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西城区高三统一测试试卷
数学 2023.3
本试卷共6页，150分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先对集合 化简，再由交集得定义即可求得 .
【详解】 ，由 得
故选：B
2. 下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间 上的单调性，可得出合适的选
项.
【详解】对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递减；对于B选项，函数 在区间 上不单调；
对于C选项，函数 在 上不单调；
对于D选项，因为函数 、 在 上均为增函数，
所以，函数 在 上为增函数.
故选：D.
3. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定 的取值范围即可得出结论.
【详解】根据对数函数 在定义域内为单调递增可知 ，即 ；
由三角函数 单调性可知 ；
利用指数函数 为单调递增可得 ；
所以 .
故选：C
4. 在 的展开式中， 的系数为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】利用二项式定理的性质.
【详解】设 的通项 ，则 ，化简得 ，
令 ，则 的系数为 ，即A正确.
故选：A
5. 已知 为 所在平面内一点， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】由题意作出图形,如图,则
，
故选：A.
6. 函数 是（ ）
A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为
C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得 ，即可得出结果.
【详解】由题可知， 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
而 ，即函数 为偶函数；
所以 ，又 ，
即 ，可得函数 最小值为0，无最大值.
故选：C
7. 已知双曲线 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“ 的离心率为 ”是“ 的一条渐近线为 ”
的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分别从充分性和必要性两方面进行检验即可求解.
【详解】若双曲线 的离心率为 ，则 ，
所以 ，若双曲线 的焦点在 轴上，则渐近线方程为 ；
若双曲线 的焦点在 轴上，则渐近线方程为 ；
所以“ 的离心率为 ”不是“ 的一条渐近线为 ”的充分条件；
反之，双曲线 的一条渐近线为 ，
若双曲线 的焦点在 轴上，则渐近线方程为 ，所以 ，离心率 ；
若双曲线 的焦点在 轴上，则渐近线方程为 ，所以 ，
离心率 ；所以“ 的离心率为 ”不是“ 的一条渐近线为 ”的必要条件；
综上：“ 的离心率为 ”是“ 的一条渐近线为 ”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
8. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 和燃料的质量 以及火箭（除燃料外）的
质量 间的关系为 ．若火箭的最大速度为 ，则下列各数中与 最接近的是（
）（参考数据： ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给关系式，求出 ，近似计算得解.
【详解】由题意，火箭的最大速度为 时，可得 ，
即 ，
因为 ，所以近似计算可得 ，
故选：B9. 设 ，函数 若 恰有一个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将 图象平移对参数 进行分类讨论即可得
出其取值范围.
【详解】画出函数 的图象如下图所示：
函数 可由 分段平移得到，
易知当 时，函数 恰有一个零点，满足题意；
当 时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当 时，图象往下平移，当 时，函数有两个零点；
当 时， 恰有一个零点，满足题意，即 ；
综上可得 的取值范围是 .
故选：D10. 名学生参加某次测试，测试由 道题组成．若一道题至少有 名学生未解出来，则称此题为难题；
若一名学生至少解出了 道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有 名学生成绩合格，
且测试中至少有 道题为难题，那么 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得学生人数和题目数必须是3的倍数，可从 进行讨论即可得出 的最小值
为9.
【详解】根据题意可知 ，不妨设 ，
所以 ，若求 的最小值，只需 最小即可；
易知当 时，即 ；
此时即有3名学生不妨设为甲、乙、丙；3道题目设为 ；
根据题意可得至少有2名学生成绩合格，这两名学生至少做出了4道题，
可设甲同学做出了 两道题，乙同学做出了 两道题，丙同学做出了0道题，
此时合格的学生为甲乙，即有 名学生成绩合格，
三道题目中有 两道题，有 名学生未解出来，即满足测试中有 道题为难题；所以 符合题意.
故选：B
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数 ，则 __________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法法则化简复数 ，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】 ，因此， .
为
故答案 ： .
12. 已知抛物线 的顶点为 ，且过点 ．若 是边长为 的等边三角形，则
____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入 求解.
【详解】设 ，则 ,即 ，
所以 ，由于 又 ，所以 ，因
此 ，故 关于 轴对称，
由 得 ,将 代入抛物线中得 所以 ，
故答案为：113. 已知数列 的通项公式为 ， 的通项公式为 ．记数列 的前 项和为
，则 ____； 的最小值为____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，根据等比数列及等差数列的求和公式可得 ，利用数学
归纳法可得 时， ， 时， ，进而即得.
【详解】由题可知 ，
所以 ，
，
令 ，则 ，
当 时， ，即 ，下面用数学归纳法证明
当 时， 成立，假设 时， 成立，
当 时， ，即 时也成立，
所以 时， ，即 ，
所以 时， ， 时， ，由当 时， 有最小值，最小值为 .
故答案为： ； .
14. 设 ，其中 ．当 时， ____；当 时，
的一个取值为____．
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】将 代入计算可得 ，利用两点间距离公式可知 ；由
即可得 ，化简整理可得 ，即可写出
一个合适的值.
【详解】根据题意可得当 时，可得 ，
所以 ；
当 时，即 ，
整理可得 ，即 ，
可得 ，所以 的一个取值为 .
故答案为： ,
15. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别在线段 和 上．给出下列四个结论：
① 的最小值为 ；
②四面体 的体积为 ；
③有且仅有一条直线 与 垂直；
④存在点 ， ，使 为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是____．
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以 为顶点， 为底面即可求解；对于
③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标即可求解.
【详解】对于①，由于 在 上运动， 在 上运动，所以 的最小值就是两条直线之间距离
，而 ，所以 的最小值为 ；
对于②， ，而 ，所以四面体 的体积为
；
对于③，由题意可知，当 与 重合， 与 重合时， ，又根据正方体性质可知，
，所以当 为 中点， 与 重合时，此时 ，故与 垂直的 不唯一，③错误；
对于④，当 为等边三角形时， ，则此时 .所以只需要 与 的夹角能等
于 即可.
以 为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如下图，
设 ，则由题意可得 ， ， ，则可得
， ，则 ，整理可得
，该方程看成关于 的二次函数， ，
所以存在 使得 为等边三角形.
故答案为：①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， ．（1）求 的值；
（2）求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在 中，利用正弦定理即可得解；
（2）由（1）可求出 ，再根据 平分 可得 为等腰三角形，
再根据三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
【小问2详解】
由（1）得 ，
由题设， ，即 为等腰三角形，所以 ，
，
所以 的面积 ．
17. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 及以上 及以上
良好 ~ ~
及格 ~ ~
不及格 及以下 及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取 名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到 ）：
男生
女生
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（2）从该校全体高三男生中随机抽取 人，全体高三女生中随机抽取 人，设 为这 人中立定跳远单项
等级为优秀的人数，估计 的数学期望 ；
（3）从该校全体高三女生中随机抽取 人，设“这 人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件 ，
“这 人的立定跳远单项至多有 个是优秀”为事件 ．判断 与 是否相互独立．（结论不要求证明）
【答案】（1）（2）
（3） 与 相互独立
【解析】
【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为 ，获得优秀的女生人数为 ，计算频率得
到优秀率的估计值；
（2）由题设， 的所有可能取值为 ．算出对应概率的估计值，得到 的数学期望的估计值；
（3）利用两个事件相互独立的定义判断即可.
【小问1详解】
样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为 ，获得优秀的女生人数为 ，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为 ；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为 ．
【小问2详解】
由题设， 的所有可能取值为 ．
估计为 ；
估计为 ；
估计为 ；
估计为 ．
估计 的数学期望 ．
【小问3详解】
估计为 ；
估计为 ；估计为 ，
，所以 与 相互独立．
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
． 为棱 上一点，平面 与棱 交于点 ．再从条件①、条件②这两个条
件中选择一个作为已知，完成下列两个问题
（1）求证： 为 的中点；
（2）求二面角 的余弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若选条件①，利用线面平行判定定理和性质定理即可得出四边形 为平行四边形，又
即可得 为 的中位线即可得出证明；若选条件②，利用勾股定理可得 为 的中
点，再利用线面平行判定定理和性质定理即可得 ，即可得出证明；
（2）建立以 为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面 的法向量为 ，易知 是平面的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果.
【小问1详解】
选条件①：
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面
因为平面 平面 ，
所以
又 ， 所以四边形 为平行四边形．
所以 且 ．
因为 且 ，所以 且 ．
所以 为 的中位线．
所以 为 的中点．
选条件②： ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
在 中， ．
在直角梯形 中，
由 ， ，可求得 ，所以 ．
因为 ，所以 为 的中点．
因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ．
因为平面 平面 ，所以 ．
所以 ，
所以 为 的中点；
【小问2详解】
由题可知因为 平面 ，所以 ．又 ，所以 两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ．
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即
令 ，则 ， ．于是 ．
因为 平面 ，且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
又 ，且 为 的中点，所以 ． 平面 ，
所以 平面 ，所以 是平面 的一个法向量．
．
由题设，二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ．
19. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）设 ，证明： 在 上单调递增；
（3）判断 与 的大小关系，并加以证明．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导得切点处的斜率，即可求解直线方程，
（2）求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性，
（3）构造函数 ，利用导数确定单调性，结合（2）的结论即可求解.
【小问1详解】
,所以 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
【小问2详解】
由题设， ．
所以 ．
当 时，因为 ，所以 ．
所以 在 上单调递增．
【小问3详解】
．
证明如下：
设 ．
则 ．由（2）知 在 上单调递增，所以 ．
所以 ，即 在 上单调递增．
所以 ，即 ．
20. 已知椭圆 ，点 在椭圆 上，且 （ 为原点）．设 的中点为 ，
射线 交椭圆 于点 ．
（1）当直线 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知点 关于 轴对称且 ，利用勾股定理可得直线 的方程为
；（2）当直线 的斜率不存在时， ，直线 的斜率存在时，联立直线
和椭圆方程再根据 可得 ，即 ，再由 求出点
，代入椭圆方程即可得 ，即可求得 的取值范围为
【小问1详解】
当直线 与 轴垂直时，设其方程为 ．由点 关于 轴对称，且 ，由勾股定理可知不妨设 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程，得 ，解得 ．
所以直线 的方程为 ．
【小问2详解】
当直线 的斜率不存在时，由（Ⅰ）知 ．
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ．
由 得 ．
由 ，得 ．
设 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 ．
所以 ．
整理得 ．
所以 ．
解得 ，从而 ．
设 ，其中 ．
则 ．
将 代入椭圆 的方程，得 ．所以 ，即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上 取值范围是 ．
的
21. 给定正整数 ，设集合 ．对于集合 中的任意元素
和 ，记 ．设 ，且集合
，对于 中任意元素 ，若 则称 具有性质
．
（1）判断集合 是否具有性质 ？说明理由；
（2）判断是否存在具有性质 的集合 ，并加以证明；
（3）若集合 具有性质 ，证明： ．
【答案】（1）具有，理由见解析
（2）不存 在，证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合具有性质 的特征，即可根据集合 中的元素进行检验求解，
的
（2）假设集合 具有性质 ，分别考虑 时，集合 中 元素，即可根据 的定
义求解.
（3）根据假设存在 使得 ，考虑当 时以及 时，分量为1的个数即可讨论求解.
【小问1详解】因为 ，同理 ．
又 ，同理 ．
所以集合 具有性质 ．
【小问2详解】
当 时，集合 中的元素个数为 ．由题设 ．
假设集合 具有性质 ，则
①当 时， ，矛盾．
②当 时， ，不具有性质 ，矛盾．
③当 时， ．
因为 和 至多一个在 中； 和 至多一个在 中；
和 至多一个在 中，故集合 中的元素个数小于 ，矛盾．
④当 时， ，不具有性质 ，矛盾．
⑤当 时， ，矛盾．
综上，不存在具有性质 的集合 ．
【小问3详解】
记 ，则 ．
若 ，则 ，矛盾．若 ，则 ，矛盾．故 ．
假设存在 使得 ，不妨设 ，即 ．
当 时，有 或 成立．
所以 中分量为 的个数至多有 ．当 时，不妨设 ．
因为 ，所以 的各分量有 个 ，不妨设 ．
由 时， 可知， ， 中至多有 个 ，
即 的前 个分量中，至多含有 个 ．
又 ，则 的前 个分量中，含有
个 ，矛盾．
所以 ． 因为 ，
所以 ．
所以 ．
【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学
思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者
函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
