北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2.2 基本不等式及不等式的应用
一、选择题
3 2
1.(2022届江西上饶期中,8)已知x,y>0,且 + =1,则3x+2y的最小值是( )
x y
A.2√5 B.5√2 C.20 D.25
答案 D 因为3x+2y=(3x+2y)·1=(3x+2y)(3 2)=9+4+6 y+6x.因为x>0,y>0,所以y>0,x>0,所以
+
x y x y x y
√6 y 6x 6 y 6x
3x+2y≥13+2 · =13+12=25.当且仅当 = ,即x=y时取等号,所以3x+2y的最小值为25.故选
x y x y
D.
1 1
2.(2022届江西新余月考,10)已知实数a>0,b>0, + =1,则a+2b的最小值是( )
a+1 b+1
A.3√2 B.2√2 C.3 D.2
答案 B a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=[(a+1)+2(b+1)]·( 1 1 )-3=a+1+2(b+1)≥2 ,当且仅当
+ √2
a+1 b+1 b+1 a+1
a+1 2(b+1)
= 时“=”成立,∴a+2b的最小值为2√2.
b+1 a+1
3.(2021河南信阳模拟,3)下列不等式恒成立的是( )
A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2ab
C.a+b≥-2√|ab| D.a+b≤2√|ab|
答案 B 对于A,由(a-b)2≥0,知a2+b2≥2ab,故A错误;
对于B,由(a+b)2≥0,知a2+b2≥-2ab,故B正确;
对于C,当a=0,b=-1时,a+b=-1,-2√|ab|=0,此时a+b<-2√|ab|,故C错误;
对于D,当a=0,b=1时,a+b=1,2√|ab|=0,此时a+b>2√|ab|,故D错误.故选B.
4.(2021河南焦作期中,2)设0<a<b<1且a+b=1,则下列四个式子中最小的是( )
A.a B.b C.2ab D.a2+b2
1
答案 A ∵0<a<b<1且a+b=1,∴0<a< <b<1,a2+b2>2ab,
2
∴四个选项中只需比较2ab与a的大小.
∵2ab-a=a(2b-1)>0,∴2ab>a,∴a最小.
第 1 页 共 8 页第 1 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1
思路分析 根据条件可得出0<a< <b<1,a2+b2>2ab,然后作差即可得出2ab>a,从而可得答案.
2
1 2
5.(2021黑龙江大庆期中,9)已知向量m=(1,a),n=(2b-1,3)(a>0,b>0),若m·n=1,则 + 的最小值为( )
a b
7
A.7 B. +2√3 C.7+4√3 D.4√3
2
答案 B 由已知得m·n=2b-1+3a=1,即3a+2b=2,
∵a>0,b>0,
∴1+2=1(1 2)(3a+2b)=1( 2b 6a)≥7+√2b 6a=7+2 ,当且仅当2b=6a时,等
+ 3+4+ + · √3
a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 a b
1 2 7
号成立,∴ + 的最小值为 +2√3.
a b 2
6.(2020陕西咸阳一模,8)已知x+2y=xy(x>0,y>0),则2x+y的最小值为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
1 2
答案 B 由x+2y=xy(x>0,y>0),可得 + =1,
y x
则2x+y=(2x+y)(1 2)=5+2x+2y≥5+4=9,
+
y x y x
2x 2y
当且仅当 = ,即x=3,y=3时取等号,故2x+y的最小值为9.故选B.
y x
1 1
7.(2021兰州诊断,11)已知函数f(x)= x3- ax2-bx(a>0,b>0)的一个极值点为1,则ab的最大值为( )
6 2
1 1 1
A.1 B. C. D.
2 4 16
1 1 1 1 1
答案 D 由f(x)= x3- ax2-bx得f '(x)= x2-ax-b,依题意有f '(1)= -a-b=0,即a+b= ,
6 2 2 2 2
1 1 1 1
又a>0,b>0,所以 =a+b≥2√ab⇒ab≤ ,当且仅当a=b= 时取等号,即ab的最大值为 .故选D.
2 16 4 16
8.(2022届河南六市联考,10)设a>0,b>0,a+b=1,则下列选项中错误的是( )
1
A.ab的最大值为
4
9 4
B. + 的最小值是25
a b
第 2 页 共 8 页第 2 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1
C.ab+ 的最小值为2
ab
9
D.(a+1)2+(b+1)2的最小值为
2
答案 C 对于A,ab≤(a+b) 2 =1,当且仅当a=b=1时取等号,故A正确;对于B,因为a>0,b>0,a+b=1,所以9
2 4 2 a
3
{9b 4a {a= ,
+4=(9 4)(a+b)=13+9b+4a≥13+2√9b 4a=25,当且仅当 = , 即 5 时取等号,
+ · a b
b a b a b a b 2
a+b=1, b=
5
故B正确;对于C,由A可知令ab=t,t∈( 1],则y=t+1在t∈( 1]上为减函数,所以在t=1时,ab+ 1 取
0, 0,
4 t 4 4 ab
最小值17,故C不正确;对于D,(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=a2+b2+4≥2×(a+b) 2 +4=9,当且仅当a=b=1
4 2 2 2
时取等号,故D正确.故选C.
9.(2021届广东云浮9月月考,9)已知a>0,b>0,a+b=1,则下列结论中一定成立的是( )
1
A.a2+b2的最小值是
2
1
B.ab+ 的最小值是2
ab
C.√a+√b的最大值是√2
4 9
D. + 的最小值是25
a b
答案 ACD ∵a>0,b>0,a+b=1,
1 1
∴a2+b2≥ (a+b)2= ,当且仅当a=b时取等号,
2 2
所以A中的结论一定成立,由已知得0<ab≤(a+b) 2 =1,
2 4
第 3 页 共 8 页第 3 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
令ab=t,t∈( 1],则ab+ 1 =t+1,
0,
4 ab t
设y=t+1,t∈( 1],
0,
t 4
∵y=t+1在( 1]上单调递减,
0,
t 4
1
1 17
∴y≥ +1= .所以B中的结论错误,
4 4
4
由(√a+√b)2≤2(a+b)=2得√a+√b≤√2,
所以C中的结论成立,
由已知得4+9=(4 9)(a+b)=13+4b+9a≥13+2 =25,当且仅当4b=9a时取等号,所以D中的结
+ √36
a b a b a b a b
论成立,故选ACD.
10.(多选)(2021山东菏泽一模,9)下列结论正确的是( )
1
A.∀x∈R,x+ ≥2
x
B.若a<b<0,则(1) 3 >(1) 3
a b
C.若x(x-2)<0,则log
2
x∈(0,1)
1
D.若a>0,b>0,a+b≤1,则0<ab≤
4
BD 当x<0时,x+1为负数,所以A错误;若a<b<0,则1<1<0,因为函数f(x)=x3在R上单调递增,所以f(1)
x b a a
>f(1),即(1) 3 >(1) 3 ,所以B正确;若x(x-2)<0,则0<x<2,所以log
2
x∈(-∞,1),所以C错误;若a>0,b>0,a+b≤1,
b a b
则根据基本不等式有 ≤a+b,则0<ab≤(a+b) 2 ≤1,所以D正确,故选BD.
√ab
2 2 4
第 4 页 共 8 页第 4 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
二、填空题
11.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,15)若函数f(x)满足条件f(x)-4f(1)=x(x≠0),则|f(x)|的最小值为
x
.
4
答案
15
解析 ∵函数f(x)满足条件f(x)-4f(1)=x(x≠0),∴f(1)-4f(x)=1,∴f(x)=- 4 - x ,∴|f(x)|=| 4 x |=
- -
x x x 15x 15 15x 15
4 |x| √ 4 |x| 4 4 |x|
+ ≥2 · = ,当且仅当 = ,即|x|=2,x=±2时取等号.
15|x| 15 15|x| 15 15 15|x| 15
12.(2022届兰州西北师大附中期中,15)已知二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{ 1},且a>b,则
x|x≠-
a
a2+b2
的最小值为 .
a-b
答案 2√2
{ a>0, a2+b2 (a-b)2+2ab
解析 由题意可知, ∴ab=1且a>0,∵a>b,∴a-b>0.∴ = =
Δ=4-4ab=0, a-b a-b
(a-b)2+2 2 √ 2 a2+b2
=(a-b)+ ≥2 (a-b)· =2√2,当且仅当a-b=√2时,等号成立.因此, 的最
a-b a-b a-b a-b
小值为2√2.
9 b+3
13.(2022届河南名校联盟11月月考,16)已知a>0,b≠0,且a+|b|=3,则 + 的最小值为 .
a |b|
答案 3+2√3
第 5 页 共 8 页第 5 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 9+b+3=9+ 3 + b ,当b>0时, b =1,当b<0时, b =-1.又9+ 3 =1(9 3 )(a+|
+
a |b| a |b| |b| |b| |b| a |b| 3 a |b|
b|)=1·( 9|b| 3a )≥1×(12+6 )=4+2 ,当且仅当9|b|= 3a ,即a= 3√3 ,|b|= 3
12+ + √3 √3
3 a |b| 3 a |b| √3+1 √3+1
3√3 3 9 b+3
时等号成立,所以当a= ,b=- 时, + 取得最小值,且最小值为3+2√3.
√3+1 √3+1 a |b|
易错警示 利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最
值,这也是最容易发生错误的地方.
1 2 2
14.(2022届江西新余月考,13)设0<m< ,若 + ≥k恒成立,则k的最大值为 .
2 m 1-2m
答案 6+4√2
解析 ∵0<m<1,∴1-2m>0,∴2+ 2 =(2m+1-2m)( 4 2 )=4+2×2m+4(1-2m)
+
2 m 1-2m 2m 1-2m 1-2m 2m
√2×2m 4(1-2m) 4m 4(1-2m) 2-√2
+2≥6+2 · =6+2×2√2=6+4√2,当且仅当 = ,即m= 时
1-2m 2m 1-2m 2m 2
“=”成立.
1
15.(2022届北京科大附中10月月考,11)已知x>1,且x-y=1,则x+ 的最小值是 .
y
答案 3
1 1 1 √ 1
解析 由x>1,x-y=1得x-1>0,y=x-1.∴x+ =x+ =x-1+ +1≥2 (x-1)· +1=3,当且仅当
y x-1 x-1 x-1
1 1
x-1= ,即x=2时,等号成立,故x+ 的最小值为3.
x-1 y
16.(2022届北师大实验中学10月月考,13)若a+b=2,则3a+3b的最小值是 .
答案 6
解析 因为a+b=2,所以3a+3b≥2 =2 =6,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以3a+3b的最小值是
√3a·3b √3a+b
6.
3 2a 3
17.(2022届清华大学中学生标准学术能力测试(10月),15)已知a>0,b>0, +2b=4,则 + 的最小值为
a a+1 2b
.
第 6 页 共 8 页第 6 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9+6√2
答案
7
1
解析 设t= ,∵a>0,∴t>0,
a
则3t+2b=4,3(t+1)+2b=7,
2
2a 3 3 2 3 1 ( 2 3 ) 1 ( 9(t+1) 4b ) 1
则 + = 1+ = + = ×[3(t+1)+2b]× + = × 9+ + ≥
a+1 2b 1+ 2b 1+t 2b 7 1+t 2b 7 2b 1+t 7
a
×( √9(t+1) 4b )=9+6√2,
9+2 ·
2b 1+t 7
9(t+1) 4b
当且仅当 = 时取等号,
2b 1+t
2a 3 9+6√2
所以 + 的最小值为 .
a+1 2b 7
18.(2021广东云浮月考,15)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=ax(a>0且a≠1),若对任意的x 1∈[1,2],都存在x 2∈[-1,2],使得
f(x)<g(x)成立,则实数a的取值范围是 .
1 2
答案 ( 1)∪(2,+∞)
0,
4
解析 由于f(x)=x2-2x+4在区间[1,2]上是增函数,所以f(x) =f(2)=4.
max
1 1
(1)当0<a<1时,g(x)=ax在区间[-1,2]上是减函数,则g(x)=ax的最大值为g(-1)= ,由已知得g(x) >f(x) ,∴
max max
a a
1
>4,可得0<a< ;
4
(2)当a>1时,g(x)=ax在区间[-1,2]上是增函数,则g(x)=ax的最大值为g(2)=a2,由已知得g(x) >f(x) ,∴a2>4,可
max max
得a>2.综合(1)(2)可得,实数a的取值范围是( 1)∪(2,+∞).
0,
4
19.(2022届人大附中10月月考,12)当x∈[0,3]时,不等式x2+(a-4)x+4>0恒成立,则a的取值范围为 .
答案 (0,+∞)
解析 由题得x2+ax-4x+4>0,∴ax>-x2+4x-4,
当x=0时,0>-4恒成立,a∈R;
第 7 页 共 8 页第 7 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
当x∈(0,3]时,a>-x2+4x-4=-( 4)+4,
x+
x x
4 √ 4
因为x∈(0,3],所以x+ ≥2 x· =4(当且仅当x=2时等号成立).
x x
所以-( 4)+4≤-4+4=0,所以a>0.
x+
x
综上,a的取值范围为(0,+∞).
第 8 页 共 8 页
