2
OK=8
5
,
∴OS=OK+KS=24
5
.
∵AI∥PL,
∴OI
OL
=OK
OS
,即
16
3
OL
=
16
5
24
5
,
∴OL=8,
易得直线PL 的解析式为y=-4
3
x+8.
联立{
y =- 4
3 x +8,
y =- 4
3 x
2+ 16
3 x ,
解得{
x1=2,
y1= 16
3 ,{
x2=3,
y2= 4 ,
∴点P 的坐标为(2, 16
3 )
或(3,4).
(3)S1
S2
+S2
S3
存在最大值.
解法一:∵PD∥OB,∴∠DPC=∠BOC,∠PDC=∠OBC,
∴△DPC∽△BOC,
∴CP
CO
=CD
CB
=PD
OB
.
∵S1
S2
=CD
CB
,S2
S3
= CP
CO
,
∴S1
S2
+S2
S3
=2 PD
OB
.
设直线AB 交y 轴于点F,则F(0, 16
3 )
.
过点P 作PH⊥x 轴,垂足为H,PH 交AB 于点G.
∵∠PDC=∠OBC,∴∠PDG=∠OBF.
∵PG∥OF,∴∠PGD=∠OFB,
∴△PDG∽△OBF,
∴PD
OB
= PG
OF
.
设P(n,- 4
3 n
2+ 16
3 n)
(1<n<4).由(2)可得PG=-4
3
n2+20
3
n-16
3
,
∴S1
S2
+S2
S3
=2 PG
OF
=3
8
PG=3
8(- 4
3 n
2+ 20
3 n- 16
3 )
=-1
2(n- 5
2)
2+9
8
.
又1<n<4,∴当n=5
2
时,S1
S2
+S2
S3
取最大值9
8
.
解法二:∵PD∥OB,
∴∠DPC=∠BOC,∠PDC=∠OBC,
∴△DPC∽△BOC,
∴CP
CO
=CD
CB
=PD
OB
,
∵S1
S2
=CD
CB
,S2
S3
= CP
CO
,
∴S1
S2
+S2
S3
=2 PD
OB
,
过B 作BQ⊥x 轴交x 轴于点Q,过P、D 分别作y 轴,x 轴的平行线交于点T,
则△PTD∽△BQO.
∴PD
OB
= DT
OQ
.
∵直线OB 过点B(1,4),∴直线OB 的解析式为y=4x.
设P(t ,- 4
3 t
2+ 16
3 t)
(1<t<4),
∵直线PD 过点P(t ,- 4
3 t
2+ 16
3 t)
,且PD∥OB,
∴直线PD 的解析式为y=4x-4
3
t2+4
3
t,
联立{
y = 4 x - 4
3 t
2+ 4
3 t ,
y =- 4
3 x + 16
3 ,
解得{
x = 1
4 t
2- 1
4 t +1,
y =- 1
3 t
2+ 1
3 t + 4 ,
∴D(
1
4 t
2- 1
4 t +1,- 1
3 t
2+ 1
3 t + 4)
,
∴DT
OQ
=t -(
1
4 t
2- 1
4 t +1)
1
=-1
4
t2+5
4
t-1
=-1
4(t - 5
2)
2+ 9
16
.
∵1<t<4,
∴当t=5
2
时, DT
OQ
取最大值9
16
,
∴S1
S2
+S2
S3
=2 PD
OB
=2 DT
OQ
=9
8
.
