文档文本内容
海淀区 2024—2025 学年第二学期期末练习
高三数学
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知向量 ．若 与 共线，则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线得到方程，解出即可.
【详解】因为向量 ．且 与 共线，
所以得 ，解得 .
故选：A.
2. 已知集合 ．若 ，且 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的结果直接得出答案.
【详解】由题意知， ，
因为 ，
所以 .
故选：B3. 已知 ．若动点 满足 ，则 的轨迹的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的定义即可得出答案.
【详解】∵ ，动点 满足 ，
∴动点 的轨迹为双曲线且为右支， ， ， ，
∴ 的轨迹的方程为 ，
.
故选：D
4. 在 的展开式中， 的系数为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出展开式通项，令 的指数为 ，求出参数的值，代入通项后可得出关于 的等式，解之即可.
【详解】 的展开式通项为 ，
令 ，可得 ，所以 的系数为 ，解得 .
故选：A.
5. 圆心为 且与 轴相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.【答案】D
【解析】
【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为 且与 轴相切，所以半径 ，
则圆的方程为 .
故选：D
6. 设 、 、 ， ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.
【详解】对于A选项，不妨取 ， ， ，则 ，A错；
对于B选项，不妨设 ， ， ，则 ，B错；
对于C选项，因为 ，由不等式的基本性质可得 ，C对；
对于D选项，不妨设 ， ， ，则 ，D错.
故选：C.
7. 已知 为等差数列， 为等比数列，其中 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】由等差、等比数列概念可得 、 通项，即可得出答案.
【详解】∵ 为等差数列且 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ 为等差数列且 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴当 时， ，当 时， ，故A、B不正确；
∵ ， ，∴ ，
故选：C.
8. 已知 是非零平面向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律，结合充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】由 ，得 ，故必要性成立；
由 ，得 ，得 ，
不一定成立，故充分性不成立.
所以“ ”是“ ”必要不充分条件.
故选：B9. 在锐角 中， ，则 的一个可能的取值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 ，再由正弦定理将边化角，利用二倍角公式转化为 的三角函数，结合 的
范围及余弦函数的性质计算可得.
【详解】在锐角 中， ，则 ，又 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故符合题意的只有B.
故选：B
10. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪
氏记录法）： ，其中， 为被测试眼睛的视力值， 为该眼睛能分辨清楚的最低一行“ ”
形视标的笔划宽度（单位：毫米）， 为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示， 是与 无
关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能
分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他
的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据： ）
A. 4.5 B. 4.6 C. 4.8 D. 5.0
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知视力值求出 的值，再根据小明距离3米，求出其实际视力值.
【详解】已知当 ， 时，代入 ，解得 .
小明在距离该视力表3米处进行检测,即 ，代入 ，求解 ；
因为题中参考数据已知 ， ；
.
所以
所以 .
故选： .
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若 （ 为虚数单位），则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件求出 、 ，即可得解.【详解】因为 ，又 ，
所以 ，则 .
故答案为：
12. 抛物线 的焦点坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】先确定焦点位置，然后求出 即可得结果.
【详解】解：由抛物线方程 知，抛物线的焦点在 上，
由 ，得 ，
所以焦点坐标为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查已知抛物线，求焦点坐标，是基础题.
13. 在平面直角坐标系 中，若点 绕原点 逆时针旋转 可得到点 ，则
__________，点 到直线 的距离之和的最大值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】首先求出 ，即可得到 为等边三角形，从而求出 ，再由
，求出点 到直线 的距离 ，点 到直线 的距离 ，利用两角差的正弦公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为点 ，所以 ，
将点 绕原点 逆时针旋转 可得到点 ，则 且 ，
所以 为等边三角形，所以 ；
将点 绕原点 逆时针旋转 可得到点 ，
的
所以点 到直线 距离 ，
点 到直线 的距离 ，
所以点 到直线 的距离之和为
，
所以当 ，
即 时，点 到直线 的距离之和取得最大值 .
故答案为： ；
14. 已知函数 ，则 的值域为__________，曲线 的对称中心为__________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】【分析】化简解析式得出 ，结合指数函数的值域可求得函数 的值域；计算
的值，可得出曲线 的对称中心坐标.
【详解】因为 ，
因为 ，则 ，故 ，即函数 的值域为 ，
因为 ，
所以， ，
因此，函数 的对称中心为 .
故答案为： ； .
15. 如图，在正方体 中， ， 、 为上底面 （包含边界）内的两个动
点，且满足 ， ．给出下面四个结论：
①当 与 重合时，五面体 的体积为 ；②记直线 分别与平面 和平面 所成角为 、 ，则 的值不变；
③存在 、 ，使得 ；
④存在 、 ，使得五面体 中， 所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个
彼此相等．
其中，所有正确结论的序号为__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用锥体和柱体 的体积公式可判断①；利用线面角的定义可判断②；以点 为坐标原点，
、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断③；取点
为 的中点，利用空间向量法可判断④.
【详解】对于①，当 与 重合时，
，①对；
对于②，过点 作 分别交 、 于点 、 ，连接 、 ，
过点 作 分别交 、 于点 、 ，连接 、 ，
过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
因为 ， ，则 ，且 ，故 平面 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，故 平面 ，
故 ，同理可得 ，
所以， 为定值，②对；
对于③，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角
坐标系，
则 、 ，设点 ，则 ，
则 ， ，
所以， ，
故不存在 、 ，使得 ，③错；
对于④，不妨取点 ，则点 ，则 、 ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，所以， ，
故底面 与平面 夹角的余弦值为 ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
所以， ，
即底面 与平面 所成夹角的余弦值为 ，
同理可知，底面 与平面 所成夹角的余弦值为 ，
此时，点 为棱 的中点，则平面 平面 ，
则底面 与平面 夹角的余弦值为 ，④对.
故答案为：①②④.
三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 ．
（1）若 ，求 及 的单调递增区间；
（2）已知 在区间 上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使函数 存在且唯一确定，求 的最小正周期．条件①： ；
条件②： 是 的一个极值点；
条件③： 是 的一个零点．
【答案】（1） ，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式化简，再代入 的值，即可得到函数解析式，再由正弦函数的
性质计算可得；
（2）依题意可得 ，再根据所选条件，得到方程，求出 的取值（集合），即可得到函数解析式，
从而求出函数的最小正周期.
【小问1详解】
因为
，
当 时， ，则 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ；
【小问2详解】因为 ， 在区间 上单调递增，且 ，
所以 ，解得 ；
若选①： ，又 在区间 上单调递增，
所以曲线 关于 对称，且点 在曲线的递增部分上，
则 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
则 ，所以 的最小正周期为 ；
若选②： 是 的一个极值点，又 在区间 上单调递增，
所以 处取得最大值，
在
则 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
则 ，所以 的最小正周期为 ；
若选③： 是 的一个零点，则 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 或 ，
当 时， ，所以 的最小正周期为 ；
当 时， ，所以 的最小正周期为 ；
17. 如图1，五边形 中， ．将三角形
沿 翻折，使得平面 平面 ，如图2．
（1）求证： 平面 ；
（2）记直线 与平面 所成角为 ．若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得 平面 ，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明；
（2）如图，建立空间直角坐标系，设 ，利用空间向量法求出平面 的法向量，求出线面角，建
立关于 的方程，解之即可求解.
【小问1详解】因为平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
如图，过点 作 于点 ，则 ，
在 中， ，所以 ，得 .
过点 作 轴 平面 ，建立如图空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
解得 ，即 .
18. 某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、
白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：小学生 初中生 高中生
颜色
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
黑色 80 20 40 20 20 20
白色 60 40 30 30 30 10
假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
（1）从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率 ；
（2）从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记 为这2人中愿意购买白色新品跑
鞋的人数，求 的分布列和数学期望 ；
（3）假设该市 学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为 ，从 学校的全体中小学生中随
机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为 ，试比较 与（1）中的 的大小．（结
论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析， ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据表中数据求出相应频率，用频率估计概率即可；
（2） 的可能取值为 ，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；
（3）分别求出小学生、初中生、高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率，结合所占的权重求得 并与 的
大小比较即可.
【小问1详解】
由表可知200名顾客中愿意购买黑色新品跑鞋的人数为140人，
用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率 ；
【小问2详解】用频率估计概率，由表可知从初中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为 ，
从高中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为 ，
由题意 的可能取值为 ，
，
，
.
所以 的分布列为
.
【小问3详解】
小学生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为 ；
初中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为 ；
高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为 .
所以 .19. 已知椭圆 ．设直线 交椭圆 于不同的两点 、 ，与 轴交于点 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若点 满足 且 ，求 的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，将直线 的方程与椭圆方程联立，求出交点的坐标，再利用弦长公式可求得
的值；
（2）设点 、 ，设线段 的中点为 ，将直线 的方程与椭圆方程联立，列
出韦达定理，求出 、 ，利用勾股定理求出 ，可求出 的值，可得出 的
值，进而可得出 的值.
【小问1详解】
设点 、 ，当 时，直线 的方程为 ，
联立 可得 或 ，
所以 .
【小问2详解】
设点 、 ，设线段 的中点为 ，因为 ，则 ，且 ，
联立 ，可得 ，
则 ，
由韦达定理可得 ， ，
则 ，故点 ，
所以， ，
，
，
又因为 ， ，
因为 ，则 ，故 .
20. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）求 在区间 上的极值点个数；
（3）若 且 时，都有 成立，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） （2）答案见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用三阶导数研究函数 的单调性可知当 时， 在 上单调递增；当 时
在 上单调递增，在 上单调递减（ ），结合极值点的概念即可求解；
（3）由（2）知，当 时 ，若 ，则 ，不符合题意；当 时，
可知 ，证得 在 上为上凸函数，即可求解.
【小问1详解】
由题意知， ，
，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
【小问2详解】
由（1）知 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
又当 时， ， ，
所以 ，函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递减，且 ，
当 即 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，无极值点；
当 即 时， ，
存在 使得 ，即 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 在 上有1个极大值点.
综上，当 时， 在 上无极值点；当 时， 在 上有1个极大值点.
【小问3详解】
由 ，且 ，知 ，
由（2）知，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，所以 .
若 ，则 ，不符合题意；
当 时， 在 上单调递增，
满足 的情况；
由（2）知， ，
，设 ，
则 ，所以 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 ，
所以 在 上为上凸函数，
则 ，均有 ，
所以 .
21. 记 表示有穷集合 的元素个数．已知 是正整数，集合 ．若集合序列
满足下列三个性质，则称 是“平衡序列”：
① ，其中 ；
② ⫋ ，其中 ；
③对于 中的任意两个不同元素 ，都存在唯一的 ，使得 ．
（1）设 ，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
（2）已知 且集合序列 是“平衡序列”，对于 ，定义：
证明：
（i）当 时， ；
（ii） ．
【答案】（1） 是平衡的， 不是平衡的；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】【分析】（1）根据平衡的三个条件逐个分析即可判断 ，找到反例 ，即可判断 ；
（2）（i）考虑 ，根据性质③知若 ，则会得到矛盾点，即可证明；
（ii）设 中最小的（之一）为 ，且 ，设 ，根据
（i）的证明方法知当 时， ，则 都不大于 ，最后相加即可证明.
【小问1详解】
是平衡的， 不是平衡的．
理由： ，
， ，满足 ，
显然 ⫋ ，且对于 中的任意两个不同元素 ，
，
都存在唯一的 ，使得 ．
故 是平衡的，
，
并不是 的子集，故 不是平衡的．
【小问2详解】
（i）当 时，对于 中的每个元素 ，考虑 ．
由③知存在唯一的 ，满足 ，则 ．
将每一个 对应到 ，
若 ，就有 ，否则 且 与③矛盾．所以 ．
（ii）对 中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次），
一方面总个数就是 ，
另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是 ，
所以 ．（＊）
不妨设 中最小的（之一）为 ，
且 ，由②③知 ．
再不妨设 ．
由（i）的证明方法可证：当 时， ，
由③知 ，
所以 ，
又因为 ，所以 都不大于 ，
全部相加得 ，
由 的最小性知 ，
结合（＊）可得
，
所以 ．
