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函数的概念与基本初等函数
猜押
3年真题 考情分析 押题依据
考点
1.以基本初等函数为载体，
2024全国新高考I卷6、8 函数的周期性单调性与奇偶性的综合
考查函数的单调性及其应
应用是高考的重难点方向，特别是新
函 数 2024全国新高考Ⅱ卷6 用；
高考新题型以后，它们与抽象函数的
的 概
2023全国新高考I卷4、11 结合将是未来一个重要方向 2.函数的奇偶性、对称性与
念 与
函数的图像相结合加以考查.
基 本 图像的识别及应用逐渐淡化
2023全国新高考Ⅱ卷4
初 等 3.随着高考改革的推进，题
函数的综合因应用作为压轴题，一般
函数 2022全国新高考I卷12、 目的减少，抽象函数性质的
会是同构，构造函数比较大小，函数
考查，以及函数性质、导数
2022全国新高考Ⅱ卷8 的综合性质应用化工等
的综合考查将增多.
题型一 函数的概念与单调性
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 的部分利用导数转换成不等式恒成立问题； 的部分利用二次函数的性质即可判定；分
段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案.
【详解】因为函数 在 上单调递减，
所以当 时， 恒成立，则 ；
当 时，由 在 上递减，若 ， ，合题意，
若 ，则 ，故 ;
又分段点处也要满足递减的性质，所以 ，解得 .
综上所述， ，
故选：C．
2．（2025·湖南·模拟预测）设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】易得函数 关于 对称，且在 上单调递减，在 单调递增，将原不等式转化为
求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
即函数 关于 对称，
当 时， 单调递增，
所以函数 在 上单调递减，在 单调递增，
因为 ，所以 ，解得 ，
即 的取值范围是 ，
故选：B.
3．（2025·江西·一模）函数 的单调递增区间为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】由 且 ，得 ，即 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
又函数 为增函数，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又函数 为增函数，
所以函数 的单调递增区间为 .
故选：B.
4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数 ，若不等式 对任意
恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出 得到 ，得到 关于直线 对称，对 求导，判断当 时
的单调性，根据 得到 恒成立，即可求解.
【详解】因为 ，定义域为 ，
，
即 ，所以 关于直线 对称，又 ，
当 时， ， ， ，所以 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
因为不等式 对任意 恒成立，
所以 恒成立，即 恒成立，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
5．（2025高三下·河北承德·专题练习）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式判断出其单调性，即可得出结论.
【详解】易知函数 和 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ，
故 ，即 ．
故选：D
6．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数 ，在 上单调递增，
则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由函数 在 上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得， ，解得 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A
7．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性有 在 上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围.
【详解】由题设，函数 在 上单调递增，
易知 在 上单调递减，
当 时， 满足题设，
当 时， 或 ，
综上， .故选：B.
题型二 周期性、奇偶性、对称性的应用
1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为 的偶函数 满足 ，则
（ ）
A．3 B．2 C．6 D．10
【答案】A
【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算 .
【详解】因为 是定义域为 的偶函数，所以 .
已知 ，将 换为 ，可得 ，又因为 ，所以
.
由 和 可得 .
令 ，则 ，那么 ，又因为 ，所以 ，
即 ，所以函数 的周期是 ，所以 .
在 中，令 ，可得 ，即 ，解得 ，所以 .
故选：A.
2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知对于任意非零实数 ，函数 均满足 ，
，下列结论正确的有（ ）
A．B． 关于点 中心对称
C． 关于 轴对称
D．
【答案】ABD
【分析】由 中令 可得A正确；由 可得B正确；由
可得C错误；换元法求出 可得D正确.
【详解】对于A，由 可得 ；
对于B，由 可得 ，即 ，
所以 关于点 中心对称，故B正确；
对于C，由 可得 ，所以 关于 轴对称，故C错误；
对于D，由 中令 可得 ，
设 ，①
又 ，②
由①②可得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以所以 ，故D正确；
故选：ABD
3．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知函数 ，则不等式 的解集
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式判断 的奇偶性和单调性，即可求解.
【详解】因为 ，定义域为 ，所以 为奇函数，
，因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
又 单调递增，所以 ，即解集为 .
故选：A.
4．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数 为偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用偶函数的定义列式结合对数运算计算求参.
【详解】因为函数 为偶函数，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 且 ，
则 .
故选：A.
5．（2025·四川自贡·二模）若 是偶函数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数定义，列式运算得解.
【详解】由题，可得 ，即 ，
，
，即
因 不恒为0，故 .
故选：B.
6．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为
奇函数，记 的导函数为 ，则下列函数为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可.
【详解】因为 为奇函数， 为偶函数，所以 ， ，
所以 为偶函数，故B正确；
又对 两边求导，得 ，
即 ，所以 是偶函数，故D正确；
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，即 ，即得 ，
所以 是周期为4的函数，则 ，两边求导，得 ，
所以 是奇函数，故A错误；
由 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，即 为偶函数，所以 为偶函数，故C正确．
故选：BCD．
7．（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）已知定义在 上的函数 ， 的导函数分别为 ， ，
且 ， ， ，则下列判断错误的是（ ）
A． 关于直线 对称 B．
C． 的周期为4 D．
【答案】B
【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得 、，通过合理赋值即可判断BCD.
【详解】由 ，得 ①，
②，得 ③，
由①②③，得 ，所以函数 图象关于直线 对称，故A正确；
由 ，得 ，令 ，得 ；
由 ，得 ，
令 ，得 ，
∴ ④，
又 ⑤，令 ，得 ，故B错误；
④⑤两式相加，得 ，得 ，
所以 ，即函数 的周期为4，故C正确；
由 ，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：B
8．（24-25高二下·天津西青·阶段练习）已知 为 的导函数，则
的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】根据 的奇偶性排除BD；根据单调性排除C，即可得解.
【详解】因为
， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 在 上是奇函数，故可排除选项B，D，
令 ，则 ，
当 时， ，
所以 在 单调递减，即 在 单调递减，故可排除选项C.
故选：A
题型三 函数图像的应用
1．（24-25高二下·湖北宜昌·阶段练习）函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再根据函数值的特征排除B、C，利用导数说明函数的单调性，即可排除
A.
【详解】函数 的定义域为 ，
当 时 ，故排除C，
当 时 ， ，则 ，所以 ，故排除B；
又 ，
所以当 或 时 ，所以 在 ， 上单调递增，
当 或 时 ，所以 在 ， 上单调递减，故排除A.
故选：D
2．（23-24高二下·云南大理·期中）函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项．
【详解】解： ，定义域为 ，
，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，排除A、C，
当 时， ， ， ，所以 ，排除B，
只有D中图象符合题意；
故选：D
3．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知 是 的导函数，且 ，则
的图象不可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据 设 ，分析 的取值，结合函数图象可确定答案.
【详解】设 ，
A.当 ， ， 时， ，
函数 为开口向下的二次函数，对称轴为 轴，满足要求，A正确；
B.∵ 时， ， 时， ，∴ .
由图象得， 为开口向上的二次函数，即 ，
由 得 ，故 ，对称轴为 轴，不合要求，B错误；
C.由图象可得 为奇函数，且 ，故 ，
∴ ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，满足要求，C正确；
D.∵ 时， ，∴ ，
由 ，得 ， ，
由图象得， ， 的极小值点为 ，极大值点大于 ，即 ，故 .
由 得， ，由 得， 或 ，∴ 在 上单调递增，在 和 上单调递减，满足要求，D正确.
故选：B.
4．（2025高三·全国·专题练习）如图，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点
O匀速旋转(到OB处为止)时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】如图，设 单位时间旋转角度为 ，圆半径为r，则 ，由题可得 关于t的表达式，
由导数知识可得答案.
【详解】如图，设 单位时间旋转角度为 ，圆C半径为r，
则 ，则 ，
则 ，即函数 图象单调递增，
再令 ，则函数图象的切线斜率逐渐变大，曲线也逐渐变陡，故选项B符
合；
故选：B
5．（2025高二·全国·专题练习）（多选）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用导数研究函数的单调性，逐个进行判断即可.
【详解】对于选项A，若 为 的图象，当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递增，图象可能正确，故A正确；
对于选项B，若 为 的图象， ， 在 上单调递增，图象可能正确，故B正确；
对于选项C，若 为 的图象，当 时， ， 为常函数；当 时， ，
在 单调递增，图象可能正确，故C正确；
对于选项D，若 为 的图象，当 时， ， 在 单调递增，不符合；
若 为 的图象，当 时， ， 在 单调递减，不符合；
当 时， ， 在 单调递减，也不符合，故D错误；
综上，故选ABC．
题型四 函数性质的综合应用
1．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且对任意 ，满足，且 则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据累加法可得 即可求解.
【详解】当 时，
因为 ，
故
由累加法可得 ，
故 ，故AB错误，
由 ，
所以 故 ，所以C错误,D正确，
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用累加法可得 .
2．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 的定义域为 为奇函数，
，则（ ）
A． 为奇函数
B． 的图象关于直线 对称
C． 的最小正周期为4D． 的图象关于点 对称
【答案】D
【分析】根据 为奇函数，得 ，从而可知 的对称中心；根据题意令
可知 ，从而 ，结合对称中心可判断 的对称轴与奇偶性和最小正周期.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，
所以 的图象关于点 对称，则 的图象关于点 对称， 项正确；
因为函数 的定义域为 ，易知 的定义域为 ，
因为 为奇函数，所以 ，
则 ，所以 ，
根据 的图象关于点 对称，得 ，
所以 ，故 为偶函数， 项错误；
因为 ，
所以 ，所以 的最小正周期为 ，
则 的最小正周期为 ， 项错误；
根据 为偶函数，且关于点 对称，最小正周期为 ，
易知 的所有对称轴为直线 ，故 项错误.
故选： .
3．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ，若正数m，n满足，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式可得 ，据此得出 ，再由“1”的技巧及基本不等式得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以由 可得 ，即 ，
由 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：D
4．（24-25高一上·福建三明·期中）已知奇函数 的定义域为 ，满足对任意 、
，且 ，都有 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】构造函数 ，其中 ，分析函数 的奇偶性与单调性，可得出 ，
分 、 两种情况将不等式 变形，结合函数 的单调性即可得解.
【详解】构造函数 ，其中 ，
则 ，所以，函数 为偶函数，
对任意的对任意 、 ，且 ，都有 ，
不妨设 ，则 ，可得 ，即 ，
所以，函数 在 上为减函数，则该函数在 上为增函数，
且 ， ，
当 时，由 可得 ，可得 ；
当 时，由 可得 ，可得 .
综上所述，不等式 的解集为 .
故选：B.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
5．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数 的定义域为R，且对任意 ，满足
，且 ，则 （ ）
A．651 B．676 C．1226 D．1275
【答案】D【分析】根据条件变形得到 ，再结合条件求得 ，再通过赋值求
的值.
【详解】由条件 ，可知， ， ，以上三个
式子相加得： ，
又 ，所以 ，
， ， ，…， ，
以上式子相加得 ，
所以 .
故选：D
6．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知定义在 上的函数 不恒等于 ，且对
任意的 ，有 ，则（ ）
A．
B． 是偶函数
C． 的图象关于点 中心对称
D． 是 的一个周期
【答案】ABC
【分析】利用赋值法令 根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取 并根据
对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断 是 的一个周期，可得D错误.
【详解】对于A,根据题意令 ，则由 可得，解得 ，即A正确；
对于B,令 可得 ，所以 ，
即可得对任意的 满足 ，即 是偶函数，所以B正确；
对于C,令 ，则由 可得 ，
即 满足 ，因此可得 的图象关于点 中心对称，即C正确；
对于D,由于 是偶函数，所以满足 ，即 ，
可得 ，也即 ，所以 是 的一个周期，即D错误.
故选：ABC
7．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）若定义在R上的函数 ， 满足
， ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是周期为4的周期函数
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用 与 得到 ，然后利用
，得到 的周期性，然后得到 周期；再利用 与
得到 为偶函数；利用 得到 ，最后
利用 得到 的值即可.【详解】因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
又 ，则 ，
即 ，所以 ，故 是周期为4的周期函数．
因为 ，所以 也是周期为4的周期函数，选项B正确；
因为 ，则 ，则 ，
所以 ，所以 为偶函数，选项A正确；
因为 ，令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，即 ，
故 ，选项C正确；
由 ，
得
，
所以 ，选项D错误．
故选：ABC．
【点睛】当有两个函数时，需要根据其函数关系消元，得到一个函数 的关系，然后得出 的性质；
最后再利用 与 的关系求解 相关的一些性质即可.
8．（23-24高三下·江西·阶段练习）（多选）已知定义在 上的偶函数 和奇函数 满足，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 是以8为周期的周期函数
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据函数奇偶性以及表达式 可知满足 ，可判断A正确；
化简可得 可知B正确；又 可得 ，即C正确；利用赋值法
可求得 ，可知D错误.
【详解】对于A，由题意 ，
且 ，即 ①，
用 替换 中的 ，得 ②，
由①+②得 ，
所以 的图象关于点 对称，且 ，故A正确；
对于B，由 ，
可得 ， ，
所以 ，所以 是以8为周期的周期函数，故B正确；
对于C，由①知 ，
则 ，所以 ，故C正确；
对于D，又因为 ，所以 ，
令 ，则有 2，
令 ，则有 ，
令 ，则有 ，
所以
，
所以
，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：函数性质综合问题经常利用函数的奇偶性、对称性、周期性中的两条性质去推导第三
个性质，再将3个性质综合运用即可实现问题求解.
9．（24-25高一上·上海·单元测试）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数
被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数有如下四个命题：① ；②对任意 ，恒有
成立；③任取一个不为0的有理数 ， 对任意实数 均成立；④存在三个点
， ， ，使得 为等边三角形．其中真命题的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D【分析】命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；命题②和命题③：分为
无理数和为有理数两种情况进行验证；命题④：结合狄利克雷函数的定义利用特殊点进行验证．
【详解】①若 为有理数，则 是有理数，则 ，若 为无理数，则 是有理数，
则 ，故①错误；
②若 为有理数，则 为有理数，此时 ， ，即 成立，
若 为无理数，则 为无理数，此时 ， ，即 成立，
综上，对任意 ，恒有 成立，故②正确；
③若 为有理数，则 为有理数，此时 ， ，即 成立，
若 为无理数，则 为无理数，此时 ， ，即 成立，
综上，任取一个不为0的有理数 ， 对任意实数 均成立，故③正确；
④对任意有理数 ，存在三个点 、 、 是边长为 的等边三角形，故④
正确．
故选：D．
10．（23-24高二下·重庆·期末）写出一个同时具有下列性质的函数 = .
① 为定义在R上的非常值函数；
② 且 ,均存在唯一的 且 ）使得 成立；
③ 均存在. 使得 成立.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】取 ，即可逐一验证符合3个条件.【详解】取 ，显然满足条件①，
若 时，即 ，则 或 ，
故 且 ，总存在唯一的 且 ）使得 ，满足条件②，
对 ，取 ，则满足 ,
对 ，取 ，则满足 ,
，取 ，故满足条件③
因此 ，符合所有条件，
故答案为： （答案不唯一）
11．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ，若 ，有
， ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D．4为函数 的一个周期
【答案】ACD
【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解.
【详解】根据题意， ，
取 ，得 ，因为 ，所以 ，A正确;
取 ，得 ，所以 ，B错误;
取 ，得 ，即 ，所以 为偶函数，C正确;
取 ，得 ，所以 ，
即4为函数 的一个周期，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取
等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现 ；当然要结合所求灵活赋值，
根据函数的性质进行求解.
12．（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知函数 是 上的奇函数，且过点 ，对于一切正实数
，都有 ． 当 时， 恒成立，则（ ）
A．
B． 在 上是单调函数
C． 有三个零点
D．当 时，
【答案】ACD
【分析】对于A，赋值 即可判断；对于B，分别赋值 、 和 求出
和 即可判断；对于C，探究 在 上的单调性，结合 、 和函数
奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值 ， ， 即
可得解.【详解】由题 ，
对于A：令 ， ，所以A正确；
对于B：令 ， ，得 ；
令 ， ，得 ，
令 ， ，得 ，所以B不正确；
对于C：当 时， ，得 ，
故 ，即
又 即 ，
所以 ，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
因为当 时， 恒成立，
所以 ，即 ，
故 在 上单调递增，
又 ， ，且函数 是 上的奇函数，所以 ，故 有三个零点． 所以C正确；
对于D：当 时，
因为 在 上单调递增， ， ，所以 ；
当 时，因为 ， ， ，
， ，
由奇函数 在 上单调递增，所以 ；
所以当 时， .所以D正确.
故选：ACD．
【点睛】关键点睛：探究函数 零点个数和根据函数值 ，求解变量 的关键是巧妙赋值实现
，从而结合奇偶性探究得出函数在R上的单调性.
